SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :“Phương pháp chứng minh bất đẳng thức”

PHẦN 1: MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn lớp 8, Tác giả: Họ tên: Phan Hồng Quang Nam Ngày/ tháng/ năm sinh: 11/4/1974 Trình độ chun mơn: Đại học Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng- Trường THCS Đại Đồng Điện thoại: 0974984635 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Đại Đồng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh khối 8, có trình độ khá, giỏi Học sinh lớp ơn thi vào cấp Giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học: 2014- 2015 HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Phan Hồng Quang TÓM TẮT SÁNG KIẾN Sáng kiến: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” chuyên đề nghiên cứu để phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi học sinh ôn thi vào cấp Chuyên đề nhằm trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp nâng cao lực học tập mơn Tốn, tiếp thu cách chủ động sáng tạo Đồng thời giải đáp thắc mắc, sữa chữa sai lầm hay gặp chứng minh bất đẳng thức Trong chuyên đề tổng hợp lại định nghĩa, tính chất bất đẳng thức mà học sinh học cung cấp thêm số tính chất nâng cao Tiếp theo tơi hệ thống lại phương pháp dùng để chứng minh bất đẳng thức (gồm 11 phương pháp), phương pháp nêu cách làm chung sau đưa ví dụ cụ thể nêu tập tương tự để học sinh vận dụng Ngồi tơi cịn đưa sồ tập tổng hợp, yêu cầu học sinh tự lựa chọn phương pháp chứng minh, đòi hỏi tính sáng tạo, giúp học sinh phát triển tư lơ gíc Với lí trên, tơi xin mạnh dạn trao đổi vài kinh nghiệm nội dung:“Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” mơn Tốn PHẦN 2: NỘI DUNG Cơ sở lý luận: Tốn học mơn học có ứng dụng hầu hết tất ngành khoa học tự nhiên lĩnh vực khác đời sống xã hội.Trong tốn học, nội dung khơng có khn mẫu cứng nhắc đơn điệu, phương pháp dạy học nghệ thuật sáng tạo, khơng có phương pháp Một điểm đổi phương pháp dạy học coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy đóng vai trị người giúp em hướng, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động, sáng tạo Chính vậy, mơn Tốn việc phát triển trí thơng minh cho em cần thiết Phấn đấu để dạy tốt mơn học nói chung mơn Tốn nói riêng nguyện vọng tha thiết đội ngũ giáo viên THCS Như biết, toán học khoa học suy diễn trừu tượng toán học THCS lại mang tính trực quan, cụ thể mục tiêu mơn Tốn trung học sở hình thành kiến thức toán học ban đầu rèn luyện kĩ toán cho học sinh, tạo sở phát triển tư phương pháp cho học sinh sau nghiên cứu sâu, rộng Một mặt khác tốn học cịn có tính thực tiễn Các kiến thức toán học bắt nguồn từ sống Mỗi kiến thức tốn học khái qt từ nhiều tình sống Dạy học toán trung học sở hồn thiện vốn có học sinh, cho học sinh làm ghi nhớ lại cách xác kiến thức tốn học ngơn ngữ kí hiệu tốn học Mỗi tiết học dịp để học sinh hình thành kiến thức kĩ mới, vận dụng cách sáng tạo nhất, thơng minh việc học tốn sau Chính vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thơng minh học sinh thơng qua học tốn Trong chương trình tốn trường trung học sở, học sinh lớp lớp việc chứng minh bất đẳng thức vấn đề nói phức tạp nhất, rèn cho người làm tốn trí thơng minh, sáng tạo, ngồi cần có khéo léo, kết cơng cụ sắc bén toán học Nhưng để chứng minh bất đẳng thức khơng đơn giản chút nào, học sinh, chí học sinh khá, giỏi em tỏ lúng túng chọn cho cơng cụ để chứng minh hiệu Trong việc đào tạo bồi dưỡng nhân tài toán học, việc dạy học theo chuyên đề toán sâu việc làm quan trọng Xuất phát từ lý luận thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức”, vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc dạy học toán nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý tơi chọn đề tài Thực trạng trước thực chuyên đề 2.1: Những thuận lợi khó khăn 2.1.1: Thuận lợi Thực tế tập chứng minh bất đẳng thức đa dạng, phong phú dạng toán hay, khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Cơ sở vật chất trang thiết bị, tài liệu tham khảo, đặc biệt phòng máy nhà trường tương đối chu đáo đầy đủ, giáo viên có điều kiện ứng dụng cơng nghệ thơng tin trình chiếu cách giải hay, cách giải khác nhau, giúp học sinh cập nhật nội dung kiến thức cách phong phú, đa dạng để công việc học tập học sinh đạt hiệu cao Trong năm gần Phòng giáo dục thường xuyên tổ chức lớp chuyên đề, hội thảo chuyên đề, giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ 2.1.2: Khó khăn Đa số học sinh sợ ngại học tốn, nhiều em cịn lười làm tập, không chịu đào sâu suy nghĩ, em cố gắng giải hết tập đơn giản mà thầy giao cho mang tính bắt buộc hời hợt, gặp phải tốn khó em bỡ ngỡ lúng túng cách giải nên đành cho qua Bài tập sách giáo khoa, sách tập đơn giản, chưa sâu, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu dạng toán này, nhiên học sinh chưa hệ thống phương pháp giải Việc rèn luyện tư tốn học khơng phải qua toán đơn giản dễ nhận biết mà cịn phải rèn luyện qua tốn khó để thấy hay, sáng tạo, thơng minh tốn học, từ có tình cảm với mơn, u thích mơn Tốn Khi dạy phần này, học sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn, mà nội dung giảng dạy chưa thống 2.2: Những giải pháp cũ thường thực Khi giảng dạy chuyên đề thấy giáo viên môn sử dụng kết hợp nhiều phương pháp: + Phương pháp giảng giải + Phương pháp vấn đáp + Phương pháp hoạt động nhóm + Phương pháp đặt giải vấn đề Những phương pháp giáo viên đưa vào giảng dạy, nhiên số thầy cô việc áp dụng chưa thật linh hoạt, giáo viên trung tâm mà chưa ý đến người học Học sinh tiếp thu thụ động, chưa tích cực tham gia khám phá kiến thức mà chép theo hướng dẫn giáo viên Nhiều em học sinh tâm dạng chứng minh bất đẳng thức khó quá, làm tập không dựa vào yếu tố nào, học cảm thấy chán khó hiểu Chính mà học sinh khơng thích thú, chất lượng khảo sát nội dung đầu học kỳ năm học: 2014- 205 sau: LỚP SĨ SỐ GIỎI KHÁ TRUNG BÌNH YẾU, KÉM 9A 30 SL 9B 33 % 10% SL % SL 26,7% % 26,7% SL 11 % 36,6% 6,1% 30,3% 14 42,4% 21,2% 10 Kết khảo sát cho thấy chất lượng giáo dục mơn Tốn nói chung nội dung toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng chưa đạt yêu cầu, mục tiêu chương trình giáo dục Vì tơi mạnh dạn đưa ra: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” Giải pháp thực Để đạt kết tốt người thầy phải có chuẩn bị chu đáo cho tập, tập đưa cho học sinh cần chọn lọc, dễ chuẩn bị cho khó, trước gợi ý cho sau Đặc biệt cần cung cấp thêm cho học sinh số kiến thức ( Định nghĩa, tính chất, phương pháp chứng minh,…) Sự gợi ý người thầy cần thiết, nhiên gợi ý phải từ dễ đến khó phù hợp, tránh gợi ý nhiều tính sáng tạo học sinh Sau tơi xin trình bày số kinh nghiệm dạy học sinh giải toán chứng minh bất đẳng thức mà tơi tích lũy q trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, ơn thi vào cấp 3.1 Một số vấn đề lý thuyết: 3.1.1 Định nghĩa: *) Các hệ thức a  b; a b +c *) Tính chất (Tính chất bắc cầu): a  b; b >c � a >c a  b; c >0 � a.c >b.c � *) Tính chất (Cùng nhân): � a  b; c b+d *) Tính chất (Trừ vế cho vế hai bất đẳng thức ngược chiều): a  b; c b-d *) Tính chất (Nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều): a  b �0; c >d �0 � a.c >b.d *) Tính chất (Nâng lên lũy thừa nguyên dương hai vế bất đẳng thức): +) Đối với phép lũy thừa bậc chẵn: n n a  b  � an >bn hay a  b � a >b ( n�Z , n chẵn ) +) Đối với phép lũy thừa bậc lẻ: a  b � an >bn ( n�Z , n lẻ ) *) Tính chất (Khai hai vế): +) Đối với phép khai bậc chẵn: a  b �0 � a  b ( Khai phương hai vế không âm ) Tổng quát: a  b �0 � 2n a  2n b ( n�Z ) +) Đối với phép khai bậc lẻ: a b � a >3 b Tổng quát: a  b � 2n1 a > 2n1 b ( n�Z ) *) Tính chất (Chia vế cho vế hai bất đẳng thức ngược chiều): a  b  ; 0 a b c a bc  a  ; b  ; c >0  +) abc �  a  b  c +) +) a +)  a  b    c  d  �  a  c   b  d 2    c2 b2  c2  2 a    d2 b2  d2 � a  b  c  d 2  a ; b ; c ; d  0 Dấu xảy ad = bc n n n �a  b � a  b � +) � � �2 �  a�0 ; b �0 ; n�N  a2 b2 c2 c b a +)   �   b c a b a c a2 b2 c2 a  b c   � +) b c c  a a  b +) 1 1 1   �   a  b c b c  a c  a  b a b c  2 +)  a  b  c �3 a  b  c  ( Mang hình bóng Bunhiacopski ) +)  a  b  b  c  c  a �8abc a b  a  b   +) x y xy  a�0 ; b �0 ; c �0 a b c a  b  c    +) x y z xyz 3.1.4 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: *) Phương pháp 1: Dùng định nghĩa   3 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a  b � a  b với a , b > Lời giải:     a3  b3 � a  b � a3  b3   a  b �0 3   �  a  b � a2  ab  b2   a  b ��0 � �   �  a  b 3a2  6ab  3b2 �0 � 3 a  b  a  b �0 Ln a, b >  a  b �0   3 Vậy a  b � a  b với a, b > 3 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a  b  abc �ab  a  b  c  với a, b, c > Lời giải: Xét hiệu hai vế: a  b3  abc  ab  a  b  c    a  b3   ab  c  a  b  c    a  b   a  ab  b   ab  a  b    a  b   a  b  �0 a,b > ;  a  b  �0 3 Vậy a  b  abc �ab  a  b  c  với a, b, c > Ví dụ 3: Chứng minh m, n, p, q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Lời giải: 2 m  m   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1 0         2 2 m  m  m  m     n     p     q     1 0 (luôn đúng) 2  2  2  2  10 Ta có: AC =a  b ; BD =c+d Ta chứng minh: AB.BC +CD.AD �AC.BD AB.BC �AB.CH Thật vậy: ۳ AB.BC 2.SABC AD.CK Tương tự ta có: AD.CD �۳ AD.CD 2.SACD Suy : AB.BC +AD.CD �2.SABCD  AC.BD a Suy ra: Vậy a    a  d   b  d  � a  b  c  d  c2 b2  c2    a  c2 b2  c2  2    d2 b2  d2 � a  b  c  d (với a,b,c,d > 0) Chú ý: Trong tứ giác có hai đường chéo vng góc, tổng tích hai cạnh liên tiếp với hai cạnh liên tiếp lại khơng nhỏ tích hai đường chéo Bình luận cho phương pháp 7:  Khi chứng minh bất đẳng thức nhiều không vận dụng phương pháp đại số vận dụng lời giải phức tạp, song bên cạnh ta vận dụng phương pháp đồ thị hình học để chứng minh làm cho toán trở nên đơn giản *) Phương pháp 8: Phương pháp tam thức bậc hai:  Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c ( a �0 ) Ta có:   b2  4ac +) Nếu   a f  x  � b� +) Nếu   f  x  a.�x  ��0 � 2a � +) Nếu   f  x  a. x  x1   x  x2  Trong trường hợp ta có bảng xét dấu f  x sau: x f  x x1 a f  x  ( Ngoài ) x2 a f  x  ( Trong trái ) a f  x  ( Ngoài ) Trong khoảng hai nghiệm f  x trái dấu với hệ số a, khoảng hai nghiệm f  x dấu với hệ số a Cách nhớ: “ Trong trái – Ngồi ” 23 Ví dụ 1: Chứng minh f  x, y   x  y  xy  x  y   (1) Lời giải: Ta có (1)  x  x y  1  y  y    y  1  y  y   y  y   y  y     y  1   Vậy f  x, y   với x, y Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f  x, y   x y  2 x  2 y  xy  x  xy Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   x y  x  y  xy  x  xy   ( y  1) x  y 1  y  x  y  Ta có 4 y 1  y   y  y  1  16 y  Vì a =  y  1  Vậy: f  x, y   (đpcm) 2 Ví dụ 3: Cho x2  x  y2  y  xy(1) Chứng minh:  y 1 � ;  x 1 � Lời giải: x2  x  y2  y  xy � x2   y  1 x   y2  y  (2) Phương trình (2) phương trình bậc hai với x a  ; b =-  y  1 ; c =y2  y Ta có:  x  b2  4ac  3y2  6y  Để phương trình (2) có nghiệm x ta phải có:  x �0 � 3y2  6y  1�0   2 � 3 y2  2y   �0 � 3 y  1 �4 �  y 1 � Vì vai trị x y đẳng thức (1) nên ta có:  x 1 � Vậy  y 1 � ;  x 1 � với x2  x  y2  y  xy Bình luận cho phương pháp 8:  Khi chứng minh bất đẳng thức ta vận dụng việc xét dấu tam thức bậc hai vận dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm *) Phương pháp 9: Phương pháp đặt biến phụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng:  x  1  x  2  x  3  x  4 �1 Lời giải: 24  x  1  x  2  x  3  x  4 �1 �  x  1  x  2  x  3  x  4  1�0    Đặt t = x2  5x  Ta có: � x2  5x  x2  5x   1�0 1 �� t 11 �۳0  t  t2 1 t2 ( Luôn ) Vậy  x  1  x  2  x  3  x  4 �1 Ví dụ 2: Cho a,b,c > Chứng minh a b c    (1) b c c a a b Lời giải: yz x zx y xy z ; b= ;c= 2 yz x zx y xy z    Ta có (1)  2x 2y 2z y z x z x y y x z x z y         3  (  )  (  )  (  ) 6  x x y y z z x y x z y z y x z y z x Bất đẳng thức cuối ( x  y 2;  2 ; y  z 2 ) x z Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a,b,c > a+b+c 1 1 Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: x  y  z 3 xyz , và: x  y  z 3 xyz   x  y  z .    9 Mà x+y+z < Vậy x y z   1   9 x y z (đpcm) Bình luận cho phương pháp 9:  Khi chứng minh bất đẳng nhiều ta sử dụng phương pháp đặt biến phụ để đưa toán chứng minh đơn giản  Nhiều không thực việc đặt biến phụ mà phải trải qua số thao tác biến đổi song đặt biến phụ  Việc chọn lựa biến phụ quan trọng, ta thường đạt biểu thức chứa làm biến phụ biểu thức chứa biến có lặp lại làm biến phụ để trở bất tam thức hay bất đơn giản  Khi đặt biến phụ ta phải xét điều kiện cho biến sở biểu thức đặt sở điều kiện biến cũ 25 *) Phương pháp 10: Phương pháp thứ tự biến: Ví dụ 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   2 bc ca ab Lời giải: Giả sử a �b �c  a  b �a  c �b  c c c b b a a � ; � ;  a b bc ca bc bc bc a b c a   �     ( a < b + c ) Cộng vế ta được: bc ca a b bc a b c    (với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác) Vậy bc ca a b Ta có: Bình luận cho phương pháp 10:  Khi chứng minh bất đẳng thức mà biến có vai trị nhau, ta thứ tự biến  Việc thứ tự cho biến giúp cho việc chứng minh bất đẳng thức trở nên đơn giản nhờ có thêm điều kiện thứ tự *) Phương pháp 11: Xét khoảng giá trị biến để chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh x  x3  x  x   Lời giải: +) Nếu x  x  Ta có: x   ; x5    x  1  x  x3  x  x  1 x5  � 0�  � x4  x3  x2  x   x 1 x 1 x  +) Nếu x  Ta có: x   ; x5    x  1  x  x3  x  x  1 x5  � 0�  � x4  x3  x2  x   x 1 x 1 +) Nếu x  hiển nhiên x  x3  x  x   Vậy ta có x  x3  x  x   Bình luận cho phương pháp 11:  Khi chứng minh bất đẳng thức, nhiều trường hợp ta xét khoảng giá trị biến để toán chứng minh bất đẳng thức trở nên đơn giản 3.2 Một số tập áp dụng theo phương pháp chứng minh:  Bài tập vận dụng cách chứng minh theo định nghĩa: ( PP1 ) Bài 1: Chứng minh rằng:  a  b2  �ab  a  b  Bài 2: Chứng minh rằng: a  4b  4c �4ab  4ac  8bc 8 3 5 Bài 3: Chứng minh rằng:  a  b  � a  b   a  b   Bài tập vận dụng chứng minh theo cách biến đổi tương đương: (PP2) Bài 4: Chứng minh rằng: 3 4 a)  a  b2  � b)  a  b   a  b  �2  a  b   a  b4  � a3  b3  Bài 5: Chứng minh rằng: 2 26 a) a  b  c �a  b  c  Bài 6: Chứng minh rằng: 2 2 2 b) a  b  c  d �a  b  c  d  a) a  b  c  �a  b  c b) a  b  �4ab a  b Bài 7: Chứng minh rằng: a  b  ab   8b với a > b >  Bài tập vận dụng chứng minh phản chứng: ( PP3 ) Bài 8: Cho ba số a, b, c khác đôi Chứng minh tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ  a  b  c  Bài 9: Chứng minh khơng có ba số dương a, b, c thỏa mãn ba bất đẳng b c a thức a   ; b   ; c   Bài 10: Chứng minh khơng có số a, b, c thỏa mãn ba bất đẳng thức b  c  a ; c  a  b ; a  b  c ; Bài 11: Chứng minh khơng có ba số dương a, b, c thỏa mãn ba bất đẳng thức 4a   b   ; 4b   c   ; 4c   a   ;  Bài tập vận dụng chứng minh quy nap: ( PP4 ) Bài 12: Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n ta có:    L  n �n n 1 2 Bài 13: Cho n   a1 , a , , a n 0 thoả mãn a1  a    a n  Chứng minh rằng: (1  a1 )(1  a )  (1  a n )  Bài 14: Cho n   , , bi  R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: (a1b1  a b2    a n bn ) (a12  a 22    a n2 )(b12  b22    bn2 ) Bài 15: Cho n   , , bi  R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: ( a1  a    a n a12  a 22    a n2 )  n n  Bài tập vận dụng bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức khác để làm bổ đề: ( PP5 ) Bài 16: Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ta 2 có: a  b  c   ab  bc  ca  a b c   2 bc ac ab 1 1   L   1,999 Bài 18: Chứng minh rằng: 1999 2.1998 3.1997 1999.1 2n  1 �� L �  Bài 19: Chứng minh rằng: � với  n  N , n  2n 3n  Bài 17: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:  Bài tập vận dụng chứng minh theo cách làm trội, làm giảm: ( PP6 ) Bài 20: Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n �2 ta có: 27 1 1    L  2 n n 1 1 Bài 21: Chứng minh rằng:    L  n  n    n 2 3 4 25  24   L   1 23 3 24  25 1 2n  L �  n  N , n  Chứng minh rằng: A  Bài 23: Cho A  � � � 2n  2n Bài 22: Chứng minh rằng:  Bài tập vận dụng chứng minh theo phương pháp đồ thị hình học: (PP7) Bài 24: Chứng minh rằng: a  b �b  c �b  a  c  với số dương a, b, c Bài 25: Chứng minh : c(a  c)  c(b  c)  ab , a b 0 b c  Bài tập vận dụng chứng minh theo phương pháp tam thức bậc hai: (PP8) Bài 22: Chứng minh rằng: x  x    Bài tập vận dụng chứng minh theo phương pháp đặt biến phụ: ( PP9 ) Bài 26: Chứng minh rằng:  x  1  x  3  x    x    �0 2 Bài 27: Chứng minh rằng: a  a  b   a  c   a  b  c   b c �0 Bài 28: Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Ta có: a b c   �3 bca acb abc  Bài tập vận dụng chứng minh theo phương pháp thứ tự biến: (PP10) Bài 29: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng: a b c   2 bc c  a a b 3 b) a  b  c  3abc  ab  a  b   bc  b  c   ac  a  c  a) Bài 30: Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) Bài 31: Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a  b  c  2abc   Bài tập vận dụng chứng minh theo phương pháp chia khoảng: ( PP11 ) Bài 32: Chứng minh rằng: a) x  x5  x  x3  x  x   b) x8  x  x  x   3.3 Bài tập tổng hợp bất đẳng thức: (Yêu cầu HS tự lựa chọn phương pháp chứng minh ) Chứng minh bất đẳng thức sau: Bài 1: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a) < < b) < < Bài 2: Chứng minh rằng:  a, b, c a) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) Bài 3: Cho < a  b  c Chứng minh rằng:b() + (a + c)  ()(a + c) 28 Bài 4: Cho a + b + c  Chứng minh rằng: ≥ Bài 5: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: + +  Bài 6: Cho a.b ≥ Chứng minh rằng: ≥ Bài 7: Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: ≥ Bài 8:  a, b, c, d Chứng minh rằng: 1< < Bài 9: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 b) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < Bài 10: Cho hai số a, b thoả a + b ≥ Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3 + b3 Bài 11: Chứng minh rằng: + + + …+ <  n  N Bài 12: Chứng minh rằng: + + + …+ <  n  N n ≥ Bài 13: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: ab + bc + ca = Chứng minh rằng:  a + b + c  Bài 14: Cho a > Chứng minh rằng: (1 + a)2≥ 16 Bài 15: Cho hai số a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a + b  ab Bài 16: Cho số a, b, c không âm Chứng minh rằng: a) (a + b + c)() ≥ b) (a + b + c)() ≥ Bài 17: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) b) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + Bài 18: Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n  N Bài 19: Cho a > b ab = Chứng minh rằng: ≥ Bài 20: Chứng minh rằng: –   Bài 21: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a) ()()( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc  Bài 22: Cho số a, b, c, d > thoả mãn + + + ≥ Chứng minh rằng: abcd  Bài 23: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ,chứng minh rằng: a) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) b) ≥ 2( ) Bài 24: Cho số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Chứng minh rằng: – ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ + Bài 25: Chứng minh 1.3.5….(2n – 1) < nn Bài 26: Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh rằng: a + b + c ≥ m  n  k a m b n c k  m n  k a n b k c m  m  n k a k b m c n Bài 27: Cho 2n số dương a1, a2,…., an b1, b2, …., bn Chứng minh rằng: Bài 28: Chứng minh rằng: ≤  a ≥ – , b ≥ – , c ≥ ,d > Bài 29:  n  N Chứng minh rằng:  29 a) <    n 1 n ( n 1) b) 1.2 …n <  2n     n n ( n 1) Bài 30: Cho m, n  N; m > n Chứng minh rằng: ( + )m > ( + )n Bài 31: Cho x1,x2,…xn > x1 + x2 + ….+ xn = Chứng minh rằng: ()()…( ) ≥ (n + 1)n Bài 32: Cho số a, b, c > Chứng minh rằng: + +  Bài 33: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc b) ≥ ≥ Bài 34: Cho ba số a, b, c tuỳ ý Chứng minh rằng: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc Bài 35: Cho số a, b, c thoả a + b + c ≤ Chứng minh rằng: a) + + ≥ b) + + ≥ Bài 36: Cho a, b, c > thoả a + b + c  k Chứng minh rằng: )≥3 Bài 37: Cho ba số a, b, c  Chứng minh rằng: ≥ Bài 38: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) + hb + hc ≥ 9r b) < Bài 39: Cho số a, b, c, d thoả mãn: b < c < d Chứng minh rằng: (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) Bài 40: Cho ax + by ≥ , x,y > Bài 41: Cho a3 > 36 abc = Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + a) Chứng minh rằng: f(x) > x b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca Kết thu sau áp dụng sáng kiến Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy cô giáo, giúp em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo phương pháp học để làm sở cho tập khác chứng minh bất đẳng thức Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói 30 lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải toán Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải tốn tổng hợp nhiều kiến thức Ngồi có nhiều toán giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Học sinh có hứng thú, đam mê tự giải tốn em tự đem lại niềm say mê giải tốn nói riêng học tốn nói chung cho thân mình, đặc biệt có nhiều em tự đặt cho tốn tương tự, tốn bạn trao đổi, đặc biệt nhiều em sưu tầm sáng tạo nhiều toán gắn liền với hình học Với phong cách trình bày vậy, đề tài mang lại nhiều hữu ích cho cá nhân dạy học sinh giỏi cũng, ôn thi học sinh vào cấp giúp em giỏi có thêm nhiều kiến thức, khơng việc chứng minh bất đẳng thức mà giúp cho em vận dụng tốt vào tốn cực trị giải phương trình, hệ phương trình, tạo hệ thống chặt chẽ liên kết dạng tập Học kỳ năm học: 2014- 2015 tiến hành áp dụng chuyên đề : “ Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” vào giảng dạy lớp 9A 9B Nhằm kiểm chứng kết quả, cuối học kỳ cho học sinh làm kiểm tra nội dung kết cụ thể sau : 30 GIỎI SL % 10 33,3 KHÁ SL % 14 46,7 TRUNG BÌNH YẾU SL % SL 16,7 % 3,3 33 12 15,2 LỚP SĨ SỐ 9A 9B 21,2 36,3 27,3 Kết muốn nói với áp dụng đề tài có kết tốt Khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh khá, giỏi khối 8, luyện tập, ôn tập cuối kì, cuối năm , đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi học sinh vào cấp 31 Đề tài tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên học sinh trường THCS Hiệu sáng kiến Trong trình áp dụng sáng kiến vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy: Học sinh rèn luyện kỹ tách, thêm bớt, biến đổi, kỹ lập luận, trình bày Khi gặp toán chứng minh bất đẳng thức học sinh khơng cịn lúng túng nữa, mà biết tìm cho phương pháp phù hợp để giải, từ học sinh quen dần với chứng minh bất đẳng thức khó làm tiền đề cho phát triển tư toán học Chứng minh bất đẳng thức dạng tốn hay khó, để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức thân giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xun bổ xung kiến thức, hiểu nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức Người thầy cần phát huy tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh, từ em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng giải toán đắn 32 PHẦN III: KẾT LUẬN Kết mà sáng kiến mang lại Qua triển khai đánh giá học sinh chuyên đề: “ Phương pháp chứng minh bất đẳng thức ” nhận thấy: Chuyên đề giúp học sinh hình thành lên cách giải tốn chứng minh bất đẳng thức, từ học sinh giải toán tương tự cách dễ dàng Học sinh có kỹ biến đổi biểu thức, củng cố thêm phép biến đổi tương đương bất đẳng thức bất phương trình, tránh biến đổi khơng tương đương Đối với tốn bất đẳng thức có điều kiện học sinh biết khai thác giả thiết ban đầu để làm xuất bất đẳng thức hay đẳng thức phục vụ cho chứng minh Đối với tốn bất đẳng thức khơng chặt học sinh biết điều kiện xảy dấu từ vận dụng tốt tốn giải phương trình toán cực trị Chuyên đề giúp học sinh nâng cao tư sáng tạo, lòng say mê với tốn học , giúp học sinh có thói quen nghiên cứu tìm tịi để đạt kết cao học tập Qua chuyên đề giúp thân nâng cao thêm kinh nghiệm dạy học, tạo điều kiện để trao đổi, học hỏi kinh nghiệm khác đồng nghiệp Khuyến nghị đề xuất với cấp quản lý vấn đề có liên quan đến áp dụng phổ biến sáng kiến 33 Trong thực tế giảng dạy, để thực tốt chuyên đề: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” mạnh dạn có số đề xuất, kiến nghị sau: Đối với giáo viên: Phải người có nhìn tổng qt mơn tốn bậc học mình, cập nhật thường xun thuật tốn, lên kế hoạch giảng dạy cách chi tiết, chuẩn mực, phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo, thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Phải hiểu nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cần có thời gian để triển khai tới học sinh khá, giỏi từ lớp Cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp, phù hợp với đối tượng học sinh Cần phát huy tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh, đặc biệt phải kích thích em say sưa học tập, tự giác học tập, từ em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng giải toán đắn phát huy tố chất tốt Đối với học sinh: Địi hỏi em phải có nỗ lực lớn Một tâm học tập hết khả thân Đối với Ban giám hiệu: Cần quan tâm tạo điều kiện tốt sở vật chất trang thiết bị, tài liệu tham khảo, đặc biệt phịng máy để giáo viên có điều kiện ứng dụng cơng nghệ thơng tin, trình chiếu cách giải hay, cách giải khác nhau, giúp học sinh cập nhật nội dung kiến thức cách phong phú, đa dạng để công việc học tập học sinh đạt hiệu cao Đối với Phòng giáo dục: Nên tổ chức thường xuyên lớp chuyên đề, hội thảo chuyên đề để giáo viên trừờng trao đổi, bàn luận vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên có điều kiện học hỏi, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Trên sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp chứng minh bất đẳng thức ” mà tơi tìm hiểu, nghiên cứu, chọn số ví dụ, tập minh 34 họa chắn chun đề khơng tránh khỏi sơ suất Chính vậy, tơi mong có đóng góp, bổ sung đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện việc áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy có hiệu Tôi xin chân thành cám ơn! Ngày tháng năm 2017 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán 8, Sách tập toán 8,9 Sách giáo viên toán 8,9 Để học tốt đại số (Nguyễn Vĩnh Cận- Vũ Thế Hựu- Hồng Chúng) 500 tốn chọn lọc (Nguyễn Ngọc Đạm- Nguyễn Quang Hanh- Ngô Long Hậu) Bất đẳng thức toán cực trị (Trần Đức Huyên) Nâng cao phát triển toán 8, (Vũ Hữu Bình) Các tốn bất đẳng thức (Nguyễn Đức Tấn) 35 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU Thơng tin chung sáng kiến Tóm tắt sáng kiến PHẦN 2: NỘI DUNG Cơ sở lý luận Thực trạng trước thực chuyên đề 2.1 Những thuận lợi khó khăn 2.2.Những giải pháp cũ thường thực Giải pháp thực 3.1 Một số vấn đề lý thuyết 3.1.1.Định nghĩa 3.1.2 Các tính chất bất đẳng thức 3.1.3 Các bất đẳng thức số bđt kinh điển 3.1.4 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Phương pháp 1: Dùng định nghĩa - Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương - Phương pháp 3: Phương pháp phản chứng - Phương pháp 4: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức kinh điển - Phương pháp 6: Phương pháp làm trội, làm giảm - Phương pháp 7: Phương pháp đồ thị hình học - Phương pháp 8: Phương pháp tam thức bậc hai - Phương pháp 9: Phương pháp đặt biến phụ - Phương pháp 10: Phương pháp thứ tự biến - Phương pháp 11: xét khoảng giá trị biến 3.2 Một số tập vận dụng theo phương pháp 3.3 Bài tập tổng hợp bất đẳng thức Kết thu sau áp dụng sáng kiến Khả áp dụng sáng kiến Hiệu sáng kiến PHẦN 3: KẾT LUẬN Kết mà sáng kiến mang lại Khuyến nghị đề xuất với cấp quản lý Trang 4 6 6 10 10 11 13 15 17 19 21 23 24 26 26 26 28 31 32 32 34 34 36 37