Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

ĐẠI SỐ Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: a c = (hoặc a : b = c : d) b d Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: a c Tính chất 1: Nếu = ad = bc (Tích trung tỉ = Tích ngoại tỉ) b d ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau: Tính chất 2: Nếu a c a b d c d b = , = , = = , b d c d b a c a Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c a+c a−c = -Tính chất: Từ = suy ra: = = b d b d b+d b−d -Tính chất mở rộng cho dãy tỉ số nhau: a c e a c e a +b + c a −b + c = = = = = = = suy ra: b d f b d f b+d + f b−d + f (giả thiết tỉ số có nghĩa) a b c * Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, 5 Ta viết a : b : c = : : Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I/ DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ HẠNG CHƯA BIẾT TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC x y Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết = x + y = 20 Giải Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt = = k , suy ra: x = 2k , y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = Do đó: x = 2.4 = y = 3.4 = 12 KL: x = , y = 12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 20 = = = =4 2+3 x Do đó: = ⇒ x = y = ⇒ y = 12 KL: x = , y = 12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y Từ giả thiết = ⇒ x = 3 2y + y = 20 ⇒ y = 60 ⇒ y = 12 mà x + y = 20 ⇒ 2.12 =8 Do đó: x = KL: x = , y = 12 x y y z = x − y + z = Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: = , Giải x y x y Cách 1: Từ giả thiết: = ⇒ = (1) 12 y z y z = ⇒ = (2) 12 20 x y z Từ (1) (2) suy ra: = = (*) 12 20 x y z 2x y z 2x − y + z = = = = = =3 Ta có: = = 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 x Do đó: = ⇒ x = 27 y = ⇒ y = 36 12 z = ⇒ z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 x y z = k ( sau giải cách VD1) Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt = = 12 20 Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) y z 3z = ⇒ y= Từ giả thiết: 5 3z x y y z = ⇒x= = = 4 20 9z 3z z − + z = ⇒ = 60 ⇒ z = 60 20 10 3.60 9.60 = 36 , x = = 27 Suy ra: y = 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: = x y = 40 Giải x y Cách 1: (đặt ẩn phụ): Đặt = = k , suy x = 2k ; y = 5k Theo giả thiết: x y = 40 ⇒ 2k.5k = 40 ⇒ 10k = 40 ⇒ k = ⇒ k = ±2 + Với k = ta có: x = 2.2 = y = 5.2 = 10 + Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = , y = 10 x = −4 , y = −10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Vì x.y = 40 => x ≠ x y Nên nhân hai vế = với x ta được: x xy 40 = = = ⇒ x = 16 ⇒ x = ±4 5 y 4.5 = 10 + Với x = ta có = ⇒ y = −4 y −4.5 = ⇒ y= = −10 + Với x = −4 ta có KL: x = , y = 10 x = −4 , y = −10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tìm số x, y, z biết x y z x−2 x+4 = = = a b x + y − z = 28 10 21 x −1 x + c x = y ; y = z x − y + z = d x : y : z = 12 :9:5 xyz = 20 10 14 x + 16 y − 25 z + = = e x − = y − = z − 21 xyz = 6720 f x3 −1 = 15 16 25 Bài Tìm số x,y,z biết a) x : y : z = 3: :5 z − 3x − y = 594 b) ( x −1) = ( y − ) ; ( y − ) = ( z − 3) x + y − z = 50 12 x −15 y 20 z −12 y 15 y − 20 z = = c) x + y + z = 48 11 Bài Tìm số x,y,z biết : mà x − y + z = ⇒ x y a) y = ; = x − y + z = z x + y − 2 x + y −1 = = c) 6x 1+ y 1+ y 1+ y = = e) 18 24 6x Bài 4: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z = = a) x + y − z = 28 10 21 2x 3y 4z = = c) x + y + z = 49 x y e) = x − y = Bài 5: Tìm số x, y, z biết rằng: a) 3x = y , y = z x − y + z = 32 c) x = y = z x + y − z = 95 1+ y 1+ y 1+ y = = 13 19 5x 1+ y 1+ y 1+ y = = d) 18 24 6x b) x y y z = , = x + y − z = 124 x y d) = xy = 54 x y z f) y + z + = z + x + = x + y − = x + y + z b) x −1 y − z − = = x + y − z = 50 x y z d) = = xyz = 810 b) y + z +1 z + x + x + y − = = = 10 x = y x − y = −28 f) x y z x+ y+z Bài 6: Tìm số x; y; z biết rằng: x x y = a) y = 5x – 2y = 87; b) 2x – y = 34; 19 21 2x + 3y − 2x + 3y −1 x y3 z3 = = = = b) x2 + y2 + z2 = 14 c) 6x 64 216 Bài 7: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 8: Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Hướng dẫn: a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 Bài Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng a b ? Hướng dẫn: Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75 a b c , , Bài 10: Cho ba tỉ số nhau: Biết a + b + c ≠ Tìm giá trị b +c c +a a +b tỉ số ? e) II/ DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức: A C = ta thường dùng số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số A C có giá trị B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức (*) Một số kiến thức cần ý: a na (n ≠ 0) +) = b nb n n a c a  c  +) = ⇒  ÷ =  ÷ b d b d  +) a.b + a.c = a( b+ c) a.b - a.c = a( b - c) (*) Một số ví dụ : ( giả thiết tỉ số có nghĩa) a c a+b c+d = Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức = Chứng minh rằng: b d a −b c − d Giải: Cách 1: (Phương pháp 1) Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd (1) (a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd (2) a c Từ giả thiết: = ⇒ ad = bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d ) ⇒ a+b c+d = a −b c − d (đpcm) Cách 2: (Phương pháp 2) Đặt a c = = k , suy a = bk , c = dk b d a + b kb + b b(k + 1) k + Ta có: a − b = kb − b = b(k − 1) = k −1 c + d kd + d d (k + 1) k + = = = c − d kd − d d (k − 1) k −1 Từ (1) (2) suy ra: a +b c +d = a −b c −d (1) (2) (đpcm) Cách 3: (phương pháp 3) Từ giả thiết: a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a +b a −b ⇒ a +b c + d = = = = c d c+d c−d a −b c −d (đpcm) Hỏi: Đảo lại có khơng ? Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c = b d Chứng minh rằng: ab a − b2 = cd c − d Giải: Cách 1: Từ giả thiết: a c = ⇒ ad = bc b d (1) ab ( c − d ) = abc − abd = acbc − adbd Ta có: cd ( a − b2 ) = a 2cd − b 2cd = acad − bc.bd Từ (1), (2), (3) suy ra: Cách 2: Đặt Ta có: +) ab ( c − d ) = cd ( a − b ) a c = = k , suy a = bk , c = dk b d ab bk.b kb b = = = cd dk.d kd d (2) (3) ab a − b ⇒ = (đpcm) cd c − d (1) 2 a − b2 (bk )2 − b2 b k − b b ( k −1) b = = = = +) c − d (dk )2 − d d k − d d ( k −1) d Từ (1) (2) suy ra: ab a − b2 = cd c − d (2) (đpcm) a c a b = ⇒ = b d c d Cách 3: Từ giả thiết: ab a b2 a − b ⇒ = = = cd c d c − d ⇒ ab a − b = cd c − d (đpcm) a c a + b ab = Chứng minh rằng: = Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức : 2 b d c +d cd Giải a + b ab = 2ab = a + 2ab + b2 = ( a + b ) = ab ⇒ ( a + b ) ( a + b ) = a.b = Ta có : ; 2 c + d cd 2cd c + 2cd + d ( c + d ) cd ( c + d ) ( c + d ) c.d c ( a + b ) b ( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd = = = = =1 a ( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bd a c ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ = (dpcm) b d ⇒ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài Cho tỉ lệ thức a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết b d tỉ số có nghĩa ) 2a + 7b 2c + 7d = a) 3a − 4b 3c − 4d a + b2  a +b  = c)  ÷ c2 + d c+d  2015a − 2016b 2015c − 2016d = 2016c + 2017d 2016a + 2017b ab  2a + 3b  7a + 5ac 7b + 5bd = = d) e) cd  2c + 3d ÷ 7a − 5ac 7b − 5bd a c Bài Cho a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) ; b, d ≠ Chứng minh rằng: = b d a2014 a1 a2 a3 Bài Cho dãy tỉ số : a = a = a = L = a Chứng minh : 2015 b) 2014 a1  a1 + a2 + a3 + L + a2014  = a2015  a2 + a3 + a4 + L + a2015 ÷ a8 a9 a1 a2 Bài 4: Cho a = a = = a = a a1 + a2 + + a9 ≠ CMR: a1 = a2 = = a9 a c Bài Cho = số x, y, z, t thỏa mãn ax + yb ≠ zc + td ≠ b d xa + yb xc + yd = Chứng minh : za + tb zc + td a c 2a + 13b 2c + 13d = Bài Cho tỉ lệ thức Chứng minh : = b d 3a − 7b 3c − 7d a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d tỉ số có nghĩa) Bài 7: Cho tỉ lệ thức: 3a + 5b 3c + 5d = 1) 3a − 5b 3c − 5d a + b2  a+b  = 2)  ÷ c2 + d c+d  ab ( a − b ) = 4) cd ( c − d ) 2 a −b c −d = 3) a+b c+d 5) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d 6) 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 2007d 2006a + 2007b 7) a c = a+b c+d 8) 7a + 5ac 7b + 5bd = 7a − 5ac 7b − 5bd 7a + 3ab 7c2 + 3cd = 9) 11a −8b 11c2 −8d a b c Bài 8: Cho = = Chứng minh rằng: b c d Bài 9: Cho a  a+b+c  b+c+d ÷ = d   a b c = = Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a)2 2003 2004 2005 a b a + b2 a = = Bài 10: Chứng minh : b d b +d2 d Bài 11: CMR: Nếu a = bc Bài 12: Cho a +b c+ a = a −b c −a Đảo lại có khơng? a c a+b c+d = Chứng minh = b d a −b c −d Bài 13: Chứng minh nếu: u + v+3 = u −2 v −3 u v = Bài 14: Chứng minh a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) ,trong a, b,c khác y−z z−x x− y khác : a(b − c) = b(c − a) = c(a − b) Bài 15: Cho a c = Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ zc + td ≠ b d Chứng minh rằng: xa + yb xc + yd = za + tb zc + td Bài 16: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b2 = ac ; c = bd b3 + c3 + d ≠ Chứng minh rằng: a + b3 + c a = b3 + c + d d a b c ax + bx + c Chứng minh a = b = c a1 x + b1 x + c1 1 không phụ thuộc vào x Bài 17: Cho P = Bài 18: Cho biết : a b' + =1 ; a' b giá trị P b c' + = Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = b' c a c = b d x y z bz − cy cx − az ay − bx = = = = Bài 20: Cho dãy tỉ số : ; CMR: a b c a b c Bài 19: Cho tỉ lệ thức: 2a +13b 2c +13d = ; 3a − 7b 3c − 7d Chứng minh rằng: III/ DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC (*) Một số kiến thức cần ý: - Tính chất dãy tỉ số - Tính chất phân số - Các cơng thức lũy thừa (*) Một số ví dụ : x 3x − y Ví dụ : Cho tỉ lệ thức x + y = Tính giá trị tỉ số y Bài giải: Cách : 3x − y Từ x + y = ⇒ 4(3x – y) = 3(x+y) ⇔ 12x – 4y = 3x + 3y ⇔ 12x – 3y = 3(x+y) ⇔ 9x = 7y x Vậy y = 3x −1 3x − y y = Cách 2: Từ x + y = ⇒ x +1 y x 3a −1 = Đặt y = a ⇒ a +1 ⇒ 4(3a − 1) = 3(a + 1) ⇒ 12a − = 3a + ⇒ 12a − 3a = + ⇒ 9a = ⇒ a = x Vậy y = 9 Ví dụ 2: Cho y+z−x x y z = = Tính giá trị biểu thức P = x− y+ z Cách 1: x y z Đặt = = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k ≠ 0) 3k + 4k − 2k 5k P= = = 2k − 3k + 4k 3k Vậy P = Cách : x y z y+ z−x y+ z−x x− y+z x− y+z = = = Có = = = 3+ − −3+ y+ z−x x− y+ z y+z−x ⇒ = ⇒ = x− y+ z Vậy P = a b c d = = = Ví dụ : Cho dãy tỉ số Tính giá b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a +b b+c c +d d +a + + + trị biểu thức M = c+d a+d a+b b+c Bài giải: a b c d = = = Từ b+c + d a +c +d a +b +d b +c + a a b c d ⇒ +1 = +1 = +1 = +1 b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a+b+c +d a +b+c+d a+b+c+ d a+b+c +d ⇒ = = = (*) b+c+d a+c+d a +b+ d b+c+a +) Xét a + b + c + d = ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d ) ⇒ M = −4 +) Xét a + b + c + d ≠ Từ (*) ta có : b+c+d = a+c+d = a+b+d = b+c+a ⇒a =b=c =d ⇒M =4 a+b b+c c+a = = Ví dụ 4: Cho a , b ,c đôi khác thỏa mãn Tính giá trị c a b a  b  c   biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ b  c  a   Bài giải: a+b b+c c+a a+b b+c c+a = = ⇒ +1 = +1 = +1 Từ c a b c a b a +b+c a +b+c a +b+c ⇒ = = (*) c a b 10 +) Xét a + b + c = ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a a + b b + c a + c −c −a −b −abc P= × × = × × = = −1 b c a b c a abc +) Xét a + b + c ≠ Từ (*) ta có : a =b =c⇒ P =8 ab bc ca = = Ví dụ : Cho số a;b;c khác thỏa mãn Tính giá trị biểu a+b b+c c+a ab2 + bc + ca thức P = a + b3 + c Bài giải : ab bc ca = = Với a, b, c ≠ ta có : a+b b+c c+a a+b b+c c+a 1 1 1 ⇒ = = ⇒ + = + = + ab bc ca b a c b a c 1 ⇒ = = ⇒ a = b = c ⇒ P =1 a b c BÀI TẬP VẬN DỤNG: an −1 an a1 a2 a3 Bài Cho a = a = a = L = a = a (với a1 + a2 + L + an ≠ ) n a12 + a12 + L + an2 a19 + a29 + L + an9 A = B = Tính : ; ( a1 + a2 + L + an ) ( a1 + a2 + L + an ) Bµi 2: Cho a, b, c số hữu tỉ khác cho: a+b-c a-b+c -a+b+c = = c b a (a+b)(b+c)(c+a) abc a a a1 a = = = 2007 = 2008 Bài 3: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+…+a2008 ≠ v a2 a3 a 2008 a1 Tìm giá số cđa biĨu thøc: M = a12 +a 22 + a 22007 +a 22008 Hãy tính giá trị biểu thức: N= (a1 +a + +a 2007 +a 2008 ) a b c ax2 +bx+c = = Bài 4: Cho P = Chứng minh a1 b1 c1 a1x +b1x +c1 Thì giá trị P không phụ thuộc vào giá trị x Bài 5: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d 11 a +b b+c c +d d +a + + + c+d d +a a+b b+c Bài 6: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt = = = ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t TÝnh M = IV/ DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm abc , ( ĐK : a, b, c ∈ N *,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b, c ≤ ) ⇒ ≤ a + b + c ≤ 27  abcM abc M 18 ⇒ ( 18=2.9 ƯCLN(2;9)=1 )  +)  abcM +) Các chữ số số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; Mà abcM2 ⇒ cM2 => a; b; c tỉ lệ với 1; 3; a; b; c tỉ lệ với 3; 1; a b c a +b +c a +b +c = ⇒ a + b + cM6 +) Nếu a;b;c tỉ lệ với 1; 3; = = = 1+ + Lại có abc ⋮ ⇔ a + b + c ⋮ Mà ≤ a + b + c ≤ 27 Nên a + b + c = 18 a =  a b c ⇒ = = = ⇒ b = (Thỏa mãn điều kiện)  c = a =  +) Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; ⇒ b = (Thỏa mãn điiều kiện)  c = Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm 396; 936 Ví dụ 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh Nếu rút lớp 7A số học sinh, 1 số học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại 3 lớp Tính số học sinh lớp ban đầu rút lớp 7B 12 Lời giải Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A, 7B, 7C x, y, z (học sinh) ĐK: x, y, z ∈ N *, x, y, z < 144 +) Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh ⇒ x + y + z = 144 +) Nếu rút lớp 7A 1 học sinh, rút lớp 7B học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại lớp x= y= z Nên ta có 3 x y z x + y + z 144 => x = y= => = = = = =6 24 42 18 z + + 24  x = 48 =>  y = 42 (Thỏa mãn điều kiện)  z = 54  Vậy số học sinh lúc đầu lớp 7A, 7B, 7C 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh Ví dụ 3: Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Tìm số học sinh tổ Lời giải Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A x, y, z.(học sinh) ĐK: x, y, z ∈ N *, x, y, z < 52 +) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52 +) Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3) ( x – 1) ( y – ) ( z + 3) => = = 12 12 12 ( x – 1) = ( y – ) = ( z + 3) => x − y-2 z + x + y + z 52 => = = = = =4 13 13  x − = 16  x = 17  ⇒  y − = 12 =>  y = 14 (Thỏa mãn điều kiện)  z + = 24  z = 21   Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh 13 Ví dụ 4: Tìm ba phân số có tổng −3 Biết tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 70 mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1; a c e Gọi ba phân số cần tìm b , d , g Theo đầu ta có a : c : e = 3:4 :5; Lời giải với b : d : g = 5: 1: +) a: c : e = : : => ⇒ a = 3k ,c = 4k , e = 5k a c e + + = −3 b d g 70 a c e = = = k với k ∈ Z +) b : d : g = : : => ⇒ b= 5t, d = t, g = 2t a, b, c, d , e, g ∈ Z ; b, d , g ≠ b d g = = = t với t ∈ Z , t ≠ a c e 3k 4k 5k −213 +) b + d + g = −3 70 => + + = 5t t 2t 70 k 71 −213 k −3 ⇒ = => = t 10 70 t a −9 c −12 e = −15 ⇒ = , = , b 35 d g 14 −9 −12 −15 Vậy ba phân số cần tìm , , 35 14 Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào? Lời giải Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , chiều cao tương ứng a.ha b.hb c.hc = = => a 2 +) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; a b c => = = = k ( k ≠ o ) => a = 2k, b = 3k v c = 4k (1) =>2k = 3k = 4k Diện tích tam giác là: = b = c (1) ⇒ 2ha = 3hb = 4hc => 2ha = 3hb = 4hc 12 12 12 hb hc ⇒ = = => , tỉ lệ với 6; ; Vậy độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; ba chiều cao tương tứng với ba cạnh tỉ lệ với 6; 4; 14 qng đường tơ tăng vận tốc thêm 20% Do tơ đến B sớm 10 phút Tính thời gian tơ từ A đến B Lời giải Gọi vận tốc dự định x, vận tốc tăng y ( x,y > 0) 120 y x => = Ta có y = 100 x Gọi C trung điểm AB Ơ tơ đến B sớm dự định 10 phút nhờ tăng vận tốc từ điểm C Nếu ô tô từ C đến B với vận tốc x thời gian Ví dụ 6: Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau Nếu ô tô từ C đến B với vận tốc y thời gian y t y Thì x = y => = mà = x t2 x t1 = 60 t t t t −t => t1 = => = = = 10 =>  6−5 t2 = 50 =>Thời gian ô tô nửa đường AB với vận tốc tăng hết 50 phút Thời gian ô tô nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút Vậy thời gian ô tô từ A đến B 60 + 50 = 110 (phút) Ví dụ 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải 186m, giá tiền mét vải ba cuộn Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ nhất, 3 cuộn thứ hai, cuộn thứ ba Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; Tính xem ngày cửa hàng bán mét vải cuộn Lời giải Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z (m) ĐK: 0< x, y, z < 186 +) Tổng chiều dài ba cuộn vải 186m => x + y + z = 186 + Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba => Trong ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba x y 2z , , (mét) 3 +) Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; giá tiền mét vải ba cuộn => Số mét vải bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; x y 2z 2x y 2z = => : : = :3: => = 3 12 10 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x = 72  =>  y = 54 ( Thỏa mãn điều kiện )  z = 60  x y z x + y + z 186 = = = = =6 12 10 12 + + 10 31 Vậy ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba : 24; 36; 24 (mét) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ; ; 3 Bài Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng tử tương ứng tỉ lệ 196 với , mẫu tương ứng tỉ lệ với Bài Cho ∆ABC góc ngồi tam giác A,B,C tỉ lệ với ; ; Các góc tương ứng tỉ lệ với số ? Bài Trong đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển 912m3 đất Trung bình học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm 1,2m3 ; 1,4m3 ; 1,6m3 Số học sinh khối khối tỉ lệ với 3, số học sinh khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối ? Bài Quãng đường AB dài 76m, người thứ từ A đến B người thứ hai từ B đến A Vận tốc người thứ vận tốc người thứ hai (đến lúc 10 gặp nhau) Thời gian người thứ thời gian người thứ hai Tính 11 quãng đường người ? Bài Số học sinh khối 6, 7, 8, trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? 16 17