tổng hợp đề luyện thi học sinh giỏi toán lớp 12 chọn lọc

Hoàng hà linh ĐỀ 2 (Học sinh giỏi Toán 12) 1, Cho hàm số: mxxy ++= 2cos2sin a. Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số khi m =1 b. Tìm m để hàm số có cực đại trên       2 ;0 π 2, Tìm trên Oy các điểm kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số: 124 2 +++= xxxy 3,       −∈∀ 1 2 ;0: π xCMR thì 333 cos)1cos(cos)1sin(sin)1cos( xxxxxx +>+−+ 4, Cho hệ phương trình:      =+−−+− ++=++ 0742 11 232 3 33 3 33 mxxxyy yyxx a. Giải hệ với m = 0 b. Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt. Hoàng Hà linh Hoàng hà linh ĐỀ 3 (Học sinh giỏi Toán 12) 1, Cho hàm số: 4 3 ( ) 4 3 C y x x= − + c. Tính diện tích tam giác có các cạnh là các tiếp tuyến tại cực trị và điểm uốn d. Tìm tiếp tuyến tiếp xuúc với (C) tại hai điểm. Tìm tiếp điểm. 2, Cho: 2 2 2 2 16, 25, 20x y u v xu yv+ = + = + ≥ . Tìm Max, Min P = x + v 3, Cho (C ): 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + + = và hai đường thẳng (C’): 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − = Tìm điểm trên (d): 2x + y + 1 = 0 kẻ được tiếp tuyến T 1 tới (C), kẻ được tiếp tuyến T 2 tới (C’) sao cho 1 2 T T⊥ 4, Giải pt: 3 2 3 3 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − = 5, Cho hệ: 2 2 2 2 40 8 10 12 4 6 3 2 13 a b a b c d c d x y  + + = +  + + = +   = +  Tìm min 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )P x a y b x c y d= − + − + − + − Hoàng Hà linh Hoàng hà linh ĐỀ 4 (Học sinh giỏi Toán 12) C âu I: Cho hàm số 2x2xmx2y 2 +−+−= 1,/ Với m = 3 hãy xác định các tiệm cận về bên phải và về bên trái của đồ thị 2,/ Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x o < -2 Câu II: 1./ Giải phương trình : 22)xsin3(log x 3 1 −=+ 2,/ Tính ∫ π π − + = 2 2 dx 21 xcosx I x 2 Câu III: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường cao SO = h. 1,/ Tính theo a, h bán kính R của nặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2,/ Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD; từ đó tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp ( theo a và h ) Câu IV: Cho (H): 1 94 22 =− yx , gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua O và vuông góc với (d). 1) Tìm k để (d) và (d') cắt (H) tại 4 điểm A,B,C,D 2) Khi đó tính diện tích tứ giác ABCD, Tìm k để diện tích đó nhỏ nhât. Câu V: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 1 c 1 b 1 a 1 =++ . Chứng minh rằng: cbaabcabccabbca +++≥+++++ ĐỀ 4 (Học sinh giỏi Toán 12) C âu I: Cho hàm số 2x2xmx2y 2 +−+−= 1,/ Với m = 3 hãy xác định các tiệm cận về bên phải và về bên trái của đồ thị 2,/ Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x o < -2 Câu II: 1./ Giải phương trình : 22)xsin3(log x 3 1 −=+ 2,/ Tính ∫ π π − + = 2 2 dx 21 xcosx I x 2 Câu III: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đường cao SO = h. 1,/ Tính theo a, h bán kính R của nặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2,/ Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD; từ đó tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp ( theo a và h ) Câu IV: Cho (H): 1 94 22 =− yx , gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua O và vuông góc với (d). 1) Tìm k để (d) và (d') cắt (H) tại 4 điểm A,B,C,D 2) Khi đó tính diện tích tứ giác ABCD, Tìm k để diện tích đó nhỏ nhât. Câu V: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 1 c 1 b 1 a 1 =++ . Chứng minh rằng: cbaabcabccabbca +++≥+++++ Hoàng Hà linh Hoàng hà linh ĐỀ 6 (Học sinh giỏi Toán 12) 1. Cho Hàm số: 3 2 3 1 ( )y x x mx Cm= + + − a. Chứng minh (Cm ) cắt 3 2 2 7y x x= + + tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm AB b. Xác định m để (Cm) cắt y =1 tại C(0;1) và D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau 2. Tìm m để miny= {x 2 - 5x + 4} + mx lớn hơn 1 3 . Cho pt: 2 2 3 3tan (t cot ) 1 0 sin x m gx gx x + + + − = . Tìm m để pt có nghiệm 4. Tìm min sin cosy a x a x= + + + , a 1≥ 5. Tìm m để 1 2 0 2 5x x mdx− + = ∫ 6. Tìm m để hệ có nghiệm 2 2 2 4 2 2 4 5 ( 2) 8 16 16 32 16 0 x x x x x mx m m  + ≥  +   + + + + + =  7. Tìm Max, Min 2 2 1 1 , 1y x y y x x y= + + + + = 8. Cho hs: 3 2 2 3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − + a. Tìm điểm cố định của hàm số. b. Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của Ox 9. Tìm Max, min của: 2 2 2 4 1 1 1 x x y cos cos x x = + + + + Tìm m để pt có nghiệm: 2 2 2 4 1 0 1 1 x x mcos cos x x + + = + + 10. Cho hs: 2 2 3 ( 1) 4mx m x m m y x m + + + + = + a. Với m= -1 tìm trên hai nhánh của đồ thị hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất b. Tìm m để hàm số có hai cực trị nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư 11. Cho pt: 2 2 1 1x x x x m+ + − − + = a. GiảI pt với m=-1/2 Tìm m pt có nghiệm? 12. Tìm a, b, c để pt: [ ] 3 2 4 1, 1;1x ax bx c x+ + + ≤ ∀ ∈ − 13. Cho hàm số: 2 2 2 ( 1) 1x m m x m y x m + − − + = − a. Chứng minh với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu b. Tìm điểm mà tại đó có duy nhất 1 giá trị của m để nó là cực đại và có duy nhất giá trị của m để nó là cực tiểu 14. Cho (E) 2 2 2 2 1 x y a b + = . Tìm hình chữ nhật ngoại tiếp (E) có diện tích lớn nhất, Nhỏ nhất, Chu vi lớn nhất, Nhỏ nhất Hoàng Hà linh Hoàng hà linh 15. Tìm cực trị theo m của hàm số: 2 1 x m y x + = + Biện luận theo m số nghiệm của pt: 2 1x m m x+ = + 16. Cho PT: 3 3 2 2x m x m+ = − a. GiảI pt với m= 1 b. Tìm m để pt có nghiệm Hoàng Hà linh Hong h linh THI CHN HOC SINH GII TNH 12 (Thời gian làm bài 180 phút) Bi 1: Cho h phng trỡnh: =+ =++ 83 22 axyyx axyyx Vi iu kin no ca a thỡ h cú nghim. Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Chng minh: ( ) ( ) +++++ tanCtanBAtan 3 1 sinsinsin 3 2 CBA Bi 3: Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim: ( ) mxx =+ 4 4 cos1cos Bi 4: Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú cnh ỏy bng a, ng cao bng h. (P) l mt phng i qua A vuụng gúc vi SC, (P) ct SB,SC,SD ln lt ,,, ,, DCB . 1. h phải thỏa mãn điều kiện gì để , C thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiết diện. 2. Tính thể tích hình chóp ,,, DCSAB . Bài 5: a, b, c là ba số thực 0 chứng minh rằng : a c c b b a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12 Năm học 2008-2009 Đáp án Bài 1 (4 điểm) Hong H linh Hong h linh =+ =++ 83 22 axyyx axyyx ( ) =+ =++ 83ayxxy axyyx Đặt = =+ pxy syx điều kiện PS 4 2 * = =+ 83aps asp đa về phơng trình 083 2 =+ aatt điều kiện để phơng trình có nghiệm 0 ( ) 84032120834 22 + aaaaaa (1) S 1 = 2 ; 2 2 = + a s a 1/ a 8 s,p 0 S= 4 2 ;4 2 = + a p a thỏa mãn 2/a< 0 3 8 sp khi đó S= 0 2 ;0 2 = + a p a thỏa mãn 3/ 0;4 3 8 psa khi đó S= 2 ; 2 = + a p a thế vào ps 4* 2 ( 2 +a ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 081348244 2 4 2 22 + aaaaaa a 8 3313 3 8 + a Vậy với những giá trị: 8 3313 3 8 + a hoặc a 8 Bài2 (4 điểm) : ( ) ( ) +++++ tanCtanBAtan 3 1 sinsinsin 3 2 CBA AAA + tan 3 1 sin 3 2 + 0tansin 3 2 tan 3 1 3 2 +++ CCCBBSinB Vai trò nh nhau Đăt f(x) = xxx + tan 3 1 sin 3 2 x 2 ,0 ( ) 1 cos3 1 cos 3 2 2 , += x xxf = 1 cos 1 cos2 3 1 2 + x x áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+ 3 cos 1 2 x ( ) 0 ' xf f(x) hàm đồng biến x 2 ,0 f(x) f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ đợc chứng minh Bài 3 (4 điểm ) Hong H linh Hong h linh ( ) mxx =+ 4 4 cos1cos Đặt t = cosx điều kiện 1t Xét hàm số f(x)= t 4 +(1-t) 4 Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên 1t f(x)=4t 3 - 4(1-t) 3 f(x)=0 khi t= 2 1 f(1) =1; f(-1) = 17 ; f( 2 1 ) = 8 1 vậy phơng trình có nghiệm 17 8 1 m Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo đờng cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C năm trên SC thi góc SAC nhọn suy ra HSC <45 0 . Vậy ta có SH>HC 2 2 ah 2 gọi k là giao điểm của đờng cao SH của hình chóp với ACta có: ( ) ( ) P SCBD SCP //BDVậy (P) cắt (SBD) theo BD đi qua K và //BD .Nên (P) cát hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác ABCD có 2 đờng chéo vuông góc là AC và BD (Do BD vuông góc (SAC vì BD//BD) Vậy diện tích thiết diện ABCD là S = 2 1 AC BD mà AC.