CHUYÊN ĐỀ : TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 1 Cơ sở lý luận * Mục tiêu đào tạo của trường THCS là phải trau dồi cho học sinh những kiến thức và kỹ năng cơ bản c[.]

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở lý luận * Mục tiêu đào tạo trường THCS phải trau dồi cho học sinh kiến thức kỹ mơn học nhằm góp phần giáo dục tồn diện cho em, sở em vận dụng sáng tạo vào đời sống kỹ thuật * Tốn học mơn khoa học vơ quan trọng, tảng cho việc học tập mơn khác kiến thức tốn vận dụng nhiều thực tiễn Vì vậy, việc truyền thụ kiến thức mơn cho học sinh góp phần khơng nhỏ việc hoàn thành mục tiêu đào tạo cấp học * Để nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng, việc giúp học sinh nắm vững lý thuyết cần phải rèn luyện kỹ vận dụng ứng dụng lý thuyết vào giải tập cách thành thạo Việc hình thành cho học sinh phương pháp giải tập theo chủ đề, theo mảng kiến thức giúp học sinh tiếp cận nhanh với đề ra, từ phán đốn phương án giải tập cách nhanh Vì vậy, việc phân loại tập vô cần thiết học sinh 1.2 Cơ sở thực tiễn * Trong trình dạy học Tốn THCS tơi nhận thấy: nhiều kiến thức chương trình trình bày cách khái lược, hình thành cho học sinh kiến thức Tốn học ban đầu mà không sâu vào khai thác vận dụng Vì vậy, phần lớn học sinh chưa thực nắm vững, hiểu sâu kiến thức, việc rèn luyện kỹ giải tập q trình bồi dưỡng phụ đạo gặp khơng khó khăn Và nguyên nhân gây nên tượng nắm không sâu sắc, không bền vững nội dung kiến thức học * Trong chương trình Tốn lớp phần “Tính chất dãy tỉ số nhau” thấy nội dung kiến thức khơng khó lại có hệ thống tập đa dạng, phong phú thường dùng kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THCS Việc hệ thống hóa kiến thức, tập hướng dẫn học sinh giải tập tỉ lệ thức cách có hệ thống điều cần thiết, giúp học sinh nắm vững kiến thức, nắm vững phương pháp giải, tăng hiệu học tập khả tư học sinh, để từ học sinh tích cực chủ động việc tiếp cận tri thức, đồng thời giúp học sinh rèn luyện số kỹ giải tập tỉ lệ thức Trên sở tơi xin trình bày kinh nghiệm: “Phân loại tập vận dụng tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau” với mong muốn hoạt động dạy học giáo viên học sinh thu kết cao Ngoài ra, muốn tạo hướng việc tham khảo loại sách tập nâng cao ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2.1 Đối tượng nghiên cứu -Tỷ lệ thức - Tính chất dãy tỷ số - Tính chất phân số - Tính chất đẳng thức 2.2 Phạm vi nghiên cứu Bài tập Tỷ lệ thức phong phú đa dạng, có nhiều cách để phân loại dạng tập này, nhiên với thân Tuy nhiên đề tài xin trình bày số dạng thường gặp vận dụng tính chất tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Mục tiêu nghiên cứu Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Tốn nói riêng Góp phần tạo hứng thú cho học sinh học Toán Rèn cho học sinh có tư sáng tạo giải tốn -Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, biết vận dụng kiến thức toán học vào gải toán thực tế 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa bước giải tập tính chất tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số GIẢ THIẾT KHOA HỌC Nếu nghiên cứu đưa áp dụng tốt giúp học sinh phân loại nắm cách giải dạng tập giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Điều tra số liệu - Thực nghiệm dạy học ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài áp dụng vào việc dạy ôn tập cho học sinh với tập có mức độ từ dễ đến khó, nên linh hoạt để sử dụng cho phù hợp với đối tượng học sinh khác Rèn cho học sinh có tư sáng tạo giải toán -Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, biết vận dụng kiến thức toán học vào gải toán thực tế PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT * Ttính chất tỉ lệ thức: + Nếu + Nếu a c   ad bc b d a, b, c, d  ad bc  : a c   b d a b   c d d c   b a d b  c a * Về tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ dãy tỉ số * * a c  b d a c e   b d f Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a c a c a c    b d bd b d a c e a ce a c e      b d f bd  f b d  f CÁC DẠNG TỐN: Dạng 1: Tìm số biết tổng (hoặc tích) tỷ số chúng VD1: Tìm x,y,z biết: a) x y z   x  y  z 18 ; b) x y z   Giải: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z x  y  z 18     2  3   x  2.2    y  2.3 6  z  2.4 8  Cách 2: Đặt tỷ số k rút x,y,z theo k x  y  z 15  x 2k x y z    k   y 3k (1)  z 4k   x  y  z 2k  3k  4k 9k  9k 18  k 2 Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = Cách 3: Rút x, y theo z  x z  x y z       y 3 z   x  y  z  z  z  z  z 18 4  z 8; x 4; y 6 b) x y z x      y  z   15     x   3.2     y   3.3    z   3.4   12  VD2: Tìm x, y,z biết: a) x y z   x  y  z  93 ; b) x y z    x  y  z 34 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x   3.3 9   y   3.4 12  z   3.5 15  a) x y z 2y 4z x  y  4z  93         20   20 31 b) x y z 2x 3z  x  y  3z 34         15    15  17 VD3: Tìm x, y,z biết:  x   2.3     y  2.4   z  2.5   10  2x 3y 4z = = x+2y+4z=220 ; Giải: a) Từ 2x y 4z x y z      18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z x  y  4z 220     2  18 16 15 18  32  60 110  x  2.18 36   y  2.16 32  z  2.15 30  VD 4: Tìm x, y biết: a) x 7 y x  y 51 ; b) a.x b y (a 0, b 0, b a) x  y b  a Giải: a) Từ x 7 y  x y  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x 21 x y x  2y 51    3   7  10 17  y 15 b) Từ a.x b y  x y  b a Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x b x y x y b a    1   b a b a b a  y a   3B=C   VD5: Tính góc tam giác ABC biết 2A=B; Giải:      B  C  1800 C A B C A       2A=B; 3B=C  2A=B       200 9 Từ: 0  20 ; B  40 ;C  120  A Tổng quát : Tìm x,y,z biết x y z = = mx+ny+pz=d a b c Với a, b, c, d số cho trước m,n,p≠ (*) Phương pháp giải là: ta cần áp dụng tính chất dãy tỉ số để để tạo tỷ số số Cụ thể: x y z mx ny pz mx  ny  pz d Từ a = b = c = ma = nb = pc  ma  nb  pc  ma  nb  pc VD6: Tìm x,y,z biết: a) x y  xy 24 ; b) x y z   Giải: a) Cách 1: xyz 24 2 x y  x  y x y xy 24          4  2  3 6 x  2  x 4 Với x =  y = Với x = -  y = - x y  k  x 2k ; y 3k Cách 2: Đặt Thay x 2k ; y 3k vào xy  24 ta được: 2k 3k 6k 24  k 4  k 2 -Với k 2  x 4; y 6 -Với k   x  4; y  b) Đặt Thay x y z   k  x 2k ; y 3k ; z 4k x 2k ; y 3k ; z 4k k 3k k  4k 2  vào xyz 24 ta được: k 1  k 1   x 2   y 3  z 4  VD7: Tìm x, y,z biết: a) x y z   x  y  z 141 b) x y z    x  y  z  77 Giải: x y z   (1) a) Từ x2 y z    16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z 2 y z x  y  z 141       1  x 9  x 3 16 25 32 100  32  100 141 kết hợp với (1) b) Từ   x   y  z  3 4 5 x y z x2 y2 z2   (1)    16 25  x   y  z     Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z 2 x 3z  x  y  3z  77       1  x 9  x 3 16 25 18 75  18 16  75  77 kết hợp với (1)   x   y  z  3 4 5  x   y  z     Tổng quát : Tìm x,y,z biết Với x y z   a b c a, b, c, d , m, n, p, d , k mx k  ny k  pz k d số khác k  N * Phương pháp giải sau: Từ x y z mx k ny k pz k     k  k k a b c ma nb pc mx k Áp dụng tính chất dãy tỉ số cho dãy tỉ số ma k  ny k pz k  k k nb pc ta được: mx k ny k pz k mx k  ny k  pz k d  k  k  k  k k k k ma nb pc ma  nb  pc ma  nb k  pc k Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ hệ thức cho trước a VD1: Cho tỉ lệ thức: b  c (a, b, c, d 0; a  b; c  d ) d Chứng minh rằng: a b c d  b c d a) a  b) a b c d  b d Giải: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số Từ a c a b    b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: a b a b a  b    c d cd c d a b : c  d  a b a b c d   c d a b c d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k mẫu: a kb a c  Đặt  k   b d c kd  a  b kb  b k   a  b  kb  b  k    c  d  kd  d  k   c  d kd  d k  a b c d  a b c d Vậy: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b)do: b a+b a+b c+d =  = d c+d b d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức Cách 4: a c a c a b c d   1  1   b d b d b d a c b d VD2: Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh rằng: 2a+3b 2c+3d a) = 2a-3b 2c-3d 3a +5ab 3c +5cd b) = 7a -10b 7c -10d Giải: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b    b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b = = = = = c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d từ : 2a+3b 2a-3b 2a+3b 2c+3d =  = 2c+3d 2c-3d 2a-3b 2c-3d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k mẫu:  2a+3b 2kb+3b 2k+3 = = a=kb  2a-3b 2kb-3b 2k-3 a c   Đặt = =k   b d c=kd  2c+3d = 2kd+3d = 3k+3  2c-3d 2kd-3d 2k-3 Vậy: 2a+3b 2c+3d = 2a-3b 2c-3d Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b    b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: 2 a b a b ab a  b =   =      c d c d cd c d 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b2  2= 2=   = 3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd  = 7a -10b 7c -10d a b =  c d 3a +5ab 7a -10b 3a +5ab 3c +5cd =  = 3c +5cd 7c -10d 7a -10b 7c -10d từ Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức Tổng quát : Nếu: a c = thì: b d a) ma+nb mc+nd = m'a+n'b m'c+n'd b) ma +nb +kab mc +nd +kac = m'a +n'b +k'ab m'c +n'd +kcd Nhận xét: Hầu hết tập hai dạng tốn giải nhiều cách nhiên ta nên chọn c ách giải hợp lý VD 3: Cho tỉ lệ thức: a b c d  a b c d Chứng minh rằng: a c  b d Giải: a b c d a  b  2b c  d  2d 2b 2d     1 1  a b c d a b c d a b c d c d a b c a a c         2d 2b 2d 2b b d Dạng 3: Tính giá trị biểu thức a b c a +b2 +c = = M= Ví dụ: Cho : tính giá trị biểu thức b c a (a+b+c) Giải: a b c a+b+c = = = =1  a = b = c b c a a+b+c a +b +c a +a +a 3a 3a  M= = = = = (a+b+c) (a+a+a) (3a) 9a 3 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm hai số x y biết: x a) y  5x – 2y = 87; b) x y  2x – y = 34; 19 21 Bài 2: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 3: Tìm số x; y; z biết rằng: x y y z  ;  2x + 3y – z = 186; 2x 3y 4z   c) 3x = 2y; 7y = 5z x – y + z = 32; d) x + y + z = 49; x y z   e) 2x + 3y – z = 50; a) x y z   5x + y – 2z = 28; 10 24 b) Bài 4: Tìm số x; y; z biết rằng: x y z a)   xyz = 810; x y3 z3   b) x2 + y2 + z2 = 14 64 216 Bài 5: Tìm số x; y; z biết rằng: y  z 1 x  z  x  y     ; x y z x yz  2y  4y  6y 2x  3y  2x  3y      b) ; c) 18 24 6x 6x a) Bài 6: Ba người góp vốn kinh doanh tổng số tiền 180 triệu đồng Biết lần số vốn người thứ lần số vốn người thứ hai lần số vốn người thứ hai lần vốn người thứ Tính số vốn mà người góp a c  ; Chứng minh rằng: b d 5a  3b 5c  3d 7a  3ab 7c  3cd a) 5a  3b  5c  3d ; b) 11a  8b 11c2  8d a c 2a  13b 2c  13d 8: Cho tỉ lệ thức: 3a  7b  3c  7d Chứng minh rằng: b  d Bài 7: Cho tỉ lệ thức: Bài Bài 9: Cho dãy tỉ số : bz  cy cx  az ay  bx   a b c Chứng minh rằng: Bài 10: Cho số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 a32 = a2.a4 10 x y z   a b c Chứng minh rằng: a13  a 32  a 33 a1  a 32  a 33  a 34 a a c a  b2 ab  Chứng minh rằng:  2 b d c d cd a b c nhau: b  c , c  a , a  b Tìm giá trị Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : Bài 12: Cho ba tỉ số tỉ số ? Bài 13: Cho a, b, c số hữu tỉ khác cho: a+b-c a-b+c -a+b+c = = c b a Tìm giá số biểu thức: M  x+y y+z z+t (a+b)(b+c)(c+a) abc t+x Bài 14: Cho biểu thức: P= z+t + t+x + x+y + z+y Tìm giá tri biểu thức P biêt rằng: x y z t    y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z a1 a2 a 2007 a 2008 Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+ +a2008  a = a = = a = a 2008 Hãy tính giá trị biểu thức: N= Bài 16: Cho P = a12 +a 22 + a 22007 +a 2008 (a1 +a + +a 2007 +a 2008 ) a b c ax + bx + c Chứng minh a = b = c 2 a1x + b1 x + c1 1 Thì giá trị P không phụ thuộc vào giá trị x PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Các tập có liên quan đến tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số nhìn chung khơng q khó học sinh lớp Tuy vậy, giáo viên cung cấp cho học sinh kiến thức cách hệ thống, đồng thời có hệ thống tập rèn luyện kĩ phù hợp, chắn học sinh tiếp thu thuận lợi hơn, đồng thời em khắc sâu kiến thức, giải nhiều toán thực tế tập kỳ thi học sinh giỏi cấp, Kích thích khả tìm tịi, khám phá kiến thức Toán học Và quan trọng hình thành khả tự học, tự nghiên cứu có thái độ u thích mơn học KIẾN NGHỊ 11 Để hướng dẫn học sinh giải tập Tốn nói chung trước hết giáo viên cần cung cấp, củng cố, khắc sâu kiến thức liên quan, tập đưa cho học sinh phải có tính hệ thống từ dễ đến khó, giải cần định hướng cho học sinh cách tư phán đốn dạng tập từ định hướng cách giải ban đầu; Đối với học sinh cần có thái độ nhìn nhận đắn tầm quan trọng mơn để từ có thái độ học tập đắn, nhằm tiếp thu cách tốt kiến thức học Các tập đưa khơng điển hình, cách giải chưa thật gọn, giải có nhiều cách giải hay hơn, sắc sảo Kính mong đồng nghiệp góp ý bổ sung để viết hoàn thiện Bài viết hoàn thành bên cạnh nỗ lực học hỏi, tìm tịi thân giúp đỡ tận tình đồng nghiệp, khơng mà khơng cịn nhiều thiếu sót Vì mong nhận đóng góp ý kiến xây dựng thầy giáo cô giáo bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm thực có tác dụng giảng dạy, bồi dưỡng Toán 12 ...  b d a b   c d d c   b a d b  c a * Về tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ dãy tỉ số * * a c  b d a c e   b d f Theo tính chất dãy tỉ số ta c? ?: a c a c a c    b d bd b d a c e a ce... 2kd-3d 2k-3 Vậy: 2a+3b 2c+3d = 2a-3b 2c-3d Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b    b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: 2 a b a b ab... Chứng minh rằng:  2 b d c d cd a b c nhau: b  c , c  a , a  b Tìm giá trị Bài 11 *: Cho tỉ lệ thức : Bài 1 2: Cho ba tỉ số tỉ số ? Bài 1 3: Cho a, b, c số hữu tỉ khác cho: a+b-c a-b+c -a+b+c