Trung học phổ thông Triệu Sơn III, đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 thầy giáo Vũ Đoàn Kết
Sở gd & ĐT thanh hoá Trờng thpt triệu sơn 3 ***************** Kì thi học sinh giỏ lớp 12 Môn Toán-Bảng A (Thời gian 180 phút,không kể giao đề ) Ngời ra đề: Vũ Đoàn Kết Bài 1 . Cho hàm số : f(x) = x(x-1)(x-2)(x-2006). Tính f ' (0). Bài 2. Tính I = + 1 0 4 2 1 )1( x dxx Bài 3 . Tìm m để phơng trình : 032.4 2 =+ mm xx có nghiệm duy nhất. Bài 4. Giải phơng trình : 1221 3 =+ xx . Bài 5. Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] của phơng trình: x x xx 2 3 22 sin 1sin cotcos2 + =+ g Bài 6. Cho ABC, Chứng minh rằng (p-a)(p-b)(p-c) 8 abc với 2 cba p ++ = . Bài 7. Tính L= n lim [(1+x)(1+x 2 )(1+x 4 )(1+x 2 n )], với x <1. Bài 8. Giải bất phơng trình: 0 12 122 1 + x x x Bài 9. Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10. Tìm quỹ tích điểm M sao cho AM=3BM. Bài10. Chứng minh rằng: Nếu n,k N thì: n kn c + 2 . n kn c 2 ( n n c 2 ) 2 . hết Nguồn t liệu: Bài 1,bài 9: Sáng tác Bài2,bài 8 : Bộ đề thi đại học(BGD-1996) Bài 3,bài 6:Các bài giảng luyện thi môn toán(Đào Tam chủ biên) Bài 4,bài 7: Phơng pháp mới giải đề thi đại học(Trần Phơng) Sở gd & ĐT thanh hoá Trờng thpt triệu sơn 3 ***************** đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán-Bảng A Ngời làm đáp án: Vũ Đoàn Kết Đáp án thang điểm này gồm có : 4 trang. Bài Nội dung điểm Bài 1 2.0 Cho x 0 =0 một số gia x=x-x 0 =x. Ta có y=f(x 0 + x)-f(x 0 ) = f( x)-f(0)= )2006) (2)(1( xxxx 0.5 Suy ra )2006) (2)(1( = xxx x y f )0( ' = x y x 0 lim = 0 lim x )2006) (2)(1( xxx =(-1)(-2)(-2006)=2006 ! 1.0 vậy f )0( ' =2006! 0.5 Bài 2 2.0 Phân tích x 4 +1 =(x 2 + 2 x+1)( x 2 - 2 x+1) 0.5 Phân tích 1212 1 1 22 4 2 + + + ++ + = + xx DCx xx BAx x x Đồng nhất hai vế ta đợc = = = = 2 1 2 1 2 1 2 1 D C B A 1.0 Vậy I= ++ + = + 1 0 1 0 2 4 12 )22( 22 1 1 xx dxx x dx + + 1 0 2 12 )22( 22 1 xx dxx = 0 1 )12ln( 22 1 0 1 )12ln( 22 1 22 ++++ xxxx = ) 22 22 ln( 22 1 + 0.5 Bài 3 2.0 Giả sử x 0 là nghiệm của phơng trình thì -x 0 cũng là nghiệm . Do tính duy nhất nghiệm nên x 0 =-x 0 x 0 =0 0.5 Thay x 0 =0 vào phơng trình ta đợc m= -1, m=2 0.5 Với m=-1, ta có pt: 10120)22)(12(0224 ===+=+ x xxxxx 0.5 Với m=2, ta có pt: 10120)12(012.24 2 ====+ x xxxx Vậy m=-1,m=2 là giá trị cần tìm. 0.5 Bài 4 2.0 Đặt t= 1212 3 3 = xtx 0.5 Pt = =+ =+++ =+ = =+ tx tx txtx tx xttx tx 21 0]2 4 3 ) 2 1 )[(( 21 )(2 21 3 22 3 33 3 1.0 x 3 -2x+1=0 x=1, x= 2 51+ , x= 2 51 . Vậy phơng trình có 3 nghiệm là: x=1, x= 2 51+ , x= 2 51 . 0.5 Bài 5 2.0 ĐK:sinx 0,PT 2cos 2 x+cotg 2 x=sin x +1+ cotg 2 x 2sin 2 x+sinx-1=0 += += + = = = kx kx k x x x 2 6 5 2 6 2 43 2 1 sin 1sin 3 2 1 0.5 a.Cho 2 5,4,3,2,1,040 2 43 = + k k Vậy tổng các nghiệm của họ x 1 là : 39)34( 2 5 0 =+ = k k 0.5 b.Tơng tự tổng các nghiệm của họ x 2 là : 43)2 6 ( 6 1 =+ = k k 0.5 c.tổng các nghiệm của họ x 3 là : 35)2 6 5 ( 5 0 =+ = k k Vậy tổng các nghiệm là 39 +43 +35 =117 0.5 Bài 6 2.0 Theo BĐT CôSi ta có: (p-a)(p-b) 44 )2( 22 cbap = 0.5 Tơng tự: (p-b)(p-c) 44 )2( 22 acbp = (p-a)(p-c) 44 )2( 22 bcap = Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta đợc : [(p-a)(p-b)(p-c)] 2 4 1 .) 4 ( 2 abc 1.0 8 ))()(( abc cpbpap (Đpcm) 0.5 Bài 7 2.0 Nhân và chia biểu thức lấy giới hạn với (1-x) ta đợc : 0.5 L= )1( 1 )].1) (1)(1)(1)(1[(lim 242 x xxxxx n n ++++ = )1( 1 )].1) (1)(1)(1[(lim 2422 x xxxx n n +++ == = x x n n 1 ])(1[ lim 22 1.0 Vì 1<x nên 22 )(lim n x n =0. Vậy L= x 1 1 0.5 Bài 8 2.0 Vì f(x)=2 1-x -2x+1=-2x+1+ x 2 2 là hàm nghịch biến và f(1)=0 nên f(x)>f(1)=0 x<1 1-x>0. Vậy f(x) cùng dấu với (1-x). 1.0 Vì g(x)=2 x -1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0 x>0. Vậy g(x) cùng dấu với x. 0.5 Suy ra BPT 100 1 0 )( )( < x x x xg xf . Vậy tập nghiệm của BPT là: (0;1] 0.5 Bài 9 2.0 Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0). 0.5 Gọi M(x;y;z) là điểm thoã mãn AM=3BM AM 2 =9BM 2 (x+5) 2 +y 2 +z 2 =9(x-5) 2 +9 y 2 +9z 2 x 2 +y 2 +z 2 - 2 25 x +25 =0 (*) Đây là phơng trình mặt cầu. 1.0 Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phơng trình (*). 0.5 Bài 10 2.0 Cố định n, với 0 nk , xét dãy số {u k } Ta có )!(! )!2( . )!(! )!2( . 22 knn kn knn kn u cc n kn n n k + + == )!1(! )!12( . )!1(! )!12( . 1212 1 ++ ++ = ++ + knn kn knn kn u cc n kn n kn k 0.5 1 )2)(1( ))(12( 1 ++ ++ = + knkn knkn u u k k (2n+k+1)(n-k) (n+k+1)(2n-k) 2nk+n 0 đúng vì 0 nk . Vậy {u k } là dãy số giảm. 1.0 Suy ra với k 0 ta có u k = n kn n kn cc + 22 . 2 2 )( n n c =u 0 (đpcm) 0.5 Hết . 0.5 Với m=-1, ta có pt: 1 0120 )22) (12( 0224 ===+=+ x xxxxx 0.5 Với m=2, ta có pt: 1 0120 )12( 012. 24 2 ====+ x xxxx Vậy m=-1,m=2 là giá trị cần tìm. 0.5 Bài 4 2.0 Đặt t= 121 2 3 3 = xtx 0.5 Pt = =+ =+++ =+ = =+ tx tx txtx tx xttx tx. triệu sơn 3 ***************** đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán-Bảng A Ngời làm đáp án: Vũ Đoàn Kết Đáp án thang điểm này gồm có : 4 trang. Bài Nội dung điểm Bài 1 2.0 Cho. Sở gd & ĐT thanh hoá Trờng thpt triệu sơn 3 ***************** Kì thi học sinh giỏ lớp 12 Môn Toán-Bảng A (Thời gian 180 phút,không kể giao đề ) Ngời ra đề: Vũ