Câu 1. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 1 S x y z và điểm A(2;3;4). Xét các điểm M thuộc ( ) S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( ) S , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 2 2 2 15 0 x y z B. x y z 7 0 C. 2 2 2 15 0 x y z D. x y z 7 0 Lời giải Chọn D Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu ( ) S . Tâm mặt cầu là I(1;2;3) . Đường thẳng AM tiếp xúc với ( ) . 0 S AM IM AM IM ( 2)( 1) ( 3)( 2) ( 4)( 3) 0 x x y y z z ( 1 1)( 1) ( 2 1)( 2) ( 3 1)( 3) 0 x x y y z z 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) ( 7) 0 x y z x y z 2 2 2 x y z Do x y z 7 0 ( ( 1) ( 2) ( 3) 0) . Câu 2. (Sở Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A2; 2;2 và mặt cầu 2 2 2 S x y z : 2 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu S đồng thời thỏa mãn OM AM. 6 . Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây? A. 2 2 6 9 0 x y z . B. 2 2 6 9 0 x y z . C. 2 2 6 9 0 x y z . D. 2 2 6 9 0 x y z . Lời giải Giả sử M x y z ; ; thì OM x y z ; ; , AM x y z 2; 2; 2 . Vì M S và OM AM. 6 nên ta có hệ 2 2 2 2 2 2 6 2 1 x x y y z z x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 4 1 x y z x y z x y z z 2 2 6 9 0 x y z . Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: 2 2 6 9 0 x y z .
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 30 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Một số toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu Câu (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) điểm A(2;3; 4) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M thuộc mặt phẳng có phương trình A x y z 15 B x y z C x y z 15 D x y z Lời giải Chọn D Dễ thấy A nằm mặt cầu ( S ) Tâm mặt cầu I (1; 2; 3) Đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) AM IM AM IM ( x 2)( x 1) ( y 3)( y 2) ( z 4)( z 3) ( x 1)( x 1) ( y 1)( y 2) ( z 1)( z 3) ( x 1)2 ( y 2) ( z 3)2 ( x y z 7) x y z ( Do ( x 1) ( y 2) ( z 3) 0) Câu (Sở Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2; 2; mặt cầu S : x y z Điểm M di chuyển mặt cầu OM AM Điểm M thuộc mặt phẳng sau đây? A x y z B x y z S đồng thời thỏa mãn C x y z D x y z Lời giải Giả sử M x; y; z OM x; y; z , AM x 2; y 2; z x x y y z z Vì M S OM AM nên ta có hệ 2 x y z x y z x y z 2x y 6z 2 x y z z Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: x y z Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2; 2;2 mặt cầu S : x y z Điểm M di chuyển mặt cầu S đồng thời thỏa mãn OM AM Điểm M thuộc mặt I N E T T H phẳng đây? A 2x y 6z B x y 6z O N C 2x y 6z D 2x y 6z IE U Lời giải A Gọi điểm M x; y; z S điểm cần tìm IL Chọn D T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group 1 Khi đó: x y z x y z z x y z 4 z Ta có: OM x; y; z AM x 2; y 2; z Suy OM AM x x y y 2 z z 2 x2 y2 z 2x y 2z Thay 1 vào 2 ta 4 z x y z x y z Câu (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 điểm A(2; 2; 2) Xét điểm M thuộc (S ) cho 2 đường thẳng AM tiếp xúc với (S ) M ln thuộc mặt phẳng cố định có phương trình A x y z – B x y z C x y z – D x y 3z – Lời giải M A I S có tâm I 1;1;1 bán kính R 1 Do IA R nên điểm A nằm mặt cầu S AMI vuông M : AM AI IM M thuộc mặt cầu S có tâm A bán kính Ta có phương trình S : x y z 2 Ta có M S S I N H T x y z x y z Ta có I 2x y 2z x y z 2 x y z x y z 10 E T x 12 y 1 z 1 Tọa độ M thỏa hệ phương trình I 2 x y z U O N Suy M P : x y z IE (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 3; 1;1 IL Câu T A C 1; 1;1 Gọi S1 mặt cầu có tâm A , bán kính ; S2 S3 hai mặt cầu có Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 tâm B , C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu S1 , S2 , S3 A B C Lời giải D Chọn C Gọi phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: ax by cz d ( đk: a b c ) a 2b c d 2 2 a b c d A; P 3a b c d Khi ta có hệ điều kiện sau: d B; P 1 2 a b c d C ; P a b c d 1 a b c a 2b c d a b c 3a b c d a b c 2 a b c d a b c 3a b c d a b c d Khi ta có: 3a b c d a b c d 3a b c d a b c d a a b c d với a ta có 2b c d b c 2b c d b c c d c d 0, b 4b c d có 2b c d b c d c d 4b, c 2 2b c d mặt phẳng b a 3b a b c b a Với a b c d ta có 2 2a a b c c 11 a 2a a b c có mặt phẳng thỏa mãn tốn.Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Trong khơng gian Oxyz , cho S : x 3 y z 36 , điểm M 7;1;3 Gọi 2 T đường thẳng di động qua M tiếp xúc với mặt cầu S N Tiếp điểm N di động I N T H D 50 N C 45 Lời giải IL IE U O B 50 A A 45 E đường trịn T có tâm J a, b, c Gọi k 2a 5b 10c , giá trị k T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group M N J I Mặt cầu S : x 3 y z 36 có tâm I 3; 2;5 , bán kính R 2 Có IM 25 16 R , nên M thuộc miền mặt cầu S Có MN tiếp xúc mặt cầu S N , nên MN IN N Gọi J điểm chiếu N lên MI Có IN IJ IM Suy I J IN 36 12 (không đổi), I cố định IM 5 Suy N thuộc P cố định mặt cầu S , nên N thuộc đường tròn C tâm J x IJ 12 Gọi N x; y; z , có IJ IM IM IM y IM 5 5 z 23 N 5; ; , k 2a 5b 10c 50 Vậy k 50 5 Câu (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;1; , N 5; 0; , P 1; 3;1 Gọi I a; b; c tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oyz đồng thời qua điểm M , N , P Tìm c biết a b c A B C Lời giải D Chọn B T Phương trình mặt cầu S tâm I a; b; c x y z 2ax 2by 2cz d T A IL IE U O N T H 4a 2b 8c d 21 10a d 25 S qua điểm M , N , P tiếp xúc với mặt phẳng Oyz 2a 6b 2c d 11 R a I N E Đk: a b c d Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4a 2b 8c 10a 25 21 6a 2b 8c 6a 2b 8c d 10a 25 d 10a 25 d 10a 25 2a 6b 2c 10a 25 11 8a 6b 2c 14 32a 24b 8c 56 2 2 2 a b c d a b c d b c d 6a 2b 8c c a d 10a 25 d 10a 25 26 a 26 b 52 b a b c d b c d a a 1 10a 25 2 2a 16 a 30 a a b 1 hay a c d a b 3 c d 25 Vì a b c nên chọn c (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1; 2; Mặt phẳng qua H cắt trục Ox, Oy , Oz điểm A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 81 A 243 B 81 C Lời giải 243 D Mặt phẳng cắt trục Ox, Oy , Oz điểm A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c Do H trực tâm tam giác ABC nên a, b, c Khi phương trình mặt phẳng : x y z 1 a b c 2 Mà H 1; 2; nên: 1 a b c Ta có: AH 1 a; 2; , BH 1; b; , BC 0; b; c , AC a; 0; c AH BC b c Lại có H trực tâm tam giác ABC , suy hay (2) a 2c BH AC 2 9 c , a 9, b 2 c c c 2 9 Vậy A 9;0;0 , B 0; ; , C 0; 0; 2 I N E T Thay 2 vào 1 ta được: H Khi đó, giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là: x y z 2ax 2by 2cz d Với a b c d T N O A IL IE U Vì điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình: T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group d d 18a d 81 a 81 9b d b 81 9c d c Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: x y z x 2 9 y z , có tâm 2 9 9 9 9 9 I ; ; bán kính R 2 4 2 4 4 9 243 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tự diện OABC S 4 R 4 Câu ( HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6;0;0 , N 0;6;0 , P 0; 0;6 Hai mặt cầu có phương trình S1 : x y z x y cắt theo đường trịn C Hỏi có mặt cầu S2 : x y z 8x y z có tâm thuộc mặt phẳng chứa C tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM A B C Vô số Lời giải D Giả sử mặt cầu S có tâm I C tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM Gọi H hình chiếu vng góc I MNP Ta có: S tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM d I , MN d I , NP d I , PM d H , MN d H , NP d H , PM H tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác MNP x y z MNP có phương trình hay x y z 6 C S1 S Tọa độ điểm thuộc C thỏa mãn hệ phương trình: x y z x y 3x y z 2 x y z x y z Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa C : x y z N H T Ta có: MN NP PM MNP Gọi G trọng tâm tam giác MNP G 2; 2; G tâm đường tròn nội tiếp tam giác I N E T Vì 1.3 2 1 MNP 1 https://TaiLieuOnThi.Net U IE T A IL Gọi đường thẳng vng góc với MNP G Trang O MNP Thay tọa độ điểm G vào phương trình mặt phẳng , ta có: G Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MNP Vì G Khi đó: I d I , MN d I , NP d I , PM r Mặt cầu tâm I bán kính r tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM Vậy có vơ số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C tiếp xúc với ba đường thẳng MN , MP, PM Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 3;1;1 , B 1; 1; mặt phẳng P : x y z 11 Mặt cầu S qua hai điểm A, B tiếp xúc với P điểm C Biết C thuộc đường trịn T cố định Tính bán kính r đường tròn T A r B r C r D r Lời giải Ta có AB 4; 2; mp P có vec tơ pháp tuyến n 2; 1; Do AB vng góc với P Giả sử mặt cầu S có phương trình x y z 2ax 2by 2cz d Mặt cầu S qua hai điểm A, B nên ta có 9 a 2b c d 1 25 2a 2b 10c d 6 a 2b 2c d 11 a 2b 10c d 27 Suy a b 8c 16 a b c 2a b 2c 11 Mặt cầu S tiếp xúc với P nên ta có d I , P Ta có AB 4; 2; AB 16 16 Goi M trung điểm AB ta có E T T cố định có bán kính I N d C , AB IM Vậy C thuộc đường tròn T Oxyz , cho hai điểm N (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian IE U O 5 7 5 7 A ; ;3 , B ; ;3 mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) Xét 2 2 A IL mặt phẳng ( P ) : ax by cz d , a, b, c, d : d 5 mặt phẳng thay đổi qua hai T Câu 11 H r điểm A, B Gọi ( N ) hình nón có đỉnh tâm mặt cầu ( S ) đường tròn đáy đường trịn Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group giao tuyến ( P ) ( S ) Tính giá trị T a b c d thiết diện qua trục hình nón ( N ) có diện tích lớn C T Lời giải B T A T D T 12 I R B h r A Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R Có IA IB nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) 5 AB 3; 3;0 1; 1;0 a , M ; ;3 trung điểm AB 2 2 Gọi a (1; 1;0) n (a; b; c) với a b c2 vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) 5 d 6a 3c I ( P ) a b 3c d 2 Vì A, B ( P ) nên có a b a.n a b Gọi h d I , ( P) , (C ) ( P ) ( S ) , r bán kính đường tròn (C ) r R h2 h Diện tích thiết diện qua trục hình nón ( N ) h2 h2 S h.2r h h 2 MaxS h h h h d I , ( P) a 2b 3c d a b2 c a c a2 c2 a c Nếu a c b a; d 9 a ( P ) : ax ay az - a x y z (nhận) Nếu a c b a ; d 3a ( P ) : ax ay az - 3a x y z (loại) E T Vây T a b c d N T x y z Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với m 1 m O : H I N Câu 12 Trong không gian Oxyz , xét số thực m 0;1 hai mặt phẳng : x y z 10 Chọn C Trang https://TaiLieuOnThi.Net IE D 12 IL C Lời giải A B T A U hai mặt phẳng , Tổng bán kính hai mặt cầu Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi I a; b; c tâm mặt cầu Theo giả thiết ta có R d I , d I , a b c 1 m 1 m Mà d I , 1 1 m 1 m Ta có 1 1 1 1 1 2 2 m 1 m m 1 m m 1 m 1 1 1 1(do m 0;1 2 m 1 m m 1 m m 1 m Nên a 1 m bm cm 1 m m 1 m m 1 m R 1 m 1 m R a am bm cm cm m m m2 m R Rm Rm a am bm cm cm m m 2 R Rm Rm a am bm cm cm m m m R c 1 m a b c R 1 R a 1 m R c 1 m b c a R 1 R a , Xét (1) mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng với m 0;1 nên pt (1) nghiệm với m 0;1 R c 1 a R a b c R b R I R; R;1 R R a c R Mà R d I , R R R 1 R 10 R 3R 12 R R 6(l ) E I N H IE U Vậy R1 R2 T R 3R 12 R R 3(l ) N 2 R R 1 R 10 O Mà R d I , R T Xét (2) tương tự ta R c 1 a R b c a R b R I R; R; R 1 R a c R T P : x 1, Q : y 1 R : z có bán kính A IL Câu 13 Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu S qua điểm A 2; 2;5 tiếp xúc với ba mặt phẳng Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A C B D 3 Lời giải Gọi I a; b; c R tâm bán kính S Khi ta có IA a R IA d I ; P d I ; Q d I ; R IA a b c a b 1 a c 1 b a IA a b a TH1: a b c a (vô nghiệm) c a a c 2 2 2a 12a 28 a a a a 1 TH2: b a IA a b a a c a b 4 R a b c a a c 2a 16a 32 c 2 2 a 2 a a a 1 b a IA a b a TH3: a b c a (vô nghiệm) c a a c 2 2 2a 4a 12 a a a a 1 b a IA a b a TH4: a b c a (vô nghiệm) c a a c 2a 12 2 2 a 2 a a a 1 Vậy mặt cầu có bán kính R Câu 14 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 Hỏi có mặt phẳng P qua M cắt trục x'Ox, y'Oy,z'Oz điểm A,B,C cho OA OB OC ? A B C Lời giải D Chọn D Mặt phẳng P qua M cắt trục x'Ox, y'Oy,z'Oz điểm A a; 0; 0 ,B 0;b; 0 ,C 0; 0;c Khi phương trình mặt phẳng P có dạng: T x y z 1 a b c I N E Theo mặt phẳng P qua M 1;1; 2 OA OB OC nên ta có hệ: Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net T N O U IE IL A - Với a b c thay vào 1 (loại) T - Với a b c thay vào 1 a b c H a b c 1 a b c 1 a b c Ta có: a c b a b c 2 b c a Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: IA IB 3IC IM MA 2IM 2MB 3IM 3MC IM MA 2MB 3MC IM IM Biểu thức IA IB 3IC đạt giá trị nhỏ IM nhỏ I hình chiếu vng góc 19 M lên Oxy I ; 2;0 Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng P là: d I ; P 19 3.2 2 42 32 Câu 30 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3; 2; , B 2; 2; mặt phẳng P : x y z Xét điểm M , N di động P cho MN Giá trị nhỏ biểu thức AM 3BN A 49,8 B 45 D 55,8 C 53 Lời giải Gọi H , K hình chiếu A, B mặt phẳng P AH BK 3, H 1; 1; , K 0;1; , HK Đặt HM t ta có: HM MN NK HK NB t AM 3BN AH 2HM 3BK 3KN 45 2t t 49,8 Dấu xảy M , N đoạn thẳng HK Vậy Giá trị nhỏ biểu thức AM 3BN 49,8 Câu 31 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a; b; c với c a b c ab 2bc ca a, b, Q a có giá trị lớn Gọi M , N , P hình chiếu vng góc b c a b c 3 số thực dương thỏa mãn A lên tia Ox , Oy , Oz Phương trình mặt phẳng MNP A x y z 12 B x 12 y 12 z C x y z D x 12 y 12 z Lời giải Đặt t b c t ; b c t2 t2 ; bc a b c ab 2bc ca 5a b c 9a b c 28bc 5a 5t at 7t 2 I N E T 5a t a 2t a 2t f t với t t 27t 1 Ta có f t t (vì t ) t 9t Ta có bảng biến thiên T A IL IE U O N T H Vậy Q Trang 39 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 1 ; bc 12 1 1 1 1 Suy tọa độ điểm A ; ; ; tọa độ điểm M ; 0; ; N 0; ; ; P 0; 0; 12 12 12 3 12 x y z Phương trình mặt phẳng MNP x 12 y 12 z 1 12 12 Vậy Qmax 16 a Câu 32 (Sở Bắc Giang 2019) x 1 y 1 z 2 Cho 1 x, y , z , a, b, c a b c số Tìm thực thay giá trị đổi nhỏ thỏa mãn P x a y b z c A B C Lời giải D Chọn C Gọi M x; y; z M thuộc mặt cầu S tâm I 1; 1; bán kính R Gọi H a; b; c H thuộc mặt phẳng P : x y z Ta có d I , P 1 3 R P S khơng có điểm chung P x a y b z c MH đạt giá trị nhỏ vị trí M H hình vẽ 2 E I N 1 H T Do Pmin T Khi HI d I , P HM HI R U O N Câu 33 (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 B 2;3;4 Gọi P mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu S1 : x 1 y 1 z A IL Xét M , N hai điểm thuộc mặt phẳng P cho MN Giá trị nhỏ AM BN Trang 40 https://TaiLieuOnThi.Net T S2 : x y z y IE Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C D Lời giải x 12 y 12 z x y z x y Xét hệ x0 2 2 2 x y z y x y z y Vậy P : x P mặt phẳng Oyz Gọi C 0; 0; D 0;3; hình chiếu vng góc A 1;0; B 2;3; mặt phẳng P Suy AC , BD , CD a2 b2 c2 d Áp dụng bất đẳng thức a c b d , ta AM BN AC CM BD DN AC BD CM DN CM DN 2 Lại có CM MN ND CD nên suy CM ND Do AM BN Đẳng thức xảy C , M , N , D thẳng hàng theo thứ tự AC BD , tức CM DN 16 28 M 0; ; N 0; ; 15 15 Vậy giá trị nhỏ AM BN (THPT n Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu S : x2 y2 z Điểm M S có tọa độ dương; mặt phẳng P tiếp xúc với S M cắt tia Ox ; Oy ; Oz điểm A, B , C Giá trị nhỏ biểu thức E I N D H C 64 Lời giải IL IE U O N T B 27 A A 24 T T 1 OA2 1 OB2 1 OC là: T Câu 34 Trang 41 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group z C O I M B y A x S có tâm O bán kính R Theo đề ta có A a,0, ; B 0, b, ; C 0, 0, c ; a, b, c phương trình mặt phẳng P là: x y z 1 a b c P tiếp xúc với S M S d O; P 1 1 a b2 c2 1 a, b, c abc a 2b2 b2 c c a 3 a 4b4c abc 3 Khi đó: T OA2 OB OC a b2 c T a2 b2 c a2b2 b2c2 c2 a2 a 2b2c2 a2 b2 c2 2a2b2c Mặt khác a b c 2a 2b c 3 a 2b c 2a 2b c 64 T 64 Vậy giá trị nhỏ T 64 1 xảy dấu a b c Dạng 2.3 Cực trị liên quan đến góc, khoảng cách Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a, 0, , B 0, b, ,C 0, 0, c với a,b,c E số dương thay đổi thỏa mãn a 4b 16c 49 Tính tổng S a b c khoảng C S D S 51 Trang 42 https://TaiLieuOnThi.Net IE IL A H ABC OABC tứ diện vng nên ta có: T Dựng OH ABC ; U Lời giải Chọn B H 49 T 49 N B S O 51 I N cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn A S T Câu 35 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 1 1 1 22 42 OH OA2 OB OC a b2 c a 4b2 16c2 Áp dụng bất đẳng thức Schwarz: 1 OH 1 22 42 2 2 OH a 4b 16c a 4b 16c 2 Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn khi: a 1 49 b S 2 2 a 4b 16c a 4b 16c c Câu 36 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1;0;0 , B 2;1;3 , C 0; 2; 3 , D 2; 0; Gọi M điểm thuộc mặt cầu 2 S : x y z 39 thỏa mãn MA2 2MB.MC Biết đoạn thẳng MD đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó? A B C Lời giải D Chọn B Giả sử M x; y; z , ta có: MA2 MB.MC x y z x y 1 Mà M S nên ta có: x y z x y 19 Trừ 1 , theo vế ta được: x y Suy M thuộc đường tròn T giao S với mặt phẳng P : x y Thay tọa độ D vào phương trình P S thấy thỏa mãn nên D T , suy giá E bán kính R 39 I N S có tâm I 2; 4;0 T trị lớn MD đường kính T T H Khoảng cách từ I với P h d I ; P S : x y 3 z 2 Cho O U 2019) A 0;8; IE Dương mặt cầu IL Giang-Hải 72 điểm A 9; 7; 23 Viết phương trình mặt phẳng P A (Bình T Câu 37 N Bán kính T r R h2 Suy max MD 2r Trang 43 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group qua A tiếp xúc với mặt cầu S cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng P lớn Giải sử n 1; m; n vectơ pháp tuyến P Lúc A m.n B m.n C m.n 4 Lời giải D m.n 2 Chọn C P qua điểm A 0;8; có vectơ pháp tuyến n 1; m; n P : x my nz 8m 2n P tiếp xúc với mặt cầu S 15m 21n d d B; P 11m 5n m2 n2 4 m2 n2 m 4n m2 n2 11m 5n 6 m2 n2 11m 5n m 16 n m2 n2 12 1 42 m n 2 24 m2 n2 (Buinhiacôpxki) 18 m 1 1 d max 18 m.n 4 m n n Câu 38 Cho x, y, z ba số thực thỏa x y z x y z 11 Tìm giá trị lớn P 2x y z A max P 20 B max P 18 C max P 18 D max P 12 Lời giải Chọn D Ta có: P x y z x y z P 1 Lại có: x y z x y z 11 x y 3 z 1 25 2 2 Xét hệ trục tọa độ Oxyz , ta thấy 1 phương trình mặt phẳng, gọi mp 2 phương trình mặt cầu S tâm I 2; 3;1 , bán kính R Giá trị lớn P x y z giá trị lớn P để S có điểm chung, điều tương đương với d I , R 2.2 3 1.1 P 22 22 1 P 15 18 P 12 Câu 39 (Sở Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm I N E M m ; ; , N ; n ; , P ; ; p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m n p T Vậy max P 12 T C D N 27 O B U IE A H Tìm giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP IL Lời giải T A Chọn C Trang 44 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x y z Phương trình mặt phẳng MNP có phương trình m n p Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có: m 1 1 n2 p 3 n p m n p m n2 p2 m Khi đó: d O; P 1 1 2 m n p Dấu xảy m n p Vậy khoảng cách lớn từ O đến MNP Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y 2z mặt cầu cho MN phương S : x y z x y z Giả sử M P N S với vectơ u 1; 0;1 khoảng cách M N lớn Tính MN A MN B MN 2 C MN Lời giải D MN 14 Chọn C Mặt phẳng P có vtpt n 1; 2; Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 bán kính r Nhận thấy góc u n 45ο Vì d I ; P r nên P không cắt S 45ο MN NH NH nên MN lớn Gọi H hình chiếu N lên P NMH sin 45ο NH lớn Điều xảy N N H H với N giao điểm T O N Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 2; 0;1 , B 3;1;5 , C 1; 2; , D 4; 2;1 Gọi IE U mặt phẳng qua D cho ba điểm A , B , C nằm phía tổng khoảng x my nz p Khi đó, T m n p bằng: A IL cách từ điểm A , B , C đến mặt phẳng lớn Giả sử phương trình có dạng: T Câu 41 NH max 3 sin 45ο I N H Lúc NH max N H r d I ; P MN max E T đường thẳng d qua I , vuông góc P H hình chiếu I lên P Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A B C Lời giải D Chọn A Vì mặt phẳng qua D 4; 2;1 nên phương trình có dạng: a x b y c z 1 Đặt S d A, d B, d C , 2a 2b a b 4c 3a c a b2 c2 Theo giả thiết, A , B , C nằm phía nên khơng tính tổng qt, ta giả sử: 2a 2b a b 4c 3a c 2a 2b a b 4c 3a c 6a 3b 3c Khi đó, S a b2 c2 a b2 c Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai số 6; 3;3 a ; b ; c , ta được: 6a 3b 3c 6a 3b 3c 6 32 32 a b c S 6a 3b 3c Đẳng thức xảy a Ta chọn b c 6 3 a 2 b c : 2 x y z hay : x y z m , n 1 , p Vậy T m n p Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi (P ) :ax b y c z ( a, b, c số nguyên không đồng thời ) phương trình mặt phẳng qua hai điểm M 0; 1;2, N 1;1; 3 không qua H 0; 0;2 Biết khoảng cách từ H 0; 0;2 đến mặt phẳng (P ) đạt giá trị lớn Tổng P a 2b 3c 12 A B 16 D 16 C 12 Lời giải Chọn B Mặt phẳng (P ) qua hai điểm M 0; 1;2, N 1;1; 3 nên ta có b 2c b 2c (*) a b 3c a 5c 2c 30c 72c 45 có tập xác định D Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net N T H I N 30c 72c 45 O 2c U a b2 c2 IE Xét hàm số y 2c IL Thay (*) vào (**) ta d H ;(P ) (**) A a b2 c2 E T 2c T Mặt khác d H ;(P ) Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 18c 18 ;limy y' ;y ' c y limy 30c 72c 45 30 c 30 c miny y(1) D Xét hàm số g(c) Từ suy max 2c 30c 72c 45 g(c) f (1) g(1) đạt c Với c a 1;b 1 Vậy P a 2b 3c 12 16 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 2z Phương trình mặt phẳng Q chứa trục hoành tạo với P góc nhỏ A y 2z B y z C y z D x z Lời giải Chọn A i nP Ox A (Q A K a P) I K d' H I H Chứng minh góc (P) (Q) bé góc Ox (P) , Ox, P Giả sử (Q) (AKI) Ta có P , Q AKI AIH E A Phương trình mặt phẳng Q : By Cz IL IE U O N T H I N 90 HK HI K 90 IHK , K AH IAH AKH 90 AIH AKH AIH Ox có VTCP i 1;0;0 P có VTPT nP 1; 1; 2 i nP Góc Ox mặt phẳng P : sin i nP nP nQ Góc Q mặt phẳng P thoả: cos 1 sin nP nQ T Xét AHI , AHK tam giác vuông chung cạnh AH T Câu 43 Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group B 2C Ta có: B C 2 B 2C 5B 5C B BC C C 2 B Chọn B = 1, C = -2 Câu 44 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng P qua điểm A 1; 7; cách M 2; 4; 1 khoảng lớn có phương trình A P :3 x y z 10 B P : x y z C P : x y z 10 D P : x y z 10 Lời giải Ta có: d M , P MA Nên d M , P max MA A hình chiếu M mặt phẳng P Suy AM P AM 3; 3; vectơ pháp tuyến P P qua A 1; 7; nhận AM 3; 3; 3 vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3 x 1 y z x y z 10 Câu 45 (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c ) , a , b, c số thực thỏa mãn 2 Khoảng a b c cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC có giá trị lớn bằng: A B C Lời giải D x y z 1 a b c Nhận thấy, điểm M (2; 2;1) ABC ; OM 2; 2;1 , OM Phương trình mặt phẳng ABC : Ta có: d O;( ABC ) OH OM khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC có giá E I N H T cho mặt phẳng N Oxyz , O Câu 46 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian T 1 a 2k a 2k 1 trị lớn OM ( ABC ) n( ABC ) k OM , (k 0) 2k b 2k b 1 c k c k 2 2 1 9 Mà nên k k Do a ; b ; c 1 a b c 2 2k 2k k 9 Vậy d max O;( ABC ) OM a ; b ; c 2 54 78 B IL A 3 78 A MA MB T Giá trị lớn biểu thức IE U ( P) : x y z hai điểm A 1;2;3 , B 3;4;5 Gọi M điểm di động ( P ) C Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net D Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải +) Nhận xét: AB 2; 2; AB 3; A P MA MA AB sin B sin M MB MB sinA A BM BM cos cos cos 2 P A A A A cos sin sin sin 2 2 +) Xét tam giác MAB ta có P +) Để Pmax sin A min, dấu xảy ( P) : x y z d B / P AB AM ABM ABH 24 26 BM 3 Pmax 54 78 Câu 47 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho A 4;5;6 ; B 1;1; , M điểm di động mặt phẳng P :2 x y z Khi MA MB nhận giá trị lớn là? C Lời giải Ta có MA MB AB với điểm M P A 77 B 41 85 D Vì 2.4 2.6 1 2.1 2.2 1 208 nên hai điểm A, B nằm phía với P Dấu " " xảy M AB P Khi đó, MA MB nhận giá trị lớn là: AB 1 1 41 2 I N E T Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; mặt phẳng P : m 1 x y mz , với m T N O D 6 m U C 2 m Lời giải IE khẳng định A m B m H tham số Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P lớn Khẳng định bốn T A IL Cách 1: Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có d A; P Xét f m m 2m m 1 3m 1 2 m m 1 Vậy max d A; P m2 f m 3m 1 2 m2 m 1 m 3m 1 m 0 m m 1 m 14 m 2;6 Câu 49 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , B 3; 0;3 Biết mặt phẳng P qua điểm A cách B khoảng lớn Phương trình mặt phẳng P là: A x y 2z B x y z C x y z D x y z Lời giải Ta có AB 2; 2; AB Gọi H hình chiếu vng góc B mặt phẳng P Ta có d B , P BH BA maxd B , P , đạt H A Khi mặt phẳng P qua A nhận AB 2; 2;4 véctơ pháp tuyến I N E T Suy phương trình mặt phẳng P x 1 y z 1 x y z T H Câu 50 (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 4;9 Gọi P mặt phẳng N qua M cắt tia Ox , Oy , Oz điểm A, B, C (khác O ) cho OA OB OC C d Lời giải Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net U IE 24 D d 26 14 IL B d A 36 T A d O đạt giá trị nhỏ Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng P Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Giả sử A a;0; , B 0; b;0 , C 0;0; c với a , b, c Phương trình mặt phẳng P : M 1; 4;9 P x y z a b c a b c Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 2 2 2 1 9 a b c a b c a b c a b c 49 a b c 1 3 2 2 1 a a b c a b c 49 x y z Dấu “ ” xảy b 12 Nên P : 12 18 1 c 18 a b c 36 Vậy d Câu 51 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 4; 9) Gọi (P) mặt phẳng qua M cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác O) cho OA OB OC đạt giá trị nhỏ Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) 26 36 24 A d B d C d D d 14 Lời giải Chọn A Gọi mặt phẳng P qua điểm M 1;4;9 cắt tia A a;0; , B 0; b;0 , C 0;0; c với x y z a, b, c ta có P : suy OA OB OC a b c đạt giá trị a b c a b c nhỏ 12 22 32 1 3 1 a b c 36 a b c a b c abc a x y z Dấu xảy b 12 P : 12 18 c 18 36 T E 1 12 18 I N H N T Nên d o; p 0 1 12 18 Câu 52 (THPT Ba Đình -2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, O cho mặt phẳng U mặt cầu S : x y z x y z Giả sử M P phương với vectơ u 1; 0;1 khoảng cách M N lớn IL IE A P : x y 2z N S cho MN T Tính MN Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group B MN 2 A MN C MN D MN 14 Lời giải 1 2.2 2.1 R S có tâm I 1;2;1 bán kính R Ta có: d I , P 12 22 22 Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng P góc MN NH Vì MN phương với u nên góc có số đo khơng đổi, HNM Có HN MN cos MN HN nên MN lớn HN lớn cos HN d I , P R 1 Có cos cos u , nP nên MN HN cos Câu 53 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0) , B(2;1;3) , C (0;2; 3) , D(2;0; 7) Gọi M điểm thuộc mặt cầu ( S ) : ( x 2)2 ( y 4) z 39 thỏa mãn: MA2 MB.MC Biết độ dài đoạn thẳng MD đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn A B C Lời giải D I N E T +) Mặt cầu ( S ) : ( x 2) ( y 4) z 39 có tâm I 2; 4;0 , bán kính R 39 T A IL T N O U IE MA2 ( x 1) y z 20 x y MB (2 x ;1 y ;3 z ) ; MC ( x ; y ; z ) MB.MC 2 x x y y z 19 x y x y 6 x y 12 Suy MA2 2MB.MC 18 x 18 y 44 Theo giả thiết MA2 MB.MC 18 x 18 y 44 x y H Gọi M ( x , y , z ) ( S ) Ta có: x y z 19 x y Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Do M ( P) : x y Ta có d ( I ; ( P)) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 32 39 nên mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến đường trịn C có bán kính R1 với R1 R d 39 32 T A IL IE U O N T H I N E T D, M P Mặt khác ta có D, M (C) Do độ dài MD lớn R1 D, M S Vậy chọn A Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net ... MG nhỏ điểm M hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn 10 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) cắt Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng ( P) góc nhỏ T Vì 1GA12... giải D Chọn D Mặt phẳng P qua M cắt trục x''Ox, y''Oy,z''Oz điểm A a; 0; 0 ,B 0;b; 0 ,C 0; 0;c Khi phương trình mặt phẳng P có dạng: T x y z 1 a b c I N E Theo mặt phẳng P... B mặt phẳng P Ta có d B , P BH BA maxd B , P , đạt H A Khi mặt phẳng P qua A nhận AB 2; 2;4 véctơ pháp tuyến I N E T Suy phương trình mặt phẳng