HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HY ĐỨC MẠNH Bài giảng Đại số tuyến tính và Hình học giải tích Tài liệu học tập cho sinh viên tại Học viện KTQS Lưu hành nội bộ Hà Nội — 2014 2 Mục lụ[.]
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HY ĐỨC MẠNH Bài giảng: Đại số tuyến tính Hình học giải tích Tài liệu học tập cho sinh viên Học viện KTQS Lưu hành nội Hà Nội — 2014 Mục lục Chương Lời nói đầu Những kí hiệu Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 1.1 11 Logic, tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số 11 1.1.1 Logic mệnh đề vị từ 11 1.1.2 Tập hợp 15 1.1.3 Ánh xạ Lực lượng tập hợp 19 1.1.4 Sơ lược cấu trúc đại số 21 1.1.5 Số phức: 23 Ma trận 30 1.2.1 Ma trận 30 1.2.2 Các phép toán ma trận 31 Định thức 34 1.3.1 Định thức tính chất 34 1.3.2 Cách tính định thức: 37 Hạng ma trận, ma trận nghịch đảo 39 1.4.1 Hạng ma trận 39 1.4.2 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo 41 1.4.3 Tìm ma trận nghịch đảo biến đổi sơ cấp 42 1.4.4 Phân tích LU LU P 45 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 48 1.2 1.3 1.4 1.6 1.5.1 Các định nghĩa ví dụ 48 1.5.2 Hệ Cramer 49 1.5.3 Điều kiện cần đủ để hệ tổng quát có nghiệm 51 Thực hành tính tốn Maple 53 1.6.1 Các phép toán ký hiệu đặc biệt 53 1.6.2 Tính tốn với biểu thức đại số 53 1.6.3 Tính tốn ma trận 54 Khơng gian vector ánh xạ tuyến tính 2.1 2.2 2.3 2.4 Không gian vector không gian vector 59 2.1.1 Định nghĩa 59 2.1.2 Hạng hệ hữu hạn vector Cơ sở chiều 62 2.1.3 Tọa độ vector sở Đổi sở 66 2.1.4 Định lý hạng ma trận 67 2.1.5 Không gian tổng không gian giao Tổng trực tiếp 69 Ánh xạ tuyến tính 71 2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính 71 2.2.2 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính 74 2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược 77 2.2.4 Ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 78 2.2.5 Khơng gian nghiệm hệ phương trình 80 2.2.6 Ma trận ánh xạ tuyến tính đổi sở 83 Trị riêng vector riêng 85 2.3.1 Trị riêng vector riêng toán tử tuyến tính 85 2.3.2 Chéo hóa ma trận 87 Thực hành tính tốn Maple 93 Hình học khơng gian Euclide 3.1 3.2 59 95 Dạng tồn phương khơng gian vector 95 3.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dạng toàn phương 95 3.1.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 99 3.1.3 Luật quán tính 103 3.1.4 Dạng toàn phương xác định dấu 105 Không gian Euclide 107 3.2.1 Tích vơ hướng 107 3.2.2 Bất đẳng thức tích vơ hướng 109 3.2.3 Cơ sở trực chuẩn, trình trực chuẩn hóa GramSchmidt 110 3.2.4 Phân tích QR 114 3.3 Khơng gian trực giao hình chiếu 115 3.4 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 116 3.5 3.4.1 Toán tử tự liên hợp 116 3.4.2 Phổ toán tử tự liên hợp 121 Phân loại đường cong mặt cong bậc hai 124 3.5.1 Phương trình siêu mặt bậc hai 124 3.5.2 Phân loại đường cong mặt cong bậc hai 126 3.6 Thực hành tính tốn Maple 131 Tài liệu tham khảo 133 Lời nói đầu Bài giảng "Đại số tuyến tính hình học giải tích" viết theo đề cương chương trình Bộ mơn Tốn - Khoa Cơng nghệ Thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân Tài liệu biên soạn dựa giáo trình Học viện kỹ thuật quân số giáo trình dành cho sinh viên trường đại học kỹ thuật nước Đây tài liệu cá nhân biên soạn giảng dạy cho lớp chương trình tiên tiến Việt-Nga (75 tiết), lớp học viên quân dân (60 tiết) Học viện Vì thời lượng học mơn đối tượng học viên (trừ lớp chương trình TTVN) giảm so với năm trước (chỉ 60 tiết) nên hầu hết kết đưa mà khơng có chứng minh, để hiểu sâu sắc vấn đề sinh viên cần tự đọc chứng minh sách giáo khoa cho môn học Đặc biệt nhấn mạnh học viên đọc giảng cần kèm theo hai tài liệu bắt buộc "đề cương chi tiết môn học" "đề cương chi tiết giảng" cấp phê duyệt công bố trang web Khoa Công nghệ Thông tin (http://fit.mta.edu.vn/subjectstat_DH.htm) Đối với mục (phần) hai đề cương xem phần đọc thêm học viên Phần tập sau sinh viên làm theo yêu cầu hướng dẫn "đề cương chi tiết" giảng (bài tập [4]) Vì giảng biên soạn Latex theo cấu trúc định sẵn gần giống với sách giáo khoa sách giáo khoa Để học tập đạt kết tốt sinh viên cần có tài liệu bắt buộc [3], [4] Trong tài liệu tính chất thường viết dạng mệnh đề, kết quan trọng phát biểu định lý Bên cạnh vấn đề môn học, giảng chúng tơi có đưa thêm kiến thức bổ trợ khác (ví dụ thực hành tính tốn số phần mềm Maple) Cuối cùng, q trình biên soạn khó tránh khỏi có sai sót hoan nghênh phát học viên để kịp thời sửa chữa Tháng năm 2014 Những kí hiệu K trường N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên Q R tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực C tập hợp số phức ∅ tập hợp rỗng deg bậc đa thức Mm×n (K) tập ma trận cỡ m × n K Mn (K) tập ma vuông cấp n K GLn (K) tập ma vuông cấp n khả nghịch AT ma trận chuyển vị ma trận A det(A) định thức ma trận A T race(A) vết ma trận A rank(A) hạng ma trận A ∼ tương đương đồng dạng hai ma trận span dim(V ) bao tuyến tính chiều không gian V Im(f ) không gian ảnh ánh xạ f Ker(f ) không gian nhân (hạch) ánh xạ f ⟨., ⟩ tích vơ hướng En khơng gian Euclide thực n chiều ⊥ trực giao ||.|| chuẩn (độ dài) 10 ... mặt cong bậc hai 126 3.6 Thực hành tính toán Maple 131 Tài liệu tham khảo 133 Lời nói đầu Bài giảng "Đại số tuyến tính hình học giải tích" viết theo đề cương chương trình Bộ... tiếp 69 Ánh xạ tuyến tính 71 2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính 71 2.2.2 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính 74 2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược ... Thơng tin - Học viện Kỹ thuật Quân Tài liệu biên soạn dựa giáo trình Học viện kỹ thuật quân số giáo trình dành cho sinh viên trường đại học kỹ thuật nước Đây tài liệu cá nhân biên soạn giảng dạy