Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề bất đẳng thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 27 Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Số thực dương, số thực âm: Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0 Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0 Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu 0 x Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu 0 x Chú ý: Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0 a " Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0 a " II. Khái niệm bất đẳng thức: 1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b Nếu a>b hoặc a=b, ta viết ba . Ta có: 0b-a ba 2. Đònh nghóa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: a b a c b c 2. Tính chất 2: a b a c b c Hệ quả 1: a b a c b c Hệ quả 2: a c b a b c 3. Tính chất 3: a b a c b d c d 4. Tính chất 4: nếu c > 0 nếu c < 0 ac bc a b ac bc Hệ quả 3: a b a b Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 28 Hệ quả 4: nếu c > 0 nếu c < 0 a b c c a b a b c c 5. Tính chất 5: 0 0 a b ac bd c d 6. Tính chất 6: 1 1 0 0a b a b 7. Tính chất 7: nn baNnba * ,0 8. Tính chất 8: n baNnba n * ,0 Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : 22 baba Nếu a và b là hai số không âm thì : 22 baba IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối : 1. Đònh nghóa: nếu x 0 ( x ) nếu x < 0 x x R x 2. Tính chất : 2 2 0 , x , x x , -x x x x 3. Với mọi Rba , ta có : a b a b a b a b . 0 a b a b a b . 0 a b a b a b V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : a > 0, b > 0, c > 0 b c a b c c a b c a a b c a b a b c A B C VI. Các bất đẳng thức cơ bản : a. Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : 2 a b ab Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Tổng quát : Cho n số không âm a 1 ,a 2 , a n ta có : 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 29 b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ax by a b x y Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx Tổng quát : Cho hai bộ số 1 2 ( , , ) n a a a và 1 2 ( , , , ) n b b b ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 n n a a a b b b với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có: 1 1 1 1 ( ) 4 a b a b Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng các phương pháp sau 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2 2 2 a b c ab bc ca với mọi số thực a,b,c 2. 2 2 1 a b ab a b với mọi a,b Ví dụ 2: Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b 0 , chứng tỏ rằng: 3 3 3 ( ) 2 2 a b a b Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì 16)1 21 ()1( 2 2 x x x 2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 2 2 2 2( ) a b c ab bc ca Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4 5 yx . Chứng minh rằng: 5 4 14 xx Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx 53423 Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: )(2 11 22 yx yx yx Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 30 Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 0)2()2()2( baccaacbbccbaab Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : zyxzyx 333 Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : 33xyx Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 9 c cba b cba a cba Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn 1 zyx . Chứng minh rằng : 10 111 zyx zyx Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3 b c c a a b a b c a b c 3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 1cos 2 x x với mọi x > 0 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: xtgxx 2sin với mọi ) 2 ;0( x Ví dụ 4: Với 2 0 x , chứng minh 1 2 3 sin2 222 x tgxx BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 33 1 11 33 3333 zx xz yz zy xy yx Khi đẳng thức xảy ra? Bài 2: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 4 111 zyx . Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 1 zyxzyxzyx Bài 3: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức abccabcab , chứng minh rằng: 3 222 222222 ca ca bc bc ab ab . một bất đẳng thức Quy ước : Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức. biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2 2 2 a b c ab bc ca . Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 1cos 2 x x với mọi x > 0 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: xtgxx 2sin với