Chuyen de bat dang thuc(1)

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  A NỘI DUNG CẦN NHỚ Bất đẳng thức a) Định nghĩa : Bất đẳng thức là những mệnh đề dạng   a  b  hoặc  a  b   b) Một số bất đẳng thức bản  :          01) Các bất đẳng thức luỹ thừa thức:              A2 n  0; n  *   với A là một biểu thức bất kỳ, dấu bằng xảy ra khi  A                n A   ;  A  0; n  *  ; dấu bằng xảy ra khi  A                A  B  A  B   Với   A  0; B   dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng khơng                A  B  A  B  với  A  B   dấu bằng xảy ra khi  B              02) Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối               A   Với A bất kỳ, dấu bằng xảy ra khi  A                  A  B  A  B ; dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu                 A  B  A  B ; Dấu bằng xảy ra khi A và B  cùng dấu và  A  B            03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ):   a  a   an             - Cho các số  a1 , a2 , , an   n a1a2 an     n              (Trung bình nhân của n số khơng âm khơng lớn hơn trung bình cộng của chúng )               Dấu bằng xảy ra khi   a1  a2   an               - Bất đẳng thức Cơsi cho hai số  có thể phát biểu dưới các dạng sau :  ab                             ab   Với a và b là các số không âm   2                              a  b   4ab   Với a và b là các số bất kỳ                               2  a  b   Với a và b là các số bất kỳ     Dấu bằng xảy ra khi  a  b                 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi bất đẳng thức Côsi – Svac):                   - Cho hai bộ các số thực:   a1 , a2 , , an  và  b1 , b2 , , bn  .  a b                          Khi đó :     a1b1  a2b2   anbn   a12  a22   an2 b12  b22   bn2                    Dấu bằng xảy ra khi :  a a a                - Hoặc     n  với ai , bi khác 0 và nếu    thì  bi  tương ứng cũng bằng 0  b1 b2 bn                  - Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm tồn số khơng                     - Bất đẳng thức Cơsi – Svac cho hai cặp số:  ax  by   a  b  x   y    Dấu bằng xảy ra khi  ay  bx   1     05) Bất đẳng thức   x    Với x > 0 ;  x   2  Với  x     x x c)  Các tính chất bất đẳng thức :            01) Tính chất bắc cầu : Nếu  a  b  và  b  c  thì  a  c             02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng :                          Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng  một số : Nếu   a  b  thì  a  c  b  c                           Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu  a  b  và  c  d  thì    a  c  b  d           03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều:  Nếu  a  b   và  c  d  thì   a  c  b  d            04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân :              - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số                        Nếu  a  b  và  c   thì   ac  bc  . Nếu  a  b  và  c   thì   ac  bc              - Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều                       Nếu  a  b   và  c  d   thì   ac  bd  Nếu  a  b   và  c  d   thì   ac  bd   - Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :              a  b  a n 1  b n 1     Với mọi  n  *                         a  b   a n  b n    Với mọi  n  *                         a  b   a n  b n  Với mọi  n  *                          a   a n  a m    Với  n  m               a   a n  a m   Với  n  m   Một số điểm cần lưu ý :        - Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , khơng được trừ hai bất đẳng thức cùng  chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của hai vế . Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với  cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó        - Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ nhất .  