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra AC = 2 2 2 2 a h ha + = 22 2 2 ha ah + Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC HK = h ah SK h a 2 2 2 222 = theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD ( ) 2 2222 2 22 '' 2 2'' h aha DB h ah SB SK BD DB = == Vậy S = ( ) ( ) 22 222 22 2 ahh aha + 2/ Hình chóp SAB CD có chiều cao là SC với SC.SC = SH.SK( vì tứ giác HCCK nội tiếp đợc) nên: SC = )2(2 2 22 22 ah ah + Vầy thể tích hình chóp SABCD Hong H linh S B H K C D A C Bài 4 (5 điểm) Hong h linh 2V = 3 1 SC.dt(ABCD) = 3 1 )2(2 2 22 22 ah ah + ( ) ( ) 22 222 22 2 ahh aha + = ( ) ( ) 22 2 222 26 2 ahh aha + (ĐVTT) Bài 5( 3 Điểm) a c c b b a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 + +++++ ++ ++ + a c c b b a a c c b b a a a a c c c c b b b b a (1) + 22 2 b b b a b a a b b a 2.2 = + 2 2 2 2 c c c b c b c c c b 2.2 = + 2 2 2 2 a a a c a c a a b c 2.2 = ++++ ++ ++ + a c c b b a a c c b b a a a a c c c c b b b b a 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 (*) Mặt khác ++ 2 2 2 2 2 2 a c c b b a 3 3. 2 2 2 2 3 2 2 = a c c b b a (**) Cộng vế cho vế ta đợc (1) điều phải chứng minh Hong H linh Hồng hà linh S GI O D C & O T O K L KỞ Á Ụ ĐÀ Ạ ĐĂ Ă TR NG THPT VI T C ƯỜ Ệ ĐỨ THI H C SINH GI I C P TR NG ĐỀ Ọ Ỏ Ấ ƯỜ Mơn Tốn Lớp 12 Th i gian: 180 phút ( Khơng k th i gian giao )ờ ể ờ đề Câu 1: (3,0 điểm ) Tìm i u ki n c a tham s m th c a h m s sau c t tr c ho nh t i ít nh t m t i mđề ệ ủ ố đểđồ ị ủ à ố ắ ụ à ạ ấ ộ để y=(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m Câu 2: (3,0 điểm ) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 x mx x mx m x mx m + + + + + − = + + . Câu 3: (3,0 điểm ) Cho tứ giác lồi ABCD có các góc A, B, C, D không vuông và 0 0 90 ; 270A B A B+ ≠ + ≠ . Chứng minh rằng: tan tan tan tan cot cot cot cot tan .tan .tan .tan A B C D A B C D A B C D + + + = + + + . Câu 4: (3,0 điểm) Từ một điểm O bên trong tam giác đều ABC, ta vẽ các đường vuông góc OP, ON, OM xuống các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng tổng độ dài AP + BM + CN không phụ thuộc vào vò trí của điểm O. Câu 5:( 4,0 điểm ) Chứng minh rằng với mọi số thực bất kì a và b đều thỏa mãn bất đẳng thức sau: 2 2 3 3 6 6 . . 2 2 2 2 a b a b a b a b+ + + + ≤ . Câu 6: (4,0 điểm) Cho dãy số { } n U được xác đònh như sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 , 1,2,3, n U n n n n n= + + + + + + = Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10. Hồng Hà linh CH NH TH C ĐỀ Í Ứ [...]... các bài luyện giảng môn Toán tập 3 Bài 2 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 2 Bài 3 : Sách các bài luyện giảng – tập 1 Bài 4, 6 : Sách các bài luyện giảng môn Toán - tập 2 Bài 5 : Sách phương pháp giải toán lượng giác Bai 8 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 1 Hoàng Hà linh Hoàng hà linh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút ĐỀ BÀI... = 5.4.3.2.1 = 120 (0,25đ) Đáp số: 120 số  -Tài liệu: * Sách giáo khoa môn toán THPT lớp 10, 11, 12 * Sách tham khảo nâng cao của Bộ giáo dục * Sách ôn luyện thi tốt nghiệp BT THPT * Toán nâng cao đại số 10 (NXB Bộ giáo dục)  Hoàng Hà linh Hoàng hà linh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B Môn: Toán Bài 1:(2đ)... tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) 2 Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau Hoàng Hà linh Hoàng hà linh KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học: HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: Toán- Đề số I (Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang) Câu I: 1 y' = 3x2 + 2mx + 9 Hàm số có CĐ CT' ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5đ) 2 ⇔ ∆' = m... ≥ 2 + 1 = 3 1,0đ Pmin = 3 khi sinα = sin2α; sinβ = sin2β; sinγ = sin2γ B 0,5đ => sin γ = 0, sinα = sinβ = 1 → α = 900, β = 900, γ = 00 Pmin = 3 khi M ≡ C Hoàng Hà linh Hoàng hà linh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút CâuI (2 điểm): Cho hàm số: y = x3+mx2+9x+4 (Cm) 1 Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu? 2 Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)? CâuII (2 điểm):... (C) người ta dựng điểm N sao cho: → → → → MN = MA1 + MA2 + + MAn Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi  a2 + b2 = a + b Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn:  2 2 c + d + c + d = 0 Chứng minh: ( a − c ) 2 + ( b − d ) 2 ≤ 2 2 ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B Hoàng Hà linh Hoàng hà linh Môn : Toán Bài 1 (2đ) Điểm Nội dung 0.5  x2 − x +1 ≥ 0 ⇔ x 2 − x + 1 ≥ − x vi...Hoàng hà linh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: x 2 + mx + 1 Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = x +1 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1) 2đ b) Tìm trên 2 nhánh của (C1) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất... > 0 và a + b + c = 2006 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a b 4c + + P= a +1 b +1 c +1 BẢNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Thời gian : 180 phút MÔN : TOÁN Hoàng Hà linh Hoàng hà linh Câu 1 : ( 4đ) 1) (2,5đ) Khi m=1 hàm số trở thành y= x3 – 3x2 + 4 • TXĐ : R • Chiều biến thi n : ( 0,25đ ) (0,25đ ) x = 0 y ′ = 3x2 – 6x =0 ⇔ 3x( x-2 ) = 0 ⇔  x = 2 + + Dùng phương pháp khoảng xét... 0.5 → Gọi tổng: OA1 + OA2 + + OAn = OK ( Điểm K hoàn toàn được xác định tuỳ thuộc vào cách cho hệ điểm A1, A2, A3, , An) → → → → → → → → → Khi đó: (1) ⇔ MO + ON = n MO+ OK ⇔ ON − OK = (n − 1) MO ⇔ KN = (n − 1) MO → 0.5 0.5 → ⇔ KN = (n − 1) MO = (n − 1).R (n ≥ 2) 0.5 ⇒ Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R 10 Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : (2đ) M(a,b) và N(c,d) Từ giả thi t ta có:...   2 ( x + x + 1) + ( x − 1) > 2 x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 > 0 ⇔  x ∈  − ∞;−  ∪ (1;+∞ ) ⇔ x > 1 2  ( x 2 − 1) + (2 x + 1) > x 2 + x + 1   x >1   x >1    1.0 Với điều kiện x>1, từ giả thi t của bài toán ta kiểm tra thấy: a2 = b2 + c2 +bc Theo định lý hàm số côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA => cosA= 6 phương trình Để a, b, c là 3 cạnh của ∆ABC: a = x2 + x + 1; b= 2x+1; c = x2 –1 thì điều... − 3 3 ;+∞) (0,5đ) 2 Giả sử A(x1; y1) và B(-x1; -y1) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc (Cm) (0,25đ) 3 2 Khi đó: y1 = x1 + mx1 + 9 x1 + 4 (1) -y1 = − x13 + mx12 − 9 x1 + 4 (2) (0,25đ) Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t: mx12 + 4 = 0 (0,25đ) 2 ⇔ mx1 = −4 có nghiệm ⇔ m < 0 (0,25đ) Câu II: 1 Ta có: 2 π /3  sin 2 x  I= ∫   cos 2 x  dx =   π /4 π /3 π /3 ∫ π (1 − cos x ) /4 2 2 cos . phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau. Hoàng Hà linh Hoàng hà linh KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học: HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: Toán- Đề số I (Bản hướng dẫn chấm gồm. chia hết cho 10. Hồng Hà linh CH NH TH C ĐỀ Í Ứ Hoàng hà linh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2 + ++ x mxx 1). 90 0 , γ = 0 0 P min = 3 khi M ≡ C. Hoàng Hà linh A B C S M γ α β Hoàng hà linh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút CâuI (2 điểm): Cho hàm số: y = x 3 +mx 2 +9x+4