Thông tin tài liệu
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn tường phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức vấn đề nói phức tạp nhất, rèn cho người làm tốn trí thơng minh, sáng tạo, ngồi cịn có khéo léo Trong trình giải tập, lực suy nghĩ, sáng tạo học sinh phát triển đa dạng phong phú, tập bất đẳng thức có cách giải khơng theo quy tắc khn mẫu Nó địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Cũng tốn bất đẳng thức khơng có cách giải mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh lung túng giải toán bất đẳng thức học sinh khơng theo hướng Do hầu hết học sinh khơng biết làm tốn bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức để giải tập khác Chính lý nên tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt Đã có nhiều tài liệu đưa nhiều phương pháp tốt để chứng minh bất đẳng thức Mặc dù song chưa đủ sáng tạo người làm toán vơ hạn Chính viết muốn đề cập "Hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số chương trình lớp 10 "sau: 1- Phương pháp biến đổi tương đương 2- Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức hệ Côsi Nhằm trang bị thêm cho học sinh số công cụ hữu hiệu để chứng minh bất đẳng thức đại số Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm II NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh *Chú ý đẳng thức sau: A B A B AB A B C A B C AB AC BC A3 B A B AB A B A3 B C ABC A B C A B B C C A 2 * Chú ý biến đổi tương đương bất đẳng thức i A B A C B C ii Với C : A B AC BC iii Với C : A B AC BC iv A B 1 A B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh rằng: b2 a) a ab ; b) a b ab a b ; c) a b c d e a b c d e Giải: b2 a) Ta có a ab 4a b 4ab 4a 4a b 0 2a b 0 (bất đẳng thức đúng) b2 Vậy a ab (dấu xảy 2a b ) b) Tacó a b ab a b 2(a b 2(ab a b) 2 a 2ab b a 2a b 2b 0 ( a b) (a 1) (b 1) 0 (bất đẳng thức đúng) Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Vậy a b ab a b (dấu xảy a b 1 ) c) Ta có a b c d e a b c d e 4 a b c d e 4a b c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 0 a 2b a 2c a 2d a 2c 0 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh dấu đẳng thức xảy a 2b 2c 2d 2e (Đề 15, II, 1) Ví dụ Cho số a, b, c CMR: ab bc ca 3abc a b c Giải: Dùng phép biến đổi tương đương, Ta có ab bc ca 3abc a b c ab bc ca abc a b c 0 2 2 ab bc bc ca ca ab 0 (bất đẳng thức đúng) Vậy ab bc ca 3abc a b c Ví dụ Chứng minh với a, b, c ta ln có: a b c abc(a b c) Giải: Cách Ta có: a b c ab bc ca a b c a b b c c a (1) Mặt khác theo ví dụ chứng minh: ab bc ca 3abc a b c a 2b b c c a 2abbc 2abca 2bcca 3abc a b c a b b c c a abc( a b c) (2) Từ (1) (2) ta có a b c abc(a b c) (Đpcm) Cách Ta có : a b c abc(a b c) , a, b, c Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm a b c a 2bc b ac c ab 0 2a 2b 2c 2a 2bc 2b ac 2c ab 0 a a2 b2 b2 2a b b c 2b c c a 2a c 2a bc 2b ac 2c ab 0 b c c a (a b b c 2b ac) (b c c a 2c ab) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a 2b c a 2a ab) 0 a2 b2 b 2 c2 c 2 a2 ab bc bc ac ab ac 2 2 0 Đúng với a, b, c Ví dụ Chứng minh rằng: a 10 b10 a b a b a b Giải: a 10 b10 a b a b a b a 12 a 10 b a b10 b12 a 12 a b a b b12 a b a b a b b a 0 a b ( a b )(a b ) 0 a b (a b ) (a a b b ) 0 Bất đẳng thức cuối đúng, dấu xảy a b Ví dụ Cho ba số thực khác khơng x, y, z thỏa mãn: xyz 1 1 1 x y z xyz Chứng minh rằng: có ba số x, y, z lớn Giải: Xét ( x 1)( y 1)( z 1) xyz ( xy yz zx) x y z 1 1 ( xyz 1) ( x y z ) xyz x y z x y z (vì 1 1 x y z 1 x y z theo gt) x y z hai ba số x 1, y 1, z âm ba số x 1, y 1, z dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z > xyz > mâu thuẫn giả thiết xyz = bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x, y, z số lớn Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm x y2 8 x y2 Ví dụ Cho x y xy 1 Chứng minh 2 Giải : Ta có x y x y xy x y 2 x 2 (v× xy 1 ) y x y 4. x y 4 Do BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4 x y 8. x y x y x y 4 x y 0 0 BĐT cuối đứng nên ta có điều cần phải chứng minh Vi dụ Cho xy Chứng minh rằng: 1 2 1 x 1 y xy Giải: Cách 1 1 xy 1 y 1 x 1 xy 21 x 1 y 2 x y xy y xy xy x xy x y 2 x y x y xy x y x y x y xy xy 1 x y 0 ( bất đẳng thức xy 1 dấu xảy x = y) Vậy ta có điều phải chứng minh Cách Ta có 1 1 1 0 2 2 1 x 1 y xy x xy y xy xy x xy y 0 x 1 xy y 1 xy x( y x) y( x y) 0 x 1 xy y 1 xy y x xy 1 0 ( bất đẳng thức 1 x y .1 xy xy 1 dấu xảy x = y) Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ (Đề 35, III, 2) chứng minh với số dương a, b, c ta ln có: a3 b3 c2 a b c 2 2 a ab b b bc c c ca a Giải: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Ta có: a3 2a b 3a ( 2a b)( a ab b ) 2 a ab b a b a b ab 0 (a b)(a ab b ) ab(a b) 0 (a b)(a b) 0 (1) a3 2a b BĐT (1) nên ta có: (2) (Dấu đẳng thức xảy a ab b a b ) b3 2b c Tương tự ta có: (3); b bc c c3 2c a (4) 2 c ca a Cộng (2), (3) (4) theo vế ta đpcm dấu đẳng thức xảy a b c BÀI TẬP HS TỰ LUYỆN Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 �ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b c)2 �3(a2 b2 c2) c) b) (a b c)2 �3(ab bc ca) a b c ab bc ca với a,b,c>0 � 3 HD: (1) (a b)2 (b c)2 (c a)2 �0 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b) Khai triển, đưa (1) c) Bình phương vế, đưa b) Bài Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a4 b4 c2 1�2a(ab2 a c 1) b) a2 2 b c �ab ac 2bc c) a b c � ab bc ca với a, b, c d) (a5 b5)(a b) �(a4 b4)(a2 b2) ; với ab > HD: 2 2 � a b) � � (b c) � �0 �2 � a) (a b ) (a c) (a 1) �0 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm c) a b b c c a �0 2 d) ab(a b)(a3 b3) �0 Bài (Đề 2, II, 2) Cho a b 2 CMR: a b 2 a b2 a b Hướng dẫn: CM bất đẳng thức phụ: (1) (1) a b 0 BĐT dấu đẳng thức xảy a b ) a2 b2 a b 2 Áp dụng BĐT (1) ta có 1 a b 2 (2) a4 b4 a2 b2 1 (theo (2)) Lại áp dụng BĐT (1) ta có 2 Vậy a b 2 , dấu đẳng thức xảy a b 1 ) Bài (Đề 148, II, 2) Chứng minh x y z ta có: 1 1 1 1 y x z x z x z y x z y xz 1 1 1 1 0 HD: Ta có y x z x z x z xz y xz x z y x z y xz xy yz 0 x z x y z y 0 (BĐT cuối x y z x z xyz nên ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy x y z ) Bài Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 �a2b b2a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) b) c) 1 � ; với a, b, c > a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc 1 a3 b3 b3 c3 c3 a3 1 �1; với a, b, c > abc = 1 1 �1; với a, b, c > abc = a b b c c a Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm d) 4(a3 b3) 4(b3 c3) 4(c3 a3) �2(a b c) ; với a, b, c HD: (1) (a2 b2)(a b) �0 a) Từ (1) a3 b3 abc �ab(a b c) 1 � a3 b3 abc ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) d) Từ (1) 3(a3 b3) �3(a2b ab2) 4(a3 b3) �(a b)3 (2) Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CÔSI VÀ HỆ QUẢ CỦA BĐT CƠSI Kiến thức: a/ Với hai số khơng âm : a, b 0 , ta có: a b 2 ab Dấu “=” xảy a = b b/ Với ba số không âm: a, b, c 0, ta có: a b c � abc Dấu "=" xảy a = b = c c/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a a2 an a1 a2 an n a1a2 an a1a2 an n n n Dấu “=” xảy a1 a a n a b� Hệ quả: � � � �ab; �2 � �a b c � � � �abc � � Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y CÁC VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Chứng minh a, b, c số dương thì: �1 � a a b � ��4 ; �a b � �1 1 � b a b c � ��9 �a b c � Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Khi xảy đẳng thức? Giải: a)Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: a b �2 ab (Đẳng thức xảy a = b) 1 1 �2 (Đẳng thức xảy ) a b a b ab ab � � �1 � Đẳng thức xảy �1 � a b Do đó: a b � ��2 ab ab �a b � � �a b b)Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: a b c �3 abc (Đẳng thức xảy a = b = c) 1 1 1 �3 (Đẳng thức xảy ) a b c a b c abc Do đó: �a a b c � � 1� ��3 abc 3 Đẳng thức xảy b c� abc abc � � �1 1 � a b c � �a b c Ví dụ Cho a, b, c, d abcd 1 , chứng minh rằng: a b c d a b c b c d d c a 10 Giải: Ta có a b 2ab ; c d 2cd Do abcd 1 nên cd = Ta có a b c d 2(ab cd ) 2(ab ab ) 4 (1) ab Mặt khác : a b c b c d d c a ab cd ac bd bc ad Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm = ab 1 ac bc 2 ab ac bc Vậy a b c d a b c b c d d c a 10 a bc a2 b2 c2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c CMR: + + bc ac ba Giải: bc a2 a (áp dụng BĐT Côsi) + bc Với a, b, c > ta có: Tương tự ta có: ac a b b2 c2 b; c + + 4 ac ba a b c a b c a2 c2 b2 c2 a2 b2 + + + a+b+c + + (đpcm) 2 b c ac ba b c a c b a Vậy a b c a2 b2 c2 + + bc ac ba Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 a b c 2abc a bc b ac c ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a bc 2a bc Tương tự : Suy 1 1 a bc a bc ab ac 2 1 1 1 1 ; b ac b ac bc ab c ab c ab ac bc 1 a b c 2abc a bc b ac c ab Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ CMR tam giác ABC : a b c 3 (I) b c a c a b a b c Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc 3 (1) b c a c a b a b c (b c a )(c a b)(a b c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b c a)(c a b) (b c a c a b) c (2) Tương tự (c a b) a b c a (3) ; (b c a ) a b c b (4) 10 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Nhân(2), (3), (4) với ta được: (b c a )(c a b)(a b c) abc Từ (1), (5) suy abc 1 (5) (b c a)(c a b)(a b c) a b c 3 (đpcm) Dấu “=” xảy a = b = c b c a c a b a b c hay ABC Ví dụ (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D năm 2005) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz Chứng minh rằng: x3 y y3 z3 z x3 �3 xy yz zx Giải: Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: � x y 3 3xy x3 y xy (Dấu “=” xảy x y ) xy Chứng minh tương tự, ta được: y3 z3 � (Dấu “=” xảy y z ) yz yz z x3 ( Dấu “=” xảy z x ) � zx zx Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: �1 x3 y y3 z3 z x3 1 � � 3� � � xy � xy yz zx yz zx � � (Dấu “=” xảy x y z ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1 � 3 xy yz zx xyz 2 (Dấu “=” xảy x y z ) Từ (1) (2), ta có: x3 y3 y3 z3 z x3 �3 (đpcm) xy yz zx 11 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đẳng thức xảy x y z Ví dụ (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2003) Cho x, y, z số dương x y z �1 Chứng minh rằng: x2 1 y z � 82 x y z Giải: Bất đẳng thức phụ 1: với số dương a, b, c, d, ta có: a b2 c2 d � a c b d 2 Thật vậy, ta có: a b2 c2 d � a c b d � a b2 c d a � a 2 b c d �a b c d 2ac 2bd b c d �ac bd � a 2c b 2c a 2d b 2d �a 2c b 2d 2abcd � ad bc �0 Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: x x y y 2 � 1 1� z � x y � � z �x y � z2 � x y z z2 2 �1 1 � � � �x y z � 1 Bất đẳng thức phụ 2: với số dương a ,b, c, ta có: �a a b c � � 1� 1 ��9 � � b c� a b c a bc 1 1 81 Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: x y z x y z x y z2 x y z 12 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: x y z Theo giả thiết: x y�z Do đó: x y z 1 x yz x y z 80 x y z 2 �2 80 81 80 x y z 2 80 82 (2) 2 x y z x y z x y z2 Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh Ví dụ (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2005) Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1 Chứng minh rằng: x y z 1 �1 2x y z x y z x y 2z Giải Áp dụng bất đẳng phụ với số dương x, y: �1 �x y � x� Ta có: 1� y� � x y �1 4� �x 1� (Dấu “=” xảy x = y) y� � 1 �1 � �1 1 � � � � � � x y z �2 x y z � � �2 x y z � 2x y z � � x y z Tương tự, ta có: Dấu “=” xảy khi: � y z � 1 �1 1 � � � �(Dấu “=” xảy khi: x y z ) x y z �4 x y z � 1 �1 1 � � � �(Dấu “=” xảy khi: x y z ) x y z �4 x y z � Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 �1 1 � � � � x y z x y z x y z �x y z � 13 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm �x y z � �x yz Dấu “=” xảy khi: �1 1 �x y z � Ví dụ Cho số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh: a b b c c d d a �2 Giải: BĐT cho tương đương : � ( a b b c ) + ( c d d a ) + ( a b b c ) ( c d d a ) �8 � a + b + c + d + (a b)(b c) + a + b + c + d + (c d )(d a ) + (a b )(c d ) + (a b)( d a) + (b c)(c d ) +2 (b c)( d a) �8 � 2(a + b + c + d)+ ( a b)(b c) + (c d )( d a) + (a b)(c d ) + ( a b)( d a) + (b c)(c d ) +2 (b c )(d a ) �8 Áp dụng BĐT Cosi: (a b)(b c) �a + b + b+ c = a +2b + c; (b c)( d a) �a + b + c + d (c d )(d a) �c + d + d + a = c + 2d + a; (a b)(c d ) �a + b + c + d (a b)(d a) �a + b + d + a = 2a + b + d; (b c)(c d ) �b + c + c + d = b + 2c + d Cộng theo vế: VT �2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d + a + b + c + d �8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = = VP (vì a + b + c + d = 1) Vậy a b b c c d d a � 2 (dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c = d = 1/4) Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Ví dụ Tìm giá trị lớn hàm số: y x 2 3 x với x � 2 ;3 Giải: Với x � 2 ;3 ta x 0, x 0 áp dụng BĐT Cơsi được: 14 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm � 25 x 2 3 x � 25 y x 2 x �� T suy giá tri lớn y đạt � � � 2 x 3 x x Ví dụ Tìm giá trị lớn y x 1 x với x � 0; 1 Giải: Biến đổi y x 1 x 3x 1 x 1 x 1 x Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta 4 3x 1 x 1 x 1 x � �3 � 1� 33 y� � � � � Dấu xảy 3x 1 x x 3� � 3�4 � Ví dụ Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x), với x,y,z > x + y + z = Giải: Vì x,y,z > 0, áp dụng BĐT Cơsi ta có: x+ y + z �3 xyz xyz xyz 27 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y; y+z ; x+z ta có x y y z z x 33 x y y z z x 3 x y y z z x Dấu xảy x y z Suy S � Vậy S có giá trị lớn 8 27 27 729 x y z 729 Ví dụ Cho x, y, z x y z 1 Tìm GTLN P = Giải : P 3 ( x y z x 1 y 1 z 1 1 ) 3 Q Theo BDT Côsi, a, b, c > x 1 y 1 z 1 a b c �3 abc � 1 1 1 1 �1 1 � �3 � a b c � ��9 � � a b c abc a b c a bc �a b c � 1 Suy Q = x y z -Q 9 nên P = – Q 3- = 4 15 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Vậy max P = x = y = z = Ví dụ Với x, y, z số thực dương, tìm giá trị lớn biểu thức M xyz ( x y )( y z )( z x) Giải: Áp dụng BĐT Côsi với số dương ta có: x y 2 xy , y z 2 yz , x z 2 xz � (x + y)(y + z)(z + x) 8 ( xyz ) 8 xyz � M xyz xyz = ( x y )( y z )( z x) xyz Vaäy MaxM x y z Ví dụ Cho x, y > 0,Thỏa x + y = Tìm Min A 1 xy x y Giải: Áp dụng BĐT (a + b)2 4ab a b 1 � (a, b > 0) ab a b a b a b Mặt khác: x + y xy xy � (x y)2 = (áp dụng BĐT Côsi) 4 1 4 A = 2 + 2xy + 2xy x2 y2 2xy + 2xy = (x y)2 + 2xy 4 + = + = x y Vậy Min A 6 x = y = Ví dụ Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x xy xyz Tìm giá trị nhỏ x + y + z Giải: Áp dụng BĐT cơsi cho số dương ta có: xy = Từ(1) (2) � 1 x x y y (1); 22 xyz = 1 x x y z y z (2) 3 1 x 1 x x xy xyz y + y z = (x + y + z) x y z 1 22 3 16 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đẳng thức xảy (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức hợp với giả thiết x xy xyz x = y = 4z Kết 4 16 ta suy x = ;y= ;z= Vậy x + y + z đạt 21 21 21 giá trị nhỏ BÀI TẬP HS TỰ LUYỆN Bài Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a) bc ca ab �a b c ; với a, b, c > 0; a b c b) ab bc ca a b c � ; với a, b, c > a b b c c a HD: 2 a) bc ca �2 abc 2c , ca ab �2 a bc 2a , ab bc �2 ab c 2bđpcm a b ab b b) Vì a b �2 ab nên c bc c a ac ab ab ab bc bc ca ca � Tương tự: � ; � a b ab b c c a ab bc ca ab bc ca a b c (vì � � a b b c c a 2 Bài Cho a, b > Chứng minh ab bc ca �a b c ) 1 � (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b a b a) �1 1 1 � �2� �; với a, b, c > a b c �a b b c c a � b) � � 1 1 �2� �; với a, b, c > a b b c c a �2a b c a 2b c a b 2c � c) Cho a, b, c > thoả d) 1 1 1 Chứng minh: �1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca a b c � ; với a, b, c > a b b c c a �1 � �a b � HD: (1) (a b) � ��4 (Áp dụng BĐT Côsi) a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1 � ; � ; � a b a b b c b c c a c a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 17 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm c) Áp dụng a) b) ta được: d) Theo (1): � � 1 1 �4� � a b c �2a b c a 2b c a b 2c � 1 �1 � ab � � � � (a b) a b �a b � a b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm Bài Áp dụng BĐT Cơsi để tìm GTNN biểu thức sau: a) y 3x ; x 1 x b) y c) y x ; 0 x 1 x x d) y HD: a) Miny = x ; x 2x x = 1 c) Miny = x x3 ; x x2 30 x = b) Miny = 5 d) Miny = 3 30 x = Bài Cho a, b, c > Chứng minh BĐT sau: �1 1 � �� (a b c) �a b b c c a � a) (a2 b2 c2)� b) Cho a, b, c > thoả a b c �1 Tìm GTNN biểu thức: P= 1 a2 2bc b2 2ac c2 2ab c) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: a2 b2 c2 1 �30 ab bc ca �1 1 � �a b c � HD: Ta có: (a b c) � ��9(1) (áp dụng BĐT Côsi) a) Áp dụng (1) ta được: 1 � a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c2) 3(a2 b2 c2) � (a b c) Chú ý: (a b c)2 �3(a2 b2 c2) VT 2(a b c) a b c b) Ta có: P 2 a 2bc b 2ca c 2ab (a b c)2 18 �9 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm c) VT a2 b2 c2 (a b c)2 � � 1 = �2 2 � ab bc ca �a b c ab bc ca ab bc ca � ab bc ca � 30 1 (Chú ý: ab bc ca � (a b c)2 ) ab bc ca 1 3 III KẾT LUẬN Trải qua thực tế công tác giảng dạy toán trường THPT, qua thời gian giảng dạy nhận thấy việc chứng minh bất đẳng thức đại số cơng việc khó khăn địi hỏi người chứng minh phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất kiến thức biết để chứng minh bất đẳng thức… Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn đóng góp phần nhỏ bé giúp em bước đầu làm quen vói tốn chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế nên viết không tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để viết tốt Cuối xin chân thành cảm ơn Vĩnh bảo, ngày 20 tháng12 năm 2014 19 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 20 ... (1) a b 0 BĐT dấu đẳng thức xảy a b ) a2 b2 a b 2 Áp dụng BĐT (1) ta có 1 a b 2 (2) a4 b4 a2 b2 1 (theo (2)) Lại áp dụng BĐT (1) ta có 2 ... x y 4. x y 4 Do BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4 x y 8. x y x y x y 4 x y 0 0 BĐT cuối đứng nên ta có điều cần phải... b)3 (2) Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CÔSI VÀ HỆ QUẢ CỦA BĐT CƠSI Kiến thức: a/ Với hai số khơng âm : a, b 0 , ta có: a b 2 ab Dấu “=” xảy
Ngày đăng: 12/02/2022, 15:40
Xem thêm:
