Đang tải... (xem toàn văn)
A PhÇn më ®Çu UBND quËn ®èng ®a Trêng THCS Th¸i thÞnh ********* S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn M«n To¸n T¸c gi¶ NguyÔn §øc Minh Gi¸o viªn m«n To¸n Hµ Néi, 20[.]
UBND quận đống đa Tr-ờng THCS Thái thịnh -********* - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Mét số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Môn Toán Tác giả: Nguyễn Đức Minh Giáo viên môn Toán Hà Nội, 2012 skkn Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên A - Phần mở đầu I- Đặt vấn đề Trong trình học toán tr-ờng THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc cách sáng tạo Ng-ời thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì đòi hỏi ng-ời thầy lao động sáng tạo biết tìm tòi ph-ơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi tduy logic giải toán Là giáo viên dạy toán tr-ờng THCS trực tiếp bồi d-ỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm nhận thấy việc giải toán ch-ơng trình THCS không đơn giản đảm bảo kiến thức SGK, điều kiện cần nh-ng ch-a đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm đáp số chúng Muốn ng-ời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh Một toán có nhiều cách giải, toán th-ờng nằm dạng toán khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực nhiều mặt cách sáng tạo học sinh phải biết sử dụng ph-ơng pháp cho phù hợp Các dạng toán số học ch-ơng trình THCS thật đa dạng phong phú nh-: Toán chia hết, phép chia có d-, số nguyên tố, số ph-ơng, ph-ơng trình nghiệm nguyên Đây dạng toán có SGK lớp nh-ng ch-a đ-a ph-ơng pháp giải chung Hơn ph-ơng trình nghiệm nguyên có nhiều đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh Song giải toán không khó khăn phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng cách xác định dạng toán ch-a có nhiều ph-ơng pháp giải hay Từ thuận lợi, khó khăn yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: Rèn luyện t- sáng tạo qua số dạng toán ph-ơng trình nghiệm nguyên Trong trình viết đề tài điều kiện kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đ-ợc đóng góp, đạo thầy cô giáo bạn đồng nghiệp - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- skkn Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên II Điều tra thực trạng tr-ớc nghiên cứu Để đánh giá đ-ợc khả em dạng toán có ph-ơng án tối -u truyền đạt tới học sinh, ®· mét ®Ị to¸n cho 10 em häc sinh đội tuyển tr-ờng nh- sau: Bài 1: ( đ ) a)Tìm x, y Z biết x y + 2xy = b) Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: 5x 7y = Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình : + x + x2 + x3 = 2y KÕt qu¶ thu đ-ợc nh- sau: D-ới điểm Điểm - SL % SL % 60 40 §iĨm - 10 SL % 0 §iĨm - 10 SL % 40 Qua việc kiểm tra đánh giá thấy học sinh biện pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên đạt hiệu Lời giải th-ờng dài dòng, không xác, ngộ nhận Cũng với toán học sinh đ-ợc trang bị phương pháp Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên chắn có hiệu cao III-Mục đích - Đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh t- sáng tạo học giải toán - Biết cách định h-ớng giải tập ngắn gọn - Phát huy trí lực học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển toán - Giúp học sinh tự tin giải toán thi cử IV-Phạm vi áp dụng: - áp dụng vào việc giảng dạy chuyên đề tr-ờng học bồi d-ỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp chän, líp chuyªn PTTH - Thêi gian nghiªn cøu cã hạn đ-ợc góp ý chân thành nhiều giáo viên có chuyên môn cao, song nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác sâu hết dạng toán - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- skkn Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên B- Nội dung Ph-ơng trình nghiệm nguyên đa dạng phong phú ph-ơng trình ẩn, nhiều ẩn Nó ph-ơng trình bậc bậc cao Không có cách giải chung cho ph-ơng trình, để giải ph-ơng trình th-ờng dựa vào cách giải số ph-ơng trình số ph-ơng pháp giải nh- sau: Ch-ơng I - Các dạng ph-ơng trình I-Ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c Z 1.Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ph-ơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) -ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên ph-ơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) đ-ợc cho công thức: b x = x + t d y = y − a t d Víi t Z, d = (a,b) 2.Cách giải: a.Tiến hành qua b-ớc sau: (cách giải chung) B-ớc 1: Tìm d = (a,b) Khi ®ã ax + by = c a1x + b1y = c1 Víi a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = B-ớc 2: Viết thuật toán Ơclit cho số a1 b1 Giả sử : a1 > b1 Ta có a1 = b1 q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 ……………… rn-2 = rn-1 + rn Víi rn = - Ngun §øc Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- skkn Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên B-íc 3: TÝnh a0 + a1 + = a2 + m n + ak B-íc 4: Lấy nghiệm riêng (x0; y0) phương trình a1x + b1y = cho : x0’ =m x0 =n y =m y0 =n Xác định dấu cách thử trực tiếp đ-ợc (x0, y0) B-ớc 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ lµ nghiƯm riêng phương trình a1x + b1y = c1 nghiệm tổng quát ph-ơng trình là: x = x0 + b1 t y = y0 –a1t (víi t є Z ) Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 5x – 7y = H-íng dÉn: Ta nhËn thÊy (5, 7) = (7, 3) = VËy ph-¬ng trình có nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành b-ớc: - Viết thuật toán Ơclit cho số vµ 7 = 5.1 + m =1+ = n 2 = 2.2 + - Tìm nghiệm riêng ph-ơng trình 5x 7y = (x0’, y0’) = (3, 2) - T×m nghiệm riêng ph-ơng trình 5x 7y = (x0, y0) = (9, 6) nghiệm tổng quát ph-ơng trình là: x = 7t hay x = 7t + - Ngun §øc Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- skkn Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên y = – 5t y = 5t + (t Z ) Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình nghiƯm nguyªn 6x –14 y = 12 H-íng dÉn: Ta nhËn thÊy (6 ,14) = (6 ,12) = pt có nghiệm ta tiến hành giải nh- sau: B-ớc 1: 6x –14 y = 12 3x – 7y = B-ớc 2: Viết thuật toán Ơclit cho vµ 7 = 3.2 + B-íc 3: TÝnh m = q0 = = n B-íc 4: Tìm nghiệm riêng ph-ơng trình 3x 7y = lµ (x0’, y0’) = (-2; -1) B-íc 5: Xác định nghiệm riêng pt 3x 7y = lµ (x0; y0) = (-12; -6) NghiƯm tỉng quát ph-ơng trình 6x 14 y = 12 x = -12 – 7t hay x = 7t + y = -6 – 3t y = 3t (t Z ) * Nhận xét: Trên ph-ơng pháp chung để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c Tuy nhiên vào to¸n thĨ b»ng c¸c kiÕn thøc vỊ chia hÕt biết khéo léo sử dụng cho lời giải ngắn gọn b.Cách giải thông th-ờng khác (3 b-ớc) B-ớc 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) B-ớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y B-ớc 3: Thay y vào x tìm đ-ợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 H-íng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7 x = − y x = – 2y + 1− y - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- skkn Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Do x, y nguyên y nguyên Đặt y =t với (t є Z ) y = – 2t x = – 2(1- 2t) + t = 5t + Vậy nghiệm tổng quát ph-ơng trình là: x = 5t + (t є Z ) y = -2t +1 Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyªn 6x – 15 y = 25 H-íng dÉn: Ta thấy( 6,15 ) = mà 3/25 Vậy không tồn x,y nguyên cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình 5x + 7y = 112 H-íng dÉn: Ta cã 5x + 7y = 112 x = 112 − y = 22 - y + − y 5 Do x, y nguyªn − 2y nguyªn hay (2 – 2y) 2(1-y) 5; (2 , 5) = (1-y) hay (y-1) Đặt y-1 = 5t (t є Z ) y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 7t lại cã x > 0; y > t > -1 5t + > 21 – 7t > t y – m – – 22m – + 2m = mµ 22m – 1vµ 2m số chẵn nên: y m – lỴ y – m – = y – m – = y = m + m - 22m – = m = 22m – m = 2m – m = y=2;x=1 VËy (x, y) = (0; 0); (1; 2) - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - §èng §a - Hµ Néi- skkn 10 ... y = (v« nghiệm) y2 ph-ơng trình nghiệm số tự nhiên Ch-ơng II: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Không có ph-ơng pháp chung để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên nh-ng để giải ng-ời... giải chung cho ph-ơng trình, để giải ph-ơng trình th-ờng dựa vào cách giải số ph-ơng trình số ph-ơng pháp giải nh- sau: Ch-ơng I - Các dạng ph-ơng trình I-Ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by... để ph-ơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) -ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên ph-ơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y)