Chuyen de bat dang thuc

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH .2 DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN .13 II.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA .15 III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 18 DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG .18 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT 19 DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca 21 DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH KHƠNG ÂM 21 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ ĐẾN 24 DẠNG : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU 26 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 28 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com I BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Dạng hai số khơng âm x, y • Dạng tổng sang tích: x + y ≥ xy x+ y  x+ y hay xy ≤  xy ≤    • Dạng tích sang tổng: • Dạng lũy thừa: x + y ≥ xy hay xy ≤ Dấu " = " xảy ⇔ x = y x2 + y x2 + x x.1 ≤ • Dạng đặc biệt: = 2 Dạng ba số khơng âm x, y, z • Dạng tổng sang tích: x + y + z ≥ 3 xyz x+ y+z  x+ y+z hay xyz ≤  xyz ≤  3   • Dạng tích sang tổng: • Dạng lũy thừa: x + y + z ≥ xyz hay xyz ≤ Dấu " = " xảy ⇔ x = y = z x3 + y + z x3 + + = x x.1.1 ≤ • Dạng đặc biệt: 3 Dạng tổng quát với n số không âm x1 , x2 , , xn • Dạng tổng sang tích: x1 + x2 + + xn ≥ n n x1 x2 xn x1 + x2 + + xn  x + x + + xn  hay x1 x2 xn ≤   n n   n n n x + x2 + + xn • Dạng lũy thừa: x1n + x2n + + xnn ≥ x1 x2 xn hay x1 x2 xn ≤ n Dấu " = " xảy ⇔ x1 = x2 = = xn n • Dạng tích sang tổng: n x1 x2 xn ≤ • Dạng đặc = biệt: x x.1.1 ≤ n −1 xn + n −1 n Bất đẳng thức trung gian 1 • + ≥ ∀x > 0, y > Dấu " = " xảy ⇔ x = y x y x+ y 1 • + + ≥ ∀x > 0, y > 0, z > Dấu " = " xảy ⇔ x = y = z x y z x+ y+z DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH Ví dụ Cho x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = x − x + + 15 4x2 Lời giải Có T= ( 4x   − x + 1) +  x +  + 14 4x   Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com   +  x +  + 14 ≥ + x + 14= 16 4x  4x  Vậy MinT = 16 x = = ( x − 1) Ví dụ Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x − x + + 2011 4x Lời giải Có M= x − x + + x + + 2010 4x   +  x +  + 2010 ≥ + x + 2010= 2011 4x  4x  Vậy MinM = 2011 x = = ( x − 1) Ví dụ Cho x > y > xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức H = x2 + y x− y Lời giải Có H x + y − xy + xy = x− y = ( x − y) + ≥2 x− y ( x − y ) ( x − y) +4 x− y = x− y   y= − x x − y = x − y =  x = x− y ⇔  Vậy Min H =  ⇔ ⇔ y  xy = x − 2x − = =  xy =  +1 −1 DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : a b − + b a − ≤ ab Lời giải + (b − 1) b ab Có b − = 1.(b − 1) ≤ = ⇒ a b −1 ≤ ; 2 ab ab ab Và tương tự: b a − ≤ ⇒ a b −1 + b a −1 ≤ + = ab ⇒ đpcm 2 Dấu ‘=” xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ Chứng minh: ab c − + bc a − + ca b − ≤ 11abc 12 Lời giải: Có: bc ca (a − 9).9 + (b − 4).4 (c − 1) + bc (a − 9) + ca (b − 4) + 11abc ≤ ab + + = 2 12 Dấu “=” xảy a = 18, b = 8, c = ab c − + bc a − + ca b = − ab (c − 1).1 + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = a b(a + 2b) + b a (b + 2a ) Lời giải Xét: 3b + (a + 2b) 3a + (b + 2a ) a + b a 3b(a + 2b) + b 3a (b + 2a ) ≤ a M = + b = + 5ab 2 a + b2 a + b2 ≤ + ≤6⇒ M ≤2 2 Vậy MaxM = a = b = Ví dụ Cho x ≥ , y ≥ x + y ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P= x (14 x + 10 y ) + y (14 y + 10 x ) Lời giải 24 x (14 x + 10 y ) + 24 y (14 y + 10 x ) Xét: P = 24 24 x + (14 x + 10 y ) 24 y + (14 y + 10 x ) + = 24 ( x.1 + y.1) 2  x2 + y +   x2 + y +  48 ≤ 24  = + ⇒ P≤4  24   ≤ 48 ⇒ P ≤  24    ≤ Vậy MaxP = x= y= Ví dụ Cho x > , y > Từ xy ( x − y ) = x + y ⇒ x > y xy ( x − y ) =x + y Tìm giá trị nhỏ P= x + y Lời giải 1 ( xy ) + ( x − y ) = y xy ( x − y= xy ( x − y ) ≤ = x + ) 2 2 ⇒ ( x + y) − 4( x + y) ≥ ⇒ x + y ≥ 2 ( x + y) 2 ( x= ( x =  xy = − y ) xy + y ) xy ⇔ ⇔ Dấu "=" xảy  = = x + y =  x + y  x + y ⇒ x , y hai nghiệm phương trình t − 4t + = ⇔ t = ± Do x > y ⇒ x = + , y= − Vậy MinP = x= + , y= − DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Tìm giá trị lớn biểu thức: Ví dụ Cho a , b , c > ab + bc + ac = a b c P= + + 2 a +1 b +1 c +1 Lời giải Thay = ab + bc + ac , ta được: a b c P= + + a + ab + bc + ac b + ab + bc + ac c + ab + bc + ac a b c = + + ( a + b )( a + c ) ( b + a )( b + c ) ( c + a )( c + b ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a a b b c c + + a+b a+c b+a b+c c+a c+b a a b b c c + + + ≤ a+b a+c + b+a b+c + c+a c+b 2 b   a c   b c   a + + +  + +  a+b a+b  a+c a+c  b+c b+c = 2 Vậy MaxP = a= b= c= Ví dụ Cho số dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: ab bc ca + + ≤ c + ab a + bc b + ca Lời giải ab bc ca ab bc ca + + = + + Ta có c + ab a + bc b + ca c.1 + ab a.1 + bc b.1 + ca = = ab bc ca + + c ( a + b + c ) + ab a ( a + b + c ) + bc b ( a + b + c ) + ca = ab + ( a + c )( b + c ) bc + ( a + b )( a + c ) ac ( b + c )( b + a ) a b b c c a + + a+c c+b a+b a+c b+c b+a  a b   b c   c a  ≤  + + + ( đpcm) + +  =  c + a c + b   a + b a + c   b + c a + b   3abc Tìm giá trị nhỏ Ví dụ Cho a > , b > , c > ab + bc + ac = a b2 c2 P= + + c ( c2 + a ) a ( a + b2 ) b ( b2 + c2 ) = Lời giải Có P = 2 a b c + + 2 2 c ( c + a ) a ( a + b ) b (b + c2 ) a + c2 − c2 b2 + a − a c2 + b2 − b2 = + + c ( c2 + a ) a ( a + b2 ) b ( b2 + c2 ) c  1 a  1 b  1 = − + − + − 2    c c +a   a a +b  b b +c  1 c  1 a  1 b  ≥ − + − + −    2 2 2 c c a  a a b  b b c   1   1   1   1  ab + bc + ac =  − + − + −  =  + +  = = 2abc  c 2a   a 2b   b 2c   a b c  Vậy MinP = a= b= c= Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ Cho a > , b > , c > a + b + c = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a b c + + 2 + 9b + 9c + 9a Lời giải 2 2 a + 9b − 9ab b + 9c − 9bc c + 9a − 9ca + + Có T = + 9b + 9c + 9a  9ab   9bc   9ca  = a − + b − + c −      + 9b   + 9c   + 9a   T= ( ) ( ) ( )  9ab   9bc   9ca  ≥ a − + b − + c −      1.9b   1.9c   1.9a   1 1) = a + b + c − ( ab + bc + ac ) ≥ a + b + c − ( a + b + c ) = ( a + b + c = 2 1 Vậy MinT = a= b= c= 1 1 Ví dụ Cho a , b , c > + + = Chứng minh: abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c Lời giải 1 Có + + = 1+ a 1+ b 1+ c b c cos i b c bc 1     ⇒ = 1 − + ≥2 =2  + 1 − = 1+ a  1+ b   1+ c  1+ b 1+ c 1+ b 1+ c (1 + b )(1 + c ) Tương tự: ≥2 1+ b ac ; ≥2 (1 + a )(1 + c ) + c ab (1 + a )(1 + b ) Nhân bất đẳng thức dương, chiều ta được: 8abc ≥ hay abc ≤ (đpcm) (1 + a )(1 + b )(1 + c ) (1 + a )(1 + b )(1 + c ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI 1 Tách x + y + z= ( x + y) + ( y + z ) + ( z + x) 2 xyz = xy yz zx ∀x, y, z ≥ Ví dụ Cho a > , b > , c > a + b + c = Chứng minh: ab bc ac bc ca ab a) b) + + ≥ a+b+c ; + + ≥ c a b a b c Lời giải ab bc ac  bc ca   ca ab   ab bc  a) Có + + =  + +  + +  +  c a b 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc + + = a + b + c (đpcm) ≥ 2 a b b c c a 2 2 a 2b  bc ca ab  b c c a b) Xét  + +  = + + + ( a + b2 + c2 ) 2 c  a b c  a b 2 2  b c c a   c a a 2b   a 2b b c  = + +  + +  + +2   a2 b  2 b c  2 c a  b2c c a c a a 2b a 2b b c ≥ + + a b2 b2 c c2 a2 2 bc ac ab = a + b + c + = , + + ≥ (đpcm) a b Ví dụ Cho a, b, c độ dài ba cạnh ∆ABC Chứng minh (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) ≤ abc Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh ∆ABC nên a + b − c > 0, b + c − a > 0, c + a − b > (a + b − c) + (b + c − a ) Có < (a + b − c)(b + c − a ) ≤ = b; (b + c − a ) + (c + a − b) < (b + c − a )(c + a − b) ≤ = c; (c + a − b) + (a + b − c) < (c + a − b)(a + b − c) ≤ a; = Nhân ba đẳng thức dương chiều ta (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) ≤ abc (điều phải chứng minh) DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ đạt giá trị biến Bước 2: Kẻ bảng xác định số với Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng sử dụng bất đẳng thức Cơ-si Ví dụ Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức = P 2a + a Lời giải Phân tích tốn a  37 13 23 ≈ 6,5 ≈ 9, 25 ≈ 7,  P Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ bảng thứ dự đoán P = 13 ⇔ a = 2 a a a=2 Từ bảng thứ hai, ta suy a 5a với nên với a 4 a Trình bày lời giải 5a 3a 3a 3.2 13  5a  3a Có P = +  + ≥2 ⋅ + =5 + ≥ 5+ = ( a ≥ 2) a 4 4 a   5a 13  = Vậy P =  a ⇔ a = (thỏa mãn) a = Ví dụ Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = x + y + Lời giải Phân tích tốn ( x ; y) (1 ; 5) (2 ; 4) (3 ; 3) 84 = 16,8 16 15 F Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán F = 15 khi= x 2,= y x x = x 2,= y Từ bảng thứ hai, ta suy (4 ; 2) 39 = 19,5 24 + x y (5 ; 1) 156 = 31, y y 6 x 3x 1 x y với nên với ; với nên = y x x 16 24 24 y y với = y 16 Trình bày lời giải Có  3x   24 y   x y  F =  + + + − +   2 2 x   y ≥2 3x 24 y 1 ⋅ +2 ⋅ − ( x + y) = 18 − ( x + y ) x y 2 ≥ 18 − = ⋅ 15 (do x + y ≤ 6) x = x 24 y Vậy F = 15 = ; = ; x + y = ⇔  (thỏa mãn) x y y = Ví dụ Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 28 + x y Lời giải Phân tích tốn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com (1; ) ( x; y ) ( 2;1) 69 = 34,5 Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán min= P 24 khi= x 2,= y P x x = x 2,= y Từ bảng thứ hai, ta suy 24 y y 1 1 28 28 x x với nên với se với y = 7x ; y x x 4 Trình bày lời giải Có   28  1 P =  + x  +  + y  + 2x2 + y − x − y  x  y    28  1 =  + x  +  + y  + 2( x − 2) + ( y − 1) + ( x + y ) −  x  y  ≥2 28 ⋅ 7x + ⋅ y + 0+ 0+3−9 = 24 x y 28 = x; = y; x − = 0; y − = 0; x + y = ⇔ x = 2, y = x y Ví dụ Cho ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 6, ≤ z ≤ x + y + z = 12 Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Lời giải Nhận xét: Do y z vai trị nên sử dụng bất đẳng thức Cơ-si tích yz , Vậy P = 24  y+z ta P = x( yz ) ≤ x   = x(12 − x)(12 − x)   Đến ta kẻ bảng để dự đoán giá trị lớn P x 2 243 = 60, 75 50 P Từ bảng thứ dự đoán max P = 243 x = 12 − x x x=3 Từ bảng thứ hai, ta suy 3x với 12 − x nên ta biến đổi 1  x + 24   + 24  243 [(3 x)(12 − x)(12 − x)] ≤   ≤   ≤ 12 12   12   243 Vậy max P= x= 3, y= z= 3 P≤ DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐỐN KÊT QUẢ • Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện ẩn phụ • Một số bất đẳng thức trung gian thường dùng: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài (Trường THCS Yên Hòa – Cầu Giấy 2020-2021) Cho x , y , z số thực thỏa mãn x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức A = x + y + z Bài (Thi thử Trường Vinshool – Hà Nội 2020-2021) 1 + + = 2020 Cho a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn a+b b+c c+a 1 + + Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2a + 3b + 3c 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c Bài (Trường THCS Thạch bàn Hà nội 2020-2021) 2ac Tính giá trị nhỏ biểu thức Với a , b , c số dương thoả mãn có ab + bc = P = a+b c+b + a − b 2c − b Bài (Trường