BẤT ĐẲNG THỨC Mở đầu Trước khi nghiên cứu về bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, cũng như những tính chất cơ bản của nó Định nghĩa + a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b nếu a − b < 0 + a lớn hơn b, k[.]
BẤT ĐẲNG THỨC Mở đầu Trước nghiên cứu bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, tính chất Định nghĩa: + a nhỏ b, kí hiệu a < b a − b < + a lớn b, kí hiệu a > b a − b > + a nhỏ b (a khơng lớn b), kí hiệu a b a − b + a lớn b (a không nhỏ b), kí hiệu a b a − b Ta gọi hệ thức dạng a < b, a > b, a b, a b bất đẳng thức Trong đó, a gọi vế trái (VT), b gọi vế phải (VP) bất đẳng thức Các tính chất bất đẳng thức: + a>b b b, b > c a > c + a>ba+c>b+c + a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a − c > b − d + a > b, c > ac > bc a > b, c < ac < bc + a > b 0, c > d ac > bd + a>b>0a>b a > b a > b (n lẻ) |a| > |b| a > b (n chẵn) + a > b, ab > < MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN A với A Dấu “=” xảy A = |A| A với A Dấu “=” xảy A a + b + c ab + bc + ca a + b 2ab (a + b) 4ab 3(a + b + c) (a + b + c) (a, b, c) + (a, b > 0) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức AM-GM) Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt BCS), bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIÊN THỨC CẦN NHỚ I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA Để chứng minh a < b (hoặc a > b a b a b), ta cần chứng minh a − b < Ta xét số ví dụ sau VÍ DỤ Chứng minh a + b + c ab + bc + ca với a, b, c Giải: Xét hiệu: A = (a + b + c) − (ab + bc + ca) = (a − 2ab + b) + (b − 2bc + c) + (c − 2ca + a) = (a − b) + (b − c) + (c − a) a, b, c Vì A nên a + b + c ab + bc + ca Dấu “=” xảy a = b = c VÍ DỤ Cho biểu thức sau: A = (a + b)(a + b) B = (a + b)(a + b) So sánh A B với a, b Giải: Xét hiệu A − B = (a + b)(a + b) − (a + b)(a + b) = (a + b + ab + ab) − (a + b + ab + ab) = ab − ab − ab + ab = ab(a − b) − ab(a − b) = ab(a − b)(a − b) = ab(a + b)(a − b) a, b Do A B Dấu “=” xảy a = b = a = b VÍ DỤ Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b: + Giải: Xét hiệu + − = − = = VT VP Bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh A < B bất đẳng thức C < D mà ta biết VÍ DỤ Chứng minh rằng: |a| + |b| |a + b| a, b Giải: Nhận xét: |x| = x với x |x|.|y| = |xy| x, y Ta có: |a| + |b| |a + b| (|a| + |b|) (|a + b|) |a| + 2|a|.|b| + |b| (a + b) a + 2|ab| + b a + 2ab + b |ab| ab (đúng với a, b) Vậy bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ab Chú ý: Ngồi ra, ta cịn có bất đẳng thức khác liên quan tới dấu giá trị tuyệt đối: |a| − |b| |a − b| (Dấu “=” xảy ab 0) VÍ DỤ Với a, b 0, chứng minh rằng: + Giải: Ta có: + a + + b a + b (đúng với a, b 0) Vậy bất đẳng thức xuất phát Dấu “=” xảy a = b = VÍ DỤ Cho a, b, c ba số thực Chứng minh bất đẳng thức: Giải: Bất đẳng thức cho tương đương với: Bất đẳng thức cuối đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Θ Yêu cầu: Hãy giải ví dụ 1, 2, phần I phương pháp biến đổi tương đương Hãy giải ví dụ 4, 5, phần II phương pháp sử dụng định nghĩa III PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Bạn đọc xem lại tính chất bất đẳng thức phần Mở đầu trước xem xét ví dụ muốn chứng minh bất đẳng thức phương pháp đòi hỏi phải sử dụng thành thạo tính chất bất đẳng thức VÍ DỤ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: Giải: Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức: Chứng minh bất đẳng thức (1) Vì a, b, c > nên ta có: Chứng minh bất đẳng thức Đầu tiên, ta cần chứng minh bất đẳng thức phụ: với < x < y z > (Bạn đọc dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương) Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: VÍ DỤ Cho hai số a b thỏa mãn điều kiện a + b = Chứng minh: a+b Giải: Ta có: a + b = (a + b)(a − ab + b) = a − ab + b Mà (a + b) = a + 2ab + b = (1) (a − b) a − 2ab + b (2) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) (2) ta có: 2(a + b) a + b Lại từ (2) 2ab a + b ab − ab − Vậy a + b = a − ab + b − = (đccm) Dấu “=” xảy a = b = VÍ DỤ Chứng minh rằng, với a, b hai số khác dấu thì: + 2 Giải: Khơng tính tổng qt, giả sử a b Khi a = b + c (c 0) Vì c nên ta có: Dấu “=” xảy c = a = b Chú ý: Bất đẳng thức có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức quan trọng Ta cần ý rằng, a, b hai số khác dấu với nên hai số dương nghịch đảo Chính bất đẳng thức phát biểu sau: “Tổng số dương với nghịch đảo khơng nhỏ 2” Sau xin nêu vài cách chứng minh bất đẳng thức để bạn đọc tham khảo: Cách 1: Xét hiệu + − = − + − = + = (a − b) − = 0 (vì ab > a, b khác dấu) Cách 2: + a + b 2ab (a − b) (vì ab > 0) Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương Ngồi cịn nhiều cách chứng minh khác IV PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT Mời bạn đọc xem lại phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN phần đầu chuyên đề VÍ DỤ 10 Cho a, b số không âm Chứng minh: (a + b)(ab + 1) 4ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức (x + y) 4xy, ta có: (a + b) 4ab (1) (ab + 1) 4ab (2) Từ (1) (2) suy (a + b)(ab + 1) 4ab.4ab Vì a, b khơng âm nên (a + b)(ab + 1) 4ab Dấu “=” xảy a = b ab = a = b = Chú ý: Với toán này, ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM VÍ DỤ 11 Cho số dương x, y có tổng khơng q Chứng minh: Giải: Áp dụng bất đẳng thức + (a, b > 0) với a = x + xy > b = y + xy > 0: (vì x + y 1) VÍ DỤ 12 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca + a + b + c Giải: Ta có: ab + bc + ca a + b + c = Mà (a + b + c) 3(a + b + c) = 3.3 = a + b + c Từ có đccm VÍ DỤ 13 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức + (xem VÍ DỤ 9.) Ta có: Tương tự , Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta đccm Chú ý: Một cách khác để chứng minh dùng phương pháp biến đổi tương đương: nhân vào hai vế bất đẳng thức với abc > Ta có bất đẳng thức cho tương đương với: (ab) + (bc) + (ca) (ab).(ca) + (ab).(bc) + (bc).(ca) Bất đẳng thức bất đẳng thức (xem phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN) V PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Đầu tiên, xin nhắc lại đôi chút phương pháp chứng minh phản chứng ví dụ Ví dụ Có tồn số thực a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = + + = hay không? Giải: Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử tồn số a, b, c thỏa mãn đề Khi đó: Từ + + = ab + bc + ca = ab = − c(a + b) = (−c).