Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Microsoft Word ÐS9 C1 CD3 BI?N Ð?I ÐON GI?N BI?U TH?C CH?A CAN TH?C B?C HAI docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM[.]

CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Đưa thừa số dấu + Với A  B  A2 B  A B + Với A  B  A B   A B Đưa thừa số vào dấu + Với A  B  A B  A B + Với A  B  A B   A B Khử mẫu biểu thức lấy A  B + Với A.B  B  AB B Trục thức mẫu + Với B  A A B  B B + Với A  A  B   C AB C  A  B2 AB   C A B C  A B A B Rút gọn biểu thức có chứa bậc hai Bước Dùng phép biến đổi đơn giản để đưa thức bậc hai phức tạp thành thức bậc hai đơn giản Bước Thực phép tính theo thứ tự biết Để đơn giản hóa việc nhận dạng xử lý tốn, em tham khảo bảng Dạng tốn Ví dụ minh họa + Với A  , B  A  B Với A  B  A2 B  A B 49.5  2.5  Với A  B  A2 B   A B  3 Với A  B  A B  A2 B Với A  B  A B   A B Với A.B  Với B  A  B AB B A A B  B B 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      13    3 13  13 *   12 * 3    3   63 * x y   x y   x y với x  * 5.7 35 35 x     ; y 7 7 với xy  * 3  5 xy x  y y  C AB C  A  B2 AB Với A  A  B   3  52 * 2    2  2   2   2   3  22 5  2 *  2  2     2  2   2   2    22  7 * Với A  , B  A  B  C A B C  A B A B   2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       7 73  7 5  7       3 5  3   7 *   7       5 2  5   7 B CÁC DẠNG TOÁN MINH HỌA I.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai dạng Ví dụ 1.Sắp xếp số sau theo thứ tự tăng dần: b) 15; 6; a) 3; 5; 2; ; ; 3 Hướng dẫn giải a) Đưa thừa số vào dấu căn, ta được:  48 ;  45 ;  50 ;  20 20  45  48  50 Mà Suy thứ tự tăng dần 5; 5; 3; b) Đưa thừa số vào dấu căn, ta được:  24 ; 15 ;  12 ; 3  18 Mà 12  15  18  24 Suy thứ tự tăng dần ; 15; 2; Ví dụ 59 3 5 a) Khử thức mẫu số: A  3 1 b2) 3 5   59  b) Rút gọn biểu thức sau: b1) 14  2 Hướng dẫn giải a) A A 59    3 5 3  7   59   15   60     15  b) b1) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rút gọn   3 1 3   1 1 Cách 2: Trục thức mẫu        1 3 3  3   2     2 1 1 1 1 b2) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rút gọn 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com         15  14   2 2     1 1 7 14   2 2 Cách 2: Trục thức mẫu 14   2    2    14   2  14   28  14 22   2 2 14    14 14  42 Ví dụ Trục thức mẫu: 15 ; 10  20  40   80 Hướng dẫn giải 1 a) Ta có:  2  2  1 a) ;   2  10   b)  b)      1      1   10 2 5    1   15 15   10   10   10  10   c)  c) 10   2 5 2  7   10   10  10  2 5 7  10   10   2 5 Ví dụ Rút gọn biểu thức:  a) A  3  3  3 3 a) Ta có: A  b) Ta có: B  B  ; 3  3  b) B   2 2 2   Hướng dẫn giải 1   3   3  42  42 42     :  2  2 6   1  1 1  :     2  2 6  4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com        B  1  : 2   1   1     B 1    1 : 2 1 3 1 1 :   2 2 2 Ví dụ Rút gọn biểu thức sau cách đưa thừa số dấu căn: B a) 245.35 b) 63a với a  c) xy 9a 3b với a, b, x, y  3ab xy Hướng dẫn giải 245.35  49.5.5.7 a) Biểu thức  49 25  7.5  35 63a  9.7.a  a  a b) Biểu thức Vì a  nên a  a Do đó: c) Biểu thức xy 9a 3b xy 9a a.b  3ab xy 3ab 4.2.x y y  xy a a b 3ab xy y  2 xy a b a 3ab y xy  63a  3 7a xy a b 3ab.2 y a xy Vì a, b, x, y  nên a  a ; y  y , ta có:  xy 9a 3b 3ab xy xy 3.ab a a  bxy 3ab.2 y xy xy Ví dụ Thực phép tính a) A  20  45  80  125 ;   1 1   b) B      0,    1  1     Hướng dẫn giải a) Ta có: A  20  45  80  125 A    12  5  11 b) Ta có: B       11  1    5 1 1   5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       3         B B B  15       15      3     1  15  1    26 15   1 32 10  Ví dụ 7.Rút gọn biểu thức: R    2.3.  1   1   1 3 3  3 3   3 Hướng dẫn giải , ta được: Cách Mỗi phân thức nhân tử mẫu với R  10 2 62   10 2 62 R  10  10   1  1 R  10  10  3 3 R  3          10    10  3   R  10  10    10  10  95 R 2 Cách Nhân hai vế với , ta được: R 3 3   2 62 2 62 R 3 3   2  1  1 R 3 3   2 3 3 Suy ra: R  2 Dạng 2.Nâng cao phát triển tư Ví dụ Rút gọn biểu thức: P  3  3 10   10   Hướng dẫn giải 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Ta có: P   10  62   10  62 P  10  10   1  1 P  10  10  1 1 P P 3    3  13    10    10   1 10   15  10  10   15  10 45  24  44 11 Ví dụ Thực phép tính: P  175  2 ; 8 a) A  3 2 3 2  17  12 17  12 b) B  Hướng dẫn giải 8 5 2   5 2 87 a) A  A4 b) B  3 2 3 2    12   12  B 1   3 2 3 2 B 1  1 1 B 1   B B  1   1  46 3  2   1   3 2   1 3  2  2   2 1 Ví dụ Rút gọn biểu thức: B  Ta có: 3 2   1 2 3 3      2 6     Hướng dẫn giải  2 2.6 2 2 2 3 2  2     2  2  2 2.6 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      46 3.4  2  2 B  2  2 B 2      3 6  3 2 2  2  2  2 2 B 0 Ví dụ Rút gọn biểu thức: B a) A   2  b) T   2 2 2  2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có: A   2  2 2    2  2 2  A  2  2   3 A 2  2 42  42  A b) Ta có: T     1   1 2  3 2  3  43 1  1   6  43 S  2 2 S  Ví dụ Cho A  3  4 3  B  3  4 3  Tính A3  B Hướng dẫn giải Ta có: A  A Ta có: B  B 3 4 62   15   5  10  5    20 20 10 3  4 3   3 5 3 3   25   1   3 4   1     3 5 3  25  5 15   5  10  5    20 20 10 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       Suy ra: A  B     5 5 5 5 5   ; A.B   10 10 10.10  5 5 Ta có: A  B   A  B   AB  A  B       5 25   13 17   a  b 11 Ví dụ Xác định a, b biết:  11  11 Hướng dẫn giải 3 Xét vế trái:  13  11 9.7  11    17.  11  16.7  4.11  13  11 52   17   11  4.17  11  11    11 4 4 Đồng hai vế ta được: a  ; b   4  Ví dụ Cho  Ta có: 1 x  1 x x 1  Với x  1; x  Chứng minh  12  17 x 1 1 x  1 x Hướng dẫn giải 1 x  1 x  x  1  x    2  x   x2   x  2x ĐKXĐ: x     x2     x  2.x 2x   x  2.x  Bình phương hai vế, ta được:  x  x  2.x   3x  2 x  Vì x  nên x  2   x  2 2 1 2 3 x 1 2 3 Xét    x 1 2 89 2 3 1 Điều phải chứng minh     12   12  17 1 3 2 1 Hướng dẫn giải Ví dụ Tính giá trị biểu thức M  x  x  x x  Ta có: x     1 7 1 7  1  x    x2   2 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Ta có: x3  x.x      1  2     x5  x x3   2   29  41 Thay vào biểu thức M ta có:   M  29  41      M       2020  1 Ví dụ Cho biểu thức: M    2   x 1  x 1   x   1   1         a) Rút gọn M; b) Tìm giá trị lớn M Hướng dẫn giải   3  a) Ta có: M  3  x 1  x 1        2020 2 x 1   3  2020 M      x  x   x  x   x   3  2020 M     x  x  4 x  x   x   1  2020 M     x  x  x  x   x  1 x  x   x  x  2020 M 2 x 1  x  1  x x  2020 M  2 x  x 1 x 1 2020 TXĐ: x  M x  x 1 b) Ta có: x  x   Vì x  2020 2020 nên M    2020 x  x 1 Vậy giá trị lớn M 2020 x   x 7  x 3 Ví dụ 10 Cho biểu thức A      :  x  2 x  x  x   3x  x a) Rút gọn A b) Tìm x để A  x  a) Ta có: A     x  2   x  2 x  1 2 x 1  Hướng dẫn giải x  3x  x x 3 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       x  0; x   ( ) ( ) = x - x + 66x 2y x - 8x 2y x = x + 58x 2y x Câu 19 Đáp án A a a 16a 4a a a -3 -6 = 42 - - 27 75 25 = 2.4 = a a a - - 3 12 ö 23 a 23 3a 23 3a a ổỗ ỗỗ8 - - ữữữ = = = è ø÷ 5 15 Câu 20 Đáp án B Ta có a + a 4a 1 -a +5 = a + a - a + a a 25 a 25 2 ổ1ử = a + ỗỗỗ ÷÷÷ a - a 22 + a è ø÷ a +2 a = a + a -2 a +2 a = a a = a + a - 2a Câu 21 Đáp án C Ta có 2a 2- a = ( 2a + a + 3a = ( - 3a (6 + )( x + 2y = ( x +2 y = ( ) ) x - 2y x + 2y Câu 24 Đáp án D Ta có = 3a - 3a Câu 23 Đáp án C Ta có ) (2 - a )(2 + a ) Câu 22 Đáp án D Ta cú ổ ữử ỗỗ ữ a = a + a - 2a + a ỗố ữữứ a ( )( 2a a + 4a -a = ) x - 2y )( ) = (6 - 3a ) = - 3a 36 - 3a 12 - a - ( 3a ) 62 x -2 y (3 ( - 3a ) ) x +2 y x -2 = ( x - 2y ) x - 2y ) y) (3 x ) - (2 y ) = ( x -2 y 2 = 12 x - y 9x - 4y Câu 25 Đáp án B æ ỉ - 15 - ư÷÷ - ửữữ ỗ 14 - çç + : = + Ta có çç ÷÷ ÷÷ : ỗỗ ỗốỗ - ỗố - - ø÷ - - ø÷ - 18. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ( ) ( 7+ )( )ửữữữữ ổ ỗỗ - -1 = ỗỗ + ỗỗ - 1- ỗố =- ( ữữ ữữ ứ ( ) ( )( 7- = - 7- 7- ) ) - = - (7 - 5) = -2 Câu 26 Đáp án B æ10 + 10 30 - ửữữ ỗ + Ta cú ỗỗ ữữ : ỗỗố + - ø÷ - ( ) ( )ửữữữữ : ổ ỗỗ 20 + ổ 100 - 40 - - ửữữ ỗỗ =ỗ + = ỗỗ + ữữ : çèç + 5+ -1 - ữứ - ỗỗỗ ố ( )( ) ( ) ( 6) 2 = 5+ 5- = - ÷÷ ÷ 5- ø÷ = 20 - = 14 Câu 27 Đáp án A ỉ3 4ư 3 6 6 +2 + -4 = -4 = ỗỗỗ + - ữữữ = 2 è ø÷ Ta có Câu 28 Đáp án C ( x ) y + ( y ) x = xy ( x + y ) Q = x x + y y = ( x ) + ( y ) = ( x + y )(x - xy + y ) R = x - y = ( x ) - ( y ) = ( x - y )( x + y ) Vậy R = ( x - y )( x + y ) P = x y +y x = 2 3 2 Câu 29 Đáp án B M = ( x + y ) = ( x ) + x y +( y) = x + ( x ) - ( y ) = ( x - y )(x + y = 2 x x -y N = P= x- y ( x- y )( x- y x- y ) ( x ) -( y) x + y = xy + y xy + y )=x + xy + y = x -y Vậy N = x + xy + y Câu 30 Đáp án D Ta có 4x - = 2x +  4x - = 4(2x + 3)  4x - = 8x + 12 Điều kiện: 8x + 12 ³  x ³ - Với điều kiện ta có 4x - = 8x + 12  4x - = 8x + 12 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       4x - 8x - 21 =  4x + 6x - 14x - 21 = é êx = é2x - = Vậy phương ê (TM )  2x (2x + 3) - 7(2x + 3) =  (2x - 7)(2x + 3) =  êê ê ê -3 êë2x + = ê ë trình cho có hai nghiệm phân biệt x = ; x = 2 Câu 31 Đáp án D Ta có: 9x - 16 = 3x -  9x - 16 = 9(3x - 4)  9x - 16 = 27x - 36 Điều kiện: 27x - 36 ³  x ³ Với điều kiện ta có: 9x - 16 = 27x - 36  9x - 16 = 27x - 36  9x - 27x + 20 =  9x - 15x - 12x + 20 =  3x (3x - 5) - 4(3x - 5) =  (3x - 4)(3x - 5) = é êx = é3x - = ê (TM )  êê ê x 5 = êx = êë ê ë Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: x = ;x = 3 Câu 32 Đáp án A ìï ïï ïìï9(x - 1) ³ ïï9x - ³ ï Điều kiện ïí16x - 16 ³  ïí16(x - 1) ³  x - ³  x ³ ïï ïï ïï x - ïïx - ³ ỵ ³0 ïï ỵ 81 x -1 9x - 16x - 16 + 27 =4 81 Ta có  1 9(x - 1) 16(x - 1) + 27 (x - 1) = 4 81  1 x - - x - + 27 x - = 4  x -1 - x -1 + x -1 =  x -1 =  x - =  x - =  x = 2(TM ) Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 33 Đáp án D ìï4x - ³ ìï4(x - 2) ³ ïï ï ï9x - 18 ³  ïï9(x - 2) ³  x - ³  x ³ í í ïï ïï ïïx - 24 ³ ïïx - ³ ỵ Điều kiện: î 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ... ( - 3a ) ) x +2 y x -2 = ( x - 2y ) x - 2y ) y) (3 x ) - (2 y ) = ( x -2 y 2 = 12 x - y 9x - 4y Câu 25 Đáp án B ỉ ỉ - 15 - ư÷÷ - ửữữ ỗ 14 - ỗỗ + : = + Ta cú ỗỗ ữữ ữữ : ỗỗ ỗốỗ - ỗố - - ø÷ - -. .. - ø÷ - 18. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ( ) ( 7+ )( )ửữữữữ ổ ỗỗ - -1 = ỗỗ + ỗỗ - 1- ỗố =- ( ữữ ữữ ứ ( ) ( )( 7- = - 7- 7- ) ) - = - (7 - 5) = -2 Câu 26 Đáp án B ổ10 + 10 30 - ửữữ... - - x - + 27 x - = 4  x -1 - x -1 + x -1 =  x -1 =  x - =  x - =  x = 2(TM ) Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 33 Đáp án D ìï4x - ³ ìï4(x - 2) ³ ïï ï ï9x - 18 ³  ïï9(x - 2) ³  x - ³