Tuyển tập đề thi học sinh giỏi trung học phổ thông khối 10, 11, 12. Giúp học sinh rèn luyện tốt hơn kĩ năng làm ôn tập, đánh giá năng lực bản thân. bộ đề theo chuẩn cấu trúc ôn thi phù hợp cho học sinh, giáo viên tham khảo và sử dụng làm tài liệu giảng dạy học tập.
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán:
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 05/04/2013
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho hàm số y = x2 - 3x + 2 và hàm số y = -x + m Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau
b) Giải bất phương trình:
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2) Đường thẳng Δ là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y - 1 = 0; Khoảng cách từ C đến Δ gấp 3 lần khoảng cách
từ B đến Δ Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác Chứng minh rằng
Câu 3 (2,5 điểm)
a) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:
; Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B,
K, E thẳng hàng
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định
biểu thức (b2MB2 + c2MC2 - 2a2MA2) đạt giá trị lớn nhất
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình:
Trang 2b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz
Chứng minh rằng:
Câu I (1,5 điểm)
1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số
điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó
Câu II (2,0 điểm)
1) Tìm m để phương trình |x2 - 1| = m4 - m2 + 1 có bốn nghiệm phân biệt
2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương
trình:
Câu III (2,5 điểm)
1) Giải phương trình
2) Giải hệ phương trình
Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được
c để AM và CN vuông góc với nhau
2) Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác
đó, lần lượt lấy các điểm và Gọi và S tương ứng là diện tích của các tam giác và ABC Chứng minh bất đẳng thức
.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Trang 3Câu V (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R
> 0, R không đổi) Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Bài 1 (6 điểm).
a) Giải phương trình sau trên ¡:
b) Giải bất phương trình sau:
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n + 26 và n - 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB = 2KC, L
là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB
= 2KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
Bài 4 (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Bài 5 (4 điểm)
Cho các số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức:
Đề 2
Câu 1 (2 điểm)
Trang 41.Tính:
2 Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm M(1;5)
Câu 2: (3 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
với a>0,a
2 Giải hệ phương trình:
3 Chứng minh rằng pt: x2 + mx + m - 1 =0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x12 + x22 - 4(x1 + x2)
Câu 3: (1,5 điểm)
Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải Tính độ dài quãng đường AB
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O), với P và Q là 2 tiếp điểm Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ Gọi N
là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O) Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K
1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp
2.Chứng minh KA2=KN.KP
3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc
Trang 54 Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R
Câu 5: (0,5điểm)
Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn:
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Sở GD & ĐT Nghệ An ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút, Không kể thời gian giao đề
Câu I (3,0 điểm )
Cho phương trình: x2 – 2x – x− 1 + m = 0 ( m là tham số ) (1) 1) Giải phuơng trình (1) khi m = -1
2) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
Câu II (1,0 điểm )
Giải bất phương trình : ( x – 3) x+ 4 ≤ x2 – 9
Câu III (2,0 điểm )
1) Giải phương trình: 2x+ 3 + x+ 1- 2x+ 5x+ 3 = 3x – 16 ( x ∈
R )
2) Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ phương trình
Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC gọi A’ là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác
Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có :
2MA.MA' + MB.MC = 3MG2 - a+6b+c ( biết a = BC, b = AC, c =
AB )
2) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC
có M(-1;3) là trung điểm của cạnh AC Đường trung tuyến và
Trang 6đường cao xuất phát từ A có phương trình lần lượt là
3x-y+1=0 và 7x+y-11=0 Viết phương trình đường thẳng AB Câu V (1 điểm)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1
Chứng minh rằng:
ab + bc + ca ≥ 4(a2b2 + b2c2+ c2a2) + 5abc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN
Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút
( không kể thời gian phát đề)
I PHẦN GIẢI TÍCH
Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình: 2 2
x x
+ + + − =
b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của
phương trình:
x2 −(2m− 1)x− 4m− = 3 0 là nhỏ nhất
Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có
3 2x 3x 11
x y
x
=
Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a b c d, , , Chứng minh
a b c a b d b c d a c d
số nguyên
II PHẦN HÌNH HỌC
Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là
trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD
a Chứng minh rằng: IG 1AB DM
3
uur uuur uuuur
b Lấy J thỏa 2CJ 2AB JMuur= uuur uuur+ Chứng minh rằng IJ song song với AB
c Giả sử AB a, BC 2a = = và · 0
ABC 60 = Tính độ dài của u AB 2ACr uuur= + uuur
d Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: 2EA 3EB 5ECuuur− uuur+ uuur= 2 ED EGuuur uuur+
Trang 7Câu 1: a) 2 2
x x
+ + + − =
(1)
ĐK: x≠ 0
Đặt t x 1
x
2
x
(1)⇔ 2t2 + − 3 20 0t =
4 5 2
t t
= −
⇔ =
• t= − ⇒ = − ± 4 x 2 3
2 1 2
x x
=
⇒ =
b) x2 −(2m− 1) x− 4m− = 3 0 (2)
• (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
2
4m 12m 13 0
2m 3 4 0, m
• Theo viet: 1 2
1 2
x x m
x x m
= − −
•
2
m
= ⇔ = −
Câu 4:
3 2x 3x 11
x y
x
=
3 2x 0 3x 11 0
x x
− ≥
+ ≥
⇔ − ≥
2
2
3
2
11
3
1
3x 2x 5 0
x
x
x
x
≤
≥ −
⇔
≤
− >
− − ≠
1 x 1
⇔ − < <
IG AG AI AB AC AC AD AM
3
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuuur
AB 2DM DM AB DM
= uuur+ uuuur uuuur+ = uuur uuuur+
b
2CJ JM 2ABuur uuur= + uuur⇔ 2AJ 2AC AM AJ 2ABuur− uuur uuuur uur= − + uuur
5 3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM
3
⇔ uur= uuur+ uuur uuuur+ = uuuur⇒uur= uuuur
Mà M là trung điểmcủa AD nên MJ
2
JD = Gọi K là trung điểm của CD, ta có MI
2
IK = Vậy ta có:
MJ MI
IJ // CD // AB
c Kẻ AH vuông góc với BC Ta có:
0 a
BH AB.cos60
2
AH AB.sin60
2
F
H G
J
I R
D
M
A
Trang 8Câu 3: Vì a b c d Z, , , ∈ + nên
A
a b c a b d b c d a c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
1
=
Mà
, , 0
1
x y z
x
y
>
<
x x z
y y z
+
⇒ <
+ Thật vậy, x 1
y <
x y
⇒ <
xz yz
⇒ < ⇒ xy xz xy yz+ < +
x y z y x z
⇒ + < +
x x z
y y z
+
⇒ <
+
Nên a b c a b c d a < a d+
a b d a b c d b < b c+
b c d a b c d c < a c+
a c d a b c d d < d b+
Suy ra A< 2
Do đó 1 < <A 2 ⇒ A không phải là một
số nguyên
Trang 9ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 11 – MÔN TOÁN
Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1) tg x 3 tgx 1
4
π
(1,5đ) 2) cos x sin x3 3 2cos 2x
sin x cos x
Bài 2 : Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc a b c( + + ) (2đ)
Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn
(C) : x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0
Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB
là cạnh hình vuông có 4 đỉnh thuộc (C) ( 2 điểm )
Bài 4 : Giải Hệ phương trình :
2
2 2
Hết
Trang 10-ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2012-2013 Bài 1 :
1)
2 3
3
3
tgx 1 tgx 1
tgx 0
tg x 4tg x 5tgx 0
=
2) ĐK: sin x 0 k2 x k2
≥
⇔ π ≤ ≤ + ππ
PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0
cos x sin x 0
1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x
⇔
Mà sin x cos x 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x( )( sinx cos x) 2
1 sin x cos x 1 sin 2x
Vậy PT có nghiệm duy nhất x k2
4
π
Bài 2 : Ta có :
4 4 2 2
4 4 2 2
4 4 2 2
a b 2a b
b c 2b c
a c 2a c
2 a b c a b b c a b a c b c a c 2 ab c a bc abc 2abc a b c
+ ≥
+ ≥
+ ≥
Trang 11ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM 2012-2013
Môn: Toán Thời gian: 120 phút
A Phần giải tích
Bài 1 (2 điểm) Chứng minh x5 + (1 – x)5 ≥ (∀x ∈ R)
Bài 2 (2 điểm) Định m để (Cm): y = x4 + 2mx2 + m2 + m có 3 điểm cực trị của đồ thị A, B, C và ∆ABC cân và có 1 góc bằng 1200
Bài 3 (2 điểm) Giải hệ phương trình (x, y ∈ R):
2
3
1
x y x
x y
B Phần hình học
Bài 5 (1 điểm) Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi E, F là hai chân đường cao của hai ∆SAB, ∆SAC, vẽ từ A Chứng minh
=
Bài 6 (1 điểm) Cho tứ diện ABCD Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối mỗi đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện Chứng minh các hình chóp đỉnh G với các mặt đáy của tứ diện có thể tích bằng nhau
Bài 7 (2 điểm) Trong tất cả các lăng trụ tam giác đều có cùng diện tích toàn phần S Tìm cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ có thể tích lớn nhất
Hết
-(Lưu ý các em làm 2 phần giải tích và phần hình học ra giấy riêng)
Trang 12Đề thi học sinh giỏi lớp 10
Môn Toán Thời gian: 150 phút Câu 1(3 điểm) : Cho hàm số: f(x) = x2 – 2x -1
a) Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) từ đó suy ra đồ thị hàm số
( )
y= f x
b) Tìm m để phơng trình 2
x − x− = +m có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng: A∪ (B C∩ ) ( = A B∪ ) ( ∩ A C∪ )
b) Cho: A={x∈ Ζvới x là bội của 2 và 3 }
= x
B với x là bội của 6 }
Chứng minh rằng: A = B
Câu3 (2 điểm)
a) Giải phơng trình: 2
b) Giải hệ bất phơng trình: { 2 3
x y
+ ≤
− ≥
Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và
điểm B(3;2) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho:
a) Tam giác ABC vuông tại A Tính độ dài đờng cao AH khi
đó
b) Chu vi của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5 (1 điểm): Chứng minh rằng với x∈ −[ 1;1] ta có:
Trang 133 3
1 +x + 1 −x + 1 +x + 1 −x + 1 +x + 1 −x ≤ 6
-
Hết -Đáp án Câu 1(3 điểm) :
a
• Vẽ đúng ĐTHS: y= f x( ) =x2 − 2x− 1 có
Đỉnh (1;-2), trục đối xứng là đờng thẳng x=1
• Suy ra đồ thị hàm số y= f x( ) gồm hai phần
- Phần 1: Từ ĐTHS y=f(x) lấy phần trên trục hoành
- Phần 2: Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục hoành
Trang 14b Số nghiệm của phơng trình x2 − 2x− = + 1 m 1 là số giao điểm của
ĐTHS y= f x( ) và đờng thẳng y = m+1
Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có: ĐTHS y= f x( ) giao với đờng thẳng
y = m+1 tại 4 điểm phân biệt khi: 0 < + < ⇔ − < <m 1 2 1 m 1` 1,0
điểm
Câu 2 (2 điểm):
a Chứng minh : A∪ (B C∩ ) ( = A B∪ ) ( ∩ A C∪ )
Ta có: x A∈ ∪ (B C∩ ) ⇔
{x B
x C
x A
∈
∈
∈
x B
x A
x C
∈
∈
∈
∈
⇔ { x A B
x A C
∈ ∪
∈ ∪
⇔ x∈ ∪ (A B) ( ∩ A C∪ ) ⇒ đpcm 1,0 điểm
Trang 15b Cm: Giả sử x A∈ ta có: x là bội của 2 và 3 nên x=2k=3l (
,
k l Z∈ )
Vì 2 không phải là bội của 3 nên k là bội của 3 ta có: k=3k1 ( 1
k ∈Z )
Do vậy: x= 6k1 ⇔ x B∈ ta có A⊂B(1)
Mặt khác: x B∈ ⇔ x= 6m⇒ x A∈ ta cóB⊂A(2)
điểm
Câu3 (2 điểm)
c) Giải phơng trình: x+ = 2 x2 − 2 điều kiện x≥ − 2
Đặt y= x+ ≥ 2 0 ta có hệ{ 2
2
2 2
= +
= + , trừ từng vế của mỗi phơng trình ta đợc: (x y x y− )( + + = ⇔ 1) 0 x-y=0(*) hoặc x+y+1=0(**)
- Rút x từ phơng trình(*) thay vào 1 trong 2 phơng trình của hệ, kết hợp với các điều kiện , phơng trình đã cho có nghiệm x=2
- Rút x từ phơng trình(**) thay vào 1 trong 2 phơng trình của
hệ, kết hợp với các điều kiện , phơng trình đã cho có nghiệm
1 5
2
x=− −
Vởy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2 và 1 5
2
điểm
d) Giải hệ bất phơng trình: { 2 3
x y
+ ≤
− ≥
Trang 16Đa ra miền nghiệm của hệ bpt là miền không gạch (kể cả đờng biên)
1,0 điểm
Câu 4 (2 điểm): Điểm C trên trục Ox có tọa độ C(c;0) Ta có:
(2;1)
AB=
uuur
; uuurAC= − − (c 1; 1)
2
⇔uuur uuur= ⇔ − = ⇔ =
Vậy điểm C có tọa độ C( ;0)3
2
BC
điểm
b.Chu vi tam giác ABC: 2p = AB+AC+BC
Gọi A/ là điểm đối xứng với A qua Ox, khi đó Ox là đờng trung trực của AA/ nên: AC= A/C Vì AB không đổi nên chu vi nhỏ nhất khi A/C+CB nhỏ nhất⇔B,C, A/ thẳng hàng
Tọa độ A/(1;-1) Phơng trình đờng thẳng BA/: 3x-2y-5=0
Trang 17Tọa độ C là nghiệm của hệ: { 3 2 5 0
0
y
− − =
= ⇔ C( ;0)5
điểm
Câu 5 (1 điểm): Với x∈ −[ 1;1] áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
2
1 1.(1 ) (1 1 )
x
2
1 1.(1 ) (1 1 )
x
3
1 1.1.(1 ) (1 1 1 )
x
3
1 1.1.(1 ) (1 1 1 )
x
4
1 1.1.1.(1 ) (1 1 1 1 )
x
4
1 1.1.1.(1 ) (1 1 1 1 )
x
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ⇒ đpcm Dấu “=” xảy ra khi x=0
1,0 điểm