A-đặt vấn đề: 1/ Lời mở đầu: Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên rất cần thiết và quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng nh trong đời sống sinh hoạt của loài ngừơi. Toán học xuất hiện từ lâu đời và đã mang lại không ít những thành quả vĩ đại. Ngày nay với sự phát triển của các ngành khoa học cơ bản , các ngành công nghệ then chốt nh viễn thông , dầu khí đến các lĩnh vực các đều không thể thiếu Toán học và càng không thể thiếu đối với học sinh THCS. Toán học không những cung cấp cho học sinh những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơng pháp luận khoa học. Là giáo viên dạy Toán trong trờng THCS tôi nhận thấy học yếu môn Toán vì các lý do sau: + Không thuộc kiến thức cơ bản và không nắm vững kiến thức cơ bản. + Lý do quan trọng hơn là: các em cha biết cách làm toán mà ta gọi đó là phơng pháp giải, nhất là các phơng pháp đặc trng cho các dạng, cho từng loại toán.BĐT là một vấn đề khá cổ điển của toán học đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tợng quan tâm.Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta phải làm sao? các em HS thờng không nắm chắc . Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán, vận dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải một loại toán nh thế nào. Giải quyết đợc vấn đề đó không phải là dễ khi mà phân phối chơng trình môn Toán THCS không dành một tiết nào cho giáo viên dạy một hệ thống các phơng pháp giải các loại toán cụ thể mà chỉ xuất hiện đơn lẻ một số bài toán . Đặc biệt là giải toán bất đẳng thức trong đại số. 2/ Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: Trong chơng trình THCS, một hiện trạng hiện nay là khi dạy Toán bất đẳng thức giáo viên chỉ chữa bài tập là xong mà ít khai thác phân tích đề bài, mở rộng bài toán mới. Dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán tơng tự hay khác một chút là lúng túng không có hớng giải. Chính vì vậy học sinh thờng ngại học Toán bất đẳng thức, vì kiến thức ít không liền mạch, phơng pháp giải hạn chế.Do đó trớc khi áp dụng các phơng pháp dạy học giải bài toán bất đẳng thức cho lớp bồi dỡng học sinh giỏi các năm kết quả kiểm tra ban đầấmt thấp. Muốn khắc phục tình trạng này ngời thầy phải dày công nghiên cứu và học hỏi đúc rút kinh nghiệm, phác hoạ ra một chơng trình học theo từng chuyên đề, mỗi chuyên đề phải mang tính khả thi, đi từ yếu tố rất đơn giản nhng lại đề cập đến những vấn đề mới mẻ và đặc biệt phải có tính sáng tạo. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp dạy nói chung và phơng pháp giảng dạy môn Toán cấp THCS nói riêng, để thực hiện điều đó vai trò ngời thầy hết sức quan trọng. Do đó bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong sách giáo khoa mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển ra và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. Vì vậy tôi luôn suy nghĩ, lựa chọn phơng pháp mới đối với bài học mới mà ở đó tính tích cực, tính linh hoạt của t duy và tính tự lập của các em đợc thực hiện, các kỹ năng trí tuệ đợc khêu gợi, yêu cầu t duy suy ngẫm đợc nêu cao. Đó chính là phơng pháp giúp các em tự nghiên cứu, tự khám phá ra một vấn đề mới, một phơng pháp mà ngời thầy phải định hớng cho học sinh làm theo sao cho nó phải trở thành một "thói quen" trong học Toán. Đây là một phơng pháp trái ngợc với phơng pháp tiếp thu thụ động, khuôn mẫu lệ thuộc. "Giải bài toán bất đẳng thức trong trờng THCS"(phần đại số) theo tôi là một dạng Toán khó, nhng thông qua đó góp phần hình thành, phát triển t duy, năng lực học Toán, tính sáng tạo của học sinh. Đồng thời bồi dỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức thao tác t duy Toán học. Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu, qua nghiên cứu thực tế giảng dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh, qua những năm dạy bồi dỡng học sinh mũi nhọn hoặc bồi dỡng học sinh giỏi, ôn tập cuối năm và ôn tập cho các kỳ thi ở trờng, thi học sinh giỏi các cấp, thi vào cấp TPTH. Vì vậy tôi chọn đề tài: "Phát triển một số kỹ năng vận dụng các phơng pháp giải bài toán bất đẳng thức trong trờng THCS"( phần đại số). Vì do thời gian có hạn hẹp sau đây tôi xin đợc trình bày: Kỹ thuật Cô si ng ợc dấu: Đây là một kỹ thuật hay, khéo léo, mới mẻ và ấn tợng nhất của bất đẳng thức Cô si. Hãy xét VD cụ thể sau: Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 3.Chứng minh rằng: 2 3 111 222 + + + + + a c c b b a Giải: Nhận xét: Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cô si với mẫu số vì bất đẳng thức sau sẽ đổi chiều 2 3 222 111 222 ++ + + + + + a c c b b a a c c b b a ?! Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác 22 11 2 2 2 2 ab a b ab a b ab a b a = + = + . Ta đã sử dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số 1 + b 2 2b ở dới mẫu nhng lại có đợc một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngợc bất đẳng thức Cô si,một kỹ thuật rất ấn tợng và bất ngờ.Nếu không sử dụng phơng pháp này thì bất đẳng thức trên rất khó và dài. Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tơng tự với b, c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại rồi suy ra 2 3 2 111 222 ++ ++ + + + + + cabcab cba a c c b b a vì ta có ab + bc + ca 3.Đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c = 1. Ví dụ 1a: Cho a, b, c ,d > 0 thoả mãn: a + b + c + d = 4.Chứng minh rằng: 2 1111 2222 + + + + + + + d d a c c b b a Và nếu không dùng kĩ thuật Cô si ngợc dấu thì gần nh bài toán này không thể giải đợc theo cách thông thờng đợc.Kĩ thuật này thực sự hiệu quả với các bài toán BĐT hoán vị. Ví dụ 2: Chứng minh với mọi số thực dơng a, b, c, d ta luôn có 2 22 3 22 3 22 3 22 3 dcba ad d dc c cb b ba a +++ + + + + + + + Giải: Sử dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số 22 2 22 2 22 3 b a ab ab a ba ab a ba a = + = + Xây dựng 3 bất đẳng thức tơng tự với b, c, d rồi cộng vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau. *) Bài tập áp dụng: 1/ Chứng minh với mọi số dơng a, b, c có tổng bằng 3 thì: 3 1 1 1 1 1 1 222 + + + + + + + + a c c b b a . 2/ Chứng minh với mọi số dơng a, b, c, d có tổng bằng 4 thì: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2222 + + + + + + + dcba Kỹ thuật Cô si ngợc là một kỹ thuật mới giúp giải quyết bài toán theo lối suy nghĩ nhẹ nhàng và trong sáng, các kết quả làm bằng kỹ thuật này nói chung cũng rất khó có thể làm đợc theo cách khác, hoặc phải làm theo cách khá dài. C- kết luận Trên đây là một kỹ năng vận dụng kỹ thuật côsi ngợc dấu trong giải toán bất đẳng thức ở trờng THCS mà tôi đã áp dụng vào giảng dạy thực tế hiện nay ở trờng THCS Lơng sơn trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi ở các năm học.Tôi đã thu đợc kết quả sau: - Học sinh tiếp thu bài nhanh, dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập và yêu thích bộ môn Toán. - Học sinh tránh đợc những sai sót cơ bản và có kỹ năng vận dụng thành thạo cũng nh phát huy đợc tính tích cực của học sinh. Tuy nhiên, để đạt đợc kết quả nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ dễ đến khó và phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Ngời thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh. Từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giải bài toán đúng đắn. Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà tr- ờng. Trong bài viết này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định. Vậy tôi rất mong sự giúp đỡ cũng nh sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo cho tôi để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học những năm sau. Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự giác nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ rất nhiệt tình của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Lơng Sơn, ngày 20 tháng 01 năm 2010 Ngời viết Trịnh Văn Hùng . không sử dụng phơng pháp này thì bất đẳng thức trên rất khó và dài. Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tơng tự với b, c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại rồi suy ra 2 3 2 111 222 ++ ++ + + + + + cabcab cba a c c b b a . bất đẳng thức Cô si với 2 số 22 2 22 2 22 3 b a ab ab a ba ab a ba a = + = + Xây dựng 3 bất đẳng thức tơng tự với b, c, d rồi cộng vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh .Đẳng thức. dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số 1 + b 2 2b ở dới mẫu nhng lại có đợc một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngợc bất đẳng thức Cô si,một kỹ thuật rất ấn tợng và bất