LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 GÓC NỘI TIẾP A LÝ THUYẾT + Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó ( là góc nội tiếp chắn cung nhỏ ) + Cung nằm bên trong[.]
LUYỆN THI TỐN VÀO 10 GĨC NỘI TIẾP A LÝ THUYẾT + Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn · » ( BAC góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC ) » + Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn ( BC gọi cung bị chắn) Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Trong đường trịn: * Các góc nội tiếp chắn cung · · » ¼ Nếu ABD = CBD Þ AD = CD Þ AD = CD * Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung ¼ · · sđABD = sđACD = sđAD Trên hình vẽ: ¼ » · · Trên hình vẽ: AD = CD Û sđAD = sđCD Û sđABD = sđCAD * Góc nội tiếp có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung * Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG * Để chứng minh tích độ dài đoạn thẳng cần chứng minh hai tam giác giác đồng dạng liên quan đến tích * Để chứng minh hai tam giác đồng dạng cần chứng minh + Hai góc tương ứng hai tam giác + Hai cặp cạnh hai tam giác tương ứng tỉ lệ góc sen LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 * Để chứng minh hai góc ta cần ý: + Xem góc cần chứng minh có phải hai góc nội tiếp chắn cung, hai góc nội tiếp chắn hai cung (hai dây cung nhau) đường trịn + Xem hai góc đó, góc với góc nội tiếp góc nội tiếp có khơng + Xem hai góc có liên quan đến hai tam giác nhau, góc có cạnh tương ứng vng góc, góc sole trong, góc đồng vị khơng, góc tam giác vng… I/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A B Vẽ cát tuyến CAD vng góc với AB Tia CB cắt (O’) E, tia BD cắt (O) F Chứng minh rằng: a) ∠CAF = ∠DAE b) AB tia phân giác ∠EAF c) CA.CD = CB.CE d) CD2 = CB.CE + BD.CF Hướng dẫn » » Vì CD ⊥ AB => ∠CAB = 90o Mà ∠CAB = 1/2 sđ BC => sđ BC = 180o Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng Chứng minh tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng a) Chứng minh ∠CAF = ∠DAE Trong (O) ta có: ∠CAF = ∠CBF (góc nội tiếp chắn cung CF ) Trong (O’) ta có: ∠DAE = ∠DBE (góc nội tiếp chắn cung DE ) Mà ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠CAF = ∠DAE b) AB tia phân giác ∠EAF LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 Nối CF DE ta có: ∠CFB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ∠BED = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) Xét ΔCFB ΔDEB có: ∠CFB = ∠BED = 90o ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠FCB = ∠EDB Mặt khác: ∠FAB = ∠FCB (góc nội tiếp (O) chắn cung FB ) ∠EAB = ∠EDB (góc nội tiếp (O’) chắn cung EB ) => ∠FAB = ∠EAB hay AB phân giác góc ∠EAF c) Chứng minh CA.CD = CB.CE Xét ΔCAE ΔCBD có: ∠C chung ∠CEA = ∠BDA (góc nội tiếp (O’) chắn cung AB) => ΔCAE ∼ ΔCBD (g.g) => CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE (1) d) Chứng minh CD2 = CB.CE + BD.CF Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2) Từ (1) (2) suy ra: CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF ⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF ⇔ CD2 = CB.CE + DB.DF Bài 2: Cho đường tròn (O; R) điểm M bên đường trịn Qua M kẻ hai dây cung AB CD vng góc với (C thuộc cung nhỏ AB) Vẽ đường kính DE Chứng minh rằng: a) MA.MB = MC.MD b) Tứ giác ABEC hình thang cân c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O) Hướng dẫn a) Chứng minh MA.MB = MC.MD Xét ΔAMC ΔDMB có: ∠ACD = ∠ABD (góc nội tiếp chắn cung AD) ∠AMC = ∠BMD = 90o (gt) => ΔAMC ∼ ΔDMB (g.g) => MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 b) Chứng minh tứ giác ABEC hình thang cân Vì ∠DCE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => CD ⊥ CE CD ⊥ AB (gt) => AB // CE => Tứ giác ABEC hình thang (1) Mặt khác: CE AB hai dây song song đường tròn (O) chắn hai cung AC BE » » » » · · => AC = BE ⇒ AE = BC ⇒ ABE = BAC (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABEC hình thang cân c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O) » » Ta có AE = BC (cmt) => EA = BC Mặt khác: ∠DAE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = (MA2+ MD2) + (MB2 + MC2) = AD2 + BC2 = DE2 = 4R2 không đổi Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung AB Lấy điểm M thuộc cung BC điểm N thuộc tia AM cho AN = BM Kẻ dây CD song song với AM a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM b) Chứng minh ΔCMN vng cân c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao? Hướng dẫn a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM Xét ΔACN ΔBCM có: AC = BC (vì C điểm cung AB) ∠CAN = ∠CBN (góc nội tiếp chắn cung CM) AN = BM (gt) => ΔACN = ΔBCM (c.g.c) b) Chứng minh ΔCMN vng cân Vì ΔACN = ΔBCM (chứng minh a) => CN = CM => ΔCMN cân C » Lại có ∠CMA = 1/2 sđ AC = 1/2 90o = 45o (2) Từ (1) (2) => ΔCMN vuông cân C Vì CD // AM nên tứ giác ADCM hình thang cân (1) LUYỆN THI TỐN VÀO 10 c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao? Ta có: ∠DAM = ∠CMN = ∠CNM = 45o => AD // CN Vậy tứ giác ADCN hình bình hành Bài 5: Cho ΔABC cân A nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt BC N Chứng minh rằng: a) AB2 = AM.AN b) ∠ACM = ∠ANC Hướng dẫn a) Chứng minh AB2 = AM.AN Vì ΔABC cân A =>∠ABC = ∠ACB Lại có ∠ACB = ∠AMB (góc nội tiếp chắn cung AB ) => ∠ABN = ∠AMB Do đó: ΔABM ∼ ΔANB (g.g) => AB/AN = AM/MB => AB2 = AN AM b) Chứng minh ∠ACM = ∠ANC Vì ΔABM ∼ ΔANB => ∠ABM = ∠ANB Mà ∠ABM = ∠ACM (góc nội tiếp chắn cung AM) Do đó: ∠ACM = ∠ANC Bài 6: Cho ΔABC có AD tia phân giác góc A Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E đường thẳng song song với AC cắt AB F a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Đường trịn đường kính AD cắt AB AC điểm M N Chứng minh: MN // EF Hướng dẫn a) Chứng minh Tứ giác AEDF hình thoi b) Chứng minh: MN // EF ΔABC có AD tia phân giác góc A => ∠BAD = ∠CAD ¼ » => MD = ND => ∠DAC = ∠MND (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Lại có: ∠AND = 90o (nội tiếp chắn nửa đường trịn) LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 => ∠DAN + ∠ADN = 90o => ∠MND + ∠ADN = 90o => MN // AD Vì tứ giác AEDF hình thoi nên EF ⊥ AD => MN // EF Bài 7: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc với A, (R > R') Qua điểm B (O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) hai điểm M N, AB cắt (O) C Chứng minh rằng: a) MN ⊥ OC b) AC tia phân giác ∠MAN Hướng dẫn a) Chứng minh MN ⊥ OC Vì Δ O'AB cân O’ nên ∠O'AB = ∠O'BA => Δ OAC cân O nên ∠OAC = ∠OCA => ∠O'BA = ∠OCA mà hai góc vị trí đồng vị => O’B // OC Mặt khác MN tiếp tuyến (O’) B => O'B ⊥ MN Do OC ⊥ MN b) Chứng minh AC tia phân giác ∠MAN Trong đường tròn (O): => OC đường trung trực MN => CM = CN ¼ » => CM = CN => ∠MAC = ∠NAC Hay AC tia phân giác ∠MAN Bài 8: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung AB M điểm cung BC, kẻ CH ⊥ AM a) Chứng minh ΔHCM vuông cân OH tia phân giác ∠COM b) Gọi I giao điểm OH với BC D giao điểm MI với nửa đường tròn (O) Chứng minh MC // BD Hướng dẫn a) Chứng minh ΔHCM vuông cân OH tia phân giác ∠COM Vì C điểm cung AB » sđAC = 45o => ∠CMA = => ΔHCM vuông cân H => CH = HM Dễ thấy ΔCOH = ΔMOH (c.c.c) => ∠COH = ∠MOH Vậy OH tia phân giác ∠COM b) Chứng minh MC // BD LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 Dễ thấy ΔCOI = ΔMOI (c.g.c) nên CI = MI => ΔCMI cân M Do ∠CMI = ∠MCI Lại có ∠CMD = ∠CBD (góc nội tiếp chắn cung CD) Suy ∠MCB = ∠CBD, mà hai góc vị trí so le => MC // BD Bài 9: Qua điểm M nằm đường tròn (O) kẻ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh rằng: a) Đường cao MH tam giác AMD qua trung điểm I BC b) Đường trung tuyến MI ΔBMC vng góc với AD Hướng dẫn a) Chứng minh Đường cao MH tam giác AMD qua trung điểm I BC Ta có ∠ADC = ∠ABC (góc nội tiếp chắn cung AC) (1) Lại có ∠AMH = ∠ADM (cùng phụ với góc ∠MAD) Mà ∠AMH = ∠IMB (đối đỉnh) => ∠ADM = ∠IMB (2) Do IM = IB Chứng minh tương tự ta có: IM = IC Suy IB = IC = IM => I trung điểm BC b) Học sinh tự chứng minh Bài 10: Cho AB CD hai đường kính vng góc với đường tròn (O; R) Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E)kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD E, F a) Chứng minh: ∠MFO = 2.∠MBO b) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ AC cho ∠FEO = 30o Khi tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R Hướng dẫn a) Chứng minh: ∠MFO = 2.∠MBO Ta có: ∠MOA = 2∠MBO (cùng chắn cung MA) Vì EF tiếp tuyến với (O) M nên OM ⊥ EF Ta có ∠MOA = ∠EFO (cùng phụ với góc ∠FEO ) Suy ∠EFO = 2∠MBO b) Tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R Ta có: ∠FEO = 30o ⇔ ∠MOA = 60o ⇔ ΔAOM nên AM = OA = R Vậy M ∈ (O) AM = R ∠FEO = 30o LUYỆN THI TỐN VÀO 10 Khi ΔOME vng M nên ME = MO tan∠MOA = R ; OE = 2MO = 2R Vì ΔEOF vuông O nên cos ∠FEO = EO/EF => EF = EO/cos ∠FEO = 2R / cos30o = 4R /3 II/ LUYỆN TẬP Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt đường trịn M Tia phân giác góc ngồi đỉnh A cắt đường tròn N Chứng minh : a) Tam giác MBC cân b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng Bài : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB M điểm tuỳ ý nửa đường tròn ( M khác A B ) Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈AB ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường trịn tâm O1 đường kính AH tâm O2 đường kính BH MA MB cắt hai nửa đường tròn (O1) (O2) P Q a) Chứng minh MH = PQ b) Chứng minh hai tam giác MPQ MBA đồng dạng c) Chứng minh PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2) Bài :Cho ∆ABC , đường cao AH M điểm đáy BC Kẻ MP ⊥ AB MQ ⊥ AC Gọi O trung AM a) Chứng minh năm điểm A , P , M , H , Q nằm đường tròn b) Tứ giác OPHQ hình ? chứng minh c) Xác định vị trí M BC để PQ có độ dài nhỏ Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm M đường tròn (M khác A B ) cho MA < MB Lấy MA làm cạnh vẽ hình vng MADE ( E thuộc đoạn thẳng MB ) Gọi F giao điểm DE AB a) Chứng minh ∆ADF ∆BMA đồng dạng b) Lấy C điểm cung AB ( không chứa M ) Chứng minh CA = CE = CB c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I cho CI = CA Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường tròn CA cắt nửa đường tròn M , CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường trịn (O) LUYỆN THI TỐN VÀO 10 ¼ c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN Bài : Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi Q giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2= AP AQ b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP 1 = + c) Chứng minh PQ PB PC Bài 7: Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D a) Tam giác ABE tam giác ? b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chứng minh OD ⊥ AK Bài 8: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A, B, O nằm (O’) Dây AC (O) cắt (O’) D, dây OE (O’) cắt (O) F Chứng minh : a) OD ⊥ BC b) Điểm F cách ba cạnh tam giác ABE Bài 9: Cho hai đường thẳng song song Một đường tròn tiếp xúc với đường thẳng A cắt đường thẳng B, C Trên đường trịn lấy điểm D ( khơng trùng A, B, C ) Chứng minh A cách hai đường thẳng BD CD Bài 10: MA MB hai tiếp tuyến (O) Vẽ (M;MA), C điểm nằm cung AB (M) ( cung AB nằm đường tròn (O) ) Tia AC, BC cắt (O) P, Q Chứng minh : P Q đối xứng với qua O Bài 11: Trên cạnh CD hình vng ABCD ta lấy điểm M khác C, D Các đường trịn đường kính CD AM cắt điểm thứ hai N ( khác D ) Tia DN cắt BC P Chứng minh rằng: AC ⊥ PM ... hai góc ta cần ý: + Xem góc cần chứng minh có phải hai góc nội tiếp chắn cung, hai góc nội tiếp chắn hai cung (hai dây cung nhau) đường trịn + Xem hai góc đó, góc với góc nội tiếp góc nội tiếp. .. (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ∠BED = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) Xét ΔCFB ΔDEB có: ∠CFB = ∠BED = 90o ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠FCB = ∠EDB Mặt khác: ∠FAB = ∠FCB (góc nội. .. nội tiếp (O) chắn cung FB ) ∠EAB = ∠EDB (góc nội tiếp (O’) chắn cung EB ) => ∠FAB = ∠EAB hay AB phân giác góc ∠EAF c) Chứng minh CA.CD = CB.CE Xét ΔCAE ΔCBD có: ∠C chung ∠CEA = ∠BDA (góc nội tiếp