Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word S8 C1 CD2 NHîNG H°NG ²NG THèC ÁNG NHÚ doc NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A LÝ THUYẾT 1 Bình phương của một tổng 2 2 22A B A AB B 2 Bình phương của một hiệu 2 2 22A B A AB B[.]
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A LÝ THUYẾT: Bình phương tổng: A B A2 AB B 2 Bình phương hiệu: A B A2 AB B 2 Hiệu hai bình phương: A2 B A B A B Lập phương tổng: A B A3 A2 B AB B 3 Lập phương hiệu: A B A3 A2 B AB B3 Tổng hai lập phương: A3 B A B A2 AB B Hiệu hai lập phương: A3 B A B A2 AB B Ngồi ra, ta có đẳng thức hệ đẳng thức Thường sử dụng biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,… Tổng hai bình phương: A2 B A B AB 2 Tổng hai lập phương: A3 B A B AB A B 3 Bình phương tổng số hạng: A B C A2 B C AB BC CA Lập phương tổng số hạng: A B C A3 B C A B B C C A B CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: Dạng 1: Biến đổi biểu thức Phương pháp: Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để thực biến đổi biểu thức Bài 1: Thực phép tính: a) 3 x y b) x xy 2 c) x y Giải a) Áp dụng đẳng thức ta có: 3 x y 3 x 3 x y y x 12 xy y 2 b) Áp dụng đẳng thức ta có: d) x y y 2 x xy x x xy xy x x y x y 2 c) Áp dụng đẳng thức ta có: x y x y x y x y d) Áp dụng đẳng thức ta có: x y y x y y x y y x y x Bài 2: Thực phép tính: a) x y x xy y x y x xy y b) x x x c) x3 x 12 x d) x y x y 3 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức ta được: x y x xy y x y x xy y x y x y x xy y x y x y x3 b) Ta có: x x x x3 x x 1 Áp dụng bất đẳng thức ta được: x 3x x 1 x 1 c) Ta có: x3 x 12 x x 3.2 x 3.22.x 23 Áp dụng bất đẳng thức ta được: x3 3.2.x 3.2 x 23 x d) Áp dụng bất đẳng thức ta được: x y x y x3 x y xy y x 3.x 2 y 3.x y y x x y xy y x x y 12 xy y x y xy y Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) a b c d a b c d b) x y z x y 3z c) x 1 x x 1 x 1 x x 1 d) x y x y 3 e) x 3x 1 3x 1 x x 1 3x 1 2 Giải a) a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 2 a 2ab b c 2cd d a b c d 2ab 2cd b) x y 3z x y 3z x z y x z y x z y x xz z y 2 c) x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x3 1 x d) x y x y 3 x3 x y xy y x x y xy y x x y xy y x3 x y 3xy y x y y3 y 3x y e) x 3x 1 3x 1 x x 1 3x 1 2 x x 1 x 1 x x x 1 x 2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Dạng tốn đa dạng ta giải theo phương pháp sau: - Biến đổi biểu thức cho trước thành biểu thức cần thiết cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị - Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để thực biến đổi biểu thức cần tính giá trị biểu thức có liên quan đến giá trị đề cho - Thay vào biểu thức cần tính tìm giá trị Bài 1: Cho x y Tính giá trị biểu thức sau: A x3 3xy y Giải Áp dụng đẳng thức bậc 3, ta được: A x3 y 3xy x y x xy y xy x y x y 3xy xy Theo x y , thay vào A ta được: A x y x y xy 3xy 1.12 xy xy 3xy xy Vậy A Bài 2: Cho x y xy Tính B x3 y x y Giải Áp dụng đẳng thức, ta được: B x3 y x y x y x xy y x y x y x y 3xy x y 2 Theo x y , xy thay vào B ta được: B x y x y xy x y 42 3.5 16 140 2 Vậy B 140 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) x 48 x 64 x x c) b) x3 x 27 x 27 x 4 x3 x x2 d) Giải a) Ta có: x 48 x 64 x x x Thay x vào ta được: 3.2 5.23 36 b) Ta có x3 x 27 x 27 x Thay x 4 vào ta được: x 3 4 3 73 343 3 x3 x 1 x x 1 x x c) Ta có: x 1 x 1 x 1 x 1 Thay x vào ta được: d) Ta có: x x 62 43 x 1 1 x2 x x2 1 x3 x 1 x2 x x2 x x3 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x2 x x x 1 x x 1 x 1 Thay x vào ta được: 1 1 28 2 13 13 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp: +) Giá trị lớn biểu thức A x Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi dạng: m Q x m (với m số) GTLN A x m +) Giá trị lớn biểu thức A x Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi dạng Q x n n (với n số) GTNN A x n Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức a) A x x b) B x x Giải a) Ta có: A x x x x x 1 Vậy giá trị lớn biểu thức A x x 1 b) Ta có: 43 43 27 B x 3x .x x 4 3 x 4 2 Vậy giá trị lớn biểu thức B 43 3 x x 2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A x x 14 b) B x x Giải a) Ta có: A x x 14 x x 1 12 x 1 12 12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 12 x x 2 1 1 7 b) Ta có: B x x x .x x 4 2 4 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức B 1 x x 2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A x x 1 b) B x x x x Giải 1 1 3 a) Ta có: x x x .x x 4 2 4 2 Do x x đạt giá trị nhỏ 1 3 Giá trị nhỏ A x x 2 4 b) Ta có: B x x x x x x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 2 x2 x Mặt khác: B x x x x x 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức B x Bài 4: Chứng minh x x 10 dương với x Giải Ta có: x x 10 x 2.2.x x Ta thấy x x dương với x 2 B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP Tìm hệ số x đa thức sau khai triển : a ) A x x x 3 x 1 2 3 b) B x 1 x x 3 x 1 2 Giải a ) A x x x x x x 27 x 27 27 x 27 x x 28 x3 38 x 36 x 36 Vậy hệ số x 38 b) B x x x x x x 27 x 27 27 x 27 x x 28 x 31x 28 x 23 Vậy hệ số x -31 2 Tính giá trị biểu thức a ) A x 0, x 0, 01 x 0,9 b) B x x x x 19 c)C x x x x x x Giải a ) Ta có : A x 0, x 0, 01 x 0, x 0,1 x 0,1 2 Với x 0,9 A 0, 0,1 b) Ta có: B x3 3x x x x x x 1 Với x 19 B 19 1 8000 8001 c) Ta có : C x x3 x x x x3 x x2 x x x x x x x 1 Với x x C 1 81 82 Tính hợp lý : a) A 356 144 2562 2442 c)C 1632 92.136 462 b) B 2532 94.253 47 d ) D 1002 982 22 99 97 12 Giải a) A 356 144 356 144 500.212 53 3562 1442 2 256 244 256 244 256 244 500.12 b) B 2532 94.253 47 2532 2.47.253 47 253 47 300 90000 c)C 136 92.136 46 1362 2.46.136 46 136 46 90 8100 d ) D 1002 982 22 99 97 12 1002 992 982 97 2 12 100 99 100 99 98 97 98 97 1 1 100 99 98 97 1 100 99 100 1 99 51 50 101 101 101 101.50 5050 Tính giá trị biểu thức : 2 20212 2020 2019 2019 2020 2021 A 20203 2020 1 20203 1 Giải A 20212 2020 2019 2019 2020 2021 20203 20202 1 20203 1 20212 20202 2020 1 2019 2020 2020 1 2020 1 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2019 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a ) A x y xy y x 2020 b) M x y z x xy z Giải a) Ta có : A x xy y x x y y 2018 x y x 1 y 1 2018 2018 2 Vậy giá trị nhỏ A 2018 x 1; y 1 c) M x xy y x x z z 1 1 2 x y x 1 z 2 2 1 2 4 x y Dấu xảy 2 x x y z z Vậy giá trị nhỏ M 2 1 x y z 4 Tìm x, biết : a ) x x 3 x x 3 19 2 b) x x x x x 15 c) x 1 x x x x x 17 Giải a ) x x 3 x x 3 19 2 x x x 3 12 x x x 3 19 2 20 x x x 3 19 20 x 19 20 x 18 x 10 b) x x x x x 15 x3 x x 15 x 15 x x c) x 1 x x x x x 17 x 1 x3 3x x 17 x x 3x x x 17 x 17 x 10 x 10 Biết xy 11 x y xy x y 2016 Hãy tính giá trị : x y Giải Ta có: x y xy x y 2016 xy x y x y 2016 11 x y x y 2016 12 x y 2016 x y 168 Mà x y x y xy 1682 2.11 28202 Cho a b Tính giá trị biểu thức : A a a 1 b b 1 3ab a b 1 ab Giải Ta có : A a a b3 b 3ab a b 3ab ab a 3ab a b b3 a b 2ab a b a b 73 392 Chứng minh với x ta có : a ) x x 10 b) x 3 x c) x x Giải a ) x x 10 x2 6x x 3 (luôn ) b) x 3 x x x 18 x x 16 x (luôn đúng) c) x x 1 x x x (luôn ) 4 2 10 Tìm x, y biết : a) x x y y b)4 x y 20 x y 26 Giải a) x x y y x x 1 y y c)9 x y y 12 x x 1 y 2 x 1 0; y (vì x 1 , y ) 2 2 x 1; y b)4 x y 20 x y 26 x 20 x 25 y y 1 x y 1 2 x y 1 (vì x , y 1 ) 2 2 x ; y 1 c)9 x y y 12 x x 12 x y y 1 x y 1 2 x y 1 (vì x , y 1 ) 2 2 x ;y 11 Chứng minh không tồn x; y thỏa mãn: a ) x y x y 10 b)3x y 10 x xy 29 c)4 x y y xy Giải a ) x y x y 10 x2 4x y2 y x y 1 2 Mà x y 1 2 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề b)3x y 10 x xy 29 x xy y x 10 x 29 x y x 2, 16,5 2 Mà x y x 2,5 16,5 16, 2 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề c)4 x y y xy x xy y y y 1 x y y 1 2 Mà x y y 1 2 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề 12 Tìm giá trị lớn biểu thức : a ) A 15 x x b) B x x c)C x y x y Giải a) Ta có : A 15 x x 31 16 x x 31 x 31 Vậy giá trị lớn A 31 x 4 b) Ta có B x x x Vậy giá trị lớn B x c) Ta có : C 10 x x y y 10 x y 10 2 Vậy giá trị lớn C 10 x 2; y 2 13 Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện x y 3; x y 17 Tính giá trị biểu thức x3 y Giải Ta có: x y xy x y xy 17 xy 9 17 4 x3 y x y 3xy x y 27 4 63 14 Cho x y a b 1 x3 y a b3 Chứng minh : x y a b Giải Ta có đẳng thức : x y x y 3xy x y a b a3 b3 3ab a b (1) (2) Kết hợp với (1) (2) suy xy ab (3) Mặt khác, từ (1) suy x y a b x y xy a b 2ab 2 Kết hợp với (3) suy : x y a b 15 Cho a b c p Chứng minh rằng: a )2bc b c a p p a b) p a p b p c a b c p 2 2 Giải a) Ta có: 2bc b c a b c a 2 b c a b c a p p a p p a Vế trái vế phải Điều phải chứng minh b) Ta có : p a p b p c 2 p 2ap a p pb b p pc c p2 p a b c a2 b2 c2 p p.2 p a b c a b c p Vế trái vế phải Điều phải chứng minh 16 Cho A 99 Hãy so sánh tổng chữ số A với tổng chữ số A 2020 ch÷ sè Giải Ta có : 2020 A 99 nên A2 102020 1 10 2020 ch÷ sè 10 4040 2.10 2020 99 9800 01 2019 2019 Tổng chữ số A2 : 2019 18180 Tổng chữ số A : 2020 18180 Vậy tổng chữ số A2 tổng chữ số A 17 Chứng minh rằng: Nếu a b b c c a a b 2c b c 2a c a 2b a b c 2 2 2 Hướng dẫn giải – đáp số Giải a b 2c a b b c 2a b c c a 2b c a 0(*) 2 Áp dụng đẳng thức : x y x y x y ta có : 2 a b 2c a b 2a 2c 2b 2c a c b c b c 2a b c c a 2b 2b 2a 2c 2a b a c a c a 2c 2b 2a 2b c b a b Kết hợp với (*) ta có : a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a b ab ac bc c bc ba ac a ac bc ab b a b c ab bc ac 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac a 2ab b b 2bc c c 2ca a a b b c c a 2 a b b c a b c c a 18 Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n 4n hợp số (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Giải - Với n số chẵn n 2k k N n 4n 16k k nên n 4n hợp số - Với n số lẻ Đặt n 2k 1 k N * , k 1 ta có: n 4n n 2.n 2n 4n n 2 n1 n 2n n 22 k n 2n 2k n n 2n 2k n Ta có: n 2n 2k n n k n 22 k 2n 22 k n 2k 1 22 k 1 22 k 2 n 2k 1 22 k mà n 2n k n n 2n 2k n suy n 4n hợp số Vậy n 4n hợp số với n số tự nhiên lớn 19 a) Cho a b Tìm giá trị nhỏ A a b b) Cho x y Tìm giá trị lớn B xy Giải a) Ta có: a b a b a b2 2 a b A 2A A Vậy giá trị nhỏ A a b b) Từ x y x y suy B 8 y y y y y y B 2 y Vậy giá trị lớn B y 2; x 20 Tìm giá trị nhỏ A x y biết x y xy 12 (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) Giải Từ giả thiết, ta có x y xy 12 xy x y 24 2 Ta có : A x y x y xy x y x y 24 x y 24 2 2 x x 2 Vậy giá trị nhỏ A 24 x y ; y 2 y 21 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn: a b b c c a 2010 Tính giá trị 3 biểu thức A a b b c c a Giải Đặt a b x; b c y; c a z x y z z x y Ta có : x3 y z 210 x3 y x y 210 3 xy x y 210 xyz 70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz 70 2 5 nên x, y , z 2; 5;7 A a b b c c a 14 22 Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x y 2020 Giải Từ x y 2020 suy x; y chẵn lẻ TH1: Nếu x; y chẵn Đặt x 2m; y 2n 4m 4n 2018 2m 2n 1009 Vế trái chẵn, vế phải lẻ Vơ lí TH2: Xét x; y lẻ Đặt x 2k 1; y 2q Ta có : 2m 1 2n 1 2018 4m 4m 4n 4n 2018 2 Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vơ lí Vậy khơng tồn số ngun x; y thỏa mãn x y 2020 D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CẦN NHỚ 1) A B A2 2AB B 2) A B A2 2AB B 2 3) A2 B A B A B 4) A B A3 3A2B 3AB B 5) A B A3 3A2B 3AB B 3 6) A3 B A B A2 AB B 7) A3 B A B A2 AB B BÀI TỰ LUYỆN Khai triển biểu thức sau: 1 a) x 3 ; 2 b) 2x 3y 2.Tính giá trị biểu thức sau giá trị ra: a) x 12x 48x 64 x ; b) x 6x 12x x 22 Rút gọn biểu thức sau: a) x 3x b) 2x y 4x 3x 54 x ; 2xy y 2x y 4x 2xy y 4.Tính nhanh giá trị biểu thức sau: a) 342 662 68.66 ; b) 742 242 48.74 So sánh cặp số sau: a) A 2008.2010 với B 20092 ; b) A 2 1 22 124 128 1216 1 với B 232 6.Tìm x, biết: a) 16x (4x 5)2 15 b) (2x 3)2 4(x 1)(x 1) 49 c) (2x 1)(1 2x ) (1 2x )2 18 d) 2(x 1)2 (x 3)(x 3) (x 4)2 e) (x 5)2 x (x 4) f) (x 5)2 (x 4)(1 x ) Chứng minh đẳng thức a b a b – 4ab 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b) B x – x a) A x – 2x c) C x – 1x 2x 3x 6 d) D x 5y – 2xy 4y Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A –x – 4x – b) B –2x – 3x c) C 2 – x x d) D –8x 4xy – y 10 Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với giá trị biến a) A 25x – 20x b) B 9x – 6xy 2y c) E x – 2x y 4y d) D x – 2x 11 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 3 1 1 1 1 27 a) Ta có: x 3 x x x .32 33 x x x 27 2 2 2 b) Ta có: 2x 3y 2x 2x 3y 3.2x 3y 3y 3 2 8x 36x 4y 54x 2y 27y a) Ta có: x 12x 48x 64 x 3.x 3.x 42 x 4 Thay x vào biểu thức cuối ta kết 1000 b) Ta có: x 6x 12x x 3.x 2 3.x 22 23 x 2 Thay x 22 vào biểu thức cuối ta kết 8000 a) Ta có: x 3x 3x 9 54 x x 33 54 x x 27 54 x 27 b) Ta có: 2x y 4x 2xy y 2x y 4x 2xy y 3 3 2x y 2x y 2x y 2x y 2y a) Ta có: 342 662 68.66 342 2.34.66 662 34 66 1002 10000 b) Ta có: 742 242 48.74 742 2.24.74 242 74 24 502 2500 a) Ta có: A 2008.2010 2009 12009 1 20092 Vậy A B b) Ta có: A A 2 1 2 12 122 124 128 1216 1 22 22 24 28 216 24 24 28 216 28 28 216 216 216 232 Vậy A B a) x ; d) x b) x ; 12 e) x c) x ; f) x 21 Biến đổi VP = VT ngược lại 1 3 b) B x 4 a) A x 1 c) C x 5x 6x 5x 6 x 5x 36 36 d) D x y 2y 1 2 2 a) A – x 2 49 3 49 b) B x 4 c) C x 1 d) D 2x y 4x 2 10.a) A 5x 2 b) B 3x y y c) E x 1 y 2 d) D x 1 2 2 11 Gọi số tự nhiên liên tiếp x 2; x ; x ; x ( x ; x ) Ta có: A x 2x 1 x x 1 x 2x 1 x x 1 x x x x đặt x x t A t 2t t 2t t 1 A x2 x 1 Vậy A số phương ========== TỐN HỌC SƠ ĐỒ ========== ... dạng ta giải theo phương pháp sau: - Biến đổi biểu thức cho trước thành biểu thức cần thiết cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị - Áp dụng đẳng thức ? ?áng nhớ để thực biến đổi biểu thức... (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 201 2-2 013) Giải - Với n số chẵn n 2k k N n 4n 16k k nên n 4n hợp số - Với n số lẻ Đặt n 2k 1 k N * , k 1 ta có:... x x x x x x 27 x 27 27 x 27 x x 28 x 31x 28 x 23 Vậy hệ số x -3 1 2 Tính giá trị biểu thức a ) A x 0, x 0, 01 x 0,9 b) B x x x x 19 c)C