TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN KÈM ĐÁP ÁN

Câu 1. (Kinh Môn Hải Dương 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của   2 2 f x x   . Biết F   1 0  . Tính F 2 kết quả là. A. ln8 1 . B. 4ln 2 1 . C. 2ln3 2  . D. 2ln 4 . Lời giải Chọn D Ta có:     2 1 f x dx F F ( ) 2 1       2 2 1 1 2 2ln 2 2ln 4 2ln1 2ln 4 2 x x              F F 2 1 2ln 4      F 2 2ln 4  (do F   1 0  ). Câu 2. (Mã 103 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4   và   2 f x x x 2sin 1,    , khi đó   4 0 f x xd   bằng A. 2 16 4 . 16     B. 2 4 . 16   C. 2 15 . 16    D. 2 16 16 . 16     Lời giải Chọn A Ta có       2 1 2sin 1 d 2 cos 2 d 2 sin 2 . 2 f x x x x x x x C          Vì f C 0 4 4     Hay   1 2 sin 2 4. 2 f x x x    Suy ra   4 4 0 0 1 d 2 sin 2 4 d 2 f x x x x x              2 2 2 4 0 1 1 16 4 cos 2 4 . 4 16 4 16 x x x               Câu 3. (Mã 104 2019) Cho hàm số f x  . Biết f 0 4   và   2 f x x    2sin 3,  x R , khi đó   4 0 f x xd   bằng A. 2 2 8   . B. 2 8 8 8     . C. 2 8 2 8     . D. 2 3 2 3 8     . Lời giải Chọn C         2 1 d 2sin 3 d 1 cos2 3 d 4 cos2 d 4 sin 2 2 f x x x x x x x x x x C                . Ta có f 0 4   nên 1 4.0 sin 0 4 4 2      C C . Nên   1 4 sin 2 4 2 f x x x    . Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 3   4 4 2 0 0 1 1 d 4 sin 2 4 d 2 cos2 4 4 2 4 0 f x x x x x x x x                         2 8 2 8     .

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tích phân có điều kiện 1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục K ; a, b hai phần tử thuộc K , F  x  nguyên hàm f  x  K Hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân của f  x  từ a b  f  x  dx  F  x  đến b kí hiệu: b a  F b  F  a  a Các tính chất tích phân: a   b f  x  dx  a  b a a b b a b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  f  x  dx    f  x  dx b b a a  a a b c b a a c  f  x dx   f  x dx   f  x  dx  Nếu f  x   g  x  x   a; b    k f  x  dx  k  f  x  dx b b a a  f  x  dx   g  x  dx Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp   x dx  x  1  1  ax  b  dx  C a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C 1   ax  b 2 dx   a ax  b  C C   x dx  ln x  C x  1   ax  b  dx    C x  sin x.dx   cos x  C  sin  ax  b .dx   a cos  ax  b   C  cosx.dx  sin x  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C dx  tan x  C  cos  ax  b .dx  a tan  ax  b   C x  a dx  C ax C ln a dx  e ax b  C a dx xa  x2  a  2a ln x  a  C e T x ax  b a T A IL  Nhận xét Khi thay x  ax  b  lấy nguyên hàm nhân kết thêm E x I N  e dx  e H x T 2 N  cos  sin  ax  b .dx   a cot  ax  b   C O x dx   cot x  C U IE  sin Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Câu (Kinh Mơn - Hải Dương 2019) Cho F  x  nguyên hàm f  x   Biết x2 F  1  Tính F   kết A ln  C 2ln  Lời giải B ln  D ln Chọn D Ta có:  f ( x) dx  F    F  1  1 2  x   ln x  1 1  ln  ln1  ln  F    F  1  ln  F    ln (do F  1  ) Câu (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f  x  Biết f    f '  x   2sin x  1, x   ,   f  x  dx A   16  16 B 2 4 16 C   15 16 D   16  16 16 Lời giải Chọn A Ta có f  x     sin x  1 dx     cos x  dx  x  sin x  C Vì f     C  Hay f  x   x  sin x   Suy     f  x  dx    x  sin x   dx  0  2   16   x  cos x  x     16 16 Câu (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f  x  Biết f  0  f   x   2sin x  , x  R ,   f  x  dx A 2 2 B   8  8 C   8  D 3  2  E T Lời giải x  3 dx   1  cos x  3 dx     cos x  dx  x  sin x  C Ta có f  0  nên 4.0  sin  C   C  Nên f  x   x  sin x  N T H T A IL IE U O  f   x  dx   2sin I N Chọn C Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   Câu   1   8      f  x  dx    x  sin x   dx   x  cos x  x     0 0 (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x) Biết f (0)  f ( x)  2cos2 x  3, x   ,   f ( x)dx bằng? A   8  8 B   8  C   6  8 D 2 2 Lời giải Chọn B Ta có f ( x)   f ( x)dx   (2cos2 x  3)dx   (2 ,  cos x  3)dx   (cos x  4) dx = sin x  x  C f (0)   C   Vậy f ( x)  sin x  x  nên   f ( x ) dx   ( sin x  x  4)dx    8   ( cos x  x  x)  Câu Biết hàm số f  x   mx  n thỏa mãn đúng? A m  n  Ta có: B m  n  4 0  f  x  dx  ,  f  x  dx  Khẳng định C m  n  Lời giải D m  n  2 m x  nx  C m 1 f  x  dx    x  nx    m  n  1 2 0  f  x  dx    mx  n  dx =  Lại có: m  f  x  dx    x 2  nx    2m  2n    0 1 m   mn 3 Từ 1   ta có hệ phương trình:   n   2m  2n  Ta có:  E D I N H T Lời giải a b f  x  dx    ax  bx  c  dx = x  x  cx  C C N B  O A   f  x  dx  2 U IE  f  x  dx   , IL A Biết hàm số f  x   ax  bx  c thỏa mãn T Câu T  mn Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Lại có: a  f  x  dx     x a  f  x  dx  2   x   f  x  dx   1 b 1 x  cx     a  b  c   1 2 2 0 b 2 x  cx   2  a  2b  2c  2   0 13  a b 13  13  9a  b  3c    x  x  cx    3 2 2 3 0 1  3 a  b  c   a    8 Từ 1 ,    3 ta có hệ phương trình:  a  2b  2c  2  b  3  16 13  c   a  b  c    2   16   P  a  b  c  1        3 Câu (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Có hai giá trị số thực a a1 , a2 (  a1  a2 ) thỏa a mãn   x  3 dx  Hãy tính T  a1 B T  12 A T  26 a   3a2  log    a1  C T  13 Lời giải D T  28 Chọn C a Ta có:   x  3 dx   x  3x  a  a  3a  a Vì   x  3 dx  nên a a   3a   , suy  a  Lại có  a1  a2 nên a1  ; a2  a  2 Như T  3a1  3a2  log    31  32  log    13 1  a1  m Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   3x  x  1 dx  Giá trị tham số m thuộc khoảng sau đây? C  0;  D  3;1 T B   ;  E A  1;  I N Lời giải  x  1 dx   x3  x  x   m3  m  m   3x N  x  1 dx   m3  m  m    m    0;  A IL m m O U   3x IE m Ta có: T H Chọn C T Vậy m    0;  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho I    x  m  d x Có giá trị nguyên m để I   ? A B C Lời giải D Chọn D Theo định nghĩa tích phân ta có I    x  m  dx   x  m x   2 m  0 Khi I    2m2     m2    2  m  Mà m số nguyên nên m  1;0;1 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Câu 10 (Sở GD Kon Tum - 2019) Có giá trị nguyên dương a để A B C Lời giải a   x   dx  ? D Chọn C Ta có:   x   dx   x a Khi đó:  3x   a  3a a a   x   dx   a  3a   1  a  Mà a   * nên a  1; 2;3; 4 Vậy có giá trị a thỏa đề Câu 11 (THPT Lương Thế Vinh - HN 2018).Có số thực b thuộc khoảng   ;3  cho b  cos xdx  ?  A B C Lời giải D   b   k  12 Ta có:  cos xdx   sin x b   sin 2b       b  k  12 Do đó, có số thực b thỏa mãn yêu cầu toán b (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 2; 2 thỏa mãn f   x   , x 4 C E B D I N A T f  3  f  3  f  1  f 1  Giá trị biểu thức f  4   f    f   T IE U O N   dx      dx  ln x   ln x   C 4  x2 x2 IL A Ta có:  x H Lời giải T Câu 12 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  x2 ln x   C1 x  2   2 x f  x   ln  C2   x  Do đó:  x2  x2 ln x   C3 x   1 f  3  ln  C1 ; f  3  ln  C3 ; f    C2 ; f  1  ln  C2 ; f 1  ln  C2 ; C1  C3  f  3  f  3  f  1  f 1   C1  C3  2C2    C2  1 Vậy f  4   f    f    ln  C1  C2  ln  C3  C1  C2  C3  Câu 13 (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Biết  số nguyên Tính T  a  b  c A T  3 B T  x  ex  dx  a  eb  e c với a , b , c 2x 4x xe C T  4 Lời giải D T  5 x  ex  1 Ta có    x  nên 2x 4x xe 2 x e  4 x  ex 1  x  1 x xe2 x dx  1  x  e x  dx  x  e Vậy a  , b  1 , c  4 Suy T  4 Câu 14     e 1  e 4 (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 thỏa mãn f   x   x 1 , x2 3 f    ln  Giá trị biểu thức f  1  f   2 ln  ln  8ln  8ln  A B C D 4 4 Lời giải f  2   x 1 dx  ln x   C x x T E I N H x  Trang https://TaiLieuOnThi.Net U IE IL 3  ln   C2  ln   C2  ln  2 A Do f    ln  O 3  ln   C1   C1   ln 2 2 T Do f  2   x  T  ln x  x  C1  f  x    ln x   C  x N Có f  x    f   x  dx   Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ln x  x   ln Như vậy, f  x     ln x   ln   x x  x    8ln  Vậy f  1  f      ln    ln   ln  1  4   Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x)  cos x  1, x   Khi f (0)  f ( x ) có π  f ( x )dx A   16  16 16 B 2 4 16 C   14 16 D   16  16 Lời giải Chọn D Ta có  1  cos x   f ( x)   (2 cos x  1)dx   2   1dx   cos x  2dx     sin x  x  C sin x Lại có f (0)   C   f ( x )   x    cos xdx   2dx  π  π π π π 4  sin x  f ( x )dx    x  4 dx   sin xd(2 x)   xdx   4dx   0 0 π π  cos x π 16π    ( x  x)  16 0 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f  x  có f    f '  x   sin x, x   Tích phân   f  x  dx A 2 6 18 B  3 32 3  16 64 Lời giải C 3  112 D E T Chọn C Ta có: A IL IE U O N T H I N 1  cos x    cos x  sin x     1  cos x  cos x     cos x   4      cos x  cos x   1 Suy f  x    f '  x  dx    cos x  cos x  3 dx  sin x  sin x  x  C 32 1 Vì f    nên C  hay f  x   sin x  sin x  x 32 T Câu 16 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group   2  Do   2   f  x  dx    sin x  sin x  x  dx    cos x  cos x  x  32  16   128 0  1 3   1  3 16         64  128 64   128  Dạng Tích phân hàm số hữu tỷ P  x dx ? với P  x  Q  x  đa thức không chứa Q  x a b Tính I   PP  Nếu bậc tử P  x   bậc mẫu Q  x    chia đa thức PP  Nếu bậc tử P  x   bậc mẫu Q  x  mà mẫu số phân tích thành tích số   đồng thức để đưa thành tổng phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp: +   ax  m  bx  n   a b     1 an  bm  ax  m bx  n  +  A  B  x   Ab  Ba    A  B  m mx  n A B      x  a  x  b  x  a x  b  x  a  x  b   Ab  Ba  n + A Bx  C   với   b  4ac   x  m   ax  bx  c  x  m  ax  bx  c  +   x  a   x  b  Nếu bậc tử P  x  2 A B C D    x  a  x  a x  b  x  b 2  bậc mẫu Q  x  mà mẫu khơng phân tích thành tích số, ta xét số trường hợp thường gặp sau: dx PP  x  a.tan t + I1   ,  n  N *  2 n x  a  + I2   dx dx b  Ta đặt  ,    0   x   tan t ax  bx  c 2a 4a  b     a  x        2a   4a    + I3   px  q dx với   b  4ac  Ta phân tích: ax  bx  c p  2ax  b  dx  b p  dx q  giải A cách đặt t  mẫu số   2  2a  ax  bx  c  2a   ax  bx  c E dx   x  1 x  1  a ln  b ln  c ln Khi giá trị H (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Biết I N Câu T I2 A T I3  O D T A Ta có: U C Lời giải IE B IL a  b  c A 3 N Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 1 dx    1  x  1 x  1 1  x   x   dx  21 x  dx  1 x  dx 2 2  ln x   ln x   ln  x  1  ln  x  1  ln  ln   ln  ln  1 1  ln  2ln  ln Do đó: a  1, b  2, c  Vậy a  b  c    2    Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết I  a  4b A 50 B 60 3x  x  1 x  dx  a ln  b,  a, b    Khi giá trị C 59 Lời giải D 40 Chọn C 0 3x  x  21   3 0 1 x  dx  1  3x  11  x   dx   x  11x  21.ln x   1 19 19  21.ln  Suy a  21, b  Vậy a  4b  59 2 Ta có I  Câu x2  1 0 x  dx  m  n ln , với m, n số nguyên Tính m  n A S  B S  C S  5 Lời giải Chọn A Biết  1 D S  1 1 dx x2  ( x  1) 1 dx   ( x  1)dx     ln | x  1|10   ln 0 x 1 x 1 2  m  2, n  1  m  n  1 Câu (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Tích phân I   số nguyên Tính giá trị biểu thức a  b A B C 1 Lời giải Ta có I    x  1 1  x  1 x2  dx  a  ln b a , b D 1 2x  1  2 d x   d x  d x  d x   x  ln x    ln       0  x   0 0 x  0 x2  E T a    a b  b  I N x2  x  b 3 x  dx  a  ln với a , b số nguyên N O D S  10 U C S  Lời giải IE B S  2 IL Tính S  a  2b A S  T H (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết A a   x2  x2  x  1   d x  x  d x  3 x  3  x     ln x     ln  b   S  a  2b  T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu    x (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho  P  a  b? A P  B P  x  10 a  ln với a, b Tính  dx  x 1 b b C P  Lời giải D P  x     x 11  Ta có   x   dx    x   dx    x    dx x 1 x 1  x 1 1 1 1  x3  10 10 10 a    x  ln x     ln  ln   ln   ln 3 b b  1 Suy a  2; b  Vậy a  b  Câu x (Chuyên Sơn La 2019) Cho x3 dx  a ln  b ln  c ln , với a, b, c số nguyên  3x  Giá trị a  b  c A B C D Lời giải 3 3 x3 x3 1 x2  3x  dx  1  x  1 x   dx  1 x  1dx  1 x  2dx   ln x   ln x    ln  ln  ln Suy a  , b  , c  1 Nên a  b  c     Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho x trị A 12 a 3b  c 5x  dx  a ln  b ln  c ln , với a, b, c số hữu tỉ Giá  3x  B Chọn D Ta có: I   C Lời giải D 64  x     x  1 5x  5x    dx   dx   dx      dx x  3x  x  1 x   x 1 x    x  1 x    3   3ln x   ln x   4 4  3ln  ln  3ln  3ln  ln  0.ln H I N E T a   Suy b  1  a 3b  c  26  64 c   C S  Lời giải N O D S  10 T Chọn A Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net U B S  2 IE A S  T x2  x  b 3 x  dx  a  ln với a , b số nguyên Tính S  a  2b IL Biết A Câu Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy P  Câu 70 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho  x  x ex x  e x dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c   Tính P  a  2b  c A P  C P  Lời giải B P  1 Ta có: I   x  x  ex x  e x dx   D P  2  x  1 e x xe x dx xe x  Đặt t  xe x   dt  1  x  e x dx Đổi cận: x   t  ; x   t  e  e 1 Khi đó: I   t 1 dt  t e 1  1  1  t  dt   t  ln t  e 1 1  e  ln  e  1 Suy ra: a  , b  1 , c  Vậy: P  a  2b  c  2 Câu 71 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y  f  x  biết f    f   x   xe x với x   Khi  xf  x  dx A e 1 e 1 B e 1 Lời giải C D e 1 Chọn B x2 e d  x   e x  C  2 1 1 x2 Mà f      C   C   f  x   e 2 2 Ta có f  x    f   x  dx   x.e x dx  1 1 2 1 e 1   xf  x  dx   xe x dx   e x d  x   e x  20 40 4 0 e (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Biết  với a , b, c số nguyên dương B S  x ln x  1 dx  a ln  b phân số tối giản Tính S  a  b  c c C S  10 D S  Lời giải N T H dx  dt x U O Đặt ln x 1  t Ta có: I N Chọn D x ln x  1 2 t 1  t2 IL dx    2  1 dt      dt  2 ln t    ln    t t   t Trang 44 https://TaiLieuOnThi.Net A  ln x  T e IE Đổi cận: x   t  ; x  e  t  Ta có: b c E A S  ln x  T Câu 72 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra: a  ; b  ; c  Khi đó: S  a  b  c  Dạng Tích phân phần b b Nếu u, v có đạo hàm liên tục  a; b  I   u.dv  u.v a   v.du b a a Vi phân u   du  dx Chọn  Nguyên hàm  v  dv  dx  Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…) Thứ tự ưu tiên chọn u là: "log – đa – lượng – mũ" dv phần lại Nghĩa có ln hay log a x chọn u  ln hay u  log a x  ln x dv  lại Nếu ln a khơng có ln; log chọn u  đa thức dv  lại,… CHÚ Ý: ∫ (hàm mũ) (lượng giác) dx  tích phân phần luân hồi Nghĩa sau đặt u, dv để tính tích phân phần tiếp tục tính ∫ udv xuất lại tích phân ban đầu Giả sử tích phân tính ban đầu I lập lại, ta không giải tiếp mà xem ả phương trình bậc ẩn I Câu I (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét  xe dx , đặt u  x2 x2 A  e du C  eu du 20 B  e du u u 0  xe x2 dx D  eu du 20 Lời giải Chọn D du Khi x   u  , x   u  Đặt u  x  du  xdx  xdx  Do x  xe dx  u e du 0 e (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân I   x ln xdx : A I  e 1 B I  C I  e2  2 D I  e2  Lời giải Chọn D E T  du  x dx u  ln x  I   x ln xdx Đặt  dv  xdx v  x  H T N O e U e IE e A x2 x2 e2 e2 x e2 e e2  ln x   dx    xdx       x 2 20 4 4 0 IL e I  I N e T Câu Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group e Câu (Mã 103 2018) Cho  1  x ln x dx  ae  be  c với a , b , c số hữu tỷ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn C Ta có e e e e 1 1  1  x ln x dx  1.dx   x ln xdx  e    x ln xdx  u  ln x  du  x dx Đặt  dv  x.dx  v  x  e e e x2 e2 Khi  x ln xdx  ln x   x dx   x 2 21 1 e Suy  1  x ln x dx  e   e  e2 e2 e2     4 4 e e2 3    e  nên a  , b  , c   4 4 4 Vậy a  b  c e Câu (Mã 104 2018) Cho    x ln x dx  ae  be  c với a , b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn B Ta có e e e 1    x ln x dx   2dx   x ln xdx  x e e  I  2e   I với I   x ln xdx 1  du  d x  u  ln x   x Đặt   dv  xdx v  x  e e e x2 e e2 x x x2 e2  I ln x   dx  ln x     e  1  12 4 2 e     x ln x dx  2e   e2  1  e  2e  4  1dx  a ln  C 190 Lời giải Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net A phân số tối giản) Tính P  13a  10b  84c A 193 B 191 IL b b (với a , b, c  * c c U  x ln  x D 189 T (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Biết IE Câu O N T H I N E T  a    b   a  b  c  c    Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B 2x  du  x  dx u  ln  x  1 Đặt:   dv  xdx v  x   2 1  x2   Khi đó:  x ln  x  1dx    ln  x  1   xdx  ln    0  a  1, b  1, c  Vậy P  13a  10b  84c  191 a Câu (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho a số thực dương Tính I   sin 2016 x.cos  2018 x  dx bằng: A I  cos 2017 a.sin 2017 a 2016 B I  sin 2017 a.cos 2017 a 2017 C I  sin 2017 a.cos 2017 a 2016 D I  cos 2017 a.cos 2017 a 2017 Lời giải Chọn B a a 0 Ta có I   sin 2016 x.cos  2017 x  x  dx   sin 2016 x cos  2017 x  cos x  sin  2017 x  sin x  dx a a   sin 2016 x cos  2017 x  cos xdx   sin 2017 x sin  2017 x  dx 0 a Xét J   sin 2016 x cos  2017 x  cos xdx du  2017 sin  2017 x  dx u  cos  2017 x   Đặt    2016 sin 2017 x x.cos xdx v  du  sin 2017  Khi J  cos  2017 x  Suy I  cos  2017 x  a a sin 2017 x   sin 2017 x.sin  2017 x dx 2017 0 a a a sin 2017 x   sin 2017 x.sin  2017 x dx   sin 2017 x.sin  2017 x dx 2017 0 a T  f  x dx A Chọn B D 3e 1 U C  3e 1 Lời giải IE B 3e IL A 3e O 1 I N H N f   x   x   12 x  e x  , x  Khi f  0  1và E (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f  x  có T Câu T 1  cos  2017 x  sin 2017 x  sin 2017 a.cos  2017 a  2017 2017 Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group   Ta có: f   x   x  12 x  e x , x   nên f  x  nguyên hàm f   x   f   x  dx   x   12x  e  dx    6x  12x  dx   xe x Mà   x  12x  dx  3x Xét  xe  xe x x 2 x dx  x3  C u  x du  dx  dx : Đặt  x x dv  e dx v  e dx   xe x   e x dx   xe x  e x  C    x  1 e x  C x Suy f  x   3x  x   x  1 e  C, x  Mà f    1  C  nên f  x   3x  x3   x  1 e x , x  Ta có  1 0 f  x dx    3x  x3   x  1 e x dx   x3  x     x  1 e x dx     x  1 e x dx 0 Xét   x  1 e   x  1 e x x u  x  du  dx  dx : Đặt  x x dv  e dx v  e dx    x  1 e Vậy  f  x  dx  3e 1 x 1   e x dx  2e1   e x  2e1   e1    3e1 0 Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Biết I   x ln  x  dx  a ln  b ln  c a , b , c số thực Tính giá trị biểu thức T  a  b  c A T  B T  11 C T  Lời giải Chọn C Cách 2x  du  x  dx u  ln  x   Đặt  , ta có  x  d v  x d x   v  Do T E I N H T 4 N 4 IE U O x2  x2  x x2  ln  x     dx  ln  x     xd x 2 x  0 0 IL I D T  10 T A  x2  25 x2  ln 25  ln   25ln  9ln   a ln  b ln  c  ln  x       2  0 Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a  25  Suy b  9  a  b  c  c  8  Cách Ta có I   x ln  x  dx dt Đổi cận: x   t  , x   t  25 Đặt t  x   dt  xdx  xdx  Suy I   x ln  x  dx  u  ln t Đặt  , ta có  