Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20172 NHÓM 2 Lời giải Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1 Tính tổng của chuỗi số ∑ 4 5n ∞ n=1 Ta có ∑ 4 5n ∞ n=1 = 4 ∑ 1 5n ∞ n=1 ∑ 1[.]
ĐỀ THI CUỐI KÌ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KÌ 20172 NHĨM Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ∞ Câu 1: Tính tổng chuỗi số ∑ n=1 ∞ ∞ n=1 n=1 5n Ta có: ∑ n = ∑ n 5 ∞ ∑ n=1 1 dãy cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội 5n 5 1 → ∑ n= = 1− n=1 ∞ Vậy tổng chuỗi cho = Câu 2: Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số sau ∶ ∞ a) ∑ n=1 n+2 6n2 + Chuỗi cho chuỗi dương ∀n ≥ ∞ n+2 1 Khin n → +∞ ∶ ~ mà ∑ chuỗi phân kỳ 6n + 6n 6n n=1 Suy chuỗi cho chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh ∞ 8n (n!)2 b) ∑ n2n n=1 Chuỗi cho chuỗi dương ∀n ≥ Xét giới hạn ∶ un+1 8n+1 [(n + 1)!]2 8n (n!)2 lim = lim ÷ n→+∞ un n→+∞ (n + 1)2(n+1) n2n [(n + 1)!]2 n 2n 1 2n = lim .( = lim (1 − ) ) n→+∞ (n!)2 (n + 1)2 n→+∞ n+1 n+1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 −2n 2n lim ln(1− ).2n lim n+1 n+1 = n→+∞ n→+∞ = lim (1 − = e = e >1 ) n→+∞ n+1 e2 Suy chuỗi cho phân kỳ theo tiêu chuẩn Dalembert ∞ c) ∑ sin ( − nπ) n n=1 ∞ ∞ n=1 n=1 1 Ta có ∶ ∑ sin ( − nπ) = ∑(−1)n sin ( ) n n Xét f(n) = sin −1 có f ′ (n) = cos ( ) < 0, ∀n ≥ n n n lim sin ( ) = n→+∞ n → sin đơn điệu giảm dần n Suy chuỗi cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt Câu 3: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau ∶ ∞ a) ∑ n=1 n2 (x + 1)n ∞ 1 Đk: x ≠ −1 Đặt t = → Chuỗi cho trở thành ∑ t n x+1 n n=1 Ta có an = Bán kính hội tụ chuỗi hàm ∶ n2 (n + 1)2 an R = lim | =1 | = lim n→+∞ an+1 n→+∞ n2 ∞ Xét biên t = 1, ta có chuỗi ∑ n=1 hội tụ n2 ∞ (−1)n Xét biên t = −1, ta có chuỗi ∑ hội tụ theo tc Leibnizt n2 n=1 → Chuỗi hội tụ khi − ≤ t ≤ → −1 ≤ ≤ → x ≤ −2 ∪ x ≥ x+1 Vậy miền hội tụ chuỗi cho (−∞; −2] ∪ [0; +∞) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ∞ b) ∑ n=1 3x (1 + 9x )n ∞ ∞ n=1 n=1 3x = 3x ∑ ∑ (1 + 9x )n (1 + 9x )n ∞ Với x = → ∑ n=1 Với x ≠ 0, 3x = 0, hội tụ (1 + 9x )n