Chuyen de bat dang thuc (1)

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa 2/Tính chất + A>B + A>B B >C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A < B < C B>0 A > B +A>B A > B với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > A > A > A + m > n > 3/Một số bất đẳng thức +A với A ( dấu = xảy A = ) n +A với A ( dấu = xảy A = ) + với (dấu = xảy A = ) + - 0) + ( dấu = xảy A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ  x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) = 2yz Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz – 2z +1 = ( x – y + z) với x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz với x;y;z Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a) tốn với x;y;z ; b) c) Hãy tổng quát Giải: a) Ta xét hiệu = Vậy = = Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu = Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát Tóm lại bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B Vậy 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng) Dấu xảy Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : Giải: Ta có : , Đúng với a, b, c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau: Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh a) b) c) Giải: 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a) (BĐT đúng) Vậy (dấu xảy 2a=b) b) Vậy c) Bất đẳng thức cuối Dấu xảy a=b=1 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x y Giải: minh x2+y2x+ 2 x +y +( ) (x-y- )2 Chứng minh :x y nên x- y x2+y2 ( x-y) y x2+y2+2x+ y -2 x+ y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= b/ (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( (vì < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh : Giải: Ta có : Tương tự ta có : , Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : (*) Ta có : Tương tự : , Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : (**) Từ (*) (**) , ta : Phương pháp 3: Kiến thức: a) b) c) (đpcm) Dùng bất đẳng thức phụ dấu( = ) x = y = d) Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : , ta có: b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : Dấu “=” xảy a=b 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Dấu “=” xảy Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số không âm Ví dụ : Giải phương trình : Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt Khi phương trình có dạng : Vế trái phương trình: Vậy phương trình tương đương với : Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = Giải : P = 3- ( ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > Suy Q = -Q nên P = – Q Vậy max P = x = y = z = Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : Tương tự : 3- = 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ : CMR tam giác ABC : (*) Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : Cũng theo bất đẳng thức Côsi : Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: Cho Chứng minh rằng: Giải: Đặt Mà: có nghiệm a,c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Phương pháp Kiến thức: Cho 2n số thực ( Bất đẳng thức Bunhiacopski ): Ta có: 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Dấu “=” xảy Hay (Quy ước : mẫu = tử = ) Chứng minh: Đặt  Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức  Nếu a,b > 0: Đặt: , Thế thì: Mặt khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xảy Ví dụ : Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: Thế thì: cho: Dấu”=” xảy bơ số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m , Hay 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho Chứng minh rằng: Giải: ta có: Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: (đpcm) Ví dụ 2: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd mà Ví dụ 3: Chứng minh : Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) a=b=c Phương pháp 6: Kiến thức: a)Nếu (a,b,c) ta có Điều phải chứng minh Dấu xảy Bất đẳng thức Trê- bư-sép Dấu ‘=’ xảy b)Nếu 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Dấu ‘=’ xảy Ví dụ 1: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R = S diện tích tan giác chứng minh ABC tam giác Giải: Khơng giảm tính tổng qt ta giả sư Suy ra: Áp dụng BĐT trebusep ta được: Dấu ‘=’ xảy Mặt khác: Thay (2) vào (1) ta có Dấu ‘=’ xảy ABC Ví dụ 2(HS tự giải): a/ Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: b/ c/ Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:x+2y+z CMR: d)Cho x ,y thỏa mãn Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 ;CMR: Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c 10 x+y Chứng minh ... Chứng minh : (1) 19 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải: Với n =2 ta có (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2 Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 Thật n =k+1 (1) Theo giả... Vậy bất đẳng thức (1)? ?ược chứng minh Ví dụ2: Cho a+b> Chứng minh (1) Giải: Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có (1) (2) Vế trái... Chứng minh (1) Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b= ;c= ta có (1) ( Bất đẳng thức cuối ( ; nên ta có z = Ta có điều phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > a+b+c