Microsoft Word HH9 C1 CD2 T? S? LU?NG GIÁC C?A GÓC NH?N, H? TH?C V? C?NH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, HỆ THỨC VỀ CẠNH[.]
CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Một số tính chất tỉ số lượng giác Cho hai góc , phụ Khi đó: sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan Cho góc nhọn Ta có: sin 1; cos 1; sin cos2 1; tan cot 1; tan sin cos ; cot cos sin B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Dạng 1: Các tốn tính tốn Phương pháp giải Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc ẩn Bước 2: Thơng qua giả thiết hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số Từ tính độ dài đoạn thẳng góc cần tìm Bài tập minh họa A 60; AB 28cm; AC 35cm Tính độ dài BC Câu 1: Tam giác ABC có Lời giải 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Kẻ BH AC ( H AC ) Xét tam giác vng AHB vng H có: AH AB.cos A 28.cos 60 28 14 cm BH AB.sin A 28.sin 60 28 14 cm HC AC AH 35 14 21 cm BC BH HC 588 441 1029 BC 21 Vậy BC 21 cm Chú ý A 60; AB a; AC b BC a b ab ; Bằng cách tính tương tự có: tam giác ABC có S ABC ab 45; PTQ 120; QT 8cm; TR 5cm Câu 2: Cho hình vẽ sau biết QPT a) Tính PT b) Tính diện tích tam giác PQR Lời giải Kẻ QM PR (M thuộc tia đối tia TP) 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com QTM 180 QTM 180 PTQ 180 120 60 Có PTQ 8.sin 60 cm Xét tam giác vng QTM có: QM QT sin QTM 8.cos 60 cm TM QT cos QTM TM TR M nằm T R Xét tam giác vng QPM có: PM PT PM TM PR PT TR QM 4 cm tan QPM tan 45 cm 1 cm 1 S PQR QM PR 4 cm 2 Vậy PR 1 cm ; S PQR cm 60; C 80 Tính số đo góc tạo đường cao AH trung tuyến AM Câu 3: Cho ABC có B Lời giải Gọi góc tạo đường cao AH trung tuyến AM Xét tam giác AMH vuông H có tan MH MH tan AH AH Lại có: BH HC BM MH MC MH MH MH Mà BH CH AH (hệ thức lượng tam giác vuông AHB) tan B AH (hệ thức lượng tam giác vng AHC) tan C 3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com BH HC AH AH tan B tan C tan tan B tan C MH 1120 tan C 2 AH tan B Vậy số đo góc tạo đường cao AH trung tuyến AM xấp xỉ 1120 Câu 4: Tính chu vi diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy AB 12cm, CD 18cm, ADC 75 Lời giải Diện tích hình thang tính cơng thức S h AB CD (Trong h chiều cao hình thang) Đối với tập này, biết độ dài hai cạnh đáy Do vậy, ta cần tìm chiều cao Kẻ AH CD, BK CD Do ABCD hình thang cân nên HK AB 12cm, DH KC Trong tam giác AHD vng H ta có: tan D Từ đó, S ABCD CD AB 3cm AH AH tan 75 AH 11,196cm DH 1 AH AB CD 11,196 12 18 167,94cm 2 Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng ADH ta có: AD AH HD 134,35cm Suy AD 11, 59cm Ngồi ra, ta sử dụng công thức tỉ số lượng giác góc tam giác vng ADH để tính AD Do đó, chu vi hình thang cân ABCD AB BC CD DA 12 11, 59 18 11,59 53,18cm Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, mệnh đề Phương pháp giải Đưa mệnh đề dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng số kiến thức học biến đổi vế biểu thức, từ chứng minh vế 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài tập minh họa Câu 1: Cho ABC có A 60 Kẻ BH AC ; CK AB A a) Chứng minh KH BC.cos