Đang tải... (xem toàn văn)
:: Trường THCS Trần Văn Ơn :: | Tin tức | Dạy và Học | CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Bat dang thuc tài liệu, giáo án, bài giả...
ĐẠI SỐ 9: Chuyên đề :Bất Đẳng Thức Giáo viên :Nguyễn Đình An PHÁT TRIỂN BÀI TỐN TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN I.Kiến thức cần biết 1.Định nghĩa: Bất đẳng thức hai số hai biểu thức (số chữ) nối với dấu lớn (>), nhỏ ( B A – B > 0; A < B A – B < 0; A ≥ B A – B ≥ 0; A ≤ B A – B ≤ Các bất đẳng thức sai Khi nói bất đẳng thức khơng giải thích thêm bất đẳng thức +.Trong bất đẳng thức A>B(AB C>D gọi hai bất đẳng thức chiều.Các bất đẳng thức A>B EB => C>D ta nói bất đẳng thức C>D hệ bất đẳng thức A>B +Nếu ta có A>B E>F ta nói hai bất đẳng thức A>B E>F hai bất đẳng thức tương đương +A>B (hoặc Ab b>c=>a>c +Tính chất 2:a>ba+c>b+c Hệ quả:a>b+ca-c>b +Tính chất 3:a>b c>d=>a+c>b+d ac > bc ac < bc ac = bc +Tính chất 4: a>b +Tính chất 5:a>b>0 c>dac>bd +Tính chất 6:a>b>0,n∈ N* + Tính chất 7: a > b >0, n ∈N* => Hệ quả: (a, b ≥ 0) : n a>nb a ≥ b2 ⇔ a ≥ b ⇔ a ≥ b 1 < a b +Tính chất 8: a > b, ab > ⇒ +Tính chất 9: a > 1; m, n ∈N*, 0< a < 1; m, n ∈N*, m > n ⇒ a mm> a n n m>n⇒a B A – B > 0; A < B A – B < 0; A ≥ B A – B ≥ 0; A ≤ B A – B ≤ Bước 1:Xét hiệu A-B phân tích hiệu thành tổng hay tích hạng tử Bước 2:Chứng minh bất đẳng thức A-B luôn từ bất đẳng thức hay phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác 2.Phương pháp phân tích: Cịn gọi phương pháp biến đổi tương đương Bước 1:Xét bất đẳng thức giả thiết,chẳng hạn A ≥ B(1) Bước 2:Phân tích (1)bằng biến đổi sơ cấp để đưa (1) bất đẳng thức C ≥ D(2).Trong đó(2)ln ln theo hình thức hiển nhiên hay chứng minh dễ dàng (bằng phương pháp) Bước 3:Kết luận (1)đúng theo lập luận phương pháp phân tích Bài tốn A Chứng minh rằng: m2 – mn + n2 ≥ , với m, n Giải: Ta có m − mn + n 2 1 1 = (m ) − (m) n + n − n + n 2 2 2 = m − n + n ≥ Vậy m2 – mn + n2 ≥ , với m, n Chứng minh rằng: m2 – mn + n2 ≥ , với m, n Bài toán Chứng tỏ : x2 + y2 + xy - 3x - 3y + ≥ Bài tốn A (Trích đề thi chọn HSG trường THCS Nguyễn Gia Thiều, Quận Tân Bình, TPHCm năm 2000-2001) Nếu ta thay m = x – n = – y vào toán A ta thấy ( x − 1) − ( x − 1)(1 − y ) + (1 − y ) ≥ ⇔ x − x + − ( x − xy − + y ) + − y + y ≥ ⇔ x + y + xy − x − y + ≥ Chứng tỏ : x2 + y2 + xy - 3x - 3y + ≥ Bài toán Nếu ta thay m = x; n = y x,2y khác x − y) ( 2 ≥0 Ta có: x − xy + y ≥ 0; 2 x y Vậy (x − xy + y ) x − y) ( x y 2 ≥0 x − xy + y x − xy + y ⇔ ≥0 xy xy x y x ⇔ −1 + − + x y y x x2 y ⇔ + + − 3 + y x y y ≥0 x y ≥0 x Chứng minh rằng: m2 – mn + n2 ≥ , với m, n Bài toán Chứng tỏ : x2 + y2 + xy - 3x - 3y + ≥ Bài toán Bài toán A Cho x, y hai số thực khác Chứng minh: x y x2 y y + − 3 + + ≥ x y x (Trích đề thi vơ địch tốn Cộng Hịa Secbi, năm 1977 hay đề thi HSG tốn tồn quốc năm 1994 – 1995 đề thi HSG toán 9, Quận I Quận Tân Bình, TPHCM năm 1999-2000) Bài tốn (Cách 1) Với x, y ≠ 0, x y x2 y + − 3 + + y x y x x x y x y y x y x y = + +2 − 3 + + = + − 3 + + x y x y x y x y x y 2 x y x y x y Đặt a = + ⇒ a = + = + ≥ y x y x y x Xét f(x) = a x y =2 y x − 3a + với a ≥ = a − 2a − a + = a ( a − ) − ( a − ) = ( a − )( a − 10 ) a ≥ Do a ≥ ⇒ ⇒ a − a − 10 dấu a ≤ −2 Vậy f(a) ≥ 0, với |a| ≥ Suy ra: x y x y + − 3 + + ≥ y x y x Dấu đẳng thức xảy x= y ≠ Bài toán (Cách 2) x y y2 + − 3 + + y x y x Với x, y ≠ 0, x 2 x x y x y y x y x y = + +2 − 3 + + = + − 3 + + x y x y x y x y x y 2 x y x y x y x y x y x y = + − 2 + − + + = + + − 2 − + − y x y x y x y x y x y x x y x y x + y − xy x + y − xy = + − + − 1 = 2 2 y x y x x y x y x + y) ( = x2 y 2 y y y 2 ( x + y ) x − 2 x + + y = x y x − + y ≥ 2 Dấu đẳng thức xảy x = y ≠ Bài toán (Cách 3) x y x2 y x y 3x y + − 3 + + ≥ ⇔ + − − +4≥0 y x y x y x y x ⇔ x + y − x3 y − xy + x y ≥ ⇔ ( x + y − x3 y − xy ) − ( x3 y + xy − x y ) ≥ ⇔ x3 ( x − y ) + y ( x − y ) − xy ( x + y − xy ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( x3 − y ) − xy ( x − y ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) − xy ( x − y ) ≥ 2 2 y y ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y − xy ) ≥ ⇔ ( x − y ) x − + ≥0 2 Dấu đẳng thức xảy x = y ≠ Chứng minh rằng: m2 – mn + n2 ≥ , với m, n Bài toán Chứng tỏ : x2 + y2 + xy - 3x - 3y + ≥ Bài toán Bài toán A Cho x, y hai số thực khác Chứng minh: x y x2 y + − + +4≥ 2 y x y x Bài toán Chứng minh rằng: x + y ≥ x y + xy 3 , với x, y Bài toán (Cách 1) Chứng minh rằng: x + y ≥ x y + xy3 , với x, y x + y ≥ x y + xy3 ⇔ x − x y + y − xy3 ≥ ⇔ x ( x − y ) − y3 ( x − y ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( x − y3 ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) ≥ y y2 ⇔ ( x − y) x + x + + y ≥ 4 y 2 ⇔ ( x − y ) x + + y ≥ Dấu đẳng thức xảy x = y Bài toán (Cách 1) Chứng minh rằng: x + y ≥ x y + xy3 , với x, y x + y ≥ x y + xy3 ⇔ x − x y + y − xy3 ≥ ⇔ x ( x − y ) − y3 ( x − y ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( x − y3 ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) ≥ y y2 ⇔ ( x − y) x + x + + y ≥ 4 y 2 ⇔ ( x − y ) x + + y ≥ Dấu đẳng thức xảy x = y Bài toán (Cách 4) 4 3 x + y − x y + xy = 2x + 2y − 2x y − 2xy ( ) ( ) 2( ) = ( x − 2x y + x y ) + ( y − 2xy3 + x y ) + ( x + y − 2x y ) 2 1 2 2 2 = x − xy + y − xy + x − y ≥ ( ) ( ) ( ) 4 3 Dấu đẳng thức xảy x = y Chúc em học tốt! Chào tạm biệt! ... Các bất đẳng thức sai Khi nói bất đẳng thức khơng giải thích thêm bất đẳng thức +.Trong bất đẳng thức A>B(AB C>D gọi hai bất đẳng thức. .. chiều.Các bất đẳng thức A>B EB => C>D ta nói bất đẳng thức C>D hệ bất đẳng thức A>B +Nếu ta có A>B E>F ta nói hai bất đẳng thức A>B E>F hai bất đẳng thức. .. thức tương đương +A>B (hoặc A