Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 HỌC KÌ 20181 – NHÓM NGÀNH 2 Lời giải Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1 Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số a) ∑ (−1)n √n ln n ∞ n=2 Chuỗi đã[.]
ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH HỌC KÌ 20181 – NHÓM NGÀNH Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số ∞ a) ∑ n=2 (−1)n √n ln n Chuỗi cho chuỗi đan dấu { } dãy dương, đơn điệu giảm dần √n ln n → Chuỗi cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz ∞ b) ∑ ( n=1 n−1 ) n n2 Chuỗi cho chuỗi dương ∀n ≥ Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có ∶ n−1 n n √ lim ( ) = lim (1 − ) = e−1 < n→+∞ n→+∞ n n n → Chuỗi cho hội tụ Bài 2: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∞ (x − 1)2n a) ∑ n −n+1 n=1 Đặt (x − 1)2 = t , t ≥ ∞ Chuỗi cho trở thành ∑ an t n , với an = n=1 n2 − n + Bán kính hội tụ ∶ (n + 1)2 − (n + 1) + an n2 + n + R = lim | | = lim | | = lim | |=1 n→+∞ an+1 n→+∞ n→+∞ n − n + n2 − n + ∞ ∞ n=1 n=1 1 Xét t = 1, ∑ ~ ∑ hội tụ n −n+1 n → Chuỗi hội tụ ≤ t ≤ Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 → ≤ (x − 1)2 ≤ → −1 ≤ x − ≤ → 0≤x≤2 Miền hội tụ x ∈ [0; 2] ∞ b) ∑ n2−x n=1 Chuỗi cho hội tụ ↔ − x < −1 → x2 > → x > √3 ∪ x < −√3 → Miền hội tụ x ∈ (−∞; −√3) ∪ (√3; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân y a) y ′ + = x x Thừa số tích phân p(x) = e∫xdx = eln x = x Nhân vế với p(x) → x y′ + y = x → (x y)′ = x x5 → x y = + C x4 C →y= + x x4 C → Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho y(x, C) = + x −x + 2y b) y ′ = , y(1) = x → y ′ = −1 + y x → y ′ − y = −1 x Thừa số tích phân p(x) = e∫ −xdx = e−2 ln x = Nhân vế với p(x) x −1 → y′ − y = x x x Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ′ −1 → ( y) = x x 1 → 2.y = +C x x → y = x + C x Lại có y(1) = → = + C → C = → Nghiệm riêng phương trình vi phân cho y(x) = x + x c) (1 − y e−x )dx + e−x dy = ∂(1 − y e−x ) ∂(e−x ) Ta thấy = = −e−x ∂y ∂x → thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân toàn phần Giả sử du(x, y) = (1 − y e−x )dx + e−x dy Xuất phát từ điều kiện u′x = − y e−x → u(x, y) = ∫ − y e−x dx = x + y e−x + g(y) → u′y = e−x + g ′ (y) = e−x → g ′ (y) = Ta chọn g(y) = → tích phân tổng quát ptvp cho u(x, y) = x + y e−x = C Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa x − x − 3x + Đặt t = x − → x = t + f(t) = = 1 = = (t + 3)2 − 3(t + 3) + t + 3t + (t + 1)(t + 2) 1 1 − = − t t+1 t+2 t+1 +1 → Khai triển Maclaurin f(t) ∶ ∞ f(t) = ∑ (−1)n n=0 ∞ ∞ n=0 n=0 tn n t − ∑(−1) n = ∑(−1)n t n (1 − n+1 ) 2 n → Khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa x − ∞ f(x) = ∑(−1)n (x − 3)n (1 − n=0 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 2n+1 ) Câu 5: Xét hội tụ chuỗi hàm sau R ∞ sin nx ∑3 √(n + 1)4 + x n=1 sin nx 1 Khi n → +∞ ∶ | ≤3 ~ |≤3 √(n + 1)4 + x √(n + 1)4 + x √(n + 1)4 n3 ∞ mà ∑ n=1 n3 chuỗi hội tụ → chuỗi cho hội tụ tuyệt đối R Câu 6: Khai triển hàm số f(x) tuần hồn chu kì 2π f(x) = x − 2π, π < x < 3π Ta khai triển chuỗi fourier g(x) = x , −π < x < π tuần hồn chu kì 2π g(x) hàm số lẻ → a0 , an π 2 −x cos nx sin nx π bn = ∫ x sin nx dx = ( + )| π π n n2 0 π (−1)n−1 (−1)n−1 = = π n n {cos nπ = (−1)n } → Chuỗi fourier g(x) ∞ F(x) = ∑(−1)n−1 sin nx n n=1 Theo định lí Dirichlet, chuỗi fourier điểm không xác định ∶ f(−π− ) + f(−π+ ) π − π F(−π) = = =0 2 f(π− ) + f(π+ ) −π + π F(π) = = =0 2 , với x = −π ∞ → F(x) = ∑ (−1)n−1 sin nx , với − π < x < π n n=1 {0 , với x = π Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ... Chuỗi cho hội tụ ↔ − x < −1 → x2 > → x > ? ?3 ∪ x < −? ?3 → Miền hội tụ x ∈ (−∞; −? ?3) ∪ (? ?3; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân y a) y ′ + = x x Thừa số tích phân p(x) = e∫xdx = eln x = x Nhân vế... = → tích phân tổng quát ptvp cho u(x, y) = x + y e−x = C Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa x − x − 3x + Đặt t = x − → x = t + f(t) = = 1 = = (t + 3) 2 − 3( t + 3) + t + 3t +... (x − 3) n (1 − n=0 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 2n+1 ) Câu 5: Xét hội tụ chuỗi hàm sau R ∞ sin nx ? ?3 √(n + 1)4 + x n=1 sin nx 1 Khi n → +∞ ∶ | ? ?3 ~ |? ?3 √(n + 1)4 + x √(n + 1)4 + x √(n + 1)4 n3 ∞