Tính chất này được dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức   Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:  3.1 Sử dụng tính chất bất đẳng thức 3x  x  11 Ví dụ 1:  Chứng minh rằng với mọi số thức x thì :  2  x2  x  Giải :  1  Ta có : x  x    x        Với mọi x   2  x  x  11 Do vậy :    3x  x  11   x  x  1  3x  x  11  x  x    x  x 1                 x  x     x  3   Đúng với mọi x    Dấu bằng xảy ra khi  x  3    Ví dụ 2: Cho  a, b    và    a  b   Chứng minh rằng  a  b5  a b     ab Giải:  a  b5  a b  a  b  a  b5 a  b5  a2b2   a 2b2   M   0  ab ab ab Xét tử của  M :    a  b5  a b  a b3   a  a b3    a 3b  b5   a  a  b3   b  a  b3     Ta có :       b3  a  b    a  b   a  ab  b   a  b  a  b    a  b  a  b   a  ab  b   b        2    a  b  a  b   a  b   b      2  Vì   a  b   nên  M   a  b   a  b   b     do a, b không thể đồng thời bằng 0      3.2 Phương pháp phản chứng: a  b  c   Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn   ab  ac  bc   Chứng minh rằng cả ba số đó đều dương   abc   Giải  - Giả sử có một số khơng dương:  a    Từ   abc   ta có:  bc    (* ).  Từ   a  b  c    ta có:  b  c   a    Từ   ab  bc  ca    ta có:  bc  a (b  c)   bc  a (b  c )   (**)  Ta có (*) và (**) mâu thuẫn nhau  đpcm.  3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức bản:  a Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với  x, y   Ta có:  (1  x)(1  y )  (1  xy )2 )2  Giải  Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :   (1  x )(1  y )  12   2  x  1   y    1   xy    Cách 2: Theo bất đẳng thức Cosi ta có:  xy x y 1   ;     2 1 x 1 y (1  x)(1  y ) (1  x )(1  y )  x  y 2 xy  (1  x)(1  y )  xy  (1  x)(1  y )      (1  xy  (1  x)(1  y )  (1  x)(1  y )   xy  Dấu bằng  xảy ra khi  x  y   Ví dụ 5: Cho  a, b  R và  3a + 4 = 5 . Chứng minh rằng  a  b    Giải :  Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky  ta có: 52   3a  4b    32  42  a  b   a  b  1   a 3a  4b     Dấu bằng xảy ra khi :   a b      b   Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a=   4b   4b   Vậy  a  b     b   25  40b  16b  9b                 25b  40b  16    5b       Đúng với mọi x   Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta có :   a ) sin x + cosx                         b) tanx + cotx    2   Giải :  a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: sin x + cosx   sin x  cos x     2 Dấu bằng xảy ra khi sinx = cosx hay x = 450  b ) Vì tanx , cotx > 0 . áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có:  tanx + cotx   tan x.cot x     Dấu bằng xảy ra khi tanx = cotx hay x= 450  Ví dụ 7: Cho  a   . Chứng minh rằng :  a  17    a Giải:   Ta có :   a  a 15a a  Áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dương   và   ta có :      a 16 a 16 16 a a a 1 15a 15 15      2 2   Mà :  a   16 16 16 a 16 a 16 Vậy  a  17   Dấu bằng xảy ra khi  a    a Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số thực x , y ta có :  x  y  xy  x  y  10   Giải:   Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :   x  y  xy  x  y  10   x  x  1   y  y     x  xy  y   2     x  1   y  3   x  y   2 Điều này đúng vì   x  1  0;  y  3  0;  x  y    và không đồng thời xảy ra  (2 x  1)2  ( y  3)2  ( x  y )    3.4 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình Ví dụ 9: Chứng minh rằng nếu phương trình:  x  ( x  a)  ( x  b)  c   có nghiệm thì  4c  3(a  b)  8ab   Giải  2 Ta có :  x   x  a    x  b   c  x   a  b  x  a  b  c    Để  phương trình có nghiệm thì :     '    a  b   4(a  b  c )   4c  a  b  2ab  4c   a  b   8ab   3.5 Phương pháp làm trội: Ví dụ 10: Chứng minh với  n  *  thì: Giải: Ta có:  1 1       n 1 n  2n 1     n  n  n 2n              1    n  2n     +        ………………….                1    n  2n 1               2n 2n   1 1      n  n 1 n  2n 2 Các tập tự luyện : Bài 1: Trong tam giác vng ABC có cạnh huyền bằng 1, hai cạnh góc vng là b và c. Cm: b3 + c3   b3 + c3  1  Bài 2: a) Ta có :  Vì x  - x +1 =   x      với mọi x   2  Nên      x  15 x  12   x  15 x  12  x  x   x  12 x     x  3    ( Đúng )  x  x 1 Dấu bằng  xảy ra khi x =    b ) Ta có :  a  b3  ab  a  b    a  b   a  ab  b   ab  a  b    a  b   a  2ab  b2     a  b  a  b     Đúng vì a +b  0 nên: (*)    a  b   4ab  ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số )  Bài 4: a ) Ta có:  1    với mọi a , b > 0   a b ab b) Đặt (x-1)2 = t  thì t > 0 và x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t . Vì  0