Các dạng bài tập toán lớp 7 full

DẠNG 1: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ I LÝ THUYẾT: a ( a,b  ,b  ) b - Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu (x số hữu tỉ ghi x  ) - Ta biểu diễn số hữu tỉ trục số Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ gọi điểm x - Số hữu tỉ số biểu diễn dạng phân số + Các số nguyên ta biết biểu diễn trục số + Tương tự cách biểu diễn số nguyên ta biểu diễn số hữu tỉ a ( a,b  b + ,b  ) sau: Chia đoạn có độ dài đơn vị thành b phần nhau, lấy đoạn làm đơn vị điểm biểu diễn số hữu tỉ + Với số hữu tỉ a cách gốc a đơn vị b a có tử số mẫu số trái dấu ta biểu diễn tương tự chia b đoạn đơn vị bên trái gốc Ví dụ: Để biểu diễn số hữu tỉ số ta chia đoạn đơn vị thành phần, điểm biểu diễn hình vẽ: - Với hai số hữu tỉ x, y ta ln có x = y x < y x > y Ta so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số + Nếu x < y trục số, điểm x bên trái điểm y; + Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương; + Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm; + Số hữu tỉ không số hữu tỉ dương không số hữu tỉ âm II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1.1: Sử dụng ký hiệu  ,  ,  , , , Phương pháp giải: Nắm vững ý nghĩa ký hiệu: - Kí hiệu  đọc “phần tử của” “thuộc” - Kí hiệu  đọc “khơng phải phần tử của” “khơng thuộc” - Kí hiệu  đọc “là tập hợp của” - Kí hiệu tập hợp số tự nhiên - Kí hiệu tập hợp số nguyên - Kí hiệu tập hợp số hữu tỉ - Các kí hiệu  ;  dùng để so sánh phần tử với tập hợp - Các kí hiệu  dùng để so sánh tập hợp với Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Điền kí hiệu (, , ) thích hợp vào trống: –4 −3 −3 –2 Giải: Các kí hiệu  ;  dùng để so sánh phần tử với tập hợp Các kí hiệu  dùng để so sánh tập hợp với Vì số tự nhiên nên 5 Vì – số nguyên nên –  −2 nên – biểu diễn dạng số hữu tỉ Do – 2 Vì −2 = Vì −3 nên Vì −3 −3 khơng phải số ngun Do  5 −3 −3 a −3  biểu diễn dạng ( a,b  , b  ) nên số hữu tỉ Do 5 b Vì số nguyên biểu diễn dạng số hữu tỉ nên nên    , mà  Từ đó, ta điền ký hiệu thích hợp vào trống sau:  −3  –4  −3  –2    Dạng 1.2: Biểu diễn số hữu tỉ Phương pháp giải: - Số hữu tỉ thường biểu diễn dạng phân số tối giản - Khi biểu diễn số hữu tỉ trục số, ta thường viết số dạng phân số tối giản có mẫu dương Khi mẫu phân số cho biết đoạn thẳng đơn vị cần chia thành phần a số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn b vị làm b phần nhau, ta đơn vị đơn vị cũ, lấy b a phía chiều dương trục Ox a phần, ta vị trí số b a + Trường hợp 2: a < 0, số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị b làm b phần nhau, ta đơn vị đơn vị cũ, lấy phía b a chiều âm trục Ox a phần, ta vị trí số b + Trường hợp 1: a > 0, Ví dụ minh họa: Ví dụ 2: a) Trong phân số sau, phân số biểu diễn số hữu tỉ : −5 −6 −3 12 −10 ; ; ; ; ? 15 15 −30 20 35 b) Biểu diễn số hữu tỉ trục số −5 Giải: −2 = a) Ta có Rút gọn phân số cho ta được: −5 −6 −2 −3 −1 12 −2 −10 −2 = ; = ; = ; = ; = 15 15 −30 20 10 35 −6 12 Vậy phân số biểu diễn số hữu tỉ ; −5 15 −30 2 b) Vì −1  nằm -1 trục số, ta chia đoạn thành  nên −5 −5 phần Phân số biểu diễn trục số sau: −5 −5 -2 –1 Dạng 1.3: So sánh số hữu tỉ Phương pháp giải: Ta so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số cách sau: - Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số - So sánh với số 0, so sánh với số 1, với –1,… - Dựa vào phần bù 1: So sánh phần bù suy kết - So sánh với phân số trung gian - Có thể sử dụng tính chất sau: Nếu a, b, c  a < b a + c < b + c Ví dụ minh họa: Ví dụ 3: So sánh số hữu tỉ: −3 a) x = y = 11 −213 18 b) x = y = 300 −15 −3 c) x = – 0,75 y = Giải: −3 −3 a) x =  0; y = hay x > y  nên  11 11 b) 18 −360 −213 −213 18 hay x > y =    −15 300 300 300 −15 c) −0,75 = −3 −3 −6 −3 −6 , mà ; =   x  y 4 4 III BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Điền kí hiệu (, , ) thích hợp vào trống: –3 –8 Bài 2: −2 –15 a) Trong phân số sau, phân số biểu diễn số hữu tỉ 10 −20 40 −25 −45 ; ; ; ; ? −8 16 −28 20 35 b) Biểu diễn số hữu tỉ trục số −4 Bài 3: So sánh số hữu tỉ: : −4 2 y = −221 b) x = y = 115 −1 c) x = – 0,75 y = Bài 4: Điền kí hiệu ( , , a) x = ) thích hợp vào trống: –6  –4  –9 −7    Bài 5: Viết ba số hữu tỉ xen số hữu tỉ sau: 1 −1 −1 a) b) 10 100 Bài 6: Trên giá sách có 40 sách Toán, 20 sách Văn Lập tỉ số loại sách với số sách có giá a a+n b b+n Bài 8: So sánh phân số sau cách nhanh (không quy đồng): 1 a) − 25 1225 216 104 b) 217 103 12 14 c) − − 19 17 13 131313 d) − − 27 272727 a −3 Với giá trị a thì: Bài 9: Cho số hữu tỉ x = a) x số dương; b) x số âm; c) x không số dương không số âm 2a − Bài 10: Cho số hữu tỉ y = Với giá trị a thì: −3 Bài 7: Cho a , b , b > 0, n  * Hãy so sánh hai số hữu tỉ a) y số dương; b) y số âm; c) y không số dương không số âm Hướng dẫn giải: Bài 1: Đáp số: –3  –8   Bài 2: −2  –15   −5 = Rút gọn phân số cho, ta được: −4 10 −5 −20 −5 40 −10 −25 −5 −45 −9 = ; = ; = ; = ; = −8 16 −28 20 35 10 −20 −25 Vậy phân số biểu diễn số hữu tỉ ; ; −4 −8 16 20 a) Ta có 5 nằm –2 –1 trục số chia khoảng thành  −1 nên −4 −4 phần để lấy biểu diễn số hữu tỉ −4 Bài 3: So sánh số hữu tỉ: 2 a) Hai phân số có tử số, mẫu số phân số lớn bé −221 −221 b) Vì   nên  115 115 −3 −1 c) Ta có: – 0,75 =  4 Bài 4: –6  –4  –9 −7    Bài 5: Viết ba số hữu tỉ xen số hữu tỉ sau: b) −2  a) Quy đồng hai phân số trên, mẫu số chung hai phân số tìm ba phân số xen b) 1 B(48) Ta 16 12 48 48 −1 −1 = −0,1 , = −0,01 10 100 Bài 6: Tổng số sách 40 + 20 = 60 Tỉ lệ sách Toán Văn so với tổng số sách giá là: Bài 7: Ta có: a(b + n) = ab + an b(a + n) = ab + bn Vì b > 0, n  * nên b + n > +) Nếu a > b ab + an > ab + bn  a(b + n) > b(a + n) a a+n   b b+n +) Nếu a < b ab + an < ab + bn  a(b + n) < b(a + n) a a+n   b b+n a a+n +) Nếu a = b = b b+n Bài 8: a) Vì −1 1  0; 0 −  25 1225 25 1225 b) Do 216 104 216 104  1; 1   217 103 217 103 c) Do − 12 14 14 14 12 14 − ; − − − − 19 19 19 17 19 17 40 20 = ; = 60 60 d) − 131313 13.10101 −13 =− = 272727 27.10101 27 a −3 a) x số dương tử số mẫu số dấu Bài 9: Cho số hữu tỉ x = Mà mẫu số > nên tử số a – > Vậy a > b) x số âm tử số mẫu số khác dấu Mà mẫu số > nên tử số a – < Vậy a < c) x không số dương không số âm, nghĩa x = Mà mẫu số ≠ nên tử số a – = hay a = 2a − Bài 10: Cho số hữu tỉ y = Với giá trị a thì: −3 a) y số dương tử số mẫu số dấu, mà mẫu số –3 < nên tử số bé −1 Vậy a  b) y số âm tử số mẫu số khác dấu, mà mẫu số –3 < nên tử số lớn −1 Vậy a  c) y không số dương không số âm, nghĩa x = 0, có mẫu số -3 ≠ −1 nên tử số Vậy a = DẠNG 2: PHÉP TOÁN CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I LÝ THUYẾT: Cộng, trừ hai số hữu tỉ: - Mỗi số hữu tỉ viết dạng phân số a (a,b  ; b  0) Ta cộng trừ số b hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số có mẫu số dương áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số - Phép cộng số hữu tỉ có tính chất phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, cộng với số Mỗi số hữu tỉ có số đối Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng x, y,z  : x  y  z  x  z  y Quy tắc nhân, chia số hữu tỉ: a c Với hai số hữu tỉ x  ; y  b d a c ac - Nhân hai số hữu tỉ: x.y   b d bd a c a d ad - Chia hai số hữu tỉ: x : y  :   ( y  ) b d b c bc Chú ý: - Phép cộng , ta có tổng đại số, đổi chỗ số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý tổng đại số - Phép nhân có tính chất bản: giao hốn, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối phép nhân phép cộng - Thương phép chia x cho y gọi tỉ số x y, kí hiệu x y AB = AC Vì tam giác ABC cân A nên   (tính chất) ABC = ACB Vì ABD;ABC hai góc kề bù  ABD + ABC = 180  ABD = 180 − ABC (1) Vì ACE;ACB hai góc kề bù  ACE + ACB = 180  ACE = 180 − ACB (2) Mà ABC = ACB (chứng minh trên) (3) Từ (1); (2); (3)  ABD = ACE Xét tam giác ABD tam giác ACE có: ABD = ACE (chứng minh trên) AB = AC (do tam giác ABC cân A) BD = CE (giả thuyết) Do ABD = ACE (c – g – c)  AD = AE (hai cạnh tương ứng) Xét tam giác ADE có: AD = AE (chứng minh trên)  Tam giác ADE cân A Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, B = 30 Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Tam giác BCD tam giác gì? Vì sao? b) Chứng minh BC = 2AC Lời giải: a) Xét tam giác ABC vuông A có: A + B + C = 180 (định lý tổng ba góc tam giác)  90 + 30 + C = 180  C = 60 Xét tam giác ABD tam giác ABC có: AB chung AD = AC (giả thuyết) DAB = CAB = 90 Do ABD = ABC (c – g – c)  BD = BC (hai cạnh tương ứng) Xét tam giác BDC có: BD = BC (chứng minh trên)  BDC cân B Mà BDC có C = 60  BDC tam giác b) Vì tam giác BDC tam giác nên CD = BC Xét tam giác BDA tam giác BA có: BA chung BD = BC (do tam giác BDC đều) BAD = BAC = 90 Do BDA = BCA (cạnh huyền – cạnh góc vng)  DA = AC Nên A trung điểm CD  AC = CD Mà CD = BC nên AC = BC (điều phải chứng minh) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng cân A Trên cạnh góc vuông AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt BC H Gọi M giao điểm DK AC Chứng minh tam giác MDC cân Lời giải: Xét tam giác ADC tam giác AEB có: AD = AE (giả thuyết) DAC = EAB = 90 AC = AB (do tam giác ABC vng cân) Do : ADC = AEB (c – g – c)  DC = EB (hai cạnh tương ứng) Gọi G giao điểm DK BE DG vng góc với EB G Xét tam giác DGB vng G có: GDB + GBD = 90 (tính chất)  GDB = 90 − GBD (2) (1) Xét tam giác AEB vng A có: AEB + ABE = 90 (tính chất)  AEB = 90 − ABE (3) Từ (2) (3)  GDB = AEB Lại có GDB = ADM (đối đỉnh) Nên AEB = ADM Xét hai tam giác AEB tam giác ADM có: AE = AD (giả thuyết) AEB = ADM EAB = DAM = 90 Do đó: AEB = ADM (góc nhọn – cạnh góc vng)  EB = DM (hai cạnh tương ứng) (4) Từ (1) (4) ta có DC = DM Xét tam giác MDC có: DM = DC (chứng minh trên) Do tam giác MDC cân D Định lý Py – ta – go định lý Py – ta – go đảo I Lý thuyết Định lý Py – ta – go Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Tam giác ABC vng A ta có: AB2 + AC2 = BC2 Định lý Py – ta – go đảo Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác tam giác vng Xét tam giác ABC có: AB2 + AC2 = BC2 tam giác ABC vng A II Các ví dụ Ví dụ 1: Tính độ dài AC, EF hình vẽ: Lời giải: + Xét tam giác ABC vng B ta có: BC2 + AB2 = AC2 (định lý Py – ta – go) 122 + 52 = AC2 AC2 = 144 + 25 AC2 = 169  AC = 13 (đơn vị độ dài) + Xét tam giác DEF vuông D ta có: DE + DF2 = EF2 (định lý Py – ta – go) 42 + 42 = EF2 EF2 = 16 + 16 EF2 = 32  EF = 32 = (đơn vị độ dài) Vậy AC = 13; EF = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A có AB = 9cm, AC = 12cm Tính BC Lời giải: Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam gác ABC vng A ta có: AB2 + AC2 = BC2  92 + 122 = BC2  81 + 144 = BC2  BC2 = 225  BC = 15cm Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có: AB = cm; AC = cm; BC = 10 cm Chứng minh BAC = 90 Lời giải: Ta có: AB2 = 62 = 36 AC2 = 82 = 64 BC2 = 102 = 100 AB2 + AC2 = 36 + 64 = 100 = BC2  ABC vuông A (định lý Py – ta – go đảo)  BAC = 90 (điều phải chứng minh) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm Gọi M trung điểm BC Tính AM Lời giải: AB = AC Vì ABC tam giác cân   (tính chất) B = C Vì M trung điểm BC nên MB = MC Xét tam giác ABM tam giác ACM có: AB = AC (chứng minh trên) B = C (chứng minh trên) MB = MC (chứng minh trên) Do ABM = ACM (c – g – c)  AMB = AMC (hai góc tương ứng) (1) Lại có: AMB + AMC = 180 (hai góc kề bù) (2) Từ (1) (2)  AMB = AMC = 90 Xét tam giác ABM vuông M có: AB2 = AM2 + MB2 (định lý Py – ta – go) 1 Mà AB = 10cm; MB = BC = 12 = 6cm nên 2 102 = AM + 62 AM = 100 − 36 AM = 64 AM = 8cm Vậy AM = 8cm Các trường hợp tam giác vuông I Lý thuyết - Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Xét hình vẽ Tam giác ABC vuông A A’B’C’ vuông A’ AB = A 'B'    ABC = A 'B'C' (c – g – c) AC = A 'C' - Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng Xét hình vẽ: Tam giác ABC vuông A A’B’C’ vuông A’ AB = A 'B'    ABC = A 'B'C' (g – c – g) ABC = A 'B'C' - Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng Xét hình vẽ: Tam giác ABC vng A tam giác A’B’C” vuông A’ BC = B'C'    ABC = A 'B'C' (cạnh huyền – góc nhọn) ABC = A 'B'C' - Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Xét tam giác ABC vuông A A’B’C’ vuông A’ BC = B'C'    ABC = A 'B'C' (cạnh huyền – cạnh góc vng) AC = A 'C' II Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vuông góc với BC H Chứng minh ABH = ACH Lời giải: AB = AC Vì tam giác ABC tam giác cân A   (tính chất) ABH = ACH Vì AH vng góc với BC H nên AHB = AHC = 90 Xét AHB AHC có: AB = AC   ABH = ACH   AHB = AHC (cạnh huyền – góc nhọn)  AHB = AHC = 90 ( ) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A A  90 Kẻ BH vng góc với AC, CK vng góc với AB (H thuộc AC; K thuộc AB) a) Chứng minh AH = AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân gác góc A Lời giải: a) Vì ABC tam giác cân nên AB = AC Vì BH đường cao nên BH vng góc với AC  AHB = 90 Vì CK đường cao nên KC vng góc với AB  AKC = 90 Xét tam giác AHB tam giác AKC có: AB = AC   BAC chung   AHB = AKC (cạnh huyền – góc nhọn)  AHB=AKC=90  AH = AK (hai cạnh tương ứng) b) Xét hai tam giác AHI AKI có AH = AK (chứng minh trên) AHI=AKI=90 AI chung Do AHI = AKI (cạnh huyền – cạnh góc vng)  IAH = IAK (hai góc tương ứng)  AI phân giác góc A Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC M Kẻ MD vng góc với BC (D thuộc BC) a) Chứng minh BA = BD b) Gọi E giao điểm hai đường thẳng DM BA Chứng minh ABC = DBE Lời giải: a) Vì BM tia phân giác góc CBA nên DBM = MBA (tính chất) Vì MD vng góc với BC nên MDB = 90 Xét tam giác DBM tam giác ABM có: MDB = MAB = 90 DBM = MBA (chứng minh trên) BM chung Do DBM = ABM (cạnh huyền – góc nhọn)  DB = AB (hai cạnh tương ứng) b) Xét tam giác ABC tam giác DBE có: AB = BD (chứng minh trên) ABC chung EDB = CAB = 90 Do đó: ABC = DBE (g – c – g) ... toán x  4 x  7 Cách 2: (Căn vào tính chất |x| = |–x|) 6 6 (1) x   (2) x  suy ra: x   7 7 7    7 7 6 4   Từ (2) ta có: x  7 Từ (1) ta có: x  Vậy có hai giá trị thỏa mãn toán. .. 2 2 Bài 10: Đưa lũy thừa số, sau đặt nhân tử chung chứng minh a) (76 + 75 – 74 ) = 74 . (72 + – 1) 55 b) 165  215   24   215 = 220 + 215 = 215.( 25+1) = 215.33 33 DẠNG 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ... dụ 7: Tính nhanh: 1 11    a)   7 b) 10  7 Giải: 1 11  1     11  a)                  7 3  ? ?7 7 6      b) 3 10  10         7 5 7  5 III BÀI