Chuyên đề 30: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN I Mục tiêu: 1/Kiến thức bản: Hình thành cơng thức định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn Quan hệ tỉ số hai góc phụ Sử dụng bảng số máy tính bỏ túi để tính tỉ số lượng giác biết góc ngược lại tìm góc biết tỉ số lượng giác Từ định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn, xây dựng hệ thức cạnh góc tam giác vuông Bên cạnh hệ thức này, đầu chương xây dựng hệ thức lượng cạnh đường cao, cạnh hình chiếu cạnh,… tam giác vuông Aùp dụng nội dung để tính chiều cao khoảng cách vật thể thực tế Nắm vững công thức định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn Hiểu nắm vững hệ thức liên hệ cạnh, góc, đường cao, hình chiếu tam giác vng Hiểu cấu trúc bảng lượng giác Nắm vững cách sử dụng bảng lượng giác máy tính bỏ túi để tính “xi” tính “ngược” Hiểu cách giải thích kết hoạt động thực tế Cụ thể : 1/ Định nghĩa TSLG góc nhọn 2/ Hệ thức tỉ số LG hai góc phụ 3/ Chú ý: a/ sin2α + cos2α = b/ tgα = sin c/ cot g cos cos d/ sin tg 2 tg sin e/ cos tg k/ 12 cot g 2 sin f/ tgα cotgα = l/ tg 2 cos , ( C/M hệ thức nầy) 4/ Hệ thức cạnh góc tam giác vuông ( từ định nghĩa suy ra) 5/ Giải tam giác vuông 6/ Ứng dụng thực tế tỉ số LG góc nhọn ( Đo chiều cao, đo khoảng cách, đo diện tích) 7/ Viết tỉ số LG góc đặc biệt ( 0o 30o, 45o, 60o, 90o… ) 8/ Sử dụng thạo máy tính bỏ túi tìm tỉ số LG góc nhọn, tìm góc nhọn biết tỉ số LG nó… 9/ Khái niệm đường trịn lượng giác để liên hệ, nhận biết sâu sắc tỉ số LG góc nhọn ( giới hạn phần tư thứ nhất) 2.Kỹ cần rèn: Biết cách lập tỉ số lượng giác góc nhọn cách thành thạo Sử dụng thành thạo bảng lượng giác máy tính bỏ túi để tính tỉ số lượng giác tính góc Biết vận dụng linh hoạt hệ thức tam giác vng để tính số yếu tố để giải tam giác vuông Dựng góc nhọn - Chứng minh đẳng thức - Rút gọn biểu thức - Tính khoảng cách Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác -Tính độ dài đoạn thẳng … ThuVienDeThi.com II.Các dạng toán nâng cao:(Trắc nghiệm & tự luận) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức: a) (sinx + cosx)2 = + 2sinx.cosx b) (sinx – cosx)2 = – 2sinx.cosx c) sin4x + cos4x = – 2sin2x cos2x d) sinxcosx(1 + tgx)(1 + cotgx) = + 2sinx cosx e) Cho góc nhọn tam giác vuông Chứng minh hệ thức: i) sin2 α = tg 2 ; tg ii) cos2 α = 1 tg 2 Dạng 2: Dựng góc nhọn biết tỉ số LG Dựng góc nhọn α, biết rằng: sinα = ; cosα = 0,8 ; tgα = Dạng 3: Đổi tỉ số LG góc nhọn thành tỉ số LG góc nhỏ 45o Đổi tỉ số lượng giác góc nhọn sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ o 45 sin82o; cos47o; sin48o; cos55o Dạng 4: Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ số LG cho a) Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Hãy tính tỉ số lượng giác góc B, C b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ số lượng giác sau: sin78o; cos14o; sin47o; cos87o Dạng 5: Biết sinα Tính cosα 1) Biết sinα = 0,6 Tính cosα tgα 2) Biết cosα = 0,7 Tính sinα tgα 3) Biết tgα = 0,8 Tính sinα cosα , tính P = 3sin2x + 4cos2x 5) a) Cho góc nhọn mà sin = Tính cos tg b) Cho góc α mà cosα = - Tính sinα, tgα cotgα c) Cho tgx = 2 Tính sinx cosx 4) Biết cosx = 6) Hãy tính sinα, tgα nếu: a) cos 7) hệ 12 13 Biết sin 15o = b) cos 6 Tính tỉ số lượng giác góc 15o Dạng 6: Các biểu thức dạng chứng minh biết số điều kiện toán ( áp dụng thức đểõ chứng minh đẳng thức khác) Ví dụ: 1/ Cho góc α, nhọn, α < Chứng minh rằng: a) cos( -α) = coscosα + sinsinα b) sin( - α) = sincosα - sinsinα ThuVienDeThi.com 2) Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: a) sin A B C sin sin 2 b) cos A cos B cos C 3) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh a, b, c Chứng minh rằng: = a2 + b2 – 2ab.cosC (AB = c, BC = a, CA = b) Gợi ý: c2 Ta có: AHC có H = 90o x2 + h2 = b2 ( định lý Pytago) Mặt khác: BH2 = AB2 – AH2 Hay (a – x)2 = c2 – h2 a2 + x2 -2ax = c2 – (b2 – x2) Hay a2 – 2ax = c2 – b2 c2 = a2 + b2 – 2ax Vậy c2 = a2 + b2 – 2abcosC 4) a/ Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 10cm, AC = 8cm Tính sinB, cosB, tgB b/ Cho tam giác ABC có AD, BE, CF đường cao Chứng minh rằng: AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC Dạng 7: Chứng minh đẳng thức sau: a) Chứng minh sin2α + cos2α = 1, tgα = b) sin cos 1 1 tg cot g c) sin4x – cos4x = 2sin2x – 1 tg2x + cotg2x + 2 sin x cos x sin e) 2tg 2 , sin d) f) Cho α, hai góc nhọn Chứng minh rằng: cos2α – cos2 = sin2 - sin2α = 1 tg tg Gợi ý: cos2α + sin2α = cos2 + sin2 = 1 tg 2 1 cos cos sin sin 1 cos cos sin cos a) tgα = , cotgα = cos sin b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) c) Chứng minh rằng: sin2x + cos2x = 1 cot g 2 sin tg 2 cos Dạng 8: Rút gọn biểu thức: ThuVienDeThi.com 1) sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o Gợi ý : b) sin80o = cos10o; sin70o = cos20o; sin60o = cos30o Mà sin2α + cos2α = Do đó: sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o = … = 2) sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x 3) (1 + cosα)(1 – cosα) – sin2α 4) Đơn giản biểu thức: A = cosy + siny tgy B = cos b cos b C = sin a tg a 5) Tính: a) cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89o b) sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87o 6) Đơn giản biểu thức: A = sin(90o – x)sin(180o – x) B = cos(90o – x)cos(180o – x) Dạng 9: Bài tốn cực trị Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc Tìm giá trị nhỏ tổng 1 tgB tgC Dạng 10: Giải tam giác vuông C, biết rằng: a) b = 10cm, A = 30o ; b) c = 20cm, B = 35o ; c) a = 21cm, b = 18cm; d) a = 82cm, A = 42o Dạng 11: Tính khoảng cách - Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác - Tính độ dài đoạn thẳng - C /m hệ thức tam giác… :Bằng cách áp dụng tỉ số LG góc nhọn BT 1: Cho tam giác ABC có AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm Tính cạnh BC BT 2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB AC B C Từ điểm M cung nhỏ BC (M khác B C) kẻ MD, ME, MF vng góc với đường thẳng BC, CA, AB 1/ Chứng minh tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp 2/ Chứng minh tam giác DBM ECM đồng dạng 3/ Cho góc BAC = 60o AB = 2, tính bán kính đường trịn tâm O BT 3: Một sơng rộng 250m Một đị chèo vng góc với dịng nước, nước chảy nên bơi 320m sang tới bờ bên Hỏi dòng nước giạt đị lệch góc BT 4: a) Cho tam giác ABC có A nhọn Chứng minh rằng: b) SABC = AB AC sin A Gợi ý : Vẽ BH đường cao tam giác ABC BH = ABsinBAH; SABC = BH.AC c) Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD O AOB nhọn ThuVienDeThi.com Chứng minh rằng: SABCD = AC.BD.sin AOB BT 5: Cho điểm A nằm bên dãy tạo hai đường thẳng song song d m B C Xác định vị trí B C Xác định vị trí B C để diện tích tam giác ABC nhỏ BT 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Chứng minh rằng: a) 1 AB AC AD b) 1 2 AB AC AD BT 7: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a a) Tính sin B cos B sin B cos B b) Tính chiều cao hình thang ABCD BT 8: Cho tam giác ABC Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm a) Chứng minh tam giác ABC vuông; b) Tính sinB, sinC BT 9: Cho hình thang ABCD Biết đáy AB = a CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o a) Chứng minh tgC = ; b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC diện tích hình thang ABCD ; c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC diện tích tam giác DBC BT 10: Gọi AM, BN, CL ba đường cao tam giác ABC a) Chứng minh: ANL ~ ABC ; b) Chứng minh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC III.Tài liệu tham khảo: 1/ Giúp em giỏi Hình học lớp Nguyễn Đức Tấn – Võ Tất Lộc 2/ Sách giáo khoa Hình học Lớp 10 – Xuất năm 2000 3/ Hình học lớp nâng cao Vũ Hữu Bình ThuVienDeThi.com ... Đổi tỉ số LG góc nhọn thành tỉ số LG góc nhỏ 45o Đổi tỉ số lượng giác góc nhọn sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ o 45 sin82o; cos47o; sin48o; cos55o Dạng 4: Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ số. .. nhỏ đến lớn tỉ số LG cho a) Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Hãy tính tỉ số lượng giác góc B, C b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ số lượng giác sau: sin78o; cos14o; sin47o; cos87o... cotgx) = + 2sinx cosx e) Cho góc nhọn tam giác vng Chứng minh hệ thức: i) sin2 α = tg 2 ; tg ii) cos2 α = 1 tg 2 Dạng 2: Dựng góc nhọn biết tỉ số LG Dựng góc nhọn α, biết rằng: sinα = ;