(−c) = c Tương tự bc = a, ca = b Suy a + b + c = ab + bc + ca a = b = c Mà a + b + c = Nên a = b = c = 0, trái với giả thiết a, b, c khác Do giả sử sai Vậy khơng tồn số thực a, b, c thỏa mãn đề Trở lại với học, xét ví dụ chứng minh bất đẳng thức phương pháp chứng minh phản chứng sau VÍ DỤ 14 Với số thực a, b, c chứng tỏ: Giải: Giả sử Khi đó, ta có: Điều vơ lí x với x R Do giả sử sai Vậy VÍ DỤ 15 Cho a + b = Chứng minh a + b Giải: Giả sử a + b > Khi đó: a + b > (a + b) > a + b + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) > ab(a + b) > ab(a + b) > a + b > (a + b)(a − b) (vơ lí a + b > (a − b) với a, b) Do giả sử sai Vậy a + b Chú ý: Ta chứng minh bất đẳng thức cách trực tiếp sau: Vì a + b > nên a > − b a > − b a + b > Suy (a + b)(a − b) a + b ab(a + b) 3(a + b) 3ab(a + b) 4(a + b) (a + b) a + b VI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học dành cho bất đẳng thức mà biểu thức vế chứa biến lấy giá trị thuộc tập hợp số tự nhiên N VÍ DỤ 16 Chứng minh với số ngun dương n ta có bất đẳng thức > 2n + Giải: Với n = = = 8, 2n + = 2.3 + = > 2n + Mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề với n = k (k N, k 3) Khi > 2k + Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa > 2(k + 1) + Thật vậy, = 2.2 > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp) > 4k + > 2k + = 2(k + 1) + (vì k 3) Vậy mệnh đề với k 3 Kết luận: > 2n + với n N, n VÍ DỤ 17 Chứng minh với số nguyên dương n > n > n + Giải: Vì n > nên n Với n = ta có n = = 9, n + = + = n > n + Mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề với n = k (k N, k 3) Khi k > k + Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa (k + 1) > (k + 1) + Thật vậy, ta có: (k + 1) − [(k + 1) + 5] = k + 2k + − k − = k − (k + 5) + 2k > 0, theo giả thiết quy nạp Do mệnh đề với k 3 Kết luận: n > n + với số nguyên dương n > Chú ý: Ta làm sau: n > n n − n(n − 1) n n + > n + VII PHƯƠNG PHÁP XÉT PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN Phương pháp thường dùng cho việc chứng minh bất đẳng thức có vế trái tổng gồm nhiều hạng tử mà hạng tử có dạng chung Ta có ví dụ: VÍ DỤ 18 Chứng minh rằng: với n N, n Giải: Hiển nhiên S > tổng (n − 1) số dương số dương Ta thấy hạng tử S có dạng với k số tự nhiên từ n Xét Cho k nhận giá trị từ đến n ta có: Do VÍ DỤ 19 Cho n N*, chứng minh: Giải: Dễ dàng chứng tỏ S > Ta thấy hạng tử có dạng với k số tự nhiên chạy từ đến n Xét Cho k nhận giá trị từ đến n ta có: Cộng vế bất đẳng thức với với = ta có đccm Chú ý: Ta cho k nhận giá trị k − phải khác Do xét mà thơi! B BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài tập Chứng minh bất đẳng thức sau: (a > b, ab > 0) (a 0) (|a|, |b| < 1) (a, b 0) (a, b, c > 0) 10 (0 < a < b) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (a + b + c = 1) (a, b, c > 0) (a + b + c 8) (a, b 0) 21 22 (a, b ≠ 0) 23 (a, b ≠ 0) 24 25 26 27 28 (a, b 0) 29 (a, b > 0) 30 (a, b, c > 0) 31 (a, b, c > 0) 32 (a, b, c > 0) 33 (a, b, c > 0) 34 (a, b, c, d > 0) 35 (a, b, c > 0) 36 (a, b > 0) 37 (0 < a, b, c < 1) 38 39 40 41 42 (a, b > 2) (a + b = 2) (a + b + c = 3) (a, b 0, a + b = 1) (a, b 0, a + b = 1) 43 (ab 1) 44 45 (a, b, c > 0, a + b + c = 1) (a, b, c > 0, + + a + b 46 (a, b > 0, a + b = a + b) + c) 47 (a, b, c > 0) 48 (a, b, c 0, abc = 1) 49 (a, b, c > 0, a + b + c = 1) 50 (n N, n 2) 51 (n N*) 52 53 54 55 56 57 58 59 60 (m, n N*) (n N, n 2) (n N*) Bài tập Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ; p nửa chu vi S diện tích tam giác Chứng minh bất đẳng thức sau: (A, B, C ba góc tương ứng với ba cạnh a, b, c tam giác) 10 HẾT