THCS Phúc Lợi Quận Long Biên 2020-2021) Cho a, b số không âm thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh rằng: a 3a ( a + 2b ) + b 3b ( b + 2a ) ≤ Bài (Trường THCS Phúc Đồng Quận Long Biên 2020-2021) 1   Tìm giá trị lớn biểu thức: a b 1  P 2 a  b  2ab b  a  2ba Cho hai số dương  a  b thỏa mãn Bài (Trường THCS Ngọc Thụy Long Biên 2020-2021) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= x2 + y xy Bài (Trường THCS Ngọc Lâm Long Biên 2020-2021) Cho x ; y ; z > 1 + + = Chứng minh : x y z 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài (Trường THCS Lý Thái Tổ Cầu Giấy 2020-2021)  1  1 Cho biểu thức : B = (1 + x ) 1 +  + (1 + y ) 1 +   x  y 2 Với x > , y > x + y = Tìm giá trị nhỏ B Bài (Trường THCS Lương Thế Vinh Cầu Giấy 2020-2021)  2  y  Cho hai số dương x y Chứng minh  x +   +  ≥ y  x   Bài 10 (Trường THCS Giang Biên 2020-2021) Cho a, b, c số dương a + b + c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P= a a +1 b + b +1 + c c +1 Bài 11 (Trường THCS Gia Thụy Long Biên 2020-2021) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 c2 + ≥ a+b+c 3a + 8b + 14ab 3b + 8c + 14bc 3c + 8a + 14ca Bài 12 (Trường THCS Đức Giang 2020-2021) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + + xy + yz + zx Bài 13 (Trường THCS Dịch Vọng 2020-2021) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2020 = P + 2 x +y +z xy + yz + zx 2 2 2 Bài 14 (Trường THCS Đa Trí Tuệ 2020-2021) 1 a+b+c + + ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc Bài 15 (Trường THCS Cự Khôi – Long Biên 2020-2021) Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức ab bc ca A= + + c + ab a + bc b + ca Bài 16 (Trường THCS Cầu Giấy – Cầu Giấy 2020-2021) Cho số thực dương a, b thay đổi thỏa mãn a + + b + = Tìm giá trị lớn biểu thức = P a + b Bài 17 (Trường THCS Ái Mộ – Long Biên 2020-2021) Cho hai số x > , y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho ba số a , b , c dương Chứng minh    M = 1 −  1 −  x  y   Bài 18 (Quận Hà Đông 2020-2021) Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x + y + z ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 + y y + z z + x3 + + x2 + y y + z z + x2 Bài 19 (Quận Long Biên 2020-2021) Cho x , y , z số dương thỏa mãn x + y + z = 2020 xy yz zx + + Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2020 z + xy 2020 x + yz 2020 y + zx Bài 20 Cho hai số thực x , y thỏa mãn: x + y + xy = 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =x + y + xy Bài 21 (Huyện Thanh Oai 2020-2021) Tìm giá trị Cho số thực dương x , y số thực thỏa mãn: x + y + xy = 2 nhỏ biểu thức P= x + y P= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 22 (Trường Nguyễn Trường Tộ - Hà Nội 2020-2021) Cho x > , y > , z > x + y + 3z ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z + + + x 2y z Bài 23 (Trường Quỳnh Mai - Hà Nội 2020-2021) Cho x ; y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= xy + + x +y xy Bài 24 (Huyện Ba Vì - Hà Nội 2020-2021) Cho x, y , z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( x + 1) P= y −1 ( y + 1) + z −1 ( z + 1) + x −1 Bài 25 (Trường Thái Thịnh- Đống Đa 2020-2021) Với x , y ≥ , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 16 ( x + 1)( y + 1) Bài 26 (Trường Lương Thế Vinh - Hà Nội 2020-2021) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = + x + − x − − x2 Bài 27 (Trường Quốc Oai - Hà Nội 2020-2021) Cho số thực dương x , y thỏa mãn: x + y = 15 Tìm giá trị lớn biểu thức A= x +1 + y + Bài 28 (Quận Long Biên 2020-2021)  a≥b≥c Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện  Tìm giá trị nhỏ a + b + c = a c P = + + 3b c b HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Ta có: x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 ( x − ) ≥ 0, ∀x ⇔ x − 14 x + 49 ≥ ⇔ x ≥ 14 x − 49 ( y − 5) ≥ 0, ∀y ⇔ y − 10 x + 25 ≥ ⇔ y ≥ 10 y − 25 ( z − 3) ≥ 0, ∀z ⇔ z − z + ≥ ⇔ z ≥ x − ⇒ A = x + y + z ≥ 14 x + 10 y + z − 83 ⇒ A ≥ ( x + y + z ) + ( x + y ) + x − 83 ⇒ A ≥ ( x + y + z ) + ( x + y ) + x − 83 ⇒ A ≥ 6.15 + 4.12 + 4.7 − 83 (vì x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 ) A ≥ 83 Dấu “ = ” xảy x = , y = , z = (thỏa mãn) Vậy A đạt giá trị nhỏ 83 x = , y = , z = Bài Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương a, b, c, d ta có : a + b + c + d ≥ 4 abcd Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 + + + ≥ 44 a b c d abcd 1 1 1 ⇒ ( a + b + c + d )  + + +  ≥ 16 a b c d  1 1 16 ⇔ + + + ≥ a b c d a+b+c+d 1 Ta có : = 2a + 3b + 3c (a + b) + (a + c) + (b + c) + (b + c) Áp dụng bất đằng thức phía ta có : 1  1 1  ≤  + + +  (a + b) + (a + c) + (b + c) + (b + c) 16  a + b a + c b + c b + c  1  1  ⇒ ≤  + +  2a + 3b + 3c 16  a + b a + c b + c  Chứng minh tương tự ta có: 1  1  ≤  + +  3a + 2b + 3c 16  a + b b + c a + c  1  1  ≤  + +  3a + 3b + 2c 16  a + c b + c a + b   1  ⇒ P ≤  + +  16  a + b a + c b + c  ⇒ P ≤ 2020 = 505 Dấu ‘’= “ xảy a= b= c= 4040 Bài Với a , b , c số dương ta có: 2ac , thay vào P ta ab + bc= 2ac ⇒ b= a+c 2ac 2ac a+ c+ a+c + a+c P = 2ac 2ac 2a − 2c − a+c a+c a ( a + c ) + 2ac c ( a + c ) + 2ac = + 2a ( a + c ) − 2ac 2c ( a + c ) − 2ac a + 3c c + 3a = + 2a 2c 3a c  = 1+  +  ≥ 1+ ⋅ = 2 c a Vậy giá trị nhỏ P a= b= c Bài Dự đoán dấu xảy a= b= Khi 3a = a + 2b, 3b = b + 2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu x+ y Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy ≤ , dễ thấy 3a + a + 2b 3b + b + 2a a 3a ( a + 2b ) ≤ a = 2a + ab , b 3b ( b + 2a ) ≤ b = 2b + ab 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: + 2ab M= a 3a ( a + 2b ) + b 3b ( b + 2a ) ≤ ( a + b ) + 2ab = Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có: + 2ab ≤ + a + b = Từ ta có M ≤ Dấu xảy ⇔ a = b =  ab  a b 1 Bài Từ giả thiết   =>   2ab  a  b  ab     ab a b  a  b  Áp dụng BĐT cô si với số dương ta có a  b  a 4b  a  b  2ab  2a 2b  2ab b  a  b a  b  a  2a 2b  2ab  2a 2b 1 1 P     2 2 2 a  b  2ab b  a  2ba 2a b  2ab 2ab  2a b Dấu “=” xảy ⇔ a = b = 1 Vậy giá trị lớn P a= b= 2 x2 + y x y  x y  y Bài 6.Ta có : M = = + = + − xy y x y x  x x 4y Vì x, y > , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ; y x x 4y x 4y + ≥2 = y x y x x 4y Dấu “=” xảy ⇔ = ⇔ x2 = y ⇒ x= y y x y −3 y −3 , dấu “=” xảy ⇔ x = Vì x ≥ y ⇒ ≤ ⇒ ≥ 2y x x Suy ra, M ≥ − = , dấu “=” xảy ⇔ x = 2y 2 Vậy GTNN M x = y  2x > 1 Bài Áp dụng BĐT + ≥ (với ( A; B > ) ) Có x ; y ; z > ⇒  A B A+ B y + z > 1 1  1 Có ⇔ ≤  + + ≥  2x + y + z  2x y + z  2x y + z 2x + y + z Ta có: 1 1  1 1  11 1 1 +  ⇔ ≤  +  ⇔  + + ≥ ≤  +  2x y + z   2x y 4z  y+ z 4 y z  y z y+z 1 1  +  (1) ⇒ ≤  +  2x y 4z  2x + y + z Có 1 1  1 1  1 + +  (2) ; + ≤  ≤  +  (3)  y 4x 4z  2y + x + z 2z + x + y  z x y  1 Từ (1) (2) (3) ⇒ + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Tương tự cm : Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu « = » xảy ⇔ x= y= z= Bài  1 1 x y  1 B = (1 + x ) 1 +  + (1 + y ) 1 +  = + x + y + + + + x y y x y  x  1 1 x y =2 + x + y + + + + + + 2x 2x y y y x     x y 11 1  =2 +  x +  +  y + + + +  +  2x   2y   y x   x y   Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: 1 ≥ x = 2x 2x 1 y+ ≥ y = 2y 2y x+ (1) (2) x y x y + ≥ = y x y x 11 1  + ≥ 2 x y (3) x y Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: xy ≤ 1 2 ≥ x + y2 ) ⇒ x + y ) ⇒ xy ≤ ( ( 2 xy 11 1 ⇒  + ≥ 2 x y ( x2 + y ) = ( 4) Từ (1), (2), (3), (4) ta được:     x y 11 1  2+x+ + y+ + + +  +  ≥ 4+3 2x   2y   y x   x y   Vậy MinB= + x = y  x = 2x  Dấu đẳng thức đồng thời xảy khi:  y = 2y   2  x + y = 1; x > 0, y > Bài Có x, y >  xy +   y + x   2  y   x +   +  ≥ ⇔   ≥8 y  x    y  x  ⇔ ( xy + )( y + x ) ≥ xy ⇔ ( xy + )( y + x ) ≥ xy ( x, y > ) ⇔ xy + x y + y + x ≥ xy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ xy + x y + y + x − xy ≥ ⇔ xy + x y + y + x − xy − xy ≥ ⇔ ( xy − xy + x ) + ( x y − xy + y ) ≥ ⇔ x ( y − y + ) + y ( x − x + 1) ≥ ⇔ x ( y − ) + y ( x − 1) ≥ ( với x, y > ) 2  y = y − = 2  y  Vậy  x +   +  ≥ với x, y > Dấu “=” xảy ⇔  ⇔ y  x    x − =0 x = Bài 10 Vì a, b, c > , ta có : (a + b + c) − 3(ab + bc + ca) = a + b + c − ab − bc − ca 1 a + b + c − ab − bc − ca  =  1 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥  ( ) ⇒ ( a + b + c ) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇒ ≥ ( a + b + c ) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇔ ≥ ab + bc + ca ⇔ a + ≥ a + ab + bc + ca ⇔ a + ≥ ( a + b )( a + c ) ⇔ 1 ≤ ⇔ a + ( a + b )( a + c ) a +1 ≤ ( a + b )( a + c ) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương: a a + ≥2 (a + b) (a + c) a a ⇒ (a + b) (a + c) ⇒ a a +1 ≤ a a (1) (a + b) (a + c) a a ; (a + b) (a + c) a a a  1 a ≤  +  (2) ( a + b ) ( a + c )  ( a + b ) ( a + c )  Từ (1) (2) suy 1 a a a  ≤  +  (*) a2 +  a + b a + c  Chứng minh tương tự, ta có 1 b b b  ⇒ ≤  +  (**) b +1  a + b b + c  c 1 c c  ⇒ ≤  +  (***) c +1  a + c b + c  Cộng vế với vế (*), (**),(***), ta có a b c 1 a a b b c c  ⇒ + + ≤  + + + + +  a2 + b2 + c2 +  a + b a + c a + b b + c a + c b + c  ⇒P≤ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu xảy ra: a= b= c= Vậy max P = 3 3 ⇔ a =b =c = Bài 11 Ta có: 3a + 8b + 14ab= ( 3a + 12ab ) + ( 2ab + 8b = ) 3a ( a + 4b ) + 2b ( a + 4b ) =( a + 4b )( 3a + 2b ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a + 4b 3a + 2b ta có a + 4b + 3a + 2b 4a + 6b = = 2a + 3b ( a + 4b )( 3a + 2b ) ≤ 2 a2 a2 a2 a2 hay ≥ ⇒ ≥ 3a + 8b + 14ab 2a + 3b ( a + 4b )( 3a + 2b ) 2a + 3b Tương tự ta có : b2 b2 c2 c2 ; ≥ ≥ 3b + 8c + 14bc 2b + 3c 3c + 8a + 14ca 2c + 3a Khi a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ + + (1) 3a + 8b + 14ab 3b + 8c + 14bc 3c + 8a + 14ca 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a a2 2a + 3b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: 2a + 3b 25 a2 2a + 3b a2 2a + 3b 2a + ≥2 = 2a + 3b 25 2a + 3b 25 2a 2a + 3b 8a − 3b a ⇒ ≥ − = 2a + 3b 25 25 Tương tự ta có b2 8b − 3c ≥ 2b + 3c 25 c 8c − 3a ≥ 2c + 3a 25 a b2 c2 8a − 3b 8b − 3c 8c − 3a a + b + c ⇒ + + ≥ + + = ( 2) 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 25 25 25 Từ (1) ( ) suy a2 + b2 + c2 ≥ a+b+c 3a + 8b + 14ab 3b + 8c + 14bc 3c + 8a + 14ca Dấu “=” xảy a= b= c  1  Bài 12 Ta có: (1 + xy ) + (1 + yz ) + (1 + zx )   + + ≥9  + xy + yz + zx  9 ⇔P≥ ≥ + xy + yz + zx + x + y + z Mà x + y + z ≤ nên P ≥ Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu '' = '' xảy x= y= z= Vậy P = ⇔ x = y = z = 1 1 Bài 13 Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z )  + +  ≥ , ta có : x y z   1 ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) + ( xy + yz + zx )     x + y + z + xy + yz + zx + xy + yz + zx  ≥     1 ⇔ ( x + y + z + xy + yz + zx )  + +  ≥ 2 xy + yz + zx xy + yz + zx  x +y +z Hay + ≥9 2 x +y +z xy + yz + zx Ta có : ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z ) ≥ ⇔ x + y + z ≥ xy + yz + zx 2 ⇒ ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) ≥ ( xy + yz + zx ) ( x + y + z) ⇒ xy + yz + zx ≤ = Từ suy ra: 2018 + 6054 6063 P = + + ≥= 2 x +y +z xy + yz + zx xy + yz + zx ⇔ P ≥ 6063 Dấu xảy ⇔ x = y = z = Vậy GTNN P = 6063 ⇔ x = y = z = Bài 14 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 1 1 1  a + bc ≥ 2a bc ⇒ ≤ = ≤  +  a + bc a bc ab ac  ab ac  1 1  Tương tự có: ≤  +  b + ac  ba bc  1 1  ≤  +  c + ab  ca cb  Cộng vế với vế (1) ( ) ( 3) ta được: (1) ( 2) ( 3) 2 1 1  1 1  1 1  + + ≤  + +  + +  +  a + bc b + ac c + ab  ab ac   ba bc   ca cb  2 1 2  ⇒ + + ≤  + +  a + bc b + ac c + ab  ab bc ca  1 1 1  ⇒ + + ≤  + +  a + bc b + ac c + ab  ab bc ca  1 a+b+c ⇒ + + ≤ (điều phải chứng minh) a + bc b + ac c + ab 2abc Đẳng thức xảy a= b= c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 15 a+b a+b 1 11 1 ≥1⇔ ≥ ⇔ ≤  +  2ab ab ab  a b  ab Viết lại c + ab =c.1 + ab =c ( a + b + c ) + ab =ca + cb + c + ab =c ( c + a ) + b ( c + a ) =( c + b )( c + a ) Tương tự a + bc = ( a + b )( a + c ) Với a, b > ta có a + b ≥ ab ⇔ b + ca = ( b + c )( b + a ) Xét ab = c + ab ab ( c + b )( c + a ) ≤ ab  1  +   c+b c+a  bc bc  1  ≤  +  a + bc  a + b a + c  ca ca  1  ≤  +  b + ca  b + c b + a  Cộng vế với vế ta ab bc ca A= + + c + ab a + bc b + ca ab bc bc ac ac   ab ≤  + + + + +  2c+b c+a a+b a+c b+c a+b  a (b + c ) b ( a + c ) c ( a + b)  ⇔ A≤  + +  a+c a+b  2 b+c 1 A ≤ (a + b + c) ≤ 2 ⇔ A≤ 1 Vậy giá trị lớn A a= b= c= Bài 16 Ta chứng minh x ≤ x + − với x > Thật vậy, x ≤ x + − ⇔ x + ≥ x + ⇔ 3( x − 1) ≥ Áp dụng : a ≤ a + − 3; b ≤ b + − ⇒ P ≤ 2( a + + b + 3) − ⇒ P ≤ 2.4 −  a = ⇒ Pmax =  ⇔ a  1 =b=  b = Bài 17 Với hai số x > , y > x + y = ta có: 2   ( x − 1) ( y − 1) ( x − 1)( x + 1)( y − 1)( y + 1)  M = = 1 −  1 −  = ⋅ x  y  x y2 x2 y  ( − y )( x + 1)( − x )( y + 1) xy + ( x + y ) + = = = 1+ 2 xy xy x y 1 2 Ta có: x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy ⇔ ≤ ⇔1≤ ⇔8≤ xy xy ( x + y ) xy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ 1+ ≥ ⇔ M ≥ xy Dấu xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ M x= y= Bài 18 2 x3 + y ( x + y ) ( x + y − xy ) Ta có: 2 = x +y x2 + y xy ( x + y ) xy ( x + y ) x + y = x+ y− ≥ x + y − = x + y2 xy Tương tự ta có: y3 + z3 y + z z + x3 z + x ≥ ≥ ; y2 + z2 z + x2 2 x3 + y y + z z + x3 x + y y + z z + x + + ≥ + + x2 + y y + z z + x2 2 ⇔ P≥ x+ y+z ≥6 x = y y = z  Dấu “=” xảy ⇔  ⇔ x = y = z =2 = z x   x + y + z = Vậy MinP = x= y= z= Khi ta có: P= Bài 19 Thay x + y + z = 2020 vào biểu thức P ta : P= = xy ( x + y + z ) z + xy xy xz + yz + z + xy + + yz ( x + y + z ) x + yz yz x + xy + xz + yz + + zx ( x + y + z ) y + zx zx xy + y + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có : xy = xz + yz + z + xy yz = x + xy + xz + yz zx = xy + y + yz + zx xy = ( x + z )( y + z ) xy xy  xy xy  ≤  +  (1) x+ z y+ z 2 y+ z x+ z  yz yz yz  yz yz  ≤  +  ( 2) x+ z x+ y 2 x+ z x+ y zx zx zx  zx zx  ≤  +  ( 3) x+ y y+ z 2 x+ y y+ z  = ( x + z )( x + y ) = ( x + y )( y + z ) Cộng vế (1) , ( ) , ( 3) ta : xy xz + yz + z + xy + yz x + xy + xz + yz + zx xy + y + yz + zx  xy xy yz yz zx zx  ≤  + + + + +  2 y+ z x+ z x+ z x+ y x+ y y+ z  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com =  xy zx xy yz yz zx  + + + + +   2 y+ z y+ z x+ z x+ z x+ y x+ y  x( y + z) y ( x + z) z ( x + y)  + +   2 y+ z x+z x+ y  2020 = + z ) = 1010 ( x + y= 2  x= y= z 2020 Dấu “=” xảy  ⇔ x=y=z= 2020 x + y + z = 2020 Vậy giá trị lớn biểu thức P = 1010 x= y= z= = Bài 20 7 Do x + y + xy = ⇒ xy = − ( x + y ) 2 7  Thay xy = − ( x + y ) vào P =x + y + xy , ta có: P = x + y +  − ( x + y )  2  ( ) ( ) P = x + y + 14 − x − y = x − x +4 + y − y + + = ( x − ) + ( y − 1) + 2 ( x − )2 ≥ Vì  với x ; y ⇒ P ≥ ( y − 1) ≥ x = 0 x − = ( x − ) =  ⇔ ⇔ Dấu " = " xảy ⇔  2 y − =0 ( y − 1) =  y = Vậy MinP = x = y = Bài 21 Ta có: ( x − ) + ( y − ) + ( x − y ) ≥ với x, y 2 ⇔ x − x + + y − y + + x − xy + y ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ ( x + y + xy ) − = 24 ⇒ x + y ≥ Dấu xảy x= y= Vậy MinP = x= y= Bài 22 x y 3z  3x   y   z  + + + + + + + +  4  x   2y   z  x y 3z x + y + 3z Ta có : += + ≥5 4 3x Ta có : + ≥3 x y + ≥3 Ta có : 2y z Ta có : + ≥ z ⇒ P ≥ 13 P= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy giá trị nhỏ P = 13 dấu xảy x = ; y = ; z = Bài 23 1 1 1 Cho số thực dương x ; y ta có: ( x + y )  +  ≥ ⇔ + ≥ x y x+ y x y 1 1 1 1 1 Thật x + y ≥ xy ; + ≥ ⇒ ( x + y) +  ≥ ⇔ ( x + y) +  ≥ x y xy x y x y Ta có x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇔ xy ≤ 1 = xy + + + + A= xy + + 2 xy x + y xy xy x +y xy Ta có xy + ≥2 xy 1 + ≥ ≥4 2 x +y xy ( x + y )2 5 ≥ ≥5 4xy ( x + y )2 ⇒ A ≥ 11 Vậy giá trị nhỏ A = 11 dấu xẩy x= y= Bài 24 Do y > ⇒ y − > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: ( x + 1) y −1 ( x + 1) + ( y − 1) ≥ ( y + 1) y −1 ( y − 1)= ( x + 1) ( z + 1) 2 + ( x − 1) ≥ ( z + 1) + ( z − 1) ≥ ( y + 1) ; x −1 z −1 Khi P + ( x + y + z − 3) ≥ ( x + y + z + 3) ⇔ P ≥ 45 − ( x + y + z ) Tương tự ta có: Do x + y + z = nên P ≥ 45 − 3.6 = 27 ⇒ Pmin = 27 Dấu " = " xảy ⇔ x= y= z= Bài 25 ( x + 1)( y + 1) ≤ Ta có x +y 2 ( x + y) ≥ x+ y+2 ⇒ 16 ( x + 1)( y + 1) ≥ 32 x+ y+2 2 Khi P ≥ ( x + y ) + 64 x+ y+2 Lại có ( x + y ) + ≥ ( x + y ) ⇒ ( x + y ) + 12 ≥ ( x + y + ) 2 64 64 ≥ ( x + y + 2) = 32 x+ y+2 x+ y+2 ⇒ P ≥ 20 ⇒ P ≥ 10 ⇒ Pmin = 10 Dấu " = " xảy ⇔ x = y = ⇒ P + 12 ≥ ( x + y + ) + Bài 26 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Điều kiện: −2 ≤ x ≤ + Đặt t = + x + − x ≥ t = ( 2+ x + 2− x ) = + − x2 ( *) t2 − ⇒ − x2 = 2 t −4 ⇒ P =t − ⇒ P =−(t − 1) + Xét biểu thức t = 2+ x + 2− x ≥ t2 = + − x2 Với x thỏa mãn điều kiện xác định − x2 ≥ ⇔ + − x2 ≥ ⇔ t2 ≥ t ≥ ⇔ t ≤ −2 Mà t ≥ nên chọn t ≥ 2 ⇒ − x2 = 0⇔ x= t= ±2 (tm) 2 + x ≥ Với x thỏa mãn điều kiện xác định  2 − x ≥ Áp dụng BĐT Cơ – si ta có: (2 + x)(2 − x) ≤ + x + − x = ⇒ + − x2 ≤ ⇔ t2 ≤ ⇔t≤2 Dấu “=” xảy ⇔ = x = − x ⇔ x = (thỏa mãn) +Vì t ≥ nên ( t − 1) ≥ (2 − 1)2 ⇔ − ( t − 1) ≤ −1 ⇔ − ( t − 1) + ≤ −1 + ⇔ 2P ≤ ⇔P≤2 Suy Pmax =2 t =2 ⇔ x =±2 + Vì t ≤ 2 nên ( ) ⇒ ( t − 1) ≤ 2 − ( ) ⇒ − ( t − 1) ≥ − 2 − 2 ( ) ⇒ − ( t − 1) + ≥ − 2 − + = −4 2 ⇒ 2P ≥ − ⇒ P ≥ 2 −2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ Pmin= 2 − ⇔= t 2 ⇔= x Vậy Pmax = x = ±2 Pmin = 2 − x = Bài 27.Với số thực dương x , y A > , giá trị biểu thức A xác định A= x + + y + 2= x + + y + điều kiện: x ≥ −1; y ≥ − Chứng minh công thức: ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: = A2 (1 x + + y + ) ≤ (( ) ( x +1 + y+2 ) ) (1 + ) 2 ≤ ( x + + y + 2).(1 + 1) ≤ ( x + y + 3).2 ≤ (15 + 3).2 = 36 Suy A ≤ ( A > ) Dấu xảy x + = y + ⇔ x + = y + ⇔ x − y = Mà x + y = 15  x + y = 15  x = (15 + 1) : x = (Thỏa mãn điều kiện) Nên ta có hệ phương trình  ⇔ ⇔ x − y =  y = (15 − 1) : y = Vậy giá trị lớn biểu thức A x = 8; y = Bài 28 Ta có: ( x− y ) Suy x + y ≥ x ≥ với x ≥ 0, y ≥ (*) với x ≥ 0, y ≥ Dấu xảy x = y Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : a a + ac ≥ 2a ⇔ ≥ 2a − ac c c c c + bc ≥ 2c ⇔ ≥ 2c − bc b b a c Suy P = + + 3b ≥ 2a − ac + 2c − bc + 3b c b P = ( a + c ) − ac − bc + b ( a + b + c ) = a + b + c P ≥ ( − b ) + b2 + a ( b − c ) P ≥ ( b − 1) + a ( b − c ) + ≥ a ( b − c ) ≥ a ≥ b ≥ c > Vì   ( b − 1) ≥ Vậy giá trị nhỏ P a= b= c= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC