( Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM ) ( Tập 18, Số 3 (2021) 508 520 ) ( TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số 3[.]
TẠP CHÍ KHOA HỌCHO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINHJOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 508-520Vol 18, No (2021): 508-520 ISSN: 1859-3100 Website: Bài báo nghiên cứu ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TRONG GIẢNG DẠY MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quang Huy Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Quang Huy – Email: huynq@hcmute.edu.vn Ngày nhận bài: 05-8-2020; ngày nhận sửa: 11-12-2020; ngày duyệt đăng: 16-3-2021 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi tổng hợp, phân tích đánh giá mơ hình Tốn Kinh tế áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Hơn nữa, chúng tơi mở rộng số mơ hình kinh điển mơ hình kinh tế vĩ mơ, mơ hình cân thị trường Ngồi ra, chúng tơi cịn đánh giá tính ổn định phương trình Đây việc cần thiết Bên cạnh đó, báo này, sử dụng tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng viên dạy mơn Tốn Kinh tế sinh viên khối ngành Kinh tế Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh trường đại học khác Từ khóa: phương trình sai phân tuyến tính cấp một; mơ hình Tốn Kinh tế; phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Giới thiệu Toán học ứng dụng nhiều lĩnh vực vật lí, kĩ thuật, y học, sinh học, tự động hóa, cơng nghệ truyền thơng, mơ hình kinh tế… Tốn học cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho việc phân tích giải tốn cách logic Khi mơ hình kinh tế thiết lập dạng mơ hình tốn học cụ thể việc vận dụng tốn học để phân tích mơ hình kinh tế kiểm nghiệm kết đạt vấn đề cấp thiết chuyên gia kinh tế giảng viên, sinh viên Hiện nay, môn học trang bị kiến thức toán học áp dụng kiến thức vào việc phân tích mơ hình kinh tế đưa vào giảng dạy nhiều trường đại học nước Tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, sinh viên khối ngành Kinh tế học hai học phần Toán Kinh tế Toán Kinh tế với tổng số tín Trong đó, phương trình sai phân giảng dạy mơn Tốn Kinh tế học kì năm Việc áp dụng lí thuyết phương trình sai phân vào mơ hình kinh tế quan trọng sinh viên khối ngành kinh tế Trong báo này, tổng hợp Cite this article as: Nguyen Quang Huy (2021) Applications of difference equation in teaching Economic models for economic students at Ho Chi Minh City University of Technology and Education Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(3), 508-520 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy phân tích có hệ thống mơ hình kinh tế áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp như: mơ hình kinh tế vĩ mơ (Sampson, 2005), mơ hình Cob – Web áp dụng phương trình sai phân cấp (Sampson, 2005), mơ hình thị trường có hàng hóa tồn đọng (Chiang), mơ hình Harrod – Domar (Le, 2010), mơ hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson (Sampson, 2005), mơ hình ổn định Phillips (Ferguson, & Lim, 2003), mơ hình Cob – Web áp dụng phương trình sai phân cấp (Le, 2010), mơ hình Cob – Web với thay đổi số cơng ti thị trường(Ferguson, & Lim, 2003), mơ hình kinh tế vĩ mô lạm phát thất nghiệp (Chiang)… Khi thực nghiên cứu này, làm rõ công thức nghiệm đánh giá tính ổn định phương trình sai phân Hơn nữa, khảo sát thêm số trường hợp mơ hình kinh tế vĩ mơ mơ hình cân thị trường với kì vọng giá Và mong muốn sinh viên nắm vững cách sâu rộng lí thuyết phương trình sai phân ứng dụng mơ hình kinh tế Qua đó, sinh viên học tốt mơn Tốn Kinh tế môn chuyên ngành Điều này, giúp báo trở nên thiết thựcđối với giảng viên sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật trường đại học khác Cơ sở lí thuyết (Sampson, 2005) 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Định nghĩa 2.1 Một phương trình sai phân tuyến tính cấp định nghĩa phương trình chuyển động: Yt = α + φ Yt −1 giá trị ban đầu Y0 cho trước Định nghĩa 2.2 Giá trị cân phương trình sai phân tuyến tính cấp cho Y*= α 1− φ Định lí 2.3 Nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp có dạng Y = Y ∗ + φ t − Y φ ≠ t * (Y ) Yt = αt + Y0 φ = Định lí 2.4 Phương trình sai phân cấp Yt = α + φ Yt−1 ổn định −1 < φ < 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Định nghĩa 2.5 Một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có phương trình chuyển động cho bởi: Yt = α + φ 1Yt−1 + φ 2Yt−2 giá trị ban đầu Y0 Y1 cho trước Định lí 2.6 Giá trị cân phương trình sai phân tuyến tính cấp hai cho Y* = α Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy 1− φ − φ Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 508520 Định nghĩa 2.7 Đa thức đặc trưng phương trình sai phân Yt = α + φ 1Yt−1 + φ 2Yt−2 là: r2 − φ r − φ Định lí 2.8 Gọi r1 r2 nghiệm đa thức đặc trưng Nếu φ + φ ≠ nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng t Yt = Y * + Ar + A2 r2t 1 A1, A2 số Nếu φ + φ = 1và φ ≠ Y =A+A (φ Nếu φ + φ = φ = Yt t −1)t + αt 2 t −φ 1 = A1 + A2t + α Định lí 2.9 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Yt = α + φ 1Yt−1 + φ 2Yt−2 ổn định | r1 |< | r2 |< Một số mơ hình kinh tế 3.1 Một số mơ hình ứng dụng phương trình sai phân cấp 3.1.1 Một số ví dụ kinh tế vĩ mơ a) Lượng tiêu thụ có tính trễ (Sampson, 2005) Giả sử Yt tổng thu nhập kinh tế (GNP), Ct lượng tiêu thụ dân cư, It lượng đầu tư Gt chi tiêu phủ thỏa mãn: Yt = Ct + It + Gt Cả đầu tư chi tiêu phủ số cho It = I0 , Gt = G0 I0 , G0 số Lượng tiêu thụ phụ thuộc vào mức thu nhập có tính trễ giai đoạn thông qua hàm tiêu thụ Ct = C0 + cYt −1 , < c < c xu hướng tiêu dùng biên tế Điều dẫn đến Yt = (C0 + I0 + G0 ) + cYt −1 phương trình sai phân tuyến tính cấp Giá trị cân GNP C + I + G0 * Y = 0 1− c Nền kinh tế ổn định < φ = c < Nghiệm phương trình (3.1) (3.1) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Yc = C0 + I0 + G0 t + c − Nguyễn Quang Huy C0 + I0 + G0 Y0 C0 + I0 + G0 t →∞ c 1− → Sau khảo sát trường hợp mức thu nhập có tính trễ trường hợp lượng tiêu thụ mức thu nhập có tính trễ b) Mức thu nhập có tính trễ Giả sử Dt tổng cầu kinh tế (GNP), Yt tổng sản phẩm quốc dân, Ct lượng tiêu thụ dân cư, It lượng đầu tư Gt chi tiêu phủ thỏa mãn Dt = Ct + It + Gt , It = I0 , Gt = G0 , Ct = C0 + cYt −1 , < c < 1, Yt −Yt −1 = β (Dt −Yt −1 ), < β < Ta có Y = t c β + C G + (I 1− β 0 ) + Y 1− β c Mức thu nhập cân C + I + G0 * Y = 0 1− c Nền kinh tế ổn định < φ = 1− 1− β (3.2) t −1 < Nghiệm phương trình (3.2) β 1− β c Y β= t C + I0 + G 1− c 1− t Y C0 + I0 + G0 t →∞ C0 + I0 + G0 −0 → 1− β c 1− c 1− c + c) Lượng tiêu thụ mức thu nhập có tính trễ Dt = Ct + It + Gt , Ct = C0 + cYt −1, < c < 1, Yt − Yt −1 = β (Dt − Yt −1 ), < β < Ta có Yt = β (C0 + I0 + G0 ) + ( 1− β (1− c)) Yt−1 (3.3) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy Mức thu nhập cân C + I + G0 * Y = 0 1− c Nền kinh tế ổn định < φ = 1− β (1− c) < Nghiệm phương trình (3.3) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM C + I + G0 + ( 1− β (1− Y = 0 c)t ) t Y 1− c − Tập 18, Số (2021): 508520 C0 + I0 + G0 t →∞ C0 + I0 + G0 →1− c 1− c d) Mơ hình ổn định Phillips đơn giản (Ferguson , Lim, 2003) Ta xét mơ hình sau Yt = Ct + It + Gt , Ct = C0 + cYt −1, < c < 1, It = I0 , Gt = G0 Gp , t G = λ (Y − Y ), λ > p F t −1 t đó, Gt thành phần sách tài khóa chi tiêu phủ, Y F thu nhập đầy p đủ λ hệ số điều chỉnh tốc độ Ta có Y = (C + I + G + λ Y λ )Y t 0 F ) + (c − (3.4) t −1 Mức thu nhập cân C + I + G + λY F * Y = 0 1− c + λ Nghiệm phương trình C + I FG + λ Y C + + G + λY F t I 0 0 + ( c − λ ) Y0 − 0 Yt = 1− c + λ 1− c + λ Tính ổn định địi hỏi λ < c +1 Khi C + + G + λY F t →∞ I 0 Y → t 1− c + λ 3.1.2 Mơ hình Cob – Web (Sampson, 2005) Giả sử lượng cung Qts phụ thuộc vào giá sản phẩm giai đoạn trước giá Giả sử lượng cầu Khi ta có Qtd phụ thuộc vào giá sản phẩm Qtd = a − bP , Qs = c + dP , (b, d > 0, c < a) t đó,−1 Qd t t lượng cầu, Qs lượng cung t Thị trường cân Qtd = Qs Pt giá thời điểm t Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 508520 Ta Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM P P = a − c − d Nguyễn Quang Huy (3.5) t −1 t b b Giá cân a−c * P = b+d giá thời điểm t P = P* + (P − P*) − t d t b Tính ổn định địi hỏi d < b hay hệ số góc đường cong cung nhỏ hệ số góc đường cong cầu Khi a−c P t→∞→ t b+d Sau đây, chúng tơi khảo sát mơ hình tổng qt mơ hình cân thị trường với kì vọng giá 3.1.3 Mơ hình cân thị trường với kì vọng giá Ta xét mơ hình thị trường biểu diễn hệ phương trình sau Qd = Qs , td t Q = a − bP, t s t −1 (b, d > 0, c < a, < η ≤ 1) t Q = c + dP t , P = P + η(P − P ) t t t −1 t −1 −1 kì vọng giá thời điểm t đó, Pt Ta giải η b(η − 1) + dη t −1 b b Nghiệm phương trình (3.6) a − c b(η −1) + dη a−c t − P Pt = + − b+d b+d P Pt = b (a − c) − 10 (3.6) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Điều dẫn đến a − c d b(η −1) + dη t a−c − − Pt = − P b+d b b+d b Tính ổn định phương trình (3.6) địi hỏi − η1 0, c < a) Lượng điều chỉnh giá từ thời kì sang thời kì khác tỉ lệ với lượng dư cầu Pt +1 − P = k(Qd − Qs ) (k > 0) t t Ta giải t Pt +1 = k (a − c) + (1− k (b + d ))Pt (3.7) Điều dẫn đến Pt = k(a − c) +[1− k(b + d )]Pt −1 Nghiệm a − c phương trình (3.7) a − c t P= + [1− k(b + d )] P − t b+ b+d d Phương trình (3.7) ổn định −1 < 1− k(b + d ) < ⇔k < b + d 3.1.5 Mơ hình Harrod– Domar (Le, 2010) Mơ hình Harrod – Domar dùng để giải thích tăng trưởng kinh tế Gọi Yt thu nhập, St tiết kiệm tỉ lệ với thu nhập thời điểm St = (0 < s < 1) sYt Lượng đầu tư It It = k(Yt −Yt −1 ), k > 0, k ≠ s Đầu tư It tiết kiệm St thời điểm It = St Ta giải Yt − k = Y k − −1t s Từ ta có nghiệm phương trình (3.8) 12 (3.8) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM k t Yt = Y0 k−s Tập 18, Số (2021): 508520 13 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy Phương trình (3.8) ổn định −1 < k < ⇔k < s k− s 3.1.6 Bài tốn trả góp (internet, “Difference equations and applications in economic dynamics”) Một người muốn mua loại hàng hóa theo hình thức trả góp Gọi giá trị loại hàng hóa V P khoản trả trước Khoản nợ ban đầu D0 = V − P Theo hợp đồng vay nợ, khoản nợ gốc D0 trả T giai đoạn với lãi suất giai đoạn r Ta cần tính số tiền trả góp giai đoạn Ta kí hiệu giá trị khoản trả góp giai đoạn B Khoản nợ lại cuối giai đoạn thứ t Dt = (1+ r)Dt −1 − B Ta giải B D = D − (1+ r) t + B t r (3.9) r D = Phương trình (3.9) dẫn đến T Ta có khoản nợ cuối giai đoạn thứ T B B T D0 − (1+ r) + = r r hay rD B = 1− (1+ 0r)−T 3.2 Một số mơ hình ứng dụng phương trình sai phân cấp 3.2.1 Mơ hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson (Sampson, 2005) Giả sử Yt tổng sản phẩm quốc dân kinh tế (GNP), Ct tiêu thụ, It đầu tư Gt chi tiêu phủ thỏa mãn Yt = Ct + It + Gt Bây ta cho đầu tư thỏa mãn lí thuyết tăng tốc đầu tư cho It = I0 + γ ( Yt−1 −Yt−2 ) , γ > Ta giữ chi tiêu phủ Gt = G0 I0 G0 số Lượng tiêu thụ phụ thuộc vào mức thu nhập có tính trễ giai đoạn thơng qua hàm tiêu thụ Ct = C0 + cYt −1 , < c < c xu hướng tiêu dùng biên tế Điều dẫn đến 14 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Yt = (C0 + I0 + G0 ) + (c + γ Yt −2 Yt = α + φ 1Yt −1 + φ 2Yt −2 γ )Yt −1 − 15 Nguyễn Quang Huy (3.10) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 508520 Phương trình phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Giá trị cân GNP α * Y = 1− φ − φ=2 C0 + I + G 1− c Phương trình đặc trưng r2 − (c + γ )r + γ = Tính ổn định phương trình (3.10) địi hỏi nghiệm r1, r2 (c + γ ) = ± (c + γ )2 − 4γ có giá trị tuyệt đối bé Điều xảy γ < Khi C + I + G0 Y t→∞→ t 1− c 3.2.2 Mơ hình Cob – Web (Le, 2010) Ta xét mơ hình tổng qt mơ hình Cob – Web phương trình sai phân cấp mục 3.1.2 Qtd = a − bP , Qs = c + t d[P −1 t − k(Pt − Pt )], −1 −2 (b, d > 0, c < a, −1 ≤ k ≤ 1) Qd t lượng cầu, Qs lượng cung t Pt giá thời điểm t Ta tìm phương trình sai phân tuyến tính cấp sau: P Pt = a− c + d (k −1) b b Giá cân a−c * P = b+d Phương trình đặc trưng d (k −1) dk r − r+ = b b dk t −1 P b (3.11) t −2 r1, Phương trình ổn định phương trình đặc trưng có hai nghiệm r mãn | r1 |< 1và | r2 |< Để xét tính ổn định phương trình (3.11), ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: 16 thỏa Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 508520 −1≤ k < Phương trình (3.11) ổn định b + d (2k −1) > Trường hợp 2: < k ≤1 17 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy d (k −1) 4dk 2 − > ⇔d (k +1) > 2k(d + 2b) a) ∆ = b b Phương trình (3.11) ổn định b + d (2k −1) > dk < b b) ∆ = ⇔d(k +1) = 2k(d + 2b) Phương trình (3.11) ổn định d (1− k) < 2b c) ∆ < ⇔d(k +1) < 2k(d + 2b) dk < b Nhận xét: Khi k = mơ hình trở thành mơ hình Cob – Web phương trình sai phân cấp 3.2.3 Mơ hình Cob – Web với thay đổi số công ti thị trường (Ferguson, & Lim, 2003) Ta xét mơ hình sau Qd = b − b P + b Y , Phương trình (3.11) ổn định t t t t t −1 Qs = a + a P +a N , t Q =Q , d s t Nt − Nt = k (P − Pc ), t −1 −1 (a0 , a1, a2 , b0 , b1, b2 , k > 0, a1 < b1 ) đó, Q d lượng cầu, Qs lượng cung, P giá thời điểm t, Y thu nhập t t t t người tiêu dùng, N số công ti thị trường c P giá trị tới hạn t Ta giải b − a0 b1 a b N = − P − P + 2Y t a2 Từ ta có P P− t a2 a2 b1 − a1 − ka2 t −1 a1 = Y P t −1 t b1 −2 b t t a2 b2 b Y− b2 + ka2 Pc t b t −1 b1 Ta giả sử thu nhập Yt số, nghĩa Yt = Yt −1 = Y0 Khi ta có P P = ka2 c P + b1 − a1 − ka2 + a1 18 P (3.12) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM t b b t −1 b1 t −2 Trên phương trình sai phân tuyến tính cấp Giá cân P* = Pc 19 Nguyễn Quang Huy Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 508520 Phương trình đặc trưng b − a1 − ka2 a r − r b− = b1 Tính ổn định phương trình (3.12) địi hỏi k < 2(b1 − a1 ) a2 Khi Pt t→∞→P c 3.2.4 Mơ hình sách ổn định Phillips (Ferguson, & Lim, 2003) Ta mở rộng mơ hình ổn định Phillips xét mục 3.1.1 d) Y t = C t + It + G t , Ct = C0 + cYt −1, < c < 1, It = I0 , Gt = G0 G p + Gd , t G p = λ (Y F − Y ), λ > 0, t t p G−1 = −k(Y − Y ), k > t t t Ta−1giải −2 Yt = I ( C + + G0 + λ Y k )Y Thu nhập cân C + I + G + λY F * Y = 0 1− c + λ Phương trình đặc trưng F ) + (c − λ − t −1 + k Y (3.13) t −2 r2 −(c − λ − k)r − k = Tính ổn định phương trình (3.13) địi hỏi λ + 2k 0, < c ≤ 1), π − π = d ( p − π ) (0 < d ≤ 1), t +1 t t t U t −Ut = −k(m − pt ) (k > 0) +1 +1 đó, p tốc độ lạm phát thực sự, Tlà hiệu suất lao động, π tốc độ lạm phát kì vọng, 20 ... thuyết phương trình sai phân ứng dụng mơ h? ?nh kinh tế Qua đó, sinh viên h? ??c tốt mơn Tốn Kinh tế mơn chuyên ngành Điều này, giúp báo trở nên thiết thựcđối với giảng viên sinh viên Trường Đại h? ??c. .. h? ??c Sư phạm Kỹ thuật trường đại h? ??c khác Cơ sở lí thuyết (Sampson, 2005) 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Định nghĩa 2.1 Một phương trình sai phân tuyến tính cấp định nghĩa phương trình. .. Định lí 2.9 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Yt = α + φ 1Yt−1 + φ 2Yt−2 ổn định | r1 |< | r2 |< Một số mơ h? ?nh kinh tế 3.1 Một số mơ h? ?nh ứng dụng phương trình sai phân cấp 3.1.1 Một số