b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Lời giải a) Xét AHB AKC vuông H, K có: chung góc BAC Suy AHB ∼ AKC g g AB AH AC AK Xét AHK ABC chung góc BAC AB AH AC AK Suy AHK ∼ ABC HK BC AH KH AB BC AH BC.cos A AB BC BC (1) b) Theo câu a) có HK BC cosBAC 2 Mặt khác xét tam giác HBC vng H có: HM trung tuyến ứng với cạnh huyền BC HM BC (2) Tương tự có KM BC (3) Từ (1), (2) (3) có HM HK KM suy HKM tam giác Câu 2: Cho tam giác ABC vuông B Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH BM , CK BM a) Chứng minh: CK BH tan BAC b) Chứng minh: MC BH tan BAC MA BK Lời giải 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com BCK (cùng phụ với CBH ) a) Xét AHB BKC vng H K có: HBA AHB ∼ BKC g g CK BC BC CK BH BH tan BAC BH AB AB b) Theo câu a) ta có: CK BH tan BAC Mà MC CK MC BH tan BAC (vì CK / / AH ) (1) MA AH MA AH Mặt khác AHB ∼ BKC Từ (1) (2) suy BK BC BC tan BAC (2) AH AB AH AB.BK BK MC BH tan BAC MA BK 120 , tia Ax tạo với tia AB góc BAx 15 , cắt Câu 3: Cho hình thoi ABCD có BAD lượt M, N Chứng minh: BC, CD lần 1 2 AM AN AB Lời giải Từ A dựng đường thẳng vng góc với AN cắt CD P, hạ AH CD H CD BAM MAP PAD 120 15 90 PAD PAD 120 15 90 15 Có BAD Xét ABM ADP có: PAD (theo trên) MAB BA AD (tính chất hình thoi) PDA (tính chất hình thoi) MBA ABM ADP g.c.g AM AP Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NAP vuông A đường cao AH, ta có: 1 1 1 2 2 AP AN AH AM AN AH 3 Mà AH sin ADH AD sin 60 AD AD AB 2 6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Từ (1) (2) ta có: Vậy 1 1 2 2 AB AM AN AM AN AB 1 2 AM AN AB 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C.TRẮC NGHỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu 1: Cho tam giác MNP vng M Khi cos MNP M P N A MN NP B MP NP C MN MP D MP MN D MP MN Câu 2: M P N bằng: Cho tam giác MNP vuông M Khi tan MNP A MN NP B MP NP C MN MP Câu 3: Cho a góc Chọn khẳng định A sin a + cos a = B sin2 a + cos2 a = C sin a + cos3 a = D sin a - cos a = Câu 4: Cho a góc nhọn Chọn khẳng định sai A tan a = sin a cos a B cot a = cos a sin a C tan a cot a = D tan2 a - = cos2 a Câu 5: Cho a b hai góc nhọn thoả mãn a + b = 90 Khẳng định sau đúng? A tan a = sin b B tan a = cot b C tan a = cos b D tan a = tan b Câu 6: Khẳng định sau đúng? Cho hai góc phụ A sin góc cosin góc B sin hai góc C tan góc cotan góc D Cả A, C Câu 7: Cho tam giác ABC vng C có AC = 1cm, BC = 2cm Tính tỉ số lượng giác sin B; cos B A sin B = ; cos B = C sin B = ; cos B = B sin B = 5 ; cos B = 5 D sin B = 5 ; cos B = 5 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Câu 8: Cho tam giác ABC vng C có BC = 1, 2cm, AC = 0, 9cm Tính tỉ số lượng giác sin B; cos B A sin B = 0, 6; cos B = 0, B sin B = 0, 8; cos B = 0, C sin B = 0, 4; cos B = 0, D sin B = 0, 6; cos B = 0, Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A có BC = cm, AC = cm Tính tỉ số lượng giác tanC (làm trịn đến chữ số thập phân thứ 2) A tan C » 0, 87 B tan C » 0, 86 C tan C » 0, 88 D tan C » 0, 89 Câu 10: Cho tam giác ABC vng A có BC = 9cm, AC = 5cm Tính tỉ số lượng giác tanC (làm trịn đến chữ số thập phân thứ 1) A tan C » 0, 67 B tan C » 0, C tan C » 1, D tan C » 1, Câu 11: Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH có AB = 13cm, BH = 0, 5dm Tính tỉ số lượng giác sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A sin C » 0, 35 B sin C » 0, 37 C sin C » 0, 39 D sin C » 0, 38 Câu 12: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH có AC = 15cm,CH = 6cm Tính tỉ số lượng giác cos B A sin C = 21 B sin C = 21 C sin C = D sin C = Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH có CH = 4cm, BH = 3cm Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A cos C » 0, 76 B cos C » 0, 77 C cos C » 0, 75 D cos C » 0, 78 Câu 14: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH có CH = 11cm, BH = 12cm Tính tỉ số lượng giác cosC (làm trịn đến chữ số thập phân thứ 2) A cos C » 0, 79 B cos C » 0, 69 C cos C » 0, 96 D cos C » 0, 66 Câu 15: Cho tam giác ABC vng A Hãy tính tanC biết tan B = A tan C = B tan C = C tan C = D tan C = Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A Hãy tính tanC biết cot B = A tan C = B tan C = C tan C = Câu 17: Cho tam giác ABC vng A có AB = 5cm, cotC = D tan C = Tính độ dài đoạn thẳng AC BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A AC » 4, 39 (cm ); BC » 6, 66(cm ) B AC » 4, 38(cm ); BC » 6, 65(cm ) 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C AC » 4, 38 (cm ); BC » 6, 64 (cm ) D AC » 4, 37 (cm ); BC » 6, 67 (cm ) Câu 18: Cho tam giác ABC vng A có AB = cm, tan C = Tính độ dài đoạn thẳng AC BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A AC = 11, 53; BC = 7, B AC = 7; BC » 11, 53 C AC = 5, 2; BC » 11 D AC = 7, 2; BC » 11, 53 Câu 19: Cho a góc nhọn Tính sin a, cot a biết cos a = A sin a = 21 21 ; cot a = 25 21 B sin a = 21 ; cot a = 21 C sin a = 21 ; cot a = 21 D sin a = 21 ; cot a = 21 B sin a = ; tan a = D sin a = 7 ; tan a = Câu 20: Tính sin a, tan a biết cos a = A sin a = C sin a = 7 ; tan a = ; tan a = Câu 21: Không dùng bảng số máy tính, so sánh cot 50 cot 46 A cot 46 = cot 50 B cot 46 > cot 50 C cot 46 < cot 50 D cot 46 ³ cot 50 Câu 22: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh sin 20 sin 70 A sin 20 < sin 70 B sin 20 > sin 70 C sin 20 = sin 70 D sin 20 ³ sin 70 Câu 23: Sắp xếp tỉ số lượng giác sin 40, cos 67, sin 35, cos 4435¢, sin 2810¢ theo thứ tự tăng dần A cos 67 < sin 35 < sin 2810¢ < sin 40 < cos 4525¢ B cos 67 < cos 4525¢ < sin 40 < sin 2810¢ < sin 35 C cos 67 > sin 2810¢ > sin 35 > sin 40 > cos 4525¢ D cos 67 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < cos 4525¢ Câu 24: Sắp xếp tỉ số lượng giác tan 43, cot 71, tan 38, cot 6915¢, tan 28 theo thứ tự tăng dần A cot 71 < cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 B cot 6015¢ < cot 71 < tan 28 < tan 38 < tan 43 C tan 28 < tan 38 < tan 43 < cot 6015¢ < cot 71 D cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 < cot 71 Câu 25: Tính giá trị biểu thức A = sin2 1 + sin 2 + + sin 88 + sin 89 + sin2 90 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy AC » 4, 38(cm ); BC » 6, 65 (cm ) Đáp án cần chọn B 18 Lời giải: Vì tam giác ABC vng A nên tan C = AB AC = AB : tan C = : = 7, cm AC Theo định lý Pytago ta có BC = AB + AC = 92 + 7, 22 = 132, 84 BC = 41 » 11, 53 Vậy AC = 7, 2; BC » 11, 53 Đáp án cần chọn D 19 Lời giải: Ta có sin2 a + cos2 a = sin2 a = - cos2 a = cos a Lại có cot a = = sin a Vậy sin a = 21 21 sin a = = 25 25 5 = 21 21 21 ; cot a = 21 Đáp án cần chọn D 20 Lời giải: Ta có sin2 a + cos2 a = sin2 a = - cos2 a = sin a = = Lại có tan a = cos a 3 Vậy sin a = 7 ; tan a = Đáp án cần chọn C 21 Lời giải: Vì 46 < 50 cot 46 > cot 50 Đáp án cần chọn B 22 Lời giải: Vì 20 < 70 sin 20 < sin 70 Đáp án cần chọn A 23 Lời giải: 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com sin a = = 16 16 Ta có cos 67 = sin 23 67 + 23 = 90 ; cos 4435 ¢ = sin 4525 ¢ 4435¢ + 4525¢ = 90 Mà 23 < 2810¢ < 35 < 40 < 4525¢ nên sin 23 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < sin 4525¢ cos 67 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < cos 4525¢ Đáp án cần chọn D 24 Lời giải: Ta có cot 71 = tan 19 71 + 19 = 90; cot 6915¢ = tan 2045¢ 6915¢ + 2045¢ = 90 Mà 19 < 2045¢ < 28 < 38 < 43 nên tan 19 < tan 2045¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 cot 71 < cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 Đáp án cần chọn A 25 Lời giải: Ta có sin2 89 = cos2 1; sin2 88 = cos2 2; ; sin2 46 = cos2 44 sin2 a + cos2 a = Nên A = (sin2 1 + sin2 89) + (sin2 2 + sin2 88) + + (sin2 44 + sin2 46) + sin2 45 + sin2 90 = (sin2 1 + cos2 1) + (sin2 2 + cos2 2) + + (sin2 44 + cos2 44) + sin2 45 + sin2 90 = 1 + + + 1 + 44 so Vậy A = 91 + = 44.1 + = 2 91 Đáp án cần chọn C 26 Lời giải: Ta có sin2 80 = cos2 10; sin2 70 = cos2 20; sin2 60 = cos2 30; sin2 50 = cos2 40 sin2 a + cos2 a = Nên sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40 + sin2 50 + sin2 60 + sin2 70 + sin2 80 = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40 + cos2 40 + cos2 30 + cos2 20 + cos2 10 = (sin2 10 + cos2 10) + (sin2 20 + cos2 20) + (sin2 30 + cos2 30) + (sin2 40 + cos2 40) = 1+1+1+1 = Vậy giá trị cần tìm Đáp án cần chọn D 27 Lời giải: Ta có sin6 a + cos6 a + sin2 a cos2 a = sin6 a + cos6 a + sin2 a cos2 a.1 = sin6 a + cos6 a + sin2 a cos2 a.(sin2 a + cos2 a) (vì sin2 a + cos2 a = ) = (sin2 a)3 + 3(sin2 a)2 cos2 a + sin2 a.(cos2 a)2 + (cos2 a)3 = (sin2 a + cos2 a)3 = (vì sin2 a + cos2 a = ) Đáp án cần chọn B 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 28 Lời giải: Ta có C = sin4 a + cos4 a = sin a + cos4 a + sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = (sin2 a + cos2 a)2 - sin2 a cos2 a = - sin2 a cos2 a (vì sin2 a + cos2 a = ) Vậy C = - sin2 a cos2 a Đáp án cần chọn A 29 Lời giải: Với cot a = cos a ; sin2 a + cos2 a = sin a A = (1 - sin2 a) cot2 a + - cot2 a = cot2 a - sin2 a cot2 a + - cot2 a = - sin2 a cos2 a = - cos2 a = sin2 a sin a Vậy P = sin2 a Đáp án cần chọn A 30 Lời giải: Với tan a = sin a cos a ; cot a = ; sin2 a + cos2 a = sin2 a = - cos2 a, cos2 a = - sin2 a cos a sin a P = (1 - sin2 a) tan2 a + (1 - cos2 a) cot2 a = cos2 a sin2 a cos2 a + sin2 a cos2 a sin2 a = sin2 a + cos2 a = Đáp án cần chọn C 31 Lời giải: Với tan a = Q= sin a cos a ta có: ; cot a = cos a sin a cos2 a - sin a cos2 a sin2 a cos a sin a = = = cot a - tan a cos a sin a sin a cos a sin a cos a sin a cos a Vậy Q = cot a - tan a Đáp án cần chọn A 32 Lời giải: Với tan a = sin a ; cos2 a = - sin a cos a ỉ + sin2 a - sin2 a + sin2 a - sin2 a sin2 a ỗỗ sin a ữữ = + tan2 a = = + = + Q= ỗố cos a ứữữ - sin2 a - sin2 a - sin2 a cos2 a Vậy Q = + tan2 a Đáp án cần chọn B 33 Lời giải: Vì tan a = nên cos a ¹ 18. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com sin a cos a + 2 sin a + cos a tan a + = cos a cos a = Ta có G = cos a - sin a cos a sin a - tan a - cos a cos a Thay tan a = ta G = 2.2 + = - = -1 - 3.2 Vậy G = -1 Đáp án cần chọn D 34 Lời giải: A E H B D Xét tam giác vuông ABD ADC , ta có tan B = Suy tan B tan C = C AD AD ; tan C = BD CD AD (1) BD.CD = CAD = ADC = 90 (cùng phụ với ACB ) HDB Lại có HBD Do D BDH D ADC (g.g) suy Từ (1) (2) suy tan B tan C = Theo giả thiết DH BD , BD DC = DH AD (2) = DC AD AD AD (3) = DH AD DH HD HD HD = hay = suy = , suy AD = HD AH + HD + AH AD 5 HD Thay vào (3) ta được: tan B tan C = = DH Đáp án cần chọn D 35 Lời giải: Xét tam giác vuông ABD ADC , ta có tan B = Suy tan B tan C = AD AD ; tan C = BD CD AD (1) BD.CD = CAD = ADC = 90 (cùng phụ với ACB ) HDB Lại có HBD Do D BDH D ADC (g.g) suy DH BD , BD DC = DH AD (2) = DC AD 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Từ (1) (2) suy tan B tan C = AD AD (3) = DH AD DH HD HD HD = hay = suy = , suy AD = 3HD AH + HD + AH AD Theo giả thiết Thay vào (3) ta được: tan B tan C = 3HD = DH Đáp án cần chọn B 36 Lời giải: Ta có sin a = , suy sin2 a = cos2 a = - sin a = - Do tan a = cot a = , mà sin2 a + cos2 a = , đó: 25 16 suy cos a = = 25 25 sin a = : = = cos a 5 4 cos a 4 = : = = sin a 5 3 Vậy cos a = , tan a = , cot a = Đáp án cần chọn B 37 Lời giải: Ta có sin a = 25 25 144 suy sin a = mà sin2 a + cos2 a = cos2 a = - sin2 a = = 13 169 169 169 Suy cos a = 12 13 Do cot a = cos a 12 12 13 12 = : = = sin a 13 13 13 5 Đáp án cần chọn A 38 Lời giải: Ta có tan 80 = cot10; tan 70 = cot 20; tan 50 = cot 40; cot 60 = cot 30 tan a cot a = Nên B = tan 10 tan 20 tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 tan 70 tan 80 = tan 10 tan 20 tan 30 tan 40 cot 40 cot 30 cot 20 cot10 = (tan 10 cot10).(tan 20 cot20).(tan 30 cot 30).(tan 40 cot 40) = 1.1.1.1 = Vậy B = Đáp án cần chọn B 39 Lời giải: Ta có tan 89 = cot1; tan 88 = cot 2; ; tan 46 = cot 44 tan a cot a = 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ... BH HC BM MH MC MH MH MH Mà BH CH AH (hệ thức lượng tam giác vuông AHB) tan B AH (hệ thức lượng tam giác vng AHC) tan C 3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ... Tính tỉ số lượng giác cos B A sin C = 21 B sin C = 21 C sin C = D sin C = Câu 13: Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH có CH = 4cm, BH = 3cm Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số. .. Xét tam giác ABC vuông A , theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB = BH BC BC = sin C = 132 AB = = 33, 8cm BH AB 13 = » 0, 38 BC 33, Đáp án cần chọn D 12 Lời giải: Xét tam giác AHC vuông