Chuyên đề bất đẳng thức hay

H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Chuyên đề: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Hiện nay, dễ thấy đề thi cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi cấp Bất đẳng thức (BĐT) câu hỏi khó Hầu bạn học sinh bỏ qua làm không trọn vẹn câu Một phần cách học chưa đúng, phần khác BĐT chủ đề khó, nhiều dạng phương pháp giải làm bạn lúng túng sử dụng phương pháp Sau xin trình bày phương pháp tiếp tuyến để chứng minh Bất đẳng thức Nếu biết nhận dạng vận dụng linh hoạt phương pháp tin bạn thành công phương pháp Tuy nhiên, trình độ hạn chế nên nhiều thiếu sót mong nhận ý kiến từ thầy (cô) bạn để chuyên đề hoàn thiện I.Đặc điểm nhận dạng phương pháp chứng minh a/Đặc điểm nhận dạng: +BĐT đạt cực trị tâm đối xứng mà ta biết điểm rơi (Cực trị tâm đối xứng BĐT đạt dấu ”=” biến điểm rơi Điểm rơi BĐT tức giá trị biến làm cho dấu “=” xảy ra) ∑ +Qua việc chuẩn hóa điều kiện đề sẵn có dạng ∑ ∑ (k số) Trong phần trình bày điều kiện ∑ đặc điểm thường gặp điều kiện lại làm tương tự (Với BĐT đồng bậc hay cách dùng phương pháp hệ số bất định ta chuẩn hóa điều kiện có dạng trên) ∑ ( ) +Qua số bước biến đổi BĐT sẵn có dạng ∑ ( ) b/Phương pháp: -Bằng cách xét hàm số đặc trưng f(x) biết điểm rơi, ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm f(x) điểm M( ( )) ( )( ) +Phương trình tiếp tiếp có dạng ( ) ( ) -Bước ta chứng minh ( ) ( ) tùy theo đề Ở bước ta thường dùng phương pháp biến đổi tương đương *Chú ý: +Phương pháp tiếp tuyến hiệu BĐT Vì BĐT đề thõa điều kiện f(a) có dạng “rất” phức tạp ta chọn phương pháp khác +Bước quan trọng phương pháp chứng minh ( ) ( ) ( ) Nếu làm ta dễ dàng thấy biểu thức sau biến đổi có ) ( ) ( ) ( ) dạng ( ( ) Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang II.Ví dụ minh họa tập vậng dụng: a/Các vd minh họa Vd1: Cho a,b,c,d số thực không âm a+b+c+d=1 CMR: ∑ ∑ *Nhận xét: BĐT đề tương đương ∑( ∑ ( ) ) Dấu “=” xảy Rõ ràng từ điều kiện biến đổi ta thấy sử dụng phương pháp tiếp tuyến Ta xét ( ) ( ) Tính ( ) ( ) ( ) ( Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm f(x) điểm ( )( ) ) ( ) Xét hiệu ( ) ( ( ) ( ( Hay ) ) ( ) ( ) ) *Từ nhận xét ta đến lời giải sau: BĐT đề ∑( ) Vì a,b,c,d > a+b+c+d=1 => a,b,c,d ) ( Ta có: ) ( Hay ( ( ) ( ) ( ) ) Tương tự ta được: Cộng vế theo vế BĐT ta ∑( ) ( Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 ) (đpcm) H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Vd2: Giả sử a,b,c số thực dương có tổng CMR: ∑ *Nhận xét: Dấu “=” xảy Xét hàm số ( ) ( ) ( Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm f(x) điểm ( Xét hiệu ( ) ) ( ( ) ) *Lời giải: Do a,b,c >0 a+b+c=1 ( Tacó ) ( ( ( ( ) ( ) ) ( ) ) ) ) Tương tự ta có: Vậy ∑ ( ) (đpcm) Qua vd ta thấy hiệu phương pháp Tuy nhiên BĐT ta sớm nhận dạng áp dụng phương pháp Có toán cần số bước biến đổi áp dụng BĐT khác ta chuyển BĐT đề trở dạng mong muốn Mới bạn đọc đến với ví dụ lại để thấy phương pháp thường kết hợp với phương pháp tiếp tuyến Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Vd3: Cho số thực dương x,y cho x+y=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ∑ √ *Nhận xét: Ta thấy biểu thức P chứa biến x y Điều ta cần làm đưa biểu thức P biến nhất, việc dễ dàng với điều kiện cho Ta có: ∑ ∑ √ √ ( ∑ ) √ P đạt GLNN Xét hàm sốf(t) = ( √ ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm f(t) điểm √ ( √ ) là: √ Giả sử: () [ ( )] ) ( ( ) ( *Lời giải: Ta có: ∑ ∑ √ Vì x,y>0 x+y=1 nên Ta chứng minh BĐT sau: √ ( ( ) ∑ ) √ √ √ ( √ ) Thật BĐT tương đương ) ( ( Tương tự ta có: √ √ ( √ √ ( Dấu có ) ) √ ( ) √ Vậy Min P = √ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 ) ) H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Bài toán giải BĐT B.C.S nhiên đòi hỏi người làm phải có mức hiểu “kĩ” BĐT B.C.S Một lần nhìn lại toán ta thấy việc biến đổi biểu thức P theo biến làm tăng độ phức tạp thức mẫu Mời bạn đọc giải phương pháp tiếp tuyến biến đổi theo cách: ∑ ∑ √ √ Tiếp theo ta đến vd cách kết hợp phương pháp chuẩn hóa Vd4: Cho a,b,c số thực dương CMR: ∑ ( ) ( ) *Nhận xét: Do BĐT nên ta chuẩn hóa a+b+c=3 Khi ta cần chứng minh ∑ Dấu “=” BĐT xảy a=b=c=1 Xét hàm số ( ) ( ) ( Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm f(x) điểm Xét hiệu: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) *Lời giải: Không tính tổng quát ta giả sử a+b+c=3 ( ) Khi ta cần chứng minh ∑ ( Ta có: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) Tương tự có: Vậy: ∑ ( ) (đpcm) Qua vd ta thấy kĩ thuật nhỏ từ lúc vào giải chuẩn hóa Chỉ chuẩn hóa ta biểu diễn biểu thức theo biến định Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Vd5: Cho a,b,c số thực không âm thõa mãn a+b+c=3 CMR: ∑ √ ( ) √ *Nhận xét: Dấu “=” xảy a=b=c=1 BĐT cần chứng minh viết lại: ∑ √ Lại có đánh giá sau ∑ √ √ ∑√ Vậy ta phải chứng minh ∑ √ ∑√ √ √ Phương trình tiếp tuyến hàm ( ) √ Giả sử ( ) *Lời giải: Vì a,b,c > a+b+c=3 => điểm ( √ ( ) ( ( ) ) √ ) ( ) BĐT cần chứng minh viết lại: ∑ √ Ta có: ∑ √ √ ∑√ Vậy ta phải chứng minh ∑ Đầu tiên ta chứng minh: Tương tự ta có: ∑ √ √ ∑√ √ √ ( √ √ √ √ ) ( ) ( ) √ √ (đpcm) √ √ Không phải lúc biểu thức biến đổi tương đương cuối ta dễ nhận âm dương với điều kiện ( ) Mời bạn đọc đến với ví dụ sau Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Vd6: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác ( CMR: ) *Nhận xét: BĐT cho nên ta chuẩn hóa a+b+c=1 Dấu “=” xảy Khi ta cần chứng minh ∑( ∑ ) Phương trình tiếp tuyến hàm ( ) ( Xét hiệu ( ) ) ( ( điểm ( ) ) ) Đến ta chưa khẳng định hiệu âm hay dương Với điều kiện chuẩn hóa ta xét ( ) điều kiện làm cho mẫu số dương biểu thức (2x-1)??? Ta lại đặt dấu chấm hỏi Có thể số bạn đọc suy nghĩ ta xét khoảng ( * ) ) Việc khó thực không thực Vậy nên bỏ cuộc, lựa chọn phương pháp khác ta nhiều thời gian để tính hiệu số trên? Nếu chịu đọc kĩ đề ta thấy kiện “a,b,c độ dài cạnh tam giác” Nghĩ đến BĐT tam giác ta có: 1=a+b+c > 2a (do b+c>a) => Tương tự có b,c < Nên ta xét hàm số khoảng ( ) *Lời giải: Không tính tổng quát giả sử a+b+c=1 Khi ta cần chứng minh ∑( ( Xét hiệu: ( ) ∑ ) ) ( ( ) ) Ta có: 1= a+b+c > 2a (do b+c>a) =>a< Tương tự có b,c < ( => Do ( ) ) ( ( ) ) ( ) hay ( ) ( ) Tương tự với b,c cộng BĐT vế theo vế Vậy: ∑ ( ) (đpcm) Cuối cùng, Ta xét thêm vd để thấy liên kết phương pháp để CM BĐT Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang Vd7: Cho a,b,c số thực không âm thỏa CMR: ∑ *Nhận xét: Rõ ràng biểu thức BĐT có biến Vì ta tìm cách dồn biến để sử dụng phương pháp tiếp tuyến Ta có: ∑ Mà ∑ ∑ ( ∑ ) ( ∑( ) Tóm lại ta có: ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ) ∑ Ta phải chứng minh ∑ Đổi biến ( ) ( ) Bài toán trở thành Cho x,y,z > x+y+z=3 CMR: ∑ √ *Lời giải cho toán nhỏ: Do x,y,z > x+y+z=3 => Ta cần chứng minh ( ) ( ) Trong hàm đặc trưng ( ) ( ( ) √ Phương trình tiếp tuyến hàm ( ) Giả sử ( ) () ( ( ) ) ( ) (√ ( ) ) ( √ ) ( √ ) √ √ √ ) điểm √) ( )là √ ( √ ) (đpcm) Bài toán sử dụng tổng hợp phương pháp là: BĐT cô-si, BĐT schwarz, đổi biến, phương pháp tiếp tuyến Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014 H.S Võ Long Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thần Hiến – Kiên Giang b/Bài tập vận dụng Câu 1: (BĐT Nesbit): Cho a,b,c số thực dương CMR: ∑ HD: Chuẩn hóa a+b+c=3 Câu 2: Cho a,b,c > a+b+c =3 CMR: √ √ √ HD: Sử dụng đẳng thức ( ) Câu 3: Cho a,b,c số thực dương CMR: ∑ ( ( ) ) ( ) HD: Chuẩn hóa a+b+c=1 Câu 4: Cho a,b,c > thõa mãn a+b+c=1 ( CMR: HD: Sử dụng ∑ ) ∑ ( Câu 5: Cho a,b,c > ) CMR: HD: Đổi biến ( ) ( ) Câu 6: Cho a,b,c,d > a+b+c+d=4 Tìm GTNN biểu thức ∑ √ HD: Đặt x=a+1;y=b+1;z=c+1;t=d+1; Áp dụng BĐT phụ √ Cuối lời, xin chúc bạn đọc thành công việc sử dụng thành thạo phương pháp Mong sớm nhận ý kiến đóng góp thầy (cô) bạn qua sđt 0924040426 zuni: Vitamin Tờ _Hết Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh Bất đẳng thức Ngày hoàn thành: 22/05/2014