chuyen de tinh chat duong trung truc cua mot doan thang

CHUYÊN ĐỀ BÀI 7: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu định lí thuận đảo tính chất điểm thuộc đường trung trực  Kĩ + Vận dụng định lí để giải tốn + Ứng dụng số toán thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Định lí Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường d  AB, HA  HB trung trực đoạn thẳng MA  MB  M thuộc đường trung trực AB M  d  MA  MB Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vận dụng tính chất đường trung trực Phương pháp giải Sử dụng định lí 1: Ví dụ: Cho hai điểm A, B nằm đường trung trực “Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng CD đoạn thẳng cách hai mút Chứng minh CAB  DAB đoạn thẳng đó” Hướng dẫn giải Vì A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng CD (giả thiết)  AC  AD  (tính chất đường trung trực đoạn  BC  BD thẳng) Xét CAB DAB có  AC  AD   BC  BD  CAB  DAB (c.c.c)  AB chung  Ví dụ mẫu Trang  Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A, B (không trùng với O) Đường Ví dụ Cho góc vng xOy trung trực đoạn thẳng OA OB cắt H a) Chứng minh A, H, B thẳng hàng b) Chứng minh H trung điểm AB Hướng dẫn giải a) Ta có H thuộc trung trực OA, OB  HA  HO  HB  AHO, BHO cân H   AHO  180o   AOH  (tổng ba góc tam giác)   180o  BOH   BHO   AHB   AHO  BHO   180o   AOH  180o  BOH    360o   AOH  BOH   360o   AOB  360o  2.90o  180o Vậy A, H, B thẳng hàng b) Từ kết câu a) có HA  HB ba điểm A, H, B thẳng hàng nên H trung điểm AB Bài tập tự luyện dạng   30o Trên tia đối tia MP lấy điểm Q cho MQ  MP Câu 1: Cho MNP vng M có P Tính số đo  NQM Đáp án Ta có MQ  MP (giả thiết)  M trung điểm PQ (1) Lại có MNP vng M  NM  MP hay NM  PQ (2) Từ (1), (2) suy NM trung trực PQ  NQ  NP (tính chất đường trung trực)  NQP cân N (định nghĩa tam giác cân)   NQP   NPQ   NPM   30o  NQM   40o Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm Câu 2: Cho xOy B Lấy điểm C cho OB đường trung trực AC a) Chứng minh OAB  OCB b) Tính số  AOC Đáp án a) Ta có OB đường trung trực AC (giả thiết)  OA  OC , BA  BC (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Trang Xét OAB OCB có OA  OC , BA  BC (chứng minh trên); OB cạnh chung Do OAB  OCB (c.c.c)   40o b) Từ câu a) suy  AOB  BOC  AOC  80o   60o Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AC  AD Câu 3: Cho ABC vuông A có C a) Chứng minh BCD tam giác b) Biết BC  Tính độ dài cạnh AB, AC Đáp án a) Ta có AC  AD (giả thiết) Mà BA  DC ( ABC vuông A) nên AB đường trung trực DC  BD  BC (tính chất đường trung trực đoạn thẳng)  BCD cân B   60o (giả thiết)  BCD Mặt khác C b) Ta có BCD (chứng minh trên)  CD  BC   CA  CD  Xét ABC vng A, ta có AB  AC  BC (định lý Pi-ta-go)  AB  BC  AC  2 3   3 2  12    Dạng 2: Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Phương pháp giải - Để chứng minh điểm M thuộc đường Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác PAB trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng định cân P, tam giác QAB cân Q (P, Q nằm khác lí 2: “Điểm cách hai mút đoạn phía so với AB) Chứng minh rằng: thẳng nằm đường trung trực a) Điểm P thuộc đường trung trực AB đoạn thẳng đó” dùng định nghĩa b) PQ đường trung trực AB đường trung trực Hướng dẫn giải - Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực Trang a) Ta có PAB cân P nên PA  PB  P thuộc đường trung trực AB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) (1) b) Lại có QAB cân Q nên QA  QB  Q thuộc trung trực AB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) (2) Từ (1), (2) suy PQ đường trung trực AB Ví dụ mẫu  (0o  xOy   90o ), Ot tia phân giác xOy  H điểm thuộc tia Ot Ví dụ Cho góc xOy Qua H vẽ đường thẳng d d  thỏa mãn d vng góc với Ox A, cắt Oy C d  vng góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh rằng: a) OH đường trung trực AB b) Điểm H thuộc đường trung trực CD Hướng dẫn giải a) Xét HAO HBO có   HBO   90o (vì HA  Ox , HB  Oy ); HAO  );   HOB  (do OH phân giác xOy HOA OH cạnh chung Do HAO  HBO (cạnh huyền – góc nhọn) OA  OB (các cạnh tương ứng)   HA  HB  OH trung trực AB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) b) Xét OAC OBD có   OBD   90o (vì HA  Ox , HB  Oy ); OAC  chung OA  OB (chứng minh trên); O Do OAC  OBD (g.c.g)  OD  OC (hai cạnh tương ứng) Xét ODH OCH có Trang   HOC  (do OH phân giác xOy  ); OH cạnh chung OD  OC (chứng minh trên); HOD Do ODH  OCH (g.c.g)  HD  HC (hai cạnh tương ứng)  H thuộc đường trung trực CD (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho DEF cân D Lấy điểm K nằm tam giác cho KE  KF Kẻ KP vng góc với DE ( P  DE ), KQ vng góc với DF (Q  DF ) Chứng minh a) K thuộc đường trung trực EF PQ b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ // EF Đáp án a) Ta có KE  KF (giả thiết)  K thuộc đường trung trực EF (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Xét DEK DFK có DE  DF ( DEF cân D); KE  KF (giả thiết); DK cạnh chung D  (hai góc Do DEK  DFK (c.c.c)  D tương ứng) Xét DPK DQK có   DQK   90o ( KP  DE , KQ  DF ); DPK D  (chứng minh trên) DK cạnh chung; D Do DPK  DQK (cạnh huyền – góc nọn)  KP  KQ (hai cạnh tương ứng)  K thuộc đường trung trực PQ (tính chất đường trung trực đoạn thẳng)  KE  KF b) Ta có  (giả thiết)  DK đường trung trực EF (tính chất đường trung trực  DE  DF đoạn thẳng)  DK  EF (1)  DP  DQ Lại có DPK  DQK (chứng minh trên)   (cặp cạnh tương ứng)  DK đường  KP  KQ trung trực PQ (tính chất đường trung trực đoạn thẳng)  DK  PQ (2) Từ (1) (2), suy PQ // EF (từ vng góc đến song song) Câu 2: Cho đoạn thẳng AB  cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính 4cm đường trịn tâm B bán kính 3cm Hai đường trịn cắt D, E Chứng minh rằng: a) Điểm A thuộc đường trung trực DE b) AB đường trung trực DE Trang Đáp án a) Ta có AD  AE (D, E thuộc đường tròn tâm A)  A thuộc đường trung trực DE (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) b) Tương tự câu a), ta có điểm B thuộc đường trung trực DE Vậy AB đường trung trực DE Dạng 3: Xác định vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu đề Phương pháp giải Sử dụng định lí 2: “Điểm cách Ví dụ: Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d hai mút đoạn thẳng nằm Biết đường thẳng d đường thẳng AB cắt Xác định vị đường trung trực đoạn thẳng trí điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm đó” để xác định điểm nằm A, B đường trung trực đoạn thẳng Hướng dẫn giải Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Giả sử trung trực xy AB cắt d M Khi M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB M điểm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có AB  AC Xác định vị trí điểm D cạnh AC cho DA  DB  AC Hướng dẫn giải Vẽ xy trung trực BC cắt AC D  D điểm cần xác định Thật DB  DC (do D thuộc trung trực BC)  DA  DB  DA  DC Mà AC  DA  DC (vì D nằm A C) Trang  DA  DB  AC Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư Hãy tìm bên đường địa điểm để xây dựng trạm y tế cho trạm y tế cách hai điểm dân cư Đáp án Gọi A B hai điểm dân cư, C điểm đặt trạm y tế, d  đường quốc lộ Vì C cách AB nên C thuộc đường trung trực AB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Mà C  d  nên C giao điểm d  đường trung trực d AB Do để xây dựng trạm y tế bên đường cách hai điểm dân cư trạm y tế phải giao điểm đường đường trung trực AB Câu 2: Cho ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho BD  AE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định Đáp án Gọi H giao điểm ba đường trung trực ABC  HA  HB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) ABH cân H (định nghĩa tam giác cân)   HAB  (tính chất tam giác cân)  HBA (1) Vì ABC cân A nên đường trung trực AH đồng thời đường phân giác góc A   HAC   HAB (2)   HAE    HAC  hay HBD Từ (1), (2) ta có HBA Xét HBD HAE có   HAE  (chứng minh trên); HA  HB (chứng minh trên); HBD BD  AE (giả thiết) Do HBD  HAE (c.g.c)  HD  HE (hai cạnh tương ứng)  H thuộc trung trực DE (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Mà H cố định nên đường trung trực DE qua điểm cố định Câu 3: Cho ABC cố định, đường phân giác AI ( I  BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh rằng: a) Đường trung trực EF qua đỉnh A ABC b) Khi H di động đoạn thẳng IC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định Đáp án  A  (hai góc so le trong) a) Vì HE // AI nên E A1 (hai góc đồng vị) F Trang  (do AI phân giác  F  Mà  A1  A A ) nên E  AEF cân A (tính chất tam giác cân)  AE  AF Suy A thuộc đường trung trực EF (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Vậy đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF // AI nên đường trung trực EF vng góc với AI (mối quan hệ vng góc song song) Kết hợp kết câu a), suy đường trung trực EF ln qua điểm A vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF ln cố định Dạng 4: Sử dụng tính chất đường trung trực vào toán cực trị Phương pháp giải - Sử dụng tính chất đường trung trực Ví dụ: Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ để thay đổi độ dài đoạn thẳng đường thẳng d Tìm vị trí điểm C đường thẳng d độ dài đoạn thẳng khác cho giá trị tổng CA  CB nhỏ Hướng dẫn giải - Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Bước Xây dựng cặp tổng độ dài Lấy D điểm đối xứng với A qua d Theo tính chất đường đoạn thẳng trung gian trung trực, ta có CA  CD Do CA  CB  CD  CB Bước Lập luận để xác định vị trí Gọi M giao điểm BD d điểm cần tìm Nếu C khơng trùng với M xét BCD , ta có CB  CD  BD hay CA  CB  BD (1) Nếu C trùng với M CA  CB  MA  MB  MD  MB  BD (2) Từ (1) (2) suy CA  CB  BD Do C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA  CB nhỏ Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có AB  15 cm , AC  17 cm Trên tia đối tia AC lấy điểm N cho AN  AB Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BN M điểm đường thẳng d a) Chứng minh MB  MC  NC b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB  MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị bao nhiêu? Hướng dẫn giải a) Gọi H giao điểm đường thẳng d với BN  AH  BN (1) Xét AHN AHB có  AHN   AHB  90o ( AH  BN ); AN  AB (giả thiết); AH cạnh chung Do AHN  AHB (cạnh huyền – cạnh góc vng)  HN  HB (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AH đường trung trực BN  M thuộc đường trung trực BN  MN  MB  MB  MC  MN  MC Nếu điểm M không trùng điểm A, xét MNC có MN  MC  NC nên MB  MC  NC (3) Nếu điểm M trùng điểm A, MB  MC  AB  AC  AN  AC  NC (4) Từ (3) (4) suy MB  MC  NC b) Từ câu a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB  MC đạt giá trị nhỏ Khi MB  MC  NC  AB  AC  15  17  32 (cm) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây dựng trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ Đáp án Lấy D điểm đối xứng với A qua a Theo tính chất đường trung trực đoạn thẳng ta có MA  MD Do MA  MB  MD  MB Gọi C giao điểm BD a Trang 10 Theo tính chất đường trung trực đoạn thẳng ta có CA  CD Nếu M khơng trùng với C, xét MBD có MA  MB  MD  MB  BD (bất đẳng thức tam giác) (1) Nếu M trùng C MA  MB  CA  CB  CD  CB  BD (2) Từ (1), (2) ta có MA  MB  BD Dấu "  " xảy M  C Vậy điểm M giao điểm đường thẳng a BD đường ống dẫn nước phải dùng ngắn Câu 2: Đường thẳng a đường trung trực đoạn thẳng AB Trên đường thẳng a lấy điểm M Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng a lấy điểm C (C  A) a) Hãy so sánh độ dài MA  MC với độ dài đoạn CB b) Tìm vị trí M đường thẳng a để MA  MC nhỏ Đáp án a) M nằm đường trung trực AB  MA  MB (1) Xét CMB có MC  MB  BC (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1), (2) ta có MA  MC  BC b) Với ba điểm A, B, C cố định đoạn thẳng AB cố định nên đường trung trực AB cố định Gọi M  giao điểm BC với đường thẳng a Điểm M di động đường thẳng a MB  MC  BC MB  MC nhỏ độ dài BC M  M  hay tổng MA  MC nhỏ độ dài BC M giao điểm đường thẳng a với BC  Câu 3: Cho điểm A nằm góc nhọn xOy a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM  AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ABC có chu vi nhỏ Đáp án a) Từ A vẽ AM  Ox , AN  Oy ( M  Ox, N  Oy ) Ta có AM nhỏ đoạn từ A đến Ox AN nhỏ đoạn từ A đến Oy (đường vng góc nhỏ đường xiên) Vậy để AM  AN có giá trị nhỏ M, N hình chiếu A lên Ox; Oy b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Suy Ox, Oy đường trung trực AD, AE Đường thẳng DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm Thật vậy, lấy hai điểm B, C  thuộc Ox, Oy Ta cần chứng minh AB  BC  CA  AB  BC   C A Trang 11 Vì B, B  Ox nên AB  BD; AB  BD (tính chất điểm thuộc đường trung trực) Vì C , C   Oy nên AC  CE; AC   C E (tính chất điểm thuộc đường trung trực) Do AB  BC  CA  DB  BC  CE  DE ; AB  BC   C A  DB  BC   C E ; (1) (2) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có  DE  DB  BE  DE  DB  BC   C E   BE  BC   C E (3) Từ (1), (2), (3) suy AB  BC  CA  DE  DB  BC   C E  AB  BC   C A Vậy chu vi ABC nhỏ chu vi ABC  Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề Trang 12 ... a) Điểm A thuộc đường trung trực DE b) AB đường trung trực DE Trang Đáp án a) Ta có AD  AE (D, E thuộc đường trịn tâm A)  A thuộc đường trung trực DE (tính chất đường trung trực đoạn thẳng)... đường trung trực EF PQ b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ // EF Đáp án a) Ta có KE  KF (giả thiết)  K thuộc đường trung trực EF (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Xét DEK DFK có DE. .. nằm đường trung trực a) Điểm P thuộc đường trung trực AB đoạn thẳng đó” dùng định nghĩa b) PQ đường trung trực AB đường trung trực Hướng dẫn giải - Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực