Đề thi học sinh giỏi thpt môn toán

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi trung học phổ thông khối 10, 11, 12. Giúp học sinh rèn luyện tốt hơn kĩ năng làm ôn tập, đánh giá năng lực bản thân. bộ đề theo chuẩn cấu trúc ôn thi phù hợp cho học sinh, giáo viên tham khảo và sử dụng làm tài liệu giảng dạy học tập.

Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/04/2013 Câu 1 (2,5 điểm) a) Cho hàm số y = x 2 - 3x + 2 và hàm số y = -x + m. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau. b) Giải bất phương trình: Câu 2 (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2). Đường thẳng Δ là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y - 1 = 0; Khoảng cách từ C đến Δ gấp 3 lần khoảng cách từ B đến Δ. Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung. b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng Câu 3 (2,5 điểm) a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: ; . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho biểu thức (b 2 MB 2 + c 2 MC 2 - 2a 2 MA 2 ) đạt giá trị lớn nhất. Câu 4 (2,5 điểm) a) Giải phương trình: b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh rằng: Câu I (1,5 điểm) 1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số 2) Cho các nửa khoảng Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó. Câu II (2,0 điểm) 1) Tìm m để phương trình |x 2 - 1| = m 4 - m 2 + 1 có bốn nghiệm phân biệt. 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: Câu III (2,5 điểm) 1) Giải phương trình 2) Giải hệ phương trình Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định bởi .Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm và Gọi và S tương ứng là diện tích của các tam giác và ABC. Chứng minh bất đẳng thức .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? Câu V (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ THI MÔN: TOÁN Bài 1 (6 điểm). a) Giải phương trình sau trên ¡: b) Giải bất phương trình sau: Bài 2 (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n + 26 và n - 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó. Bài 3 (3 điểm) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB = 2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB = 2KAC. Chứng minh rằng FL vuông góc với AC. Bài 4 (4 điểm) Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. Bài 5 (4 điểm) Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức: Đề 2 Câu 1. (2 điểm) 1.Tính: 2. Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm M(1;5) Câu 2: (3 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: với a>0,a 2. Giải hệ phương trình: 3. Chứng minh rằng pt: x 2 + mx + m - 1 =0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x 1 2 + x 2 2 - 4(x 1 + x 2 ) Câu 3: (1,5 điểm) Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải. Tính độ dài quãng đường AB. Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O), với P và Q là 2 tiếp điểm. Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K. 1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp. 2.Chứng minh KA 2 =KN.KP 3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc. 4. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK . Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R. Câu 5: (0,5điểm) Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn: Hãy tính giá trị của biểu thức: Sở GD & ĐT Nghệ An ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10 Trường THPT Diễn Châu 2 NĂM HỌC 2011-2012 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút, Không kể thời gian giao đề Câu I. (3,0 điểm ) Cho phương trình: x 2 – 2x – 1−x + m = 0 ( m là tham số ) (1) 1) Giải phuơng trình (1) khi m = -1 2) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt Câu II. (1,0 điểm ) Giải bất phương trình : ( x – 3) 4+x ≤ x 2 – 9 Câu III. (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình: 32 +x + 1+x - 352 ++ xx = 3x – 16 ( x ∈ R ) 2) Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ phương trình Câu IV. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC gọi A’ là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có : 2 .MA 'MA + MB . MC = 3MG 2 - 6 cba ++ ( biết a = BC, b = AC, c = AB ) 2) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có M(-1;3) là trung điểm của cạnh AC. Đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ A có phương trình lần lượt là 3x- y+1=0 và 7x+y-11=0. Viết phương trình đường thẳng AB. Câu V. (1 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≥ 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 5abc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề) I. PHẦN GIẢI TÍCH Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình: 2 2 1 1 2 3 16 0x x x x     + + + − =  ÷  ÷     b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: ( ) 2 2 1 4 3 0x m x m− − − − = là nhỏ nhất. Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 2 2 3 2x 3x 11 1 3x 2x 5 x y x − + + = − + − − Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì , , ,a b c d . Chứng minh rằng số a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + không phải là một số nguyên. II. PHẦN HÌNH HỌC Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD. a. Chứng minh rằng: 1 IG AB DM 3 = + uur uuur uuuur . b. Lấy J thỏa 2CJ 2AB JM= + uur uuur uuur . Chứng minh rằng IJ song song với AB. c. Giả sử AB a, BC 2a= = và · 0 ABC 60= . Tính độ dài của u AB 2AC= + r uuur uuur . d. Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: 2EA 3EB 5EC 2 ED EG− + = + uuur uuur uuur uuur uuur . Câu 1: a) 2 2 1 1 2 3 16 0x x x x     + + + − =  ÷  ÷     (1) ĐK: 0x ≠ Đặt 1 t x x = + 2 2 2 1 2x t x ⇒ + = − (1) 2 2 3 20 0t t⇔ + − = 4 5 2 t t  = −  ⇔  =   • 4 2 3t x= − ⇒ = − ± • 5 2 t = 2 1 2 x x  =  ⇒  =   b) ( ) 2 2 1 4 3 0x m x m− − − − = (2) • (2) có nghiệm 0 ⇔ ∆ ≥ 2 4 12 13 0m m⇔ + + ≥ ( ) 2 2 3 4 0,m m⇔ + + ≥ ∀ • Theo viet: 1 2 1 2 2 1 4 3 x x m x x m  + = −   = − −   • ( ) 2 2 2 2 1 2 4 4 7 2 1 6 6A x x m m m = + = + + = + + ≥ • 1 minA 6 2 m= ⇔ = − . Câu 4: Câu 2: 2 2 3 2x 3x 11 1 3x 2x 5 x y x − + + = − + − − y có nghĩa 2 2 2 3 2x 0 3x 11 0 1 0 1 3x 2x 5 0 x x  − ≥  + ≥  ⇔  − ≥   − + − − ≠  2 2 3 2 11 3 1 1 0 3x 2 x 5 0 x x x x  ≤    ≥ −  ⇔  ≤    − >    − − ≠    1 1x ⇔ − < < . a. ( ) 1 IG AG AI AB AC AC AD AM 3 = − = + − − − uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuuur ( ) 1 1 AB 2DM DM AB DM 3 3 = + + = + uuur uuuur uuuur uuur uuuur b. 2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB= + ⇔ − = − + uur uuur uuur uur uuur uuuur uur uuur 5 3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM 3 ⇔ = + + = ⇒ = uur uuur uuur uuuur uuuur uur uuuur Mà M là trung điểmcủa AD nên MJ 2 JD = . Gọi K là trung điểm của CD, ta có MI 2 IK = . Vậy ta có: MJ MI IJ // CD // AB JD IK = ⇒ . c. Kẻ AH vuông góc với BC. Ta có: 0 a BH AB.cos60 2 = = , 0 a 3 AH AB.sin60 2 = = . F H G J I R D M B C A Câu 3: Vì , , ,a b c d Z + ∈ nên a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d > + + + + + + + + + + + + + + + 1= Mà , , 0 1 x y z x y  >   <   x x z y y z + ⇒ < + . Thật vậy, 1 x y < x y ⇒ < xz yz⇒ < xy xz xy yz⇒ + < + ( ) ( ) x y z y x z⇒ + < + x x z y y z + ⇒ < + Nên a a d a b c a b c d + < + + + + + b b c a b d a b c d + < + + + + + c a c b c d a b c d + < + + + + + d d b a c d a b c d + < + + + + + Suy ra 2A < Do đó 1 2A< < A ⇒ không phải là một số nguyên. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 11 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1) 3 tg x tgx 1 4 π   − = −  ÷   (1,5đ) 2) 3 3 cos x sin x 2cos 2x sin x cos x − = + (1,5d) Bài 2 : Chứng minh rằng : ( ) 4 4 4 a b c abc a b c + + ≥ + + (2đ) Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn (C) : x 2 + y 2 – 6x + 2y – 6 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB là cạnh hình vuông có 4 đỉnh thuộc (C) ( 2 điểm ) Bài 4 : Giải Hệ phương trình : 2 2 2 6x 4xy x y 1 x y 1  − + − =   + =   (3đ) Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2012-2013 Bài 1 : 1) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 tgx 1 tgx 1 tg x tgx 1 tgx 1 tgx 1 1 0 4 tgx 1 tgx 1 tgx 1 tgx 1 tgx 0 tg x 4tg x 5tgx 0   −   π −     − = − ⇔ = − ⇔ − − =  ÷  ÷ +     −     = =   ⇔ ⇔   = − + =   2) ĐK: sin x 0 k2 x k2 cos x 0 2 ≥  π ⇔ π ≤ ≤ + π  ≥  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0 cos x sin x 0 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x   ⇔ − + − + + =   − =   ⇔ + = + +   Mà ( ) ( ) sin x cos x 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x sinx cos x 2 1 3 1 sin xcos x 1 sin 2x 2 2 + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + = + ≤ Vậy PT có nghiệm duy nhất x k2 4 π = + π Bài 2 : Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2a b b c 2b c a c 2a c 2 a b c a b b c a b a c b c a c 2 ab c a bc abc 2abc a b c  + ≥  + ≥   + ≥  ⇒ + + ≥ + + + + + ≥ + + = + + [...]... im) Trong tt c cỏc lng tr tam giỏc u cú cựng din tớch ton phn S Tỡm cnh bờn v cnh ỏy ca lng tr cú th tớch ln nht Ht -(Lu ý cỏc em lm 2 phn gii tớch v phn hỡnh hc ra giy riờng) Đề thi học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán Thời gian: 150 phút Câu 1(3 điểm) : Cho hàm số: f(x) = x2 2x -1 a) Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) từ đó suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) b) Tìm m để phơng trình x2 2 x 1 = m + 1 có 4 nghiệm... THI TUYN HC SINH GII 12 NM 2012-2013 Mụn: Toỏn Thi gian: 120 phỳt A Phn gii tớch Bi 1 (2 im) Chng minh x5 + (1 x)5 (x R) Bi 2 (2 im) nh m (Cm): y = x4 + 2mx2 + m2 + m cú 3 im cc tr ca th A, B, C v ABC cõn v cú 1 gúc bng . Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/04/2013 Câu 1 (2,5 điểm) a) Cho hàm số. GD & ĐT Nghệ An ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10 Trường THPT Diễn Châu 2 NĂM HỌC 2011-2012 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút, Không kể thời gian giao đề Câu I. (3,0 điểm. 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 5abc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề) I. PHẦN GIẢI TÍCH Câu 1: a)(1.5đ)