Phương pháp hàm đặc trưng giải phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit - Đặng Việt Đông

Với “Phương pháp hàm đặc trưng giải phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit - Đặng Việt Đông” được chia sẻ dưới đây, các bạn học sinh được ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học, rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải bài tập để chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo tài liệu!

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ – LÔGARIT Dạng 1: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ không chứa tham số Dạng 2: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ chứa tham số Dạng 3: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit không chứa tham số Dạng 4: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit chứa tham số Dạng 5: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt có tổ hợp mũ - lôgarit không chứa tham số Dạng 6: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt có tổ hợp mũ - lôgarit chứa tham số 18 28 54 73 102 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ - LÔGARIT Phương pháp hàm số đặc trưng thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc Gia đề thi tốt nghiệp THPT, câu phân loại đề: -Câu 47 mã đề 101 – THPT QG năm 2017 -Câu 35 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2018 -Câu 46 mã đề 101 – THPT QG năm 2018 -Câu 47 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2020 -Câu 47 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2021 -…… Sau đây, xin trình bày sở lý thuyết giới thiệu số tốn áp dụng nó: I - CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cho hàm số đặc trưng y  f  t  liên tục tập D + Nếu hàm số f  t  đơn điệu chiều (đồng biến nghịch biến) D tồn u , v  D f  u   f  v   u  v + Nếu hàm số f  t  đồng biến D tồn u , v  D f  u   f  v   u  v + Nếu hàm số f  t  nghịch biến D tồn u , v  D f  u   f  v   u  v Câu II - ÁP DỤNG DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ - PT MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 2 Gọi S tập hợp nghiệm thực phương trình x 3 x   x  x   x  Số phần tử S A B C D Lời giải Chọn C 2 2 Ta có: x 3 x   x  x   x   x 3 x   x  x   x  x   x  x  Xét hàm số f  t   2t  t  Ta có: f '  t   2t.ln2   , với x   Suy f  t  đồng biến  Nên f  x  3x    f  x  x    x  3x   x  x   x  Suy phương trình cho có nghiệm Suy số phần tử S Câu Tính tổng nghiệm phương trình 2019 x 3 x  x  2019 x   x3  x   A 3 B 2 C D Lời giải Chọn D 2019 x 3 x  x  2019 x   x3  x    2019 x 3 x  x  x3  3x  x  2019 x   x  (1) Xét hàm số: f  t   2019t  t , f '  t   2019t ln2019   0, t    f  t  đồng biến  x 1 (1)  f  x  3x  x   f  x    x3  x  x  x   x  3x     x    Vậy tổng nghiệm ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 2  93 x  x   42 x 3  3x  x  x có số nghiệm B C D Lời giải 2 Phương trình cho tương đương với x  x  93 x  x   42 x 3  3x  x  x 2  x  x  x  x  3x  x  24 x 6  x   36 x (*) Xét hàm số f  t   2t  t  3t , ta ó f'  t   2t.ln2   3t.ln3  , t   nên hàm số f  t  đồng biến  x  Khi *  f x  x  f  x    x  x  x    x  Phương trình x A x  Câu Phương pháp hàm đặc trưng  Phương trình 223 x x  1024 x  23 x3  10 x  x có tổng nghiệm gần với số A 0,35 B 0, 40 C 0,50 D 0, 45 Lời giải Chọn D 3 Ta có: 223 x x  1024 x  23x3  10 x  x  223 x  x  23x3  x  210 x  10 x Hàm số f  t   2t  t  f'  t   2t ln2   đồng biến   223 x  x  23x  x  210 x  10 x  23 x3  x  10 x  x  x  Tổng nghiệm Câu Gọi x0  ab c 5 23 10  0, 4347 23 nghiệm lớn phương trình 1 x   1 x x      1  x  Giá trị P  a  b  c  3   A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x  1 x 1   1 x x      1  x   x  3x 1   x  2x 3   1 2x 3   3x 1  x  1 Xét hàm số f  t   3t  t  t   , f '  t   3t.ln3   2x 1  a  , b  , c  Vậy P  1  f    f  x  1   x   x  2x  2x      Câu Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 x  x  y  y ? A 2020 B 1010 C D Lời giải Chọn D Ta có   x  x  y  3y  x  x2  3y  3y (1) Xét hàm f  t   t  t ,  t   Ta có: f '  t    2t  , t   f  t  hàm đồng biến  ;   ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Vì vậy, (1)  f  x   f  y   x  y Theo giả thiết,  x  2020   y  2020   y  log 2020 Vì y nguyên nên y  0 ;1 ; ; ; ; ; 6  x  1 ; ; ; 27 ; 81 ; 243 ; 729 Vậy có cặp  x ; y  thỏa mãn Câu Có số nguyên dương x thỏa mãn 2.2 x  x  sin y  2cos y ? A B C Lời giải Chọn D 2 Có 2.2 x  x  sin y  2cos y  x 1  x   2cos y  cos x (3) D Đặt f  t   2t  t  f '  t   2t.ln2   , t   Hàm số y  f  t  đồng biến  ;   Vì phương trình (3)  f  x  1  f  cos x   x   cos x  x  sin x  x  Câu Mà x số nguyên dương Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 3x 1  x   y  y ? A 2020 B 2021 C 2022 Lời giải D 2023 Chọn B Ta có: 3x 1  x   y  y  f  x  1  f  y  Xét hàm số f  t   3t  t  f '  t   3t.ln3   , t  R Do f  x  1  f  y   x   y  x  y  Vì  x  2020   y   2020   y  2021 Mà y   nên y  1 ; ; ; ; 2021 Vậy có 2021 cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Có cặp số nguyên dương  x ; y  nghiệm phương trình x.3125 x   y  1 y thỏa mãn y  60 A 10 B 13 C 11 Lời giải D 12 Chọn D Ta có x.3125 x   y  1 y  x.55 x   y  1 y    log x.55 x  log  y  1 y   x  log x  log  y  1  y  x  log 5 x   y  1  log  y  1 Xét hàm số f  t   t  log5t , t   0,  t  Khi f  x   f  y  1  x  y  t.ln5 Như tương ứng với giá trị x nguyên dương ta có y nguyên dương mà y  60 61 suy x  61  x  Mặt khác x nguyên dương nên x  1 ; ; 3; ;12 Ta có f '  t    Vậy có 12 cặp số  x ; y  nguyên dương thỏa mãn đề ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10 Tổng nghiệm phương trình A 37 B 6 x 8 3    x 1   9.3x    x    x  x2  x 27 5.5 x2 Phương pháp hàm đặc trưng C Lời giải D 3 Chọn D 3  Ta có: x 8   x 1   9.3x    x    x  x2  x 27 5.5 1  x 8  3x 8   x    x2  x 1  3x  x 1   x  x  1 1 5 Xét hàm số f  t   t  3t  t , ln5 có: f '  t   t  3t ln3   0, t nên hàm số y  f  t  nghịch biến Do đó, phương trình 1 có nghiệm  f  x    f  x  x  1 có nghiệm x2  3  37 x   x   x  x   x  3x      3  37 x   Vậy tổng nghiệm phương trình 3 Câu 11 Số nghiệm phương trình x  x    x  x   83 x 5   x   x 8 x 3 A C Lời giải Đặt u  x  8x  , v  x  , phương trình cho viết lại u  v  u.8v  v.8u  u 1  8v   v 8u  1 * B D Ta thấy u  v  thỏa mãn phương trình *  8v 8u   Với u  v  ta có *  ** v u Ta thấy: 8u  8u  Nếu u   u   Do VP **  0, u  u u  8v  8v  v   Do VT **  0, v  Nếu v  v v Từ suy ** vơ nghiệm Như vậy, phương trình cho tương đương với   x   13  x2  8x    u    x   13 v     3 x    x   Vậy, phương trình cho có nghiệm Câu 12 Phương trình e x  e x 1   x  2 x  có nghiệm khoảng nào? ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  5 A  2;   2 3  B  ;  2  Phương pháp hàm đặc trưng  3 C  1;   2 Lời giải 1  D  ;1 2  Chọn A ĐK: x   ex  e x 1   x2  2x   e x  e  e x   x  1  e x 1    2x 1 1 2 x 1    x  1    2x 1 1  * Xét hàm số f  t   et   t  1 với t   f '  t   et   t  1  với t   Suy hàm số đồng biến  *  f  x   f      ;    2x 1  x  2x  x   x  x      x    x     x  2x 1 x  2x 1     x   Câu 13 Có số nguyên y  10 cho tồn số nguyên y  x 2 y x thỏa mãn 2   5x  x1   x  1 ? A 10 B Phân tích Phương trình dạng f  u   f  v  C D Vô số Phương pháp: Chứng minh y  f  t  đơn điệu  a; b  Từ phương trình suy u  v Từ tìm liên hệ biến x, y chọn x, y thích hợp Lời giải Chọn C y Ta có:  x 2 y   5x  x 1   x  1  y  x 2 y   x   5x  x 1  x2  x Xét: f  t   5t 1  t đồng biến  Do từ phương trình suy ra: y y 2 y y 2  x   x  x   x  1    x   y Do x nguyên nên ta có 2   y  10 nên y  0; 2; 4; 6;8 1  Câu 14 Có số nguyên y cho tồn x   ;3  thỏa mãn 27 x  xy  1  xy  279 x ? 3  A 10 B 12 C 11 D Lời giải Chọn C Viết lại phương trình thành 27 3x 9 x  1  xy  27xy +) Ta có 1  3x  x  log 27 1  xy   xy  3x  9x 1  log27 t  t , với t   xy  +) Xét hàm số f  x   3x  x  Ta có  1  31  f  x   1 x  ;3 3  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A +) Xét hàm số g  t   log27 t  t, t  g   t   Phương pháp hàm đặc trưng 1  ; g t    t  t ln 27 ln 27  t   8,07.1012 ;  0,04 31 1  31 Ta có   f  x   1 , x  ;3 suy   g  t   1   4 3  t  1;  8, 4    1  8, 07.10   8, 07.10   xy  0, 04 x hay   0  y  7, 1   xy  8,  x  1  3  y     , ( x   ;3 , y nguyên)  3    y  22 +) Nhận thấy y  2; y  1 thỏa mãn đề 12 12  y  1  0, 04 x +) Với  y  22 , ta có 1  3x  9x 1  log27 1  xy   1  xy   1  3  Nhập hàm, thay giá trị nguyên y, kiểm tra nghiệm x   ;3 dẫn đến chọn  y  Vậy y 2; 1;1;2; ;9 nên có 11 giá trị nguyên y thỏa mãn đề Câu 15 Có cặp số nguyên 384.128x A 674 2 x  x; y   6.8 y   y  x  14 x ? B 1348 thỏa mãn đồng thời C 1346 Lời giải  x  2022 D 2022 Chọn B + Ta có: 384.128x 2 x 2 x 1  6.8 y   y  x  14 x  3.2     x  1  3.23 y 1  y  + Xét hàm số f  t   3.2t  t , t  có f   t   3.2t.ln   nên hàm số đồng biến 0;     + Do đó:  x  1  y   x  x   y  x    x  3n  + Vì x, y   nên x  x     , n  x3  x  3n 2020  1 n   n   2022    n  673 3 mà  x  2022     1  3n  2022 1  n  674   n  674    ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng hay có 1348 số nguyên n Mỗi giá trị n cho cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn điều kiện tốn Vậy có 1348 cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn điều kiện tốn Câu 16 Có cặp số nguyên dương  x; y  thoả mãn  x  2020 3x  x  1  27 y y A 2020 B 673 C 672 Lời giải D 2019 Chọn B Ta có: 3x  x  1  27 y y  log 3x  x  1   log  27 y y   x  log3  x  1  y  log3 y   x  1  log  x  1  y  log y  log3   x  1  log  x  1  y  log  y  (*) Xét hàm số f  t   t  log3t , với t  1; 2021  , t  1; 2021 tln3 Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0; 2021 f ' t    Mà (*)  f  x  1  f  y   x   y  x  y  2021  y 3 Do y     y  1; 2;3; ; 673 Ứng với giá trị y cho ta x nguyên dương Vì  x  2020   y   2020   y  2021  Vậy có 673 cặp  x; y  thỏa yêu cầu toán Câu 17 Cho hàm số f  x   e x  e x  x  x Phương trình f  x  x   f  x 1  x  3  có tập nghiệm A 0 B 1 C 0;1 D 1;3 Lời giải Chọn A Trước hết ta nhận thấy rằng: f  x  hàm lẻ vì: f   x   e  x  e x  x3  x   f  x  Đạo hàm: f '  x   e x  e  x  x    Hàm số đơn điệu tăng Từ phương trình giả thiết: f  x  x   f  x 1  x  3   f  x  x    f  x 1  x  3      f x  x  f 2 x 1  x   x  x  2 x 1  x   x  2.2 x    x  3 VN   x  tập nghiệm phương trình cho là: 0 2   x  Câu 18 Cho số thực x , y với x  thỏa mãn e x  y  e xy 1  x  y  1   e  xy 1  x 3 y e m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  Mệnh đề sau đúng? A m   2;3 B m   1;  C m   0;1  y Gọi D m  1;  Lời giải Chọn C x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  Từ giả thiết e  e x 3 y  e x 3 y   x  y   e xy 1  e  xy 1 e x 3 y  3y    xy  1 (1) ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A t Xét hàm số f  t  = e  Phương pháp hàm đặc trưng 1  t với t  ta có f '  t  = et  t   0, t    f  t  hàm t e e số đồng biến  Phương trình (1) có dạng f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   y  Khi T  x  y   x   Tmin   x 1 ( x  0) x3 2x  x2  6x  1  T '  1   0, x  2 x3  x  3  x  3 2.0  1   m 03 10 x y  1 Câu 19 Có cặp  x; y  thỏa mãn 10   x  y   10 xy x  * , y  x y  A 14 B C 21 D 10 Lời giải 10 10 10 x  y  xy  1 xy    1  xy 10  xy 1 x y x y x y 10   x  y    10  10  10  10  1   10 x y xy x y   xy  Xét hàm số f (t )  t.10t khoảng  0;   f (t )  10t  t.10t ln10  0, t  nên hàm số f (t )  t.10t đồng biến khoảng  0;   10 1  10  10 10 x  y  1   10 xy   1 x y x y xy  xy     1  10   x  y  1    10   y    x  y x  xy   Do đó: 1  2, y  nên x    x  x     15  x   15 , x   * y x  x  A  1; 2;3; 4;5; 6; 7 Vì y     Với số a  phương trình y   a  y  ay   (*) có  S  a  y P     Phương trình (*) ln có hai nghiệm y  Vậy có 14 cặp  x; y  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 20 Có cặp số nguyên  x ; y thỏa mãn  x  2020 2.625x  10.125 y  y  x  A 2020 B 674 C 2021 Lời giải D 1347 Chọn D Cách Ta có 2 2.625 x  10.125 y  y  x  11  2.54 x  2.53 y 1  y  x   2.54 x  x  2.53 y 1  y  1* Xét hàm số f  t   2.5t  t hàm số đồng biến  Ta có *  f  x   f  y  1  x  y   x   y   x  1 x  1  y ** ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng  m  g 1  m  11  Phương trình g  x   m có nghiệm x     m  16  m  g   Mà m   2022; 2022 nên m  16; 11; 10; 9; ; 2022 Vậy có 2035 giá trị nguyên m   2022; 2022 Câu 108 Có giá trị nguyên dương a cho ứng với a , tồn số thực b thỏa  mãn a log5  2log5  a   b   b   2b B 10 A 11   b2 ? C Lời giải D 2002 Chọn A PT cho tương đương với    2b  b       b   b   b   b       b   b   b   b  8log5 a  2.2log5 a  b   b      2log5 a  2log5 a  2.2log5 a  2.2log5 a 2 2 2 Xét hàm số f  t   t  2t  f   t   3t   0, t nên hàm số đồng biến  Do PT cho tương đương với: 2log5 a  b   b 1 Xét hàm số g  b   b   b , b   2; 2  g   b    b 4b  g b    b  b2 0 b Ta có bảng biến thiên sau: PT (1) có nghiệm b 2  log5 a 2 22 log5 a 3  2  log a   a  Mà a số nguyên dương nên a  1; 2; ;11 Câu 109 Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn 2 e x  y  m  e x  y  xy  m  x  y  x  y  xy  2m  A B C ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 118 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng D Lời giải Xét hàm số f (t )  e  t  1, t   f (t )  et  f (t )   t  Ta thấy f (t ) đổi dấu từ "- " sang "+" qua t  nên f (t )  f (0)  0, t   t 2   e x  y  m  x  y  m   0, x, y   Do đó:  Dấu "=" xảy x  y  xy  m e  ( x  y  xy  m )   0,  x , y    2 x  y  m   x  y  xy  m  x2  y2  m  e x  y  xy m  x  y  x  y  xy  2m     x  y  xy  m S  2P  m Đặt S  x  y, P  x y , ta có:   S  S  3P  Vì S  P  S  [0; 4] S  P  m Hay e x  y2 m Lấy (1)+2.(2) vế theo vế ta được: S  2S  3m(3) Xét hàm số f ( S )  S  S , S  [0; 4] , có f (S )  2S   0, S  [0; 4] Yêu cầu toán  (3) có nghiệm  f (0)  3m  f (4)   m  Vậy, có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 110 Có giá trị nguyên y cho tồn số (THPT Lê Thánh Tông - HCM-2022) Có tất số b nguyên dương cho tồn hai số thực a thỏa mãn đẳng thức 2 b.2 a  a 1  b 2 a 12 a 1   log  a  a  log b  ? A 1024 B 1023 C 2047 Lời giải D 2048 Chọn B  x  a  6a  Đặt  y  log b   b  y x  y   Ta y.2 x 1  2 y.2 x 1   log  x  y   x  y  22 x  y   14 log  x  y    Xét hàm số f  t   22t  2t  14 log t  , t  14 14  f   t   4t ln  2t ln 2   t  t.ln t ln  f  t   có nhiều hai nghiệm dương Ta thấy f 1  f    f   t   4t ln  2t ln  log b   6a  a t  x  y  Do vậy, ta f  t       2 t   x  y  log b   6a  a Câu 111 Có tất giá trị nguyên tham số m để log  m  x   2m  x  x  có nghiệm thuộc  0;3 ? A B C Lời giải phương trình D Chọn C Điều kiện: m  x  Ta có log  m  x   2m  x  x   log  2m  x   2m  x  x  x ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 119 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng  log  2m  x   2m  x  log 2 x  x (*) Xét hàm số f  t   log 2t  t  0;    0, t  t.ln2 Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0;   Ta có: f '  t    Do (*)  f  2m  x   f  x   2m  x  x  2m  x  x Đặt g  x   x  x Vì g'  x   x.ln2   0, x   0;3 nên ta có BBT  m  Vì m   nên m  1; 2;3; 4;5;6;7 Do ycbt   2m  14  Vậy có giá trị m cần tìm Câu 112 Số giá trị m nguyên    khoảng thuộc  2019; 2020 để phương trình  log 3x  3 x  3m   3m 3x  x có hai nghiệm A 2018 B 4036 C 2019 Lời giải D 2020 Chọn A Ta có log    x   x   m    3x 3x  3m     3.3x  3x 3x  3m   3   log  x     m  x x      log 3x 3x  3m  1  x  3.3x  3x 3x  3m  log 3x 3x  3m  1  3x 3x  3m   3.3x  x   log3 3x  3x  3m   1  3x  3x  3m    log 3x 1  3x 1 1 Xét hàm số f  t   log3t  t  0;   có f '  t     t  nên hàm số t.ln3 f  t   log3t  t đồng biến  0;     Do 1  f 3x 3x  3m  1  f 3x 1  3x 3x  3m   3x 1  32 x  3m  3x   Đặt t  3x , t  Phương trình trở thành t   3m  3 t             Phương trình ban đầu có hai nghiệm phương trình   có hai nghiệm t1 , t2 thỏa Δ   mãn  t1  t2  t1  t2  t t  1 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 120 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng 3m   m  log3  +) Δ   3m      m  * m  3  t1  t2  3  3m  +) Khi theo định lý Viet ta có    m  1** t1.t2  1    Kết hợp * ** ta được: m  Do m nguyên thuộc khoảng  2019; 2020  nên m  2018; 2017; ; 1 Vậy có 2018 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 113 Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y , đồng thời thỏa mãn log 32  3x  y  1   m   log x  m2   ? A B C D Lời giải Chọn B Ta có e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y  e3 x 5 y   x  y   e x 3 y 1   x  y  1 (1) Xét hàm số f  t   et  t  Ta có f '  t   et   nên hàm số đồng biến  Khi (1)  f  3x  y   f  x  y  1  x  y  x  y   y   x Thế vào phương trình cịn lại ta log 32 x   m   log x  m2   (2) Đặt t  log x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t   m   t  m2   (3) Phương trình (3) có nghiệm    3m  12m    m  Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 114 Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn điều kiện 35 x 7 y  33 x 5 y    x  y  1  , đồng thời thỏa mãn ln  x  y  3   m   lnx  m2   có nghiệm? A 2019 B C 2020 D Lời giải Chọn D 35 x 7 y  33 x 5 y    x  y  1   35 x  y  x  y  33 x 5 y   x  y  Xét hàm số f  t   3t  t f'  t   3t ln3   0, t   Suy hàm số f  t   3t  t đồng biến  Nên f  x  y   f  3x  y    x  y  3x  y   y   x 1 Thế 1 vào phương trình ln  x  y  3   m   lnx  m2   ta ln x   m   lnx  m2   Đặt t  lnx , phương trình có dạng: t   m   t  m2   Để phương trình có nghiệm 22 22  1, 09  m  2, 43 3 Vì m   nên m  1;0;1; 2 0 3m  4m   Do có số nguyên m thỏa mãn ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 121 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Câu 115 Có giá trị nguyên dương tham số m để tồn số thực x , y thỏa mãn đồng thời e3 x 5 y 10  e x  y 9   x  y log 52  3x  y     m   log  x  5  m2   ? A B D C Lời giải Chọn C Theo e3 x 5 y 10  e x  y 9   x  y  e3 x 5 y 10  e x 3 y 9   x  y     3x  y  10   e3 x 5 y 10  3x  y  10  e x 3 y 9  x  y  Xét hàm số f  t   et  t , t   Ta có: f '  t   et   0, t   Suy hàm số đồng biến  Khi phương trình f  t   có nghiệm Tức là: x  y  10  x  y   y   x Thay vào phương trình thứ 2, ta được: log 52  3x  y     m   log5  x    m    log 52  x     m   log5  x    m   1 Đặt log  x    t  t  , x  5  Khi phương trình trở thành t   m   t  m    * Tồn x , y thỏa mãn yêu cầu toán phương trình * có nghiệm, tức là:   Δ   m    m2    3m  12m    m  Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu toán sin x  5cosx  m 5 Câu 116 Tìm giá trị m để phương trình A B 5  m  m  log sinx  5cosx 10  m  5 có nghiệm C   m   D   m  Lời giải Chọn C Ta có sin x  5cosx  m   3sin x   3sin x   log sinx  5cosx 10  m 5  m  5 ln  m   5cosx 10  ln sin x  5cosx  10    ln sin x  5cosx  10  m 5.ln  m   (1) 5cosx 10 Xét f  t   ln  t  3t , t  , f '  t   3t  ln  t  3t ln  3  0, t  nên hàm số f  t  đồng t biến  5;   Khi 1  f sin x  5cosx  10  f  m      sin x  5cosx  10  m   sin x  5cosx   m ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 122 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mà   sin x  5cosx    m   nên để phương Phương pháp hàm đặc trưng trình có nghiệm ta phải có Câu 117 Cho phương trình 2 x 1 log x  x   x m log  x  m   với m tham số thực   Có giá trị nguyên m đoạn  2019 ; 2019 để phương trình có nghiệm phân biệt A 4036 B 4034 C 4038 Lời giải D 4040 Chọn C Điều kiện: x   2 x 1 log x  x   x m log  x  m     2 x m  2 x 1 log  x  1    log  x  m   1   Xét hàm số y  2t.log  t   với t  Hàm số y  2t.log  t   xác định liên tục  ;   Ta có y '  2t.log  t   ln2  2t  0, t   t   ln2 Vậy hàm số y  2t.log  t   đồng biến  ;   Từ 1  f  x 1   x  12   x  m   f  x  m    x  1  x  m      x  1   x  m   2m   x  x  11  *  m  x  1  Xét phương trình 2m   x  x  Ta có bảng biến thiên hàm số g  x    x  x  Phương trình 2m   x  x  có nghiệm phân biệt 2m   m  Phương trình 2m   x  x  có nghiệm 2m   m  Xét phương trình 2m  x  Ta có bảng biến thiên hàm số h  x   x  Phương trình 2m   x  x  vô nghiệm 2m   m  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 123 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Phương trình 2m  x  có nghiệm phân biệt 2m   m  Phương trình 2m  x  có nghiệm 2m   m  Phương trình 2m  x  vô nghiệm 2m   m  : phương trình 2m   x  x  có nghiệm x  , phương trình 2m  x  có nghiệm phân biệt x   Vậy * có nghiệm phân biệt, suy loại m  Khi m  : phương trình 2m   x  x  có nghiệm phân biệt x   , phương trình 2m  x  có nghiệm x  Vậy * có nghiệm phân biệt, suy loại m  2 2 Xét phương trình  x  x   x   2 x  x    x  suy không tồn m để phương trình 1   có tập nghiệm gồm phần tử Vậy khơng tồn m để * Khi m  có nghiệm phân biệt Yêu cầu toán  * có nghiệm phân biệt  m  TH1: 1 có nghiệm phân biệt   vô nghiệm   m m    m  TH2:   có nghiệm phân biệt 1 vô nghiệm   m m    m  TH3: 1 có nghiệm x    có nghiệm x     m  m   1 3   Kết hợp với điều kiện m thuộc đoạn  2019 ; 2019 ta có m   2019 ;    ; 2019  2 2   Vì m nguyên nên nên ta có 4038 giá trị m Câu 118 Cho phương trình 3 x 1 log x  x   x m log  x  m    1   ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 124 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Gọi S tập tất giá trị m để phương trình 1 có nghiệm thực phân biệt Khi tổng phần tử S A 3 B 2 C Lời giải D Chọn A 3 x 1 log x  x   x m log  x  m      2 x m  3 x 1 log3  x  1    log3  x  m       Xét hàm: f  t   3t.log  t   khoảng  0;   f '  t   3t.ln3.log3  t     3t.ln  t    3t t  ln3   3t  0, t   0;    t   ln3  f  t  hàm đồng biến  0;   2 f  x  1   f  x  m    x  1  x  m     x  1   x  m   2      x  2m  x  x   2m   x  2m       x  x   2m    Phương trình 1 có nghiệm thực phân biệt, ta xét trường hợp sau: 1  x  2  1 Thay m  vào   ta x  x      x  2   m   giá trị cần tìm TH1 Phương trình  3 có nghiệm kép  m  TH2 Phương trình   có nghiệm kép   1  2m    m   Thay m   3 vào  3 ta x    x   2 giá trị cần tìm TH3.Phương trình (3) phương trình (4) phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm chung Gọi a nghiệm chung Khi ta có a  2m   (*) m a  a   2m   a  m vào (*) ta m  1 Thay m  1 vào (3) ta x   x  1  x  1 Thay m  1 vào (4) ta x  x      x  3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 125 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Vậy m  1 giá trị cần tìm  1   3  Do tổng phần tử S        1  3     Câu 119 Cho phương trình 4 x  m log x   x   2 x  x log  x  m    với m tham số Tổng tất giá trị tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Chọn D Phương trình cho tương đương với phương trình 2 x  m 1 log x  x   22 x  x log  x  m     2    2x  log x  x   22 x  x log  x  m   2 x  m 1 2 x   log x  x   log  x  m   x  m 1 Xét hàm số f  t   2t 3.log 2t với t  Do t  suy log 2t   2t 3.ln2.log 2t  t.ln2 Do hàm f  t  đồng biến f'  t   2t 3  2;   mà f  x  x  3  f  x  m   suy  x2 m   2x   x 2 x2  x   x  m   x  m   x    * 2 x   m    x2 x2 Vẽ đồ thị hàm số y   x  y   hệ trục tọa độ 2 2 x2 Đồ thị hai hàm số tiếp xúc với điểm 1;1 Điểm cực trị đồ thị hàm số y   2 x  1  3  0;  , điểm cực trị đồ thị hàm số y   x   2;  2  2  2 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 126 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng 1 3 Dựa vào đồ thị, để * có ba nghiệm phân biệt m   ;1;  2 2 Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn    2 Câu 120 Có giá trị thực tham số a để phương trình  x  a log x  x   2 x  x log  x  a    có nghiệm thực phân biệt?   A B D C Lời giải Chọn D PT cho tương đương với  2 x a  x 1  2x 2 x 3 log    log  x   x  3  log x  x    2x x a x2  x 22 x   2x   x2 2 x log 21  x  a    log  x  a   log x  x   22 x  a log  x  a   2 x a  log  x  a   1 Xét hàm số f  t   2t.log 2t , t  ; Ta có: f '  t   2t lnt  2t  0, t   Hàm số f  t  tln2 đồng biến  2;   Từ (1) suy f  x  x  3  f  x  a    x  x   x  a   x  x   x  a (*)  x2  2x    x  a   x  x  2a        x  x   2  x  a   x  2a    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: * TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm (2):  a Δ ' 2   3  2a   2a1    2a   Δ '3  a   * TH2: (3) có hai nghiệm phân biệt (2) có nghiệm kép khác hai nghiệm (3):  a Δ ' 2   3  2a   2a    2a   Δ '3  a   * TH3: (2) (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm chung:  x  x  2a   Điều xảy hệ  có nghiệm x  a    x  x  2a    x  a x     a  a   x  2a  x 1 Khi a  ta có:   trở thành x  x     x  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 127 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x  trở thành x     x  1 Khi đó: PT cho có nghiệm 1  Vậy a   ;1;  2 2 BỔ SUNG CÁCH 2: Xét phương trình x  x   x  a Phương pháp hàm đặc trưng  3 * Vẽ đồ thị hàm số y  x  x  11 ; y  x  a   mt h trc ta ta c: nhánh bêntráicủa   tiÕpxócvíi 1  Nhận xét * có nghim phõn bit nhánh bênphảicủa  tiÕpxócvíi 1 1 vµ   cïng trïng cực trị tại1 a x  x    a  x  cãnghiÖmkÐp     x  x    x  a  cãnghiÖmkÐp   a   a  a     Vậy có giá trị a thỏa mãn tốn Câu 121 Cho phương trình    m3  m 1  x3  x 1  0 log 81 x  x    log   m  3m      m Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên để phương trình cho có số nghiệm thuộc đoạn 6;8 Tính tổng bình phương tất phần tử tập S   A 20 B 28 C 14 Lời giải D 10 Chọn A Ta có  m3  m 1   log 81 x  x       0 log  m3  3m       x3  x 1  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 128 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 x3 3 x 1    log3 x  3x    m3 3 m2 1  Phương pháp hàm đặc trưng   log m3  3m   Xét hàm số f  t   2t.log 3t với t  ; Ta có f '  t   2t ln2.log 3t  2t  0t  tln3 Suy hàm số f  t  đồng biến  2;   Do phương trình tương đương với m3  3m   x  3x  1 Vẽ đồ thị hàm số g  x   x  3x  từ suy đồ thị g  x  đồ thị g  x  hình vẽ Từ đồ thị suy 1 có 6, 7,8 nghiệm   g  m   Từ đồ thị suy giá trị nguyên m 3 , 1 , , , Vậy S  20 Từ đồ thị, ta có: 10  log b  11  210  b  211 Vậy có 1023 số nguyên dương b thỏa mãn Câu 122 Có số nguyên a  a  3 cho tồn số thực a log 2021 x 3 A 2019  log 2021 a x thỏa mãn  x 3? B 2018 C 2020 Lời giải D 2003 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 129 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Chọn B ĐK có nghiệm x  Ta có:  a log 2021 x  3 log 2021 a   x   x log 2021 a   log 2021 a    x log 2021 a   x log2021 a  x 1 Xét hàm số f  t   t log2021 a  t  0;    f   t   t log2021 a 1.log 2021 a   t  vµ a   Hàm số f  t  đồng biến  0;    Do 1  f  x log 2021 a    f  x   x log 2021 a   x  x log 2021 a  x   log 2021 xlog2021 a  log 2021  x  3  log 2021 a log 2021 x  log 2021  x  3  log 2021 a  log 2021  x  3 log 2021 x Mà log 2021  x  3  log 2021 x x  log 2021 x  x  nên Lại có: Hàm số g  x   log 2021  x  3  1x  log 2021 x log 2021  x  3 liên tục  3;    log 2021 x lim g  x   ; lim g  x    x  x 3 log 2021  x  3   ;1 log 2021 x Khi phương trình cho có nghiệm log 2021 a   a  2021 Do tập giá trị hàm số g  x   Lại có a nguyên a  nên a  3; 4; ; 2020 Vậy có 2018 số nguyên a  a  3 thỏa mãn u cầu tốn Câu 123 Có số nguyên   ln a log x  4a log x   A a a  2 ln  x   ? log a B cho tồn số thực C Lời giải x thỏa mãn D Chọn A Ta có: ln  x   ln  x    ln  a 4log x  4a 2log x    log a log a ln  x    ln  a 2log x    log a log  t   Đặt a 2log x   t  log a.2 log x  log  t    log a  2log x  ln t.ln  t    ln x.ln  x     ln a log x  4a log x   Xét hàm f  u   ln u.ln  u    f u   ln  u   ln u  0 u u2 Do t   a 2log x  22log   u  x  a 2log x  x   x  x 2log a   x  x 2log a  log a   log a   a  10  a  2;3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 130 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Câu 124 Có số nguyên a  a   cho tồn số thực x thỏa mãn:  a log x   ? A B C Lời giải log a  x2 D Vô số Chọn A  Xét phương trình  a log x    Vì  x log a   log a log a  x    x log a   log a  x2  nên suy x   Ta có:  x log a   log a  x    x log a   log a   x log a    x log a  x  Xét hàm số f  t   t log a  t có f   t   log a.t log a 1   , t  Do f  t  hàm số đồng biến  2;     Mà f  x log a    f  x   xlog a   x  xlog a  x   Trường hợp 1: log a   a  10 y y = xlog a y=x x Dễ thấy hai đồ thị hai hàm số y  x log a y  x  khơng có điểm chung, a  10 không thỏa mãn yêu cầu toán  Trường hợp 1: log a   a  10 Dễ thấy phương trình xlog a  x  ln có nghiệm y y=x y = xlog a x  Vậy a  2;3; ;9  có giá trị a thỏa mãn Câu 125 Có số tự nhiên a cho x3 a 2021 A 3log x 1 x  2020   a 3log x 1 B tồn số thực x thoả  2020 C Lời giải D 12 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 131 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Chọn A 3log x 1  3log x 1 Xét phương trình: 2021x a  x3  a 3log x 1  log 2021 a  x3  log 2021  x  2020   a  a 3log x1  2020 , điều kiện: x  1 , x3  2020   2020  log 2021  x3  2020  3log x 1   log 2021 a 3log x 1   2020   Xét hàm số f (t )  t  log 2021  t  2020  ,  0;  3t f '(t )  3t   0, t  nên hàm số f (t ) đồng biến  0;   t  2020  ln 2021 Do   trở thành: x  a  log a  log x 1  x   x  1 log a  log x  log a.log( x  1) log x  1, x  1 nên a  10  a  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 log  x  1 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 132 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ...ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ – LÔGARIT Dạng 1: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ không... Dạng 2: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ chứa tham số Dạng 3: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit không chứa tham số Dạng 4: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit. .. A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ - LÔGARIT Phương pháp hàm số đặc trưng thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc Gia đề thi tốt nghiệp THPT, câu phân loại đề: -Câu