PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Toán học là môn chủ đạo trong các cấp học, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tính toán Môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách, phẩm c[.]
PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học mơn chủ đạo cấp học, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tính tốn Mơn Tốn cịn góp phần phát triển nhân cách, phẩm chất người lao động, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, xác,kiên trì, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Qua nhiều năm công tác giảng dạy trường THPT nhận thấy việc học tốn nói chung việc phụ đạo, bồi dưỡng học sinh nói riêng Muốn học sinh rèn luyện tư phân tích tốn việc học giải tốn thân người thầy cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách giải Để có học sinh giỏi mơn tốn điều khó, cịn phụ thuộc vào nhiều nguyên nhân, có nguyên nhân khách quan nguyên nhân chủ quan Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tịi, nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua tốn Từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động tư phân tích tốn đến lời giải nhanh xác Trong chương trình mơn tốn lớp 12, chương học : “ Mũ Logarit” chương học quan trọng, toán mũ logarit xuất đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh tỉnh thành nước Hiện đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn tỉnh thành hay gặp toán mức độ vận dụng vận dụng cao phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương liên quan đến toán mũ logarit mà cách giải sử dụng “ Hàm đặc trưng” để giải 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp em học sinh sử dụng hàm đặc trưng giải tốn giải phương trình, bất phương trình liên quan đến mũ logarir Từ em có cách nhìn tổng thể phương pháp sử dụng hàm đặc trưng toán liên quan Đây chủ đề khó thường xuyên gặp kì thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thơng Quốc Gia học sinh giỏi cấp tỉnh tỉnh thành Giải tốt toán giúp em tự tin việc chiếm lĩnh kiến thức khác Rất nhiều em học sinh không nắm vững phương pháp cách tiếp cận nên lười suy nghĩ liên quan tới cách giải Bên cạnh năm học 2020-2021 thân thơi giáo viên dạy đội tuyển tốn lớp 12 trường THPT Hậu Lộc I tơi nhận thấy chủ đề quan trọng thường xuyên xuất kì thi học sinh giỏi tỉnh nhà Năm năm học thân có hai lớp 12, năm năm em có kỳ Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thơng Quốc Gia quan trọng, toán sử dụng hàm số đặc trưng xuất chủ đề mũ logarit mà xuất chủ đề khác như: hàm số, phương trình, hệ phương trình Do việc rèn luyện kĩ sử dụng hàm đặc trưng giúp ích nhiều cho em trình chuẩn bị cho kì thi tới UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + logarit + + + 1.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài rèn luyện kĩ sử dụng hàm đặc trưng giải toán: “Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ logarit” Cụ thể: +Sử dụng hàm đặc trưng giải các tốn giải phương trình, bất phương trình trình liên quan đến mũ logarit Sử dụng hàm đặc trưng giải các toán hệ phương trình liên quan đến mũ 1.4 Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu, xây dựng sở lý thuyết Phương pháp điều tra thực tế Phương pháp thống kê, thu thập số liệu PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nhà trường trung học phổ thông nhiệm vụ trọng tâm hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thơng nói chung kiến thức mơn tốn nói riêng việc làm cần thiết Người giáo viên cần phải dạy cho em nắm vững phương pháp kĩ cần thiết để giải tốt tốn đặt Đối với hoạt động học trò muốn học tốt mơn tốn học sinh cần phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, phải biết vận dụng lí thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic, suy nghĩ linh hoạt Vì trình dạy học giáo viên cần giúp học sinh cách học biết sử dụng kiến thức học vào tốn cụ thể Mục đích giúp học sinh đứng trước toán em cần biết phân tích nhận dạng, biết áp dụng phương pháp học để giải toán biết cách chuyển tốn dạng quen thuộc để từ có phương pháp giải thích hợp Đối với tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ logarit có số tốn giải phương pháp dùng hàm đặc trưng trước tiên ta cần nắm vững phương pháp, biết cách phân tích, chuyển đổi tốn dạng sử dụng hàm đặc trưng để giải 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ việc dạy phân môn mũ logarit chương trình lớp 12 sách giáo khoa hành Trong trình giảng dạy trực tiếp lớp 12 q trình ơn thi đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Tôi nhận thấy em học sinh cịn khó khăn giải toán sử dụng hàm đặc trưng để giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ logarit 2.3 Giải pháp cách thức thực UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để giải tốt toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ logari phương pháp sử dụng hàm đặc trưng, trước hết ta cần nắm vững phương pháp, sau vận dụng linh hoạt phương pháp biến đổi để biến đổi toán dạng toán sử dụng hàm đặc trưng để giải 2.3.1 Cơ sở lí thuyết: Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa Cho hàm số xác định với khoảng + Ham sô đông biên ( tăng ) mà + Hàm số nghịch biến ( giảm ) mà + Hàm số đồng biến nghịch biến gọi chung đơn điệu Định lý Cho hàm số có đạo hàm khoảng + Nếu xảy số hữu hạn điểm hàm số đồng biến khoảng + Nếu xảy số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến khoảng Lưu ý + Nếu hàm số liên tục đoạn ta nói hàm số đồng biến đoạn + Nếu hàm số liên tục đoạn ta nói hàm số nghịch biến đoạn + Trên khoảng nửa khoảng tương tự đoạn 2.3.2 Các dạng toán thường gặp Phương pháp giải: Nắm vững phương pháp: “ Nếu hàm số xác định liên tục ( đoạn, khoảng, nửa khoảng ) thì Biến đổi phương trình dạng , bất phương trình dạng: với hàm số đơn điệu, từ suy (Ở biểu thức có giá trị thuộc ) 2.3.2 Dạng 1: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình, bất phương trình mũ logarit Bài Giải phương trình: Lời giải Xét hàm số hàm số xác định liên tục Ta có: đồng biến tr UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy tập nghiệm phương trình Bài ( HSG Quãng Ngãi năm 2021) Giải phương trình: Lời giải ĐK: Ta có: Xét ,với suy đồng biến Ta lại có: Vậy tập nghiệm phương trình Bài (HSG TỉnhPhúThọ 2020-2021) Giải phương trình Lời giải x Điều kiện phương trình là: x 3x x Phương trình log x2 3x Xét hàm số: 2 x x log x x 23x 5x UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy hàm số Do phương trình (1) có dạng: f x x f x x 3x2 5x x2 3x f ( t ) đồng biến khoảng 2x2 8x Vậy phương trình cho có tập nghiệm Bài ( HSG Quãng Nam năm 2021) Biết bất phương trình: có tập nghiệm khoảng , tính Lời giải Điều kiện: Ta có: Xét hàm số hàm số đồng biến Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm Vậy: , suy Bài Giải phương trình sau: Lời giải Điều kiện: Đặt ta có hệ phương trình: (2) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số với hàm số đồng biến nên ta có phương trình Xét hàm số với (3) nên suy phương trình có khơng q hai nghiệm Mặt khác nên nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình cho có nghiệm 2.3.2 Dạng 2: Sử dụng hàm đặc trưng tìm cặp số ngun tốn có liên quan đến mũ logarit Bài (Đề tham BGD&ĐT năm 2019-2020 LẦN 01) Có cặp số nguyên thỏa mãn ? Lời giải Điều kiện: Ta có: Xét hàm số có , tức hàm số ln đồng biến Khi Vì Do nên ngun nên nên tổng cộng có cặp số nguyên thỏa đề Bài Có tất cặp số với số nguyên dương thỏa mãn: Lời giải Với số nguyên dương, ta có: Xét hàm số: nên hàm số Khi đó, phương trình đồng biến trở thành : UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do Mà nên phương trình vô nghiệm Suy ra: số nguyên dương nên Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu tốn Bài Có cặp số thực thỏa mãn nguyên dương thỏa mãn: ? Lời giải (1) Ta có: Điều kiện: Xét hàm số đồng biến Do đó: Điều kiện ln thỏa mãn Vì để tồn thỏa mãn u cầu có nghiệm Khi ta Do y nguyên dương nên Ta có cặp thỏa mãn u cầu tốn Bài Có cặp số nguyên thỏa mãn thỏa mãn: Lời giải Ta có hàm số Suy đồng biến , khơng thỏa nên ta có UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do nguyên nên chia hết cho Có Khi ta có 11 cặp số nguyên nên với m số tự nhiên thỏa mãn đề là: Bài 10.Có cặp số nguyên dương kiện: Lời giải Điều kiện: Ta có thỏa mãn đồng thời hai điều ? , (*) Xét hàm Ta có Khi (*) , Do đồng biến Vì nên Vì nên + Với + thỏa mãn) + Với ngun thỏa mãn) Với (khơng có giá trị (khơng có giá trị ngun Vậy có cặp nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán 2.3.2 Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng toán tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ tốn có liên quan đến mũ logarit UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 11 (Mã đề 101-BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét số thực dương x, y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Lời giải Xét hàm số Suy hàm số f đồng biến Mà nên Cho Nhìn vào BBT, ta có: Bài 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Lời giải Điều kiện: Ta có: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số khoảng Ta có Suy hàm số khoảng đồng biến Do Do nên Khi đó: Xét hàm số với Lập bảng biến thiên Vậy Bài 13.( HSG Phú Thọ 2020-2021) Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có: 10 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm đặc trưng với Khi với Suy hàm số đơn điệu tăng với Do Xét biểu , nhận thấy thức Vậy ; , suy giá trị nhỏ biểu thức đạt Bài 14 Cho số thực dương thỏa mãn giá trị lớn của biểu thức t nguyên tố Tính Lời giải Với ta Xét hàm số có đồng biến khoảng Khi đó: Đặt hàm số Khi Áp dụng bất đẳng thức: Xét hàm số Hàm số với đồng biến Ta có 11 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 15.Cho số thực , thoả mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải Điều kiện Ta có : Xét hàm đặc trưng : Ta có khoảng Khi Đặt với với Suy hàm số đồng biến Suy Đặt với Khi Phương trình có nghiệm : Vì ln tồn để dấu (***) xảy Do đó, ta ln tìm , từ tìm để đạt giá trị lớn Vậy giá trị lớn 2.3.2 Dạng 4: Sử dụng hàm đặc trưng tốn có chứa tham số tốn có liên quan đến mũ logarit Bài 16.( HSG Hà Nam 2020-2021) Tìm tất giá trị thực tham số để phương trình: 12 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com có nghiệm phân biệt thuộc đoạn Lời giải Đk: Đặt , đk: Xét hàm số: đồng biến Ta có: nên hàm số + Với + Với Do Xét nên nên với vơ nghiệm vơ nghiệm có Từ bảng biến thiên hàm số, ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc Bài 17.Có giá trị nguyên tham số để phương trình có nghiệm Lời giải Đặt: biết mà 13 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương trình cho trở thành Từ ta có Xét hàm số Ta có Hàm số đồng biến với Khi Từ phương trình Xét hàm số đề phương trình có nghiệm có 16 giá trị ngun Bài 18.Tìm giá trị thực tham số để phương trình: có ba nghiệm phân biệt Lời giải Ta có: Xét hàm số Có , nên đồng biến Do phương trình (1) tương đương: Xét hai Parabol: có đỉnh đỉnh bề lõm hướng xuống bề lõm hướng lên, có Và dễ thấy hai Parabol tiếp xúc điểm Vậy: (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt 14 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đường thẳng nằm ngang qua , qua , qua Bài 19 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho phương trình với tham số Có giá trị nguyên để phương trình cho có nghiệm? Lời giải Điều kiện: Đặt: Xét hàm số Do đó: Xét hàm số Do: , , suy phương trình có nghiệm , Bảng biến thiên: x ∞ ≈ 0,295 + y' ≈ 0,917 y ∞ Dựa vào bảng biến thiên Vậy có giá trị nguyên thỏa ycbt Bài 20.(MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho phương trình với tham số Có giá trị nguyên để phương trình cho có nghiệm? Lời giải Ta có: Xét hàm số số , với Có đồng biến tập xác định Mặt khác phương trình Do ta có nên hàm có dạng: 15 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số , với Có , Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị tham số để phương trình có nghiệm là: Vậy số giá trị ngun để phương trình cho có nghiệm là: 2.3.2.5 Dạng 5: Sử dụng hàm đặc trưng tốn giải hệ phương trình mũ logarit Bài 21 ( HSG tỉnh Thanh Hóa 2020-2021) Giải hệ phương trình : Lời giải Điều kiện Biến đổi phương trình : Xét hàm số biến Phương trình có dạng có suy hàm số đồng thay vào ta phương trình: 16 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt Xét ta phương trình ta có: Đặt trở thành có Do biến Dễ thấy nghịch biến hàm nghịch có tối đa nghiệm nên phương trình nên phương trình có nghiệm ta hệ cho có nghiệm hay từ Bài 22.(HSG Huế 2020-2021) Giải hệ phương trình: Lời giải Điêu kiên: Đăt Phương trinh (1) trơ Ta co Xet ham sô R Ta co Nên đồng biến Do đo thay vao (2) ta đươc Vơi ( thoa man điêu kiên) Vây nghiêm cua la Bài 23.( HSG tỉnh Hà Nam 2021) Giải hệ phương trình 17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải Giải : Đk nên từ Xét hàm số: với ta có số hàm đồng biến Từ suy Vậy hệ phương trình có nghiệm 2.3.2.6 Bài tập tự luyện Bài 1.Có cặp số nguyên thoả mãn ? v B C A Bài 2.Có giá trị nguyên tham số để tồn cặp số mãn , đồng thời thỏa mãn ? 18 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thể: +Sử dụng hàm đặc trưng giải các tốn giải phương trình, bất phương trình trình liên quan đến mũ logarit Sử dụng hàm đặc trưng giải các toán hệ phương trình liên quan đến mũ 1.4 Các phương pháp. .. Để giải tốt toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ logari phương pháp sử dụng hàm đặc trưng, trước hết ta cần nắm vững phương pháp, sau vận dụng linh hoạt phương. .. áp dụng phương pháp học để giải toán biết cách chuyển tốn dạng quen thuộc để từ có phương pháp giải thích hợp Đối với tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ logarit