dv  dt 25 ln tdt 9  du  dt t   v  t  25 25 25  1 1  1 25 25 25 25 t ln t d t  t ln t  t d t  t ln t  dt   t.ln t t       9 29 2 t  2 9  25  ln 25  ln   25ln  9ln   a ln  b ln  c 2 I   a  25  Suy b  9  a  b  c   c  8  (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Xét hàm số f ( x)  e   xf ( x)dx Giá trị f (ln(5620)) A 5622 B 5620 C 5618 Lờigiải D 5621 ChọnA Từ f ( x)  e x   xf ( x)dx (1) Lấy đạo hàm hai vế, suyra f '( x)  e x 1 0 0 E T Khi đó, f ( x)   f '( x)dx   e x dx  e x  C (2) H N T Vậy f ( x)  e x   f (ln(5620))  eln(5620)   5620   5622 O U C  C  2 IE  C  1 IL A Cx  C  1 I N Từ (1) (2) suyra: C   xf ( x) dx  C   x(e x  C) dx  C   xe x dx   Cx dx T Câu x Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 10 Tích phân   x  2 e 2x dx A 5  3e B  3e2  3e2 Lời giải C D  3e2 du  dx u  x    Đặt  2x 2x dv  e dx v  e  Suy 1 1 2x 2x 0  x   e dx   x   e  0 e dx 2x 1 1 1 5  3e   e2   e x   e   e    e   4 4 4 Câu 11 (THPT Cẩm Giàng 2019) Biết tích phân   x +1 e dx = a + b.e , tích a.b x A 15 B 1 C Lời giải D 20 Chọn C Điều kiện: a , b   u  x  du  2dx  Đặt  x x dv  e dx v  e 1    x +1 e x dx =  x +1 e x   e x dx =  x  1 e x = 1+ e = a + b.e 0 0 a =  Vậy tích a.b = b = Câu 12 ln x b dx   a ln với a số x c (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho tích phân I   thực, b c số dương, đồng thời P  2a  3b  c A P  B P  b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức c C P   D P  T Lời giải I N H T N O IL IE U 1  P  2a  3b  c  T A  b  1, c  2, a  E dx  du   u  ln x   ln x     ln x 1  ln x Đặt  I   dx       dx   x 1x x 1 2  x dv  x  v  1  x Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 13 (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho tích phân I    x  1 sin xdx Tìm đẳng thức đúng?  A I    x  1 cos2 x   cos2 xdx C I    x  1 cos2 x    cos2 xdx 0 D I    x  1 cos2 x   cos2 xdx 0     B I    x  1 cos2 x 4   cos2 xdx 0 Lời giải u   x  1 Đặt  , ta có dv  sin xdx  du  dx  Do đó:  v   cos x  I    x  1 sin xdx   Câu 14  x  1 cos x    14 cos xdx o (Chuyên KHTN 2019) Biết tồn số nguyên a, b, c cho   x   ln xdx  a  b ln  c ln Giá trị a  b  c B 19 A 19 C Lời giải D   ln x  u  dx  du x Đặt   x   dx  dv  x  x  v  Khi   x   ln xdx  ln x  x  x  3    x  1 dx  24 ln  12 ln   7  12 ln  24 ln 2 Vậy a  7; b  12; c  24  a  b  c  Câu 15 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho  P  a  4b A P  ln 1  x  x2 B P  dx  a ln  b ln , với a, b số hữu tỉ Tính C P  Lời giải D P  3 2 ln 1  x  1 1  1  d x  ln  x d x  ln  x  dx       1 x 1  x 1 x 1 x  x  T 2 I N H T N O U IE IL ln x   x  1 dx , ta A Câu 16 Tính tích phân I  T 21000 E 1 1 1  ln  ln   dx   dx  ln  ln  ln 1  x   ln x x x 1 1 1 3 3  ln  ln  ln  ln  ln  3ln  a  3, b  2 Vậy a  4b   Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A I   C I  ln 21000  1001ln 1000 1  21000 B I   ln 21000  1001ln 1000 1  21000 D I  1000 ln 21000  ln  21000  21000 1000ln 21000  ln  21000  21000 Lời giải Chọn A dx  u  ln x du     x dx   Đặt  dv    x  1 v   x   21000 21000 ln x I  x 1    1 dx ln 21000   1000  x 1 x 1 21000  21000  1000 ln x 1  ln    dx   1000 1 x 1  x x 1 1000 1000 ln 2 1000 ln 21001 ln 21000  ln  ln    ln =   1001ln 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 2 1 1 1  21000 Câu 17 Biết  x ln  x  1 dx  a.lnb , với a, b  * , b số nguyên tố Tính 6a  7b A 6a  7b  33 B 6a  7b  25 C 6a  7b  42 Lời giải D 6a  7b  39 Xét I   x ln  x  1 dx  dx u  ln  x  1 du  Đặt   x 1 dv  xdx v  x   2  x2  x2 1 Ta có I   x  1 ln  x  1 |   dx  3ln    x  1 dx  3ln    x   3ln x 1  0 0 Vậy a  3, b   6a  7b  39 2 a Câu 18 (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết  ln xdx   2a,  a  1 Khẳng định khẳng định đúng? A a  18;21 B a  1;  C a  11;14  D a   6;9  Lời giải Đặt u  ln x  du  dx x a a 1 E T dv  dx  v  x T H I N Ta có  ln xdx  a.ln a   dx  a ln a  a    2a N  a ln a  3a  ln a   a  e3 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân  ( x  2)e dx  a  be , với x Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net a; b   Tổng a  b A Câu 19 T IL IE U O Vậy a  18; 21 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 3 C D 1 Chọn A 1 u  x  du  dx x x Đặt    ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e   e x   2e = a  be    x x 0  dv  e dx v  e 0 với a; b    a  3, b  2  a  b  Câu 20 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh -2019) Tính tích phân I   xe x dx A I  e C I  e Lời giải B I   e 2 D I  3e  2e Chọn A u  x du  dx  Đặt   x x  dv  e dx v  e I   xe x dx  xe x 2   e x dx  2e2  e  e x  2e  e   e  e   e Câu 21 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Biết  x ln x dx  m ln  n ln  p m, n, p   Tính m  n  p A B C D  Lời giải Chọn C  du  x dx u  ln x Đặt   dv  xdx v  x  3   x ln x dx  3 x2 x2 x2 ln x   x dx  ln x  22 2  ln  ln  Suy m  n  p  (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Biết  x ln 1  x  dx  a.ln b , nguyên tố Tính 3a  4b A 42 B 21 C 12 Lời giải với a, b  * , b số D 32  u  ln 1  x  dx du  Xét I   x ln 1  x  dx Đặt   1 x  dv  xdx  v  x  H I N E T T 2  x2  x2 1 Ta có: I   x  1 ln  x  1   dx  3ln    x  1 dx  3ln    x   3ln x 1  0 0 N IE U O A IL Vậy a  , b   3a  4b  21 T Câu 22 Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 23 ln x b dx   a ln với a số thực, b c x c (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho tích phân I   số nguyên dương, đồng thời P  a  3b  c A P  b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức c B P  6 C P  Lời giải D P   du  dx u  ln x    x Đặt   d v  d x  v   x2 x  2 1 1 1  1    ln  b  1, c  2, a   Khi Ta có I   ln x    dx  ln  x1 2  x 1 x  1  P     3.1    2  x dx    ln b Khi đó, giá trị a  b cos x a Câu 24 Biết I   A 11 B C 13 Lời giải D u  x  du  dx  Đặt   dv  cos x dx v  tan x    I  x tan x 03   tan xdx    3  ln cos x     3  sin xdx  3 d(cos x)   cos x cos x 0 3  ln   ln1   ln  a  3; b  Vậy a  b  11 3  F  x   x  ln  x  1  Câu 25 Cho  ln  x  x  dx  F  x  , F    ln  Khi I    dx x   A 3ln  B 3ln  C 3ln  D 3ln  Lời giải T A IL 3  F  x   x  ln  x  1  d x Khi đó: I       ln  x  x  dx  F  3  F    3ln  x  2 https://TaiLieuOnThi.Net H I N E IE U O F    2ln   C  suy F  x   x ln  x  x   x  ln x  Trang 54 T 2x  dx x ln  x  x   x  ln x   C x 1 N Suy F  x    ln  x  x  dx  x ln  x  x    T u  ln  x  x  u   x  Đặt   x2  x v   v  x  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 26 x dx    ln b , với a, b số cos x a (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết I   nguyên dương Tính giá trị biểu thức T  a  b A T  B T  13 C T  Lời giải  Xét I   D T  11  x d x  x dx  cos x cos x u  x  du  dx  Đặt   v  tan x d v  d x   cos x      3 I  x.tan x   tan xdx  x tan x   d  cos x    x tan x  ln  cos x      ln cos x 0 0 a  Suy   T  a  b  11 b   Câu 27  (Thpt Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho  ln 1  x  x dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số nguyên Giá trị a   b  c  là: A B C Lời giải D Áp dụng phương pháp tích phân phần:  dx u  ln 1  x  du  2x 1   Đặt:    x    d v  d x  chän v     x2   x x x      ln  3ln   ln x   5  ln  3ln  ln  a  5 , b  , c  2  ln 1  x    dx x 1 T x2 dx    x  1 E  ln 1  x  I N A P  N T B P  C P  9 Lời giải U O dx  a ln  b ln , với a , b số hữu tỉ Tính P  ab IE x2 D P  3 IL ln 1  x  A  T Câu 28 Cho H Vậy a   b  c   Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có I   ln 1  x  x2 dx  a ln  b ln  dx u  ln(1  x ) du    1 x Đặt   dv  x dx v   x  2 1 1  Khi I   ln (1  x)   dx   ln  ln     dx x (1  x ) x  x 1 x  x     ln  ln   ln    ln  ln  2ln  ln  3ln  ln 2  x 1 9 Suy a  , b   Vậy P  ab  2 Câu 29 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân  ( x  2)e dx  a  be , với a; b   Tổng a  b x A B 3 D  C Lời giải Chọn A 1 u  x  du  dx x x Đặt    ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e   e x   2e = a  be    x x 0 0 dv  e dx v  e với a; b    a  3, b  2  a  b  π Câu 30 (Sở Phú Thọ 2019) Cho  ln  sin x  cos x  cos x Giá trị abc 15 A B dx  a ln  b ln  cπ với a , b , c số hữu tỉ Lời giải C D 17 Chọn A cos x  2sin x  u  ln  sin x  cos x   du  sin x  cos x dx Đặt  dv  dx  v  tan x   cos x π π E I N  T ln  sin x  cos x  cos x  2sin x dx   tan x   ln  sin x  cos x    dx cos x cos x 0 π H π Trang 56 https://TaiLieuOnThi.Net N O U IE IL A T π π  3ln  ln   ln  3ln  ln   a  , b   , c   2 4 Vậy abc  18 T π 3   3ln    ln   1  tan x dx  3ln  ln   x  ln cos x  04   Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 12 Câu 31  x a c  (Chuyên Thái Bình 2019) Biết    x  e x dx  e d a , b, c, d số nguyên x b  12 dương phân số A 12 a c , tối giản Tính bc  ad b d B C 24 Lời giải 12 12 12 12   x  1x   Ta có: I    x     1 e dx  x      D 64 12 x  x  1x  x    e dx   e x dx x   12 u  x du  dx   Đặt:  x     x x dv    x  e dx v  e x    12 Khi đó: I   12 12  12 12 12 12 12 1 x x  x  x    e x dx   e x dx  x.e x x   1 12  12 12  e x 12 x 12 dx   e x x dx 12 145 12 143 e  e 12 12 Vậy: a  143; b  12; c  145; d  12 Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24  12e  (THPT Yên Khánh A 2018) Cho x  ln  x  1   x  2 dx  a c ac  ln (với a, c  ; b, d  * ; b d bd phân số tối giản) Tính P   a  b  c  d  B 7 A x  ln  x  1   x  2 Ta có 2 dx   C Lời giải D 3 ln  x  1 dx   dx   dx 2 x2  x  2  x  2 2 2 2   0 x  dx  0  x  2 dx   ln x   x    ln  I  ln  x  1  x  2 dx T H I N E T  u  ln  x  1 du  dx  x 1   Đặt   1 x 1 d v  d x  v  1  x     x2  x  2  2 dx    ln  P   1      O U IE IL x  ln  x  1   x  2 A Do N   x  1 ln( x  1)  Suy I    dx  ln  ln      x  2  0  x  2  T Câu 32 Trang 57 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 33 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  có f 1  x  1 Biết b  f  x  dx  a ln c  d x f   x   với 2  x  1 với a, b, c, d số nguyên dương, b  Khi a  b  c  d A B C Lời giải b tối giản c D 10 Chọn D Ta có  1  d x      x  12   x   x  12  dx  ln  x  1  x   C , với C số tùy ý   Do f 1  x 1  ln   C   C   ln 2 Khi đó, ta có  2 2 dx   f  x  dx   ln  x  1   ln 2 dx   ln  x  1 dx    ln 2 dx x 1 x 1   1 dx  u  ln  x  1 du  Xét I   ln  x  1 dx Đặt   x  , ta có dv  dx v  x I  x.ln  x  1   2 2 xdx xdx dx dx  2ln  ln    ln  ln   dx    ln  ln    x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 Khi đó,  1 f  x  dx  ln  ln    dx  ln  dx  ln  ln   ln  ln  ln  ln  x 1 T A IL IE U O N T H I N E T a  b   Suy   a  b  c  d  10 c   d  Trang 58 https://TaiLieuOnThi.Net ... Ý: ∫ (hàm mũ) (lượng giác) dx  tích phân phần luân hồi Nghĩa sau đặt u, dv để tính tích phân phần tiếp tục tính ∫ udv xuất lại tích phân ban đầu Giả sử tích phân tính ban đầu I lập lại, ta không... 11 Dạng Tích phân đổi biến b  Tích phân đổi biến: b   f  x   u ''  x  dx  F u  x  a  F u  b   F u  a  a Có sẵn Tách từ hàm Nhân Các bước tính tích phân đổi biến...  xdx T E Câu 34 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị tích phân H T N O  đây? U IE 1   a  1 a   1  3 x dx tích phân 1 x IL  a 1 A Vậy I  u3 u 2du  T a 1 I N Đổi cận: