Chuyên đề bất đẳng thức

chuyên đề là tập bất đẳng thức cực hay dành cho ôn tập học sinh giỏi ôn th vào cấp 3 và ôn thi đại học. Chuyên đề gồm 2 phần. Phần 1 giới thiệu nhưng bất đẳng thức cơ bản thường gặp và cách giải dễ hiểu ngắn gọn cho học sinh và giáo viên tham khảo. Phần 2 dành cho các bạn tự luyện làm tốt hơn.

Chuyên đề b ất đẳng thức Bµi 1 Chøng minh cba ab c ca b bc a ++≥++ 333 ; víi a, b, c d¬ng. Gi¶i: Theo cauchy: a 4 + b 4 ≥ 2a 2 b 2 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 Ta có a 2 b 2 + b 2 c 2 ≥ 2ab 2 c ⇒ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc(a + b + c) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c) , chia abc ⇒ cba ab c ca b bc a ++≥++ 333 Bµi 2 Chøng minh: ))(( cabaa a +++ + ))(( cbabb b +++ + ))(( acbcc c +++ ≤ 1 Víi a, b, c > 0 Gi¶i: bunhiacopxki acabcaba +≥++ ))(( ⇒(a+b)(a+c)- 0)()( 22 ≥−=+ bcaabac cba a acaba a cabaa a ++ = ++ ≤ +++ ))(( Cộng ba vế lại có (đpcm) Bài 3 Cho a, b, c là ba số dơng và cba 111 ++ = a + b + c. Chứng minh: a + b + c 3abc Giải: Từ cba 111 ++ = a + b + c ab + bc + ca = abc(a+b+c) Theo Cụ si a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) (a+b+c) 2 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) a + b + c 3abc Bài 4 Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + cabcab với a, b, c là các số dơng và a 2 + b 2 + c 2 = 6. Giải: Sử dụng zyxzyx ++ ++ 9111 + + + + + 1 1 1 1 1 1 cabcab 3 9 +++ cabcab Ta cú a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca dấu bằng khi a = b = c 3 9 3 9 222 +++ +++ cba cabcab =1 dấu bằng khi a = b = c = 2 . Bài 5 Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh a 3 + b 3 + 3abc > c 3 Giải: Ta cú a+b> c và a 2 - ab + b 2 > 0, a 3 + b 3 + 3abc = (a+b)(a 2 -ab+b 2 ) + 3abc > c(a 2 -ab+b 2 ) + 3abc = c(a+b) 2 > c 3 Bài 6 Cho a, b, c là ba số dơng và có tổng bằng 3. Chứng minh cba ++ ab + bc + ca Giải: Ta cú a+b+c=9 a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca) = 9 ab+bc+ca = 2 9 222 cba Thay vào ta cần chứng minh: a 2 +b 2 +c 2 + 2( cba ++ ) 9 a 2 + 2 a = a 2 + a + a 3 3 2 aaa = 3a Cộng các vế ta có (đpcm) Bài 7 Cho a, b là các số thực thoả mãn a 2 + b 3 a 3 + b 4 . Chứng minh: a 3 + b 3 2 Giải: Cách 1: Trớc hết chứng minh a + b 2 a 2 + b 3 Giả sử a + b 2 < a 2 + b 3 2(a 2 + b 3 ) > a + b 2 + a 3 + b 4 2(a 2 + b 3 ) vô lý a + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 4 2(a + b 2 ) a 2 + b 3 + a 3 + b 4 (1+a 2 ) + (1+b 4 ) 2(a + b 2 ) a 2 + b 3 + a 3 + b 4 a 3 + b 3 2 Cách 2: Bằng phơng pháp phản chứng . Giả sử a 3 + b 3 > 2. Chứng minh: a 2 + b 3 < a 3 + b 4 Từ 3 3322 22 baba + + a 2 + b 2 3 233 )(2 ba + < 3 33233 )()( baba ++ =a 3 +b 3 a 2 - a 3 < b 3 - b 2 , nhng 0 b 2 (b - 1) 2 b 3 - b 2 b 4 - b 3 a 2 - a 3 < b 4 - b 3 a 2 + b 3 < a 3 + b 4 . Bài 8 Cho a, b, c là các số thực đặt M = a + b + c + 2 cabcabcba ++ 222 Chứng minh M max{3a, 3b, 3c} và một trong 3 số: cMbMaM 3;3;3 bằng tổng hai số kia. Giải: 3(b - c) 2 0 4b 2 + 4c 2 - 4bc b 2 + c 2 + 2bc 4(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca) (2a - b - c) 2 2 cabcabcba ++ 222 2a - b c cộng hai vế với a + b + c Tơng tự M 3b, M 3c M max{3a, 3b, 3c} ®Æt x = aM 3− , y = bM 3− , z = cM 3 − ⇒ a= 3 2 xM − ,b= 3 2 yM − , c= 3 2 zM − ⇔ x 2 + y 2 + z 2 =6 222 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 accbba −+−+− x 2 + y 2 + z 2 =2 222222444 xzzyyxzyx −−−++ x 4 +y 4 +z 4 - 2x 2 y 2 - 2y 2 z 2 – 2z 2 x 2 = 0 (x 2 +y 2 ) 2 - 2z 2 (x 2 +y 2 ) + z 4 - 4x 2 y 2 = 0 (x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 0 Bµi 9 Cho 4 sè thùc a, b, c, d vµ a 2 + b 2 ≤ 1. Chøng minh: (ac + bd - 1) 2 ≥ (a 2 + b 2 - 1)( c 2 + d 2 - 1) Gi¶i: NÕu c 2 + d 2 ≥ 1 bÊt ®¼ng thøc ®óng. Chóng ta chøng minh c 2 + d 2 < 1, ®Æt x = 1- a 2 - b 2 vµ y = 1- c 2 - d 2 0 ≤ x, y ≤ 1. B®t ⇔ (2 - 2ac - 2bd) 2 ≥ 4xy ⇔ ((a-c) 2 +(b-d) 2 +x+y) 2 ≥ 4xy ((a-c) 2 +(b-d) 2 +x+y) 2 ≥ (x + y) 2 ≥ 4xy * Tự luyện: Câu 1: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≥ 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 5abc Câu 2 : Cho bốn số nguyên dương bất kì , , ,a b c d . Chứng minh rằng số a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + không phải là một số nguyên. Câu 3: Chứng minh rằng: 0,, 2 111 222 >∀ ++ ≤ + + + + + cba abc cba abcacbbca Câu 4: Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a a b c b c c a a b a b c − + − + − + + ≥ + + + + + + Câu 5: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức: Câu 6: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ab 2 + bc 2 + ca 2 – abc Câu 7: Cho x 2 +y 2 +z 2 =1. CM: xyz +2(1+x+y+z+xy+yz+zx) >0 Caau8: Cho tØ lÖ thøc d c b a = . Chøng minh rằng: 22 22 dc ba cd ab − − =  22 22 2 dc ba dc ba + + =       + + Câu 9 Cho zyx t yxt z xtz y tzy x ++ = ++ = ++ = ++ chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. zy xt yx tz xt zy tz yx P + + + + + + + + + + + = Câu10 Cho d c b a = . Chøng minh r»ng: 2 2 )( )( dc ba cd ab + + = Câu11 BiÕt c bxay b azcx a cybz − = − = − Chøng minh r»ng: z c y b x a == Câu12 Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng: 4 3 222 ≤ ++ + ++ + ++ yxz z xzy y zyx x Câu 13: Chøng minh r»ng: NÕu cba z cba y cba x +− = −+ = ++ 4422 Th× zyx c zyx b zyx a +− = −+ = ++ 4422 Câu 14: Cho: d c c b b a == . Chøng minh: d a dcb cba =       ++ ++ 3 . Câu15 Cho a c c b = chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 a c a b c b + = + b) 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + . Chuyên đề b ất đẳng thức Bµi 1 Chøng minh cba ab c ca b bc a ++≥++ 333 ; víi a, b, c d¬ng. Gi¶i: Theo. 5: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức: Câu 6: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ab 2 + bc 2 + ca 2 –. 3(ab + bc + ca) (a+b+c) 2 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) a + b + c 3abc Bài 4 Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + cabcab với a, b, c là các số dơng và a 2 + b 2 + c 2 =