Giải sgk toán 10 – cánh diều bài (6)

Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Các câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 25 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Quảng cáo sản phẩm truyền hình hoạt động quan trọng kinh doanh doanh nghiệp Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng cáo VTV1 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20h30; triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung 16h00 – 17h00 Một công ty dự định chi không 900 triệu đồng để quảng cáo VTV1 với yêu cầu quảng cáo số lần phát sau: 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 không 50 lần quảng cáo vào khung 16h00 – 17h00 Gọi x, y số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 vào khung 16h00 – 17h00 Trong toán học, điều kiện ràng buộc x y để đáp ứng nhu cầu công ty thể nào? Lời giải: Sau học ta giải toán đặt sau: Gọi x, y số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 vào khung 16h00 – 17h00 ( x  , y  ) Vì công ty yêu cầu quảng cáo với số lần phát sau: 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 không 50 lần quảng cáo vào khung 16h00 – 17h00 nên x ≥ 10 ≤ y ≤ 50 Chi phí cho x lần phát quảng cáo vào khung khoảng 20h30 là: 30x (triệu đồng) Chi phí cho y lần phát quảng cáo vào khung 16h00 – 17h00 6y (triệu đồng) Tổng chi phí cơng ty phát quảng cáo VTV1 là: 30x + 6y (triệu đồng) Vì cơng ty dự định chi không 900 triệu đồng để quảng cáo nên 30x + 6y ≤ 900 ⇔ 5x + y ≤ 150 Vậy điều kiện ràng buộc x y để đáp ứng nhu cầu công ty là: x ≥ 10, ≤ y ≤ 50, 5x + y ≤ 150 x  , y  Hoạt động trang 25 SGK Toán lớp 10 Tập 2: Cho hệ bất phương trình sau:  x − y    x + 2y  −2 (1) ( 2) a) Mỗi bất phương trình (1) (2) có bất phương trình bậc hai ẩn không? b) Chỉ nghiệm chung hai bất phương trình (1) (2) hệ Lời giải: a) Bất phương trình (1) bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng ax + by < c (a b không đồng thời 0, với a = 1, b = – 1, c = 3) Bất phương trình (2) bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng ax + by > c (a b không đồng thời 0, với a = 1, b = 2, c = – 2) Vậy bất phương trình (1) (2) bất phương trình bậc hai ẩn x y b) Ta cần chọn cặp (x0; y0) thỏa mãn hai bất phương trình (1) (2) Chọn x0 = 1, y0 = Khi đó: Thay x = -1 y = vào bất phương trình (1) ta được: -1 – < ⇔ < (luôn đúng) nên (-1; 0) nghiệm bất phương trình (1) Thay x = -1 y = vào bất phương trình (2) ta được: -1 + 2.0 > – ⇔ -1 > – (luôn đúng) nên (-1; 0) nghiệm bất phương trình (2) Vậy cặp số (-1; 0) nghiệm chung hai bất phương trình (1) (2) hệ Luyện tập trang 25 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Chỉ nghiệm hệ bất phương trình sau: 2x + y    x − 3y   x − y  −4  Lời giải: Chọn cặp số (2; 0) nghiệm hệ bất phương trình trên, thật vậy: Thay x = y = vào bất phương trình 2x + y > ta được: + = + = > mệnh đề nên (2; 0) nghiệm bất phương trình Thay x = y = vào bất phương trình x – 3y < ta được: – = – = < mệnh đề nên (2; 0) nghiệm bất phương trình Thay x = y = vào bất phương trình x – y ≥ -4 ta được: – = > – nên (2; 0) nghiệm bất phương trình x – y ≥ Do (2; 0) nghiệm chung ba bất phương trình hệ cho Vậy cặp số (2; 0) nghiệm hệ bất phương trình cho Hoạt động trang 26 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình sau:  x − 2y  −2  7x − 4y  16 2x + y  −4  a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ bất phương trình cách gạch bỏ phần khơng thuộc miền nghiệm b) Tìm miền nghiệm hệ bất phương trình cho Lời giải: a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ ba đường thẳng: d1: x – 2y = – ⇔ y = x+1 Ta có bảng sau: x y= x+1 2 Đường thẳng d1 qua điểm (0; 1) (2; 2) + Lấy O(0; 0) Ta có: - 2.0 = > -2 + Vậy miền nghiệm bất phương trình x – 2y ≥ - nửa mặt phẳng khơng bị gạch hình chứa điểm O(0; 0) kể đường thẳng d1 d2: 7x – 4y = 16 ⇔ y = x–4 Ta có bảng sau: x y= x–4 4 -4 Đường thẳng d2 qua điểm (4; 3) (0; – 4) + Lấy O(0; 0) Ta có: 7.0 - 4.0 = < 16 + Vậy miền nghiệm bất phương trình 7x – 4y ≤ 16 nửa mặt phẳng khơng bị gạch hình chứa điểm O(0; 0) kể đường thẳng d2 d3: 2x + y = – ⇔ y = 2x + Ta có bảng sau: x -2 y = - 2x - 4 Đường thẳng d3 qua hai điểm (0; 4) (– 2; 0) + Lấy O(0; 0) Ta có: 2.0 + = > -4 + Vậy miền nghiệm bất phương trình x + 2y ≥ -4 nửa mặt phẳng khơng bị gạch hình chứa điểm O(0; 0) kể đường thẳng d3 Khi ta có hình vẽ sau: b) Phần không bị gạch (chứa điểm O(0; 0)) miền nghiệm hệ bất phương trình cho Cụ thể, miền nghiệm hệ tam giác ABC kể miền (còn gọi miền tam giác ABC) với A(4; 3), B(0; – 4) C(– 2; 0) Luyện tập trang 27 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau: 3x − y  –3  −2x + 3y  2x + y  −4  Lời giải: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng: +) d1: 3x – y = – Đường thẳng d1 qua hai điểm có tọa độ (0;3) (-1;0) +) d2: – 2x + 3y = Đường thẳng d2 qua hai điểm có tọa độ (0;2) (-3;0) +) d3: 2x + y = – Đường thẳng d3 qua hai điểm có tọa độ (0;-4) (-2;0) Do tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình hệ nên miền nghiệm bất phương trình hệ nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm O(0;0) (không kể đường thẳng tương ứng) Miền nghiệm hệ bất phương trình phần mặt phẳng khơng bị gạch sọc khơng kể đường biên hình B Bài tập Bài trang 29 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Kiểm tra xem cặp số (x; y) cho có nghiệm hệ bất phương trình tương ứng không? 3x + 2y  −6 a)   x + 4y  4x + y  −3 b)  −3x + 5y  −12 (0; 2), (1; 0); (– 1; – 3), (0; – 3) Lời giải: a) + Thay x = 0, y = vào hai bất phương trình hệ cho, ta có: + ≥ – ⇔ ≥ -6 (luôn đúng) Và + > ⇔ > (luôn đúng) Suy (0; 2) nghiệm chung hai bất phương trình hệ bất phương trình nên (0; 2) nghiệm hệ bất phương trình + Thay x = 1, y = vào bất phương trình hệ cho ta có: + ≥ – ⇔ ≥ -6 (luôn đúng) + > ⇔ > (vơ lí) Suy (1; 0) khơng nghiệm hệ bất phương trình Vậy cặp số (0; 2) nghiệm hệ bất phương trình cặp số (1; 0) không nghiệm hệ bất phương trình b) + Thay x = – 1, y = – vào bất phương trình hệ, ta có: (– 1) + (– 3) ≤ – ⇔ – ≤ – (luôn đúng); (– 3) (– 1) + (– 3) ≥ – 12 ⇔ -12 ≥ – 12 (luôn đúng) Suy (– 1; – 3) nghiệm chung hai bất phương trình hệ bất phương trình nên (– 1; – 3) nghiệm hệ bất phương trình + Thay x = 0, y = – vào bất phương trình hệ cho ta có: + (– 3) ≤ – ⇔ – ≤ – (luôn đúng); (– 3) + (– 3) ≥ – 12 ⇔ -15 ≥ – 12 (vô lý) Suy (0; – 3) khơng nghiệm hệ bất phương trình Vậy (– 1; – 3) nghiệm hệ bất phương trình (0; – 3) khơng nghiệm hệ bất phương trình Bài trang 29 SGK Tốn lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  x + 2y  −4 a)   y  x + 5; 4x − 2y   b)  x   y   Lời giải:  x + 2y  −4  x + 2y  −4 a)    y  x + − x + y  + Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng: d1: x + 2y = – đường thẳng qua điểm có tọa độ (0; -2) (-4;0) d2: – x + y = đường thẳng qua điểm có tọa độ (0; 5) (-5; 0) Do tọa độ điểm O(0;0) khơng thỏa mãn bất phương trình hệ nên miền nghiệm bất phương trình hệ nửa mặt phẳng không bị gạch không chứa điểm O(0;0) (không kể đường thẳng d1 kể đường thẳng d2) Miền nghiệm hệ bất phương trình phần mặt phẳng khơng bị gạch sọc kể đường biên d2 không kể đường biên d1 hình  4x − 2y   b)  x   y   + Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng: d1: 4x – 2y = đường thẳng qua điểm có tọa độ (0; -4) (2;0) d2: x = trục tung; d3: y = trục hoành Lấy điểm M có tọa độ (-2;2) ta thấy M(-2;2) khơng thỏa mãn bất phương trình hệ nên miền nghiệm bất phương trình hệ nửa mặt phẳng không bị gạch không chứa điểm M(-2;2) (kể hai trục tọa độ Ox, Oy không kể đường thẳng d1) Miền nghiệm hệ bất phương trình phần khơng gạch sọc hình bao gồm phần trục tung, trục hồnh không bao gồm đường thẳng d1 Bài trang 29 SGK Tốn lớp 10 Tập 1: Miền khơng bị gạch Hình 12a, 12b miền nghiệm hệ bất phương trình cho đây? x + y   a)  x  −3  y  −1;  y  x  b)  x   y  −3;  y  −x +  c)  x   y   Lời giải: * Quan sát Hình 12a, đặt tên đường thẳng hình: + Đường thẳng d1 qua điểm (2; 0) song song với trục tung, phương trình đường thẳng d1: x = + Đường thẳng d2 qua điểm (1; 0) song song với trục hoành, phương trình đường thẳng d2: y = + Giả sử d3: y = ax + b (a ≠ 0) Ta thấy đường thẳng d3 qua điểm (0; 1) (1; 0) Thay tọa độ điểm vào phương trình ta được: b = a + b = Suy a = – (t/m) b = Khi đó, d3: y = – x + Do đó, ta thấy phần khơng gạch sọc hình miền nghiệm hệ c) y  −x +  x   y   * Quan sát Hình 12b, đặt tên đường thẳng hình: + Đường thẳng d4 qua điểm (– 3; 0) song song với trục tung nên d4: x = – + Đường thẳng d5 qua điểm (0; – 1) song song với trục hoành nên d5: y = – + Đường thẳng d6 qua hai điểm (2; 0) (0; 2) Giả sử d6: y = ax + b (a ≠ 0) Thay tọa độ điểm (2; 0) (0; 2) vào phương trình đường thẳng ta tìm a = – (t/m) b = Khi đó, d6: y = – x + ⇔ x + y = Do đó, ta thấy phần khơng gạch sọc hình miền nghiệm hệ a) x + y    x  −3  y  −1  Vậy miền khơng bị gạch Hình 12.a) miền nghiệm hệ bất phương trình c) miền khơng bị gạch Hình 12.) miền nghiệm hệ bất phương trình a) Bài trang 29 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp hai lần thời gian làm mũ kiểu thứ hai Nếu sản xuất tồn kiểu mũ thứ hai phân xưởng làm 60 Phân xưởng làm việc tiếng ngày thị trường tiêu thụ tối đa ngày 200 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 24 nghìn đồng, mũ kiểu thứ hai 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu cao Lời giải: Gọi số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu cao x (chiếc) y (chiếc) (Điều kiện: x ,y ) Trong ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai nên ta có: ≤ x ≤ 200; ≤ y ≤ 240 Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 24 nghìn mũ kiểu thứ hai 15 nghìn nên tổng số tiền lãi bán mũ T = 24x + 15y Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai phân xưởng làm 60 nên thời gian để làm mũ kiểu thứ hai (giờ) 60 Thời gian làm kiểu mũ thứ nhiều gấp hai lần thời gian làm mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm mũ kiểu thứ (giờ) Thời gian để làm x mũ kiểu thứ Thời gian để làm y mũ kiểu thứ hai x (giờ) 30 y (giờ) 60 Tổng thời gian để làm hai loại mũ ngày 1 x + y (giờ) 30 60 1 = 60 30 Vì ngày phân xưởng làm việc tiếng nên 1 x + y   2x + y  480 30 60 Khi tốn cho đưa về: Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình 2x + y  480  0  x  200 ( I ) 0  y  240  cho T = 24x + 15y có giá trị lớn Trước hết, ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (I) Miền nghiệm hệ bất phương trình (I) miền khơng bị gạch chéo tính biến miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0) (hình dưới) (A giao điểm trục tung đường thẳng y = 240; C giao điểm đường thẳng y = 240 2x + y = 480, D giao điểm đường thẳng 2x + y = 480 x = 200, E giao điểm trục hoành đường thẳng x = 200) Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn đỉnh ngũ giác ACDEO Tính giá trị biểu thức T = 24x + 15y cặp số (x; y) tọa độ đỉnh ngũ giác ACDEO: + Tại đỉnh A: T = 24 + 15 240 = 3600 + Tại đỉnh C: T = 24 120 + 15 240 = 6480 + Tại đỉnh D: T = 24 200 + 15 80 = 6000 + Tại đỉnh E: T = 24 200 + 15 = 4800 + Tại đỉnh O: T = So sánh giá trị biểu thức T đỉnh, ta thấy T đạt giá trị lớn 6480 x 120 y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C Vậy để tiền lãi thu cao nhất, ngày xưởng cần sản xuất 120 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai  ... trình b) + Thay x = – 1, y = – vào bất phương trình hệ, ta có: (– 1) + (– 3) ≤ – ⇔ – ≤ – (luôn đúng); (– 3) (– 1) + (– 3) ≥ – 12 ⇔ -12 ≥ – 12 (luôn đúng) Suy (– 1; – 3) nghiệm chung hai bất phương... trình nên (– 1; – 3) nghiệm hệ bất phương trình + Thay x = 0, y = – vào bất phương trình hệ cho ta có: + (– 3) ≤ – ⇔ – ≤ – (luôn đúng); (– 3) + (– 3) ≥ – 12 ⇔ -15 ≥ – 12 (vô lý) Suy (0; – 3) khơng... phương trình x – 3y < ta được: – = – = < mệnh đề nên (2; 0) nghiệm bất phương trình Thay x = y = vào bất phương trình x – y ≥ -4 ta được: – = > – nên (2; 0) nghiệm bất phương trình x – y ≥ Do (2;