Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Chuyên đề Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I – GIỚI THIỆU Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một nội dung khá hay trong chương trình học kì I Đại số 7, với nhiều biến đổi đa dạng, kiểu bài phong phú và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế Các dạng bài vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thường gặp có thể kể đến như Toán tìm số, giá trị biểu thức, chứng minh tỉ lệ thức, toán có nội dung thực tiễn Với chuyên đề này,[.]
Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I – GIỚI THIỆU Tính chất dãy tỉ số nội dung hay chương trình học kì I Đại số 7, với nhiều biến đổi đa dạng, kiểu phong phú có nhiều ứng dụng thực tế Các dạng vận dụng tính chất dãy tỉ số thường gặp kể đến như: Tốn tìm số, giá trị biểu thức, chứng minh tỉ lệ thức, tốn có nội dung thực tiễn… Với chuyên đề này, người viết đưa số ứng dụng điển hình tính chất dãy tỉ số nhau, mức độ không phức tạp, từ dễ đến khó, phù hợp với chương trình lớp Mong q thầy đón đọc cho ý kiến đóng góp để chun đề hồn thiện hơn! PHẦN II – NỘI DUNG Dạng 1: Tốn tìm số Bài 1: Tìm x, y a, b biết: x y = x + y = −32 x b) y = 10 y − x = 120 c) 4a = 5b b − 2a = −5 a) x d) y = y − 3x = 33 a2 b2 = e) a + b = 100 16 f) x = y x − y = −4 Giải a) x y = x + y = −32 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x + y − 32 = = = = −4 3+5 Do đó: x = −4.3 = −12 y = −4.5 = −20 x b) y = 10 y − x = 120 x x y Từ y = 10 suy = 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y y−x = = = 120 10 10 − Do đó: x = 120.9 = 1080 y = 120.10 = 1200 c) 4a = 5b b − 2a = −5 Từ 4a = 5b suy a b = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Do đó: a = ⋅ = a b b − 2a − 5 = = = = 4 − 2.5 − 6 25 10 b = ⋅ = 6 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số x d) y = y − 3x = 33 x x y Từ y = suy = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y y − x 33 = = = =3 5.4 − 3.3 11 Do đó: x = 3.3 = y = 3.4 = 12 e) a2 b2 = a + b = 100 16 Phân tích: HS thường nhầm lẫn: a2 b2 a + b 100 = = = dẫn tới tính tốn sai 16 + 16 337 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b a + b 100 = = = =4 16 + 16 25 Suy ra: a = 4.9 = 36 ⇒ a = ±6 b = 4.16 = 64 ⇒ b = ±8 Theo đề a b khác dấu nên: ( a; b ) ∈ { ( 6;8); ( 6;−8); ( − 6;8); ( − 6;−8)} f) x = y x − y = −4 x y x2 y2 Từ x = y ⇒ = ⇒ = 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x2 y2 x2 − y2 −4 = = = = 25 − 25 − 16 ⇒x=± 4 25 y = 25 ⋅ = ⇒ y=± 4 Suy ra: x = ⋅ = − − Theo đề x y phải dấu nên ( x; y ) ∈ ; ; ; 2 2 Chú ý: Ở câu (e) (f) cần phải đánh giá dấu biến kết luận Bài 2: Tìm x, y, z a, b, c biết: b c = 4a − 3b + 2c = 36 b) x = y = 20 z x − y − z = a) a = x y y z = , = x − y + z = −49 x y f) y = 20 , = x + y − z = 100 z x y z g) = = x + y − z = 585 h) x y = −30 , y.z = 42 z − x = −12 e) 18 x = y = z − x + y + z = −120 11 a −1 b − c − = = d) a − 2b + 3c = 14 c) Giải a) a = b c = 4a − 3b + 2c = 36 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số b c 4a − 3b + 2c 36 = =9 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a = = = 4.1 − 3.2 + 2.3 Do đó: a = , b = 18 , c = 27 b) x = y = 20 z x − y − z = x y z = = (chia cho BCNN) x y z x− y−z =3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: = = = 8−5−2 Do đó: x = 24 , y = 15 , z = Vì BCNN(5;8;20) = 40 nên từ x = y = 20 z suy c) d) 18 x = y = z − x + y + z = −120 11 x y z = = 18 Từ x = y = z suy 11 (chia cho phân thức nghịch đảo) 11 18 x y z −x+ y+z − 120 = = = = = 90 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 11 − 11 + + − 18 18 Do đó: x = 165 , y = 20 , z = 25 a −1 b − c − = = a − 2b + 3c = 14 Phân tích: Việc áp dụng tính chất dãy tỉ số không phụ thuộc chữ số tử số Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a − b − c − a − − 2( b − ) + 3( c − 3) a − 2b + 3c − + − 14 − = = = = = =1 − 2.3 + 3.4 8 c−3= 4⇒ c = Do đó: a − = ⇒ a = ; b − = ⇒ b = ; x y y z e) = , = x − y + z = −49 Phân tích: Đề cho dãy tỉ số nhau, muốn sử dụng giả thiết thứ ba, cần thiết lập dãy tỉ số có đủ x, y, z Để ý dãy tỉ số đầu chứa y nên ta chọn quy đồng mẫu cho y làm trung gian tỉ số x y x y y z y z x y z = ⇒ = = ⇒ = nên: = = 10 15 15 12 10 15 12 x y z x− y+z − 49 = = = = = −7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 10 15 12 10 − 15 + 12 Suy ra: x = −70 , y = −105 , z = −84 Vì x y f) y = 20 , = x + y − z = 100 z Phân tích: Cách làm câu (f) tương tự câu (e) x x y y y z y z x y z Từ y = 20 ⇒ = = ⇒ = ⇒ = Do đó: = = 20 z 8 20 32 20 32 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số x y z 2x + y − 2z 100 = =2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: = = = 20 32 2.7 + 5.20 − 2.32 50 Suy ra: x = 14 , y = 40 , z = 64 g) x y z = = x + y − z = 585 x y z x + y − z 585 = = dẫn tới tính tốn sai Phân tích: HS thường nhầm lẫn: = = = 25 + 49 − 65 x y z x2 y2 z ⇒ = = = = Từ 25 49 x y z x + y − z 585 = = = = =9 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 25 49 25 + 49 − 65 Suy ra: x = 225 ⇒ x = ±15 y = 441 ⇒ y = ±21 z = 81 ⇒ z = ±9 Theo đề bài: x, y, z dấu nên x = 15, y = 21, z = x = −15, y = −21, z = −9 h) x y = −30 , y.z = 42 z − x = −12 x 6 z x z Từ x y = −30 ⇒ − = y y.z = 42 ⇒ y = Do đó: − = y = x z z−x − 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: − = y = = − ( − 5) = 12 = −1 Suy ra: x = , y = −6 , z = −7 Phân tích: Điểm mấu chốt tốn tách -30 42 thành tích số, có số ƯCLN(30;42) Một điểm khác biệt câu (h) sau biến đổi dãy tỉ số có x, y, z không nằm tử số mẫu số Bài 3: Tìm x, y, z , biết: 12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z = = x + y + z = 48 11 Phân tích: Để ý hệ số x, y, z tử số trái dấu nên áp dụng tính chất dãy tỉ số cộng tử số với kết Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z 12 x − 15 y + 20 z − 12 x + 15 y − 20 z = = = =0 11 + + 11 12 x − 15 y = x y z ⇒ 20 z − 12 x = ⇒ 12 x = 15 y = 20 z ⇔ = = (chia cho BCNN(12;15;20) = 60) 15 y − 20 z = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x + y + z 48 = = = = =4 5 + + 12 Do đó: x = 20 , y = 16 , z = 12 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số t −9 t − t − t3 − = == Bài 4: Tìm t1 , t , …, t , biết: = t1 + t + t + + t = 90 Giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: t − t1 − + t − + t − + + t − 90 − 45 t1 − t − t − = = == = = =1 9 + + + + 45 t1 − = t − = 2 ⇒ t1 = t = t = = t = 10 Do đó: t − = Dạng 2: Toán thực tiễn Sau biết bước biến đổi dạng tốn 1, học sinh vào để giải tốn thực tế sau đặt ẩn cho đại lượng chưa biết Bài 1: Tìm diện tích hình tam giác vng, biết tỉ số hai cạnh góc vng 2: chúng 12 cm Giải Gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác a b (cm) ( < a < b ) Thì diện tích tam giác là: a.b (cm ) a = b − a = 12 b a a b Từ = suy = b 5 Theo đề ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b b − a 12 = = = =4 5−2 Do đó: a = 4.2 = b = 4.5 = 20 (thỏa mãn điều kiện) 8.20 = 80 (cm ) 2 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên biết số thứ số thứ hai hiệu bình phương Vậy diện tích tam giác là: chúng 68 Giải Gọi hai số tự nhiên cần tìm x y ( x; y ∈ N x > y ) Theo đề ta có: x = y x − y = 68 x y x2 y2 x = y ⇒ x = y ⇒ = ⇒ = Từ 81 64 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số x y x − y 68 = = = =4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 81 64 81 − 64 17 Do đó: x = 4.81 = 324 ⇒ x = 18 y = 4.64 = 256 ⇒ y = 16 (thỏa mãn điều kiện) Vậy hai số tự nhiên cần tìm 18 16 Bài 3: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 9, 8, 7, Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số học sinh khối Giải Gọi số học sinh bốn khối 6, 7, 8, a, b, c, d (em) (a, b, c, d ∈ N*) Theo đề ta có: a b c d = = = b − d = 70 a b c d b − d 70 = = = = = = 35 8−6 Do đó: a = 35.9 = 315 , b = 35.8 = 280 , c = 35.7 = 245 , d = 35.6 = 210 (thỏa mãn) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Vậy số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 315, 280, 245 210 (em) Bài 4: Có 64 tờ giấy bạc gồm ba loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng Biết tổng giá trị loại giấy bạc Hỏi loại giấy bạc có tờ? Giải Gọi số tờ ba loại giấy bạc mệnh giá 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng x, y, z (tờ) (x, y, z ∈ N*) Theo đề ta có: x + y + z = 64 2000 x = 5000 y = 10000 z Từ 2000 x = 5000 y = 10000 z suy x y = =z Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x + y + z 64 = =z= = =8 5 + +1 Do đó: x = 8.5 = 40 , y = 8.2 = 16 z = (thỏa mãn) Vậy có 40 tờ loại 2000 đồng, 16 tờ loại 5000 đồng tờ loại 10000 đồng Bài 5: Tính số đo góc tam giác, biết số đo góc thứ đo góc thứ hai số đo góc thứ ba Giải Gọi số đo ba góc a, b, c (độ) ( < a, b, c < 180 ) Theo đề ta có: a + b + c = 180 a = b = c Giaovienvietnam.com số Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số b c a= = Từ a = b = c suy 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a= b c a + b + c 180 = = = = 40 3 1+ + 2 2 Do đó: a = 40 , b = ⋅ 40 = 60 , c = 2.40 = 80 Vậy số đo góc tam giác 40 , 60 , 80 Bài 5: Một lớp học sinh có 35 em Sau khảo sát chất lượng, số học sinh chia thành ba loại giỏi, trung bình Số học sinh giỏi tỉ lệ với 3, số học sinh trung bình tỉ lệ với Tính số học sinh loại Giải Gọi số học sinh giỏi, trung bình lớp x, y, z (em) (x, y, z ∈ N* x, y, z < 35 ) x y y z = = x y x y y z y z x y z Ta có: = ⇒ = = ⇒ = Do đó: = = 12 12 15 12 15 x y z x+ y+z 35 = =1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: = = = 12 15 + 12 + 15 35 Suy ra: x = , y = 12 , z = 15 Theo đề ta có: x + y + z = 35 , Vậy lớp có học sinh giỏi, 12 học sinh 15 học sinh trung bình Bài 6: Ba kho thóc có tất 710 thóc Sau chuyển kho II 1 số thóc kho I, số thóc số thóc kho III số thóc cịn lại ba kho Hỏi lúc 11 đầu kho có thóc? Giải Gọi số thóc ban đầu kho I, kho II, kho III a, b, c (tấn) ( < a, b, c < 710 ) Theo đề ta có: a + b + c = 710 5 Mặt khác: số thóc cịn lại kho I sau chuyển là: a − a = a (tấn) 6 số thóc cịn lại kho II sau chuyển là: b − b = b (tấn) 10 c = c (tấn) 11 11 10 a b c mà số thóc cịn lại ba kho nên: a = b = c ⇒ = = (chia cho 20) 11 25 24 22 số thóc cịn lại kho III sau chuyển là: c − Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số a b c a+b+c 710 = = = = = 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: 25 24 22 25 + 24 + 22 71 Do đó: a = 10.25 = 250 , b = 10.24 = 240 , c = 10.22 = 220 (thỏa mãn) Vậy ban đầu kho I có 250 tấn, kho II có 240 kho III có 220 thóc Bài 7: Trong đợt thi đua chào mừng ngày Quốc khánh – 9, ba đội xe giao vận chuyển 3030 hàng Cuối đợt, đội I vượt mức 26%, đội II vượt mức 5% đội III vượt mức 8% định mức đội nên khối lượng mà ba đội vận chuyển Tính định mức vận chuyển đội xe Giải Gọi định mức vận chuyển đội I, đội II, đội III a, b, c (tấn) ( < a, b, