Câu 1. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A B C x y 1;2; 3 , 1;0;2 , ; ; 2 thẳng hàng. Khi đó x y bằng A. x y 1. B. x y 17 . C. 11 5 x y . D. 11 5 x y . Lời giải Có AB AC x y 2; 2;5 , 1; 2;1 . A B C , , thẳng hàng AB AC , cùng phương 3 1 2 1 5 1 2 2 5 8 5 x x y x y y . Câu 2. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a m b n 2; 1;3 , 1;3; 2 . Tìm m n, để các vectơ a b, cùng hướng. A. 3 7; 4 m n . B. m n 4; 3. C. m n 1; 0 . D. 4 7; 3 m n . Lời giải a và b cùng hướng a kb 2 2 0 1 3 7 3 2 3 4 k k k m k m k n n . Vậy 3 7; 4 m n Câu 3. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;5 , 5; 5;7 , ; ;1 B M x y . Với giá trị nào của x y, thì A B M , , thẳng hàng. A. x y 4; 7 B. x y 4; 7 C. x y 4; 7 D. x y 4; 7 Lời giải Chọn A Ta có AB AM x y 3; 4;2 , 2; 1; 4 Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 3 A B M , , thẳng hàng AB AM , cùng phương 2 1 4 4 3 4 2 7
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Chuyên đề 28 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Lý thuyết chung Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox , Oy , Oz đơi vng góc Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1) Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a phương b a kb ( k R ) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 kb1 a1 b1 a a a a2 kb2 , (b1 , b2 , b3 0) a b a2 b2 b1 b2 b3 a kb a b 3 3 2 a a a12 a22 a32 a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a.b a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 a22 a32 b12 b22 b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y ; z ) Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A ) AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x x y y z z x x x y yB yC z A zB zC B M A B; A ; A B G A B C ; A ; 2 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chi ế u o Ox Chi ế u o Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Điểm M ( x ;0;0) M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ;0) ( Gi ữnguyê n x) M ( Gi ữnguyên x , y ) Chi ế u o Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M (0; yM ; zM ) ( Gi ữnguyê n y , z) Chi ế u o Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M (0;0; zM ) ( Gi ữnguyê n z) Chi ế u o Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M ( x M ;0; zM ) ( Gi ữnguyê n x , z) E Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ I N Đối xứng điểm qua trục tọa độ T Chi eáu vaø o Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M (0; yM ;0) ( Gi ữnguyên y ) Đ ố n g qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) i xứ u M ( xM ; yM ; zM ) ( Gi ữnguyê n x , y ; đ ổi dấ z) N T H Đối xứ n g qua Ox ( Gi ữnguyê n x ; đổ i dấ u y , z) IE U O Đối xứ n g qua Oy Đố n g qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) i xứ i dấ u M ( xM ; yM ; zM ) ( Gi ữnguyê n y; đổ i dấ u x, z) ( Gi ữnguyê n x , z; đổ y) Tích có hướng hai vectơ: T A IL Đố xứ n g qua Oz Đố n g qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) i i M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) i xứ i daá u x M ( xM ; yM ; zM ) ( Gi ữnguyê n z; đổ dấ u x , y) ( Gi ữnguyê n y , z; đổ ) Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a a3 a3 a1 a1 a2 a , b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 [a, b] a b sin a, b Tính chất: [ a, b] a [ a, b] b Điều kiện phương hai vectơ a & b Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c a, b với (0; 0;0) [ a , b].c Diện tích tam giác ABC: S ABC AB, AC Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AD Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' [ AB, AD ] AA ' Dạng Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Một số toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B 1;0;2 , C x; y; 2 thẳng hàng Khi x y A x y C x y B x y 17 Có AB 2; 2;5, AC x 1; y 2;1 11 D x y 11 Lời giải x x y 1 y x 1 y A, B, C thẳng hàng AB , AC phương Câu 2 (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2n Tìm m, n để vectơ a, b hướng A m 7; n B m 4; n 3 C m 1; n D m 7; n Lời giải E I N H (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm T Câu T k 2 k a b hướng a kb k m 3k m Vậy m 7; n 3 k 2n n D x 4; y Trang https://TaiLieuOnThi.Net T A IL Lời giải Chọn A Ta có AB 3; 4; , AM x 2; y 1; 4 O C x 4; y 7 U B x 4; y 7 IE A x 4; y N A 2; 1;5 , B 5; 5; , M x; y;1 Với giá trị x, y A, B, M thẳng hàng Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 4 x y 4 A, B, M thẳng hàng AB , AM phương 4 y Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 , B 0;1;2 Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho ba điểm A , B , M thẳng hàng A M 4; 5;0 B M 2; 3; C M 0; 0;1 D M 4;5;0 Lời giải Ta có M Oxy M x ; y ;0 ; AB 2;3;1 ; AM x 2; y 2; 1 x x y 1 Để A , B , M thẳng hàng AB AM phương, đó: 2 y 5 Vậy M 4; 5;0 Câu (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho véc tơ u 2i j k , v m;2; m 1 với m tham số thực Có giá trị m để u v A B C Lời giải D Ta có u 2; 2;1 2 Khi u 22 2 12 v m 22 m 1 2m 2m m Do u v 2m 2m m m m 2 Vậy có giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABCD có A 0; 0; , B a; 0; ; D 0; 2a; , A 0; 0; 2a với a Độ dài đoạn thẳng AC A a B a C a a D Lời giải N T H I N E T Ta có AB a;0;0 ; AD 0;2a;0 ; AA 0;0;2a Theo quy tắc hình hộp ta có AB AD AA AC AC a;2a;2a 2 Suy AC AC a 2a 2a a U A IL IE (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a 2;3;1 , b 1;5; , c 4; 1;3 x 3; 22;5 Đẳng thức đẳng T Câu O Vậy độ dài đoạn thẳng AC a thức sau? Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A x a b c C x a b c B x 2 a b c D x a b c Đặt: x m a n b p c , m, n, p Lời giải m n p 3 3; 22;5 m 2;3;1 n 1;5; p 4; 1;3 3m 5n p 22 I m 2n p m Giải hệ phương trình I ta được: n p 1 Vậy x a b c Câu (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với: AB 1; 2; ; AC 3; 4; Độ dài đường trung tuyến AM tam giác ABC là: A 29 B 29 C 29 D 29 Lời giải Ta có 2 AB 12 2 22 , AC 32 4 62 61 , AC AB 1.3 2 4 2.6 23 BC AC AB AC AB AC AB 61 2.23 24 Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: AM AB AC BC 61 24 29 4 Vậy AM 29 Câu (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a 2;m 1;3 , b 1;3; 2n Tìm m , n để vectơ a , b hướng A m ; n 4 B m ; n C m ; n 3 D m ; n Lời giải Các vectơ a , b hướng tồn số thực dương k cho a kb (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình O Câu 10 N T H I N E T 2 k 2 k 2 k m 3k m m 3 k 2n 3 2n n 3 A 10 B 10 C 10 Trang https://TaiLieuOnThi.Net T A IL IE U vuông ABCD, B 3;0;8 , D 5; 4; Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng Oxy có tọa độ số nguyên, CA CB bằng: D 10 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải 12 BD 8; 4; 8 BD 12 AB 6 2 Gọi M trung điểm AB MC 10 CA CB 2CM 2CM 10 Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm Câu 11 (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 0;3 , B 2;3; , C 3;1; Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D 4; 2;9 B D 4; 2;9 C D 4; 2;9 D D 4; 2; Lời giải Gọi D x; y; z Để ABCD hình bình hành x 4 AB DC 1;3; 3 x;1 y; z y 2 D 4; 2;9 z (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD (theo thứ tự đỉnh) hình bình hành? B D 1;1;1 C D 0;0;1 D D 0;2;1 T A D 2;0;0 E Lời giải H I N Gọi D x ; y ; z O N T Tứ giác ABCD hình bình hành AD BC IL IE U Ta có AD x 1; y ; z BC 1;0;1 A Suy x 0; y 0; z T Câu 12 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy D 0;0;1 Câu 13 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1), B (2; 1;3) C ( 3;5;1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D (2;8; 3) B D (4;8; 5) C D (2; 2;5) D D (4;8; 3) Lời giải Chọn D Gọi D ( xD ; yD ; z D ) cần tìm Tứ giác ABCD hình bình hành AB DC xB x A xC xD xD xD 4 yB y A yC yD 1 yD yD z z z z 3 (1) z z 3 D C D D B A Suy ra: D (4;8; 3) Câu 14 (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với A 1; 3;3 ; B 2; 4;5 , C a; 2; b nhận điểm G 1; c;3 làm trọng tâm giá trị tổng a b c A 5 B C Lời giải D 2 Chọn D 1 a 1 a 42 b c c 3 3 5 b 3 Vậy a b c 2 Câu 15 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B 1; 2; 3 , C 7; 4; 2 Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE 2EB tọa độ điẻm E là: 8 A 3; ; 3 8 8 B ;3; 3 8 C 3;3; 3 Lời giải 1 D 1; 2; 3 E I N H T N O U IE IL A T x x 2x CE 2EB y y y z 6 2z z T Chọn A Gọi E x; y; z Ta có: CE x 7; y 4; z ; EB x; y; 6 z Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16 (KTNL Gia Bình 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1; 2; 3 , B 2;5; , C 3;1; Điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành A D 6;6; 8 B D 0; ; 3 C D 0;8;8 D D 4; 2; 6 Lời giải Chọn D 1 3 xD xD 4 Tứ giác ABCD hình bình hành AB DC 3 yD yD 2 10 z z 6 D D Vậy D 4; 2; 6 Câu 17 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2; , B 2;1; 2 , C 0;3; Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành A 1;0; 6 B 1;6; 2 C 1;0;6 D 1;6; 2 Lời giải Ta có: ABCD hình bình hành OA OC OB OD OD OA OC OB xD x A xC xB xD yD y A yC yB yD 2 D 1;0;6 z z z z z A C B D D Câu 18 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;1; , B 2; 3;5 Điểm M thuộc đoạn AB cho MA MB , tọa độ điểm M 7 8 A ; ; 3 3 B 4;5; Gọi M x; y; z Vì M thuộc đoạn AB nên: 17 3 C ; 5; 2 2 Lời giải D 1; 7;12 x 3 x 2 x MA 2MB 1 y 2 3 y y z z z H D M 9; 5; 5 T C M 9;5; 7 N B M 9;5;7 O A M 9; 5; I N E T (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 2 B 3; 1;1 Tìm tọa độ điểm M cho AM AB A IL IE U Lời giải Gọi M x; y; z Ta có: AM x; y 1; z ; AB 3; 2;3 T Câu 19 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x x AM AB y 6 y 5 Vậy M 9; 5; z z Câu 20 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , AB 1;3;1 tọa độ điểm B là: A B 2;5;0 B B 0; 1; 2 C B 0;1; D B 2; 5;0 Lời giải Gọi B x; y; z x Có A 1;2; 1 AB 1;3;1 x 1; y 2; z 1 y B 2;5;0 z Câu 21 (Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD Biết A 1;0 ;1 , B 2;1; D 1; 1;1 Tọa độ điểm C A 2; 0; B 2; 2; C 2; 2; D 0; 2; Lời giải Gọi tọa độ điểm C x ; y ; z Vì ABCD hình bình hành nên DC AB Ta có DC x 1; y 1; z AB 1;1;1 x 1 x Suy y y z 1 z Vậy tọa độ điểm C 2;0; Câu 22 (Sở Phú Thọ -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 8 8 B ; ; Biết I a; b; c tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Giá trị a b c 3 3 A B C D Lời giải Chọn D I N E T O Trang https://TaiLieuOnThi.Net U IE IL 8 Ta có OA 1; 2; , OB ; ; , OA 3, OB 3 3 B A D T A O N T H I Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 DA OA Gọi D chân đường phân giác kẻ từ O , ta có DA DB DB , suy DB OB 4.OA 3.OB 12 12 Do D ; ; DA DB OD 7 15 Ta có AD ; ; AD 7 AD ID IO IO OI OD D 1; 1; AO 12 Do a b c Câu 23 (Chuyên Đhsp Hà Nội -2019) Trong không gian tọa Oxyz , độ cho A 2;0; , B 0; 2;0 , C 0;0; Có tất điểm M không gian thỏa mãn M CMA 90 ? không trùng với điểm A, B, C AMB BMC C Lời giải Gọi I , J , K trung điểm AB, BC , CA A B D CMA 90 nên tam giác AMB, BMC , CMA vuông M Do AMB BMC AB BC AC ; JM ; KM Mặt khác AB BC AC 2 2 Vậy MI MJ MK Khi M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đáy IJK cách IJK khoảng khơng đổi Khi có hai điểm M thỏa mãn điều kiện Khi IM 8 Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2; 2;1) , N ; ; Tìm tọa độ tâm đường tròn nội 3 tiếp tam giác OMN A I (1;1;1) C I (0; 1; 1) B I (0;1;1) D I (1;0;1) Lời giải Chọn B Ta có tốn toán sau Trong tam giác ABC , I tâm đường tròn nột tiếp ABC ta có: a IA b.IB c.IC với BC a; AC b; AB c Thật vậy: H I N E T A IE IL Gọi A chân đường phân giác kẻ từ A C A A' T B U O N T I Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group c BA AC bBA cCA 1 b c c b c IA A I A I A I aIA b c IA ac A' B a bc aIA bIB cIC bBA cCA aIA bIB cIC do 1 Áp dụng công thức tam giác OMN ta OM IN ON IM MN IO OM xN ON xM MN xO xI 0 OM ON MN OM y N ON y M MN yO yI OM ON MN z OM z N ON z M MN zO I OM ON MN Vậy điểm I (0;1;1) điểm cần tìm Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 Gọi D a; b; c chân đường phân giác góc B tam giác ABC Giá trị a b 2c A B D 15 C 14 Lời giải Chọn A B A D C Ta có AB 26 , BC 104 26 T DA BA 1 Suy DA DC * DC BC 2 E Gọi D x; y; z , theo tính chất phân giác ta có T A IL IE U O N T H I N Ta có DA 1 x; y; 1 z DC 4 x;7 y;5 z Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 1 x 4 x 11 11 D ; ;1 a b 2c Do * 2 y 7 y y 3 z 1 1 z 5 z Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 B 5; 6; 2 Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz điểm M Tính tỉ số A M A AM BM B BM AM C BM AM 2 BM AM 3 BM D Lời giải Chọn A M Oxz M x;0;z ; AB 7;3;1 AB 59 ; AM x 2; 3;z 1 A, B, M thẳng hàng AM k AB x 7k x 9 k 3 3k 1 k M 9;0;0 z 1 k z BM 14; 6; 2 ; AM 7; 3; 1 BM AB (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1;0 , C 3; 1;1 Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD diện tích tứ giác ABCD lần diện tích tam giác ABC A D 12; 1;3 D 8; 7;1 B D 12;1; 3 C D 8;7; 1 D 8; 7; 1 D D 12; 1;3 Lời giải Chọn A 2S 1 AD BC d A, BC S ABCD AD BC ABC 2 BC AD BC SABC 3BC AD BC AD 2BC 3S ABC BC Mà ABCD hình thang có đáy AD nên AD BC 1 BC 5; 2;1 , AD xD 2; yD 3; z D 1 E I N H T N O U IE IL A xD 10 xD 12 1 yD 4 yD 1 z 1 z D D T Ta có: S ABCD T Câu 27 Trang 11 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy D 12; 1;3 Câu 28 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vng A B Ba đỉnh A(1;2;1) , B (2;0; 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D(a; b; c) , tìm mệnh đề đúng? A a b c B a b c C a b c Lời giải Ta có AB 1; 2; 2 AB ; BC 4;1;1 BC D a b c Theo giả thiết ABCD hình thang vng A B có diện tích nên 1 AB AD BC AD AD AD BC 2 Do ABCD hình thang vng A B nên AD BC a a Giả sử D(a; b; c) ta có b b a b c 3 c c Câu 29 (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD AB C D Biết A 2; 4; , B 4; 0; , C 1; 4; D 6;8;10 Tọa độ điểm B A B 8; 4;10 B B 6;12; C B 10;8; D B 13;0;17 Lời giải A' B' C' D'(6; 8; 10) A(2; 4; 0) D T B(4; 0; 0) O I N E C(-1; 4;-7) T H Giả sử D a; b; c , B a; b; c T A IL IE U O N a 3 7 Gọi O AC BD O ; 4; b 2 c 7 Trang 12 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy DD 9;0;17 , BB a 4; b; c Do ABCD ABC D hình hộp nên a 13 DD BB b Vậy B 13; 0;17 c 17 Câu 30 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có A 1;0;1 , B 2;1; , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 Tính tọa độ đỉnh A hình hộp A A 4;6; B A 2;0; C A 3;5; D A 3; 4; Lời giải Theo quy tắc hình hộp ta có: AB AD AA AC Suy AA AC AB AD Lại có: AC 3;5; , AB 1;1;1 , AD 0; 1; Do đó: AA 2;5; Suy A 3;5; (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có A 0; 0; , B 3; 0; , D 0; 3; , D 0; 3; Toạ độ trọng tâm tam giác ABC A 1; 1; B 2; 1; C 1; 2; 1 Lời giải D A D 2; 1; 1 C B D C E I N H T N O U IE IL A 3 2 xG 003 G trọng tâm tam giác ABC yG G 2; 1; 3 2 zG T A B Cách 1: Ta có AB 3; 0; Gọi C x; y; z DC x; y 3; z ABCD hình bình hành AB DC x; y; z 3; 3; 0 C 3; 3; Ta có AD 0; 3; Gọi A x; y; z AD x; y ; z ADDA hình bình hành AD AD x; y ; z 0; 0; 3 A 0; 0; 3 Gọi B x0 ; y0 ; z0 AB x0 ; y0 ; z0 ABBA hình bình hành AB AB x0 ; y0 ; z0 3; 0; 3 B 3; 0; 3 T Câu 31 Trang 13 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 3 3 Cách 2: Gọi I trung điểm đoạn thẳng BD Ta có I ; ; Gọi G a; b; c trọng tâm 2 2 tam giác ABC 3 3 3 a 2 3 2 a DI ; ; 3 Ta có: DI 3IG với Do đó: b b 2 IG a ; b ; c c 2 2 3 c 2 Vậy G 2;1; Câu 32 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , B 2; 1;3 , C 4; 7;5 Tọa độ chân đường phân giác góc B tam giác ABC 11 A ; ;1 3 11 B ; 2;1 3 11 C ; ; D 2;11;1 3 3 Lời giải Ta có: BA 1; 3; BA 26; BC 6;8; BC 26 Gọi D chân đường phân giác kẻ từ B lên AC tam giác ABC DA BA 11 Suy : DC 2 DA D ; ;1 DC BC 3 (Tốn Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA 2i j 2k , B 2; 2; C 4;1; 1 Trên mặt phẳng Oxz , điểm cách ba điểm A , B , C 1 1 3 3 A M ; 0; B N ; 0; 2 4 Ta có: A 2; 2; PA PB PC 1 3 D Q ; 0; 2 21 (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 1 , B 3; 1;5 Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA 3MB 13 7 7 A M ; ;1 B M ; ;3 C M ; ;3 D M 4; 3;8 3 3 3 Lời giải x A xB xM y yB Ta có MA 3MB yM A 3 M 4; 3;8 1 z A 3zB zM T A IL IE U O N T H I N E Câu 34 1 3 C P ; 0; 4 Lời giải T Câu 33 Trang 14 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 35 (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D , biết A 3; 0; , B 0; 2;0 , D 0; 0;1 , A 1; 2;3 Tìm tọa độ điểm C A C 10; 4; B C 13; 4; C C 13; 4; D C 7; 4; Lời giải A' B' D' C' A B D C Gọi C x; y; z Ta có AB 3; 2;0 ; AD 3;0;1 ; AA 4; 2;3 x 10 Mà AC AB AD AA AC 10; 4; y C 13; 4; z Câu 36 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;2; 2 , B 2; 2; 4 Giả sử I a; b; c tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Tính T a b2 c2 A T B T C T Lời giải D T 14 Ta có OA 0; 2; 2 , OB 2; 2; 4 OAB có phương trình: x y z I OAB a b c AI a; b 2; c , BI a 2; b 2; c , OI a; b; c a c 2 a 2 c 2 AI BI a c Ta có hệ 2 2 AI OI b c 2 b c b c a c a a c Ta có hệ b c 2 b b c 2 a b c c 2 Vậy I 2; 0; 2 T a b2 c H C M (8; 4;7) D M (8; 4; 7) T B M (0; 0; 3) N A M 0; 0;3 I N E T (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 4; 2; 1 , B 2; 1; Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức AM 2MB U IE A IL x 2 x x Gọi điểm M x; y; z Khi đó: AM MB y 1 y y z z 1 z O Lời giải T Câu 37 Trang 15 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy M 0; 0;3 Câu 38 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1;0 , C 3; 1;1 Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD S ABCD 3S ABC A D 8; 7; 1 D 8; 7;1 B D 12;1; 3 D 8;7; 1 C D D 12; 1;3 D 12; 1;3 Lời giải 2S S ABCD AD BC ABC BC AD BC d A, BC AD BC SABC 3BC AD BC AD BC 3S ABC BC Mà ABCD hình thang có đáy AD nên AD BC 1 BC 5; 2;1 , AD xD 2; yD 3; z D 1 Ta có: S ABCD xD 10 xD 12 1 yD 4 yD 1 z 1 z D D Vậy D 12; 1;3 Dạng Tích vơ hướng, tích có hướng ứng dụng Dạng 2.1 Tích vơ hướng ứng dụng Câu (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 P 1; m 1; Tìm m để tam giác MNP vuông N A m B m 6 C m Lời giải D m 4 Chọn C MN 3; 2; ; NP 2; m 2;1 Tam giác MNP vuông N MN NP 6 m m 2 m Câu (THPT n Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 5;1;5 ; B 4;3; ; C 3; 2;1 Điểm I a; b; c tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC T A IL IE U E I N O AB 1; 2; 3 Ta có AB.BC tam giác ABC vuông B BC 7; 5; 1 tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm cạnh huyền AC I 1; ;3 Vậy a 2b c T D 9 H C Lời giải T B N Tính a 2b c ? A Trang 16 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u 1;1; 2 , v 1;0; m Tìm tất giá trị m để góc u , v 45 B m A m + u , v 45 cos u , v C m Lời giải u.v 2 2 u.v 2m m D m m 1 2m 1 2m m m 2 2 3m 4m 4m m 4m Câu (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho vec tơ a 5;3; 2 b m; 1; m 3 Có giá trị nguyên dương m để góc hai vec tơ a b góc tù? A B C Lời giải D Chọn A a b 3m Ta có cos a; b a.b 38 2m 6m 10 Góc hai vec tơ a b góc tù cos a; b 3m m Vì m nguyên dương nên m 1; 2 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu Biết c x; y; z khác vuông góc với hai vectơ a 1;3; , b 1; 2;3 Khẳng định đúng? A z x B x y C z x D x y Lời giải Chọn D Theo giả thiết ta có c x; y; z khác vng góc với hai vectơ a 1;3; , b 1; 2;3 nên c a 1 x y z 1 x y z c b 1 x y z 5 y z T E không trùng với điểm A, B , C T M N CMA 90 AMB BMC A B mãn O thỏa C Lời giải Chọn C D U gian IE không IL A M H Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 2;0; , B 0; 2; , C 0;0; Có tất điểm T Câu 7 x y 5 y z I N 5 1 x y y z 5 y Trang 17 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group AM BM CMA 90 BM CM Gọi M x ; y ; z Ta có: AMB BMC CM AM x x 2 y y 2 z2 x2 y z x y x2 y z x y x y y 2 z z 2 x2 y z y z x z x2 y z x z y z x x y z z M 0;0; 3 x x 4 4 M ; ; x y z 3 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u v tạo với góc 120 u , v Tính u v B 5 A 19 Ta có : u v u v 2 C D Lời giải 2 2 u 2uv v u u v cos u; v v 39 1 22 2.2.5 52 19 2 Suy u v 19 Câu (THPT Trần Nhân Tông - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 P 1; m 1; Tìm m để tam giác MNP vuông N A m 6 B m C m 4 Lời giải D m Ta có NM 3; 2; , NP 2; m 2;1 Tam giác MNP vuông N NM NP 3.2 m 2.1 m Vậy giá trị cần tìm m m Dạng 2.2 Tích có hướng ứng dụng Câu (n Phong - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 0; , B 1; 1; 2 , C 1;1; , D 2;1; Thể tích khối tứ diện ABCD Trang 18 https://TaiLieuOnThi.Net N T H I N E T O AC 3;1; 2 ; AB 1; 1; 4 ; AD 4;1; AB, AC 6; 10; Thể tích khối tứ diện là: V AB, AC AD 14 6 D U 21 Lời giải C IE 14 IL B A 42 T A Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 5;3; 1 , b 1; 2;1 , c m;3; 1 Giá trị m cho a b, c A m 1 B m 2 C m D m Lời giải b, c 5; m 1;3 2m m Ta có: a b, c m 3 2m 1 Câu 11 (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m 4;3;1 , n 0;0;1 Gọi p vectơ hướng với m, n (tích có hướng hai vectơ m n ) Biết p 15 , tìm tọa độ vectơ p A p 9; 12; B p 45; 60; C p 0;9; 12 D p 0; 45; 60 Lời giải Ta có : m; n 3; 4; Do p vectơ hướng với m; n nên p k m; n , k Mặt khác: p 15 k m, n 15 k 15 k Vậy p 9; 12;0 Câu 12 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 0; 2; a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3; ; D 1; 2; a 1 Tập hợp giá trị a để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng tập tập sau? A 7; 2 B 3;6 C 5;8 D 2;2 Lời giải Ta có AB a 3;1; a 1 , AC 4; 1; a , AD 1;0; 2a 3 AB, AC 2a 3; a 5a 10; a 1 Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng: a AB, AC AD 2a 2a 3 a 1 a (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện biết ABCD T A 3; 2; m , B 2; 0; , C 0; 4; , D 0; 0;3 Tìm giá trị dương tham số m để thể tích tứ T N A IL O m 6 DB , DC DA 24 m 3 m Vì m dương nên m Do chọn D Thể tích tứ diện: V H D m U C m 12 Lời giải Ta có: DA 3; ; m , DB ; ; , DC 0; ; IE B m I N E diện A m T Câu 13 Trang 19 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 14 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian u 1;1; , v 1; m; m Khi u, v 14 với hệ tọa độ Oxyz , cho 11 11 B m 1 m C m m 3 D m 1 Lời giải Chọn C u , v m 2; m; m 1 u , v m 2 m m 12 3m 6m A m m u , v Câu 15 m 14 3m 6m 14 3m 6m m 3 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 2; 1;1 , B 3;0; 1 , C 2; 1; 3 , D Oy tích Tính tổng tung độ điểm D A 6 C Lời giải B Chọn A Và VABCD y 30 y 12 DA, DB DC y 30 y 18 D 4 Do D Oy D 0; y;0 , đó: DA 2; 1 y;1 , DB 3; y; 1 , DC 2; 1 y; 3 Khi DA, DB 1 y;5; y 3 Vậy y1 y2 12 18 6 Câu 16 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2; 0 , B 1;0; 1 , C 0; 1; 2 , D 2; m; n Trong hệ thức liên hệ m n đây, hệ thức để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng? B 2m n 13 C m n 13 Lời giải D 2m 3n 10 T A H T N IL Lời giải Ta có: m , n ; ; Vì p véc tơ hướng với m , n nên p k m , n 3k ; 4k ;0 , k k 3 Ta có: p 15 9k 16k 15 k Trang 20 https://TaiLieuOnThi.Net I N D ; ; 12 O C 9 ; 12 ; U B ; ; 12 IE A ; 12 ; E Ta tính AB 0; 2; 1; AC 1;1; 2; AD 3; m 2; n ; AB, AC 5;1; 2 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng AB, AC AD m 2n 13 Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ m ; ;1 n ; ; 1 Gọi p véc tơ hướng với m , n p 15 Tọa độ véc tơ p T A 2m n 13 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 So sánh với điều kiện k k p ; 12 ; Câu 18 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 2;1 ; B 1; 0; ; C 3;1; ; D 2; 2; 1 Câu sau sai? A Bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng B Tam giác ACD tam giác vuông A C Góc hai véctơ AB CD góc tù D Tam giác ABD tam giác cân B Lời giải AB 1; 2; ; CD 5; 3;1 AC 3;3; 3 ; BD 3; 2;1 AD 2; 0; Ta có: AB, AC 3; 6; 3 AB, AC AD 2 0.6 2 3 AB, AC , AD đồng phẳng hay bốn điểm A, B , C , D đồng phẳng Vậy đáp án A sai Lại có AC AD 2 3.0 3 2 AC AD tam giác ACD tam giác vuông A Vậy đáp án B Mặt khác: AB.CD 5 3 3 14 cos AB, CD AB, CD góc tù Vậy đáp án C AB BD 14 hay AB BD tam giác ABD tam giác cân B Vậy đáp án D (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1; , C 3; 1;1 Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD S ABCD 3S ABC A D 8; 7; 1 D 8; 7;1 B D 12;1; 3 D 8;7; 1 C D 12; 1;3 Lời giải D D 12; 1;3 Ta có AD //BC AD nhận CB 5; 2; 1 VTCP x 2 5t Kết hợp với AD qua A 2;3;1 AD : y 2t t D 5t 2; 2t 3;1 t z 1 t Biến đổi S ABCD 3S ABC S ACD S ABC 1 4t t 18t 2 E I N N T H 341 t 341 O U 12 18 IE 2 IL 4 A S ABC AB; AC 2 AC ; AD S ACD 2 T AB 4; 2; 1 AB; AC 4;1; 18 Ta có AC 1; 4;0 AC ; AD 4t ; t ;18t AD 5t; 2t ; t T Câu 19 Trang 21 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group t D 8; 7; 1 341 t 2 D 12; 1;3 Với D 8;7; 1 AD 10; 4; 2 2CB 2 BC Kết hợp với 1 ta t 341 Với D 12; 1;3 AD 10; 4; 2CB BC Hình thang ABCD có đáy AD AD k BC với k Do có D 12; 1;3 thỏa mãn Câu 20 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; 0; , B 3; 0;5 , C 1;1; , A 4;1; Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC A 11 11 B C 11 D 11 Lời giải Chọn A Gọi DH độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC Cơng thức tính thể tích tứ diện ABCD là: VABCD AB, AC AD Cơng thức tính diện tích tam giác S ABC là: S ABC AB, AC Mặt khác VABCD SABC DH nên AB, AC AD 1 AB, AC AD AB, AC DH DH 6 AB, AC Ta có: AB 3; 0;3 ; AC 1;1; 2 ; AD 4;1; AB , AC 3;9;3 ; AB, AC AD 3 AB, AC AD 11 Nên DH 2 11 AB, AC 3 Câu 21 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 0; 2; a ; B a 3; 1;1 ; C 4; 3; ; D 1; 2; a 1 Tập hợp giá trị a để bốn E H T N O U IE T Lời giải Ta có AB a 3;1;a 1 , AC 4; 1; a , AD 1; 0; 2a 3 AB, AC 2a 3; a 5a 10; a 1 Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng: I N D 2;2 IL B 3;6 C 5;8 A A 7; 2 T điểm A , B , C , D đồng phẳng tập tập sau? Trang 22 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 T A IL IE U O N T H I N E T a AB, AC AD 2a 2a 3 a 1 a Trang 23 https://TaiLieuOnThi.Net ... Dạng Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Một số toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz... 2CM 2CM 10 Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm Câu 11 (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 0;3 , B 2;3; , C 3;1; Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình... ; 0; 2 21 (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 1 , B 3; 1;5 Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA 3MB 13 7 7 A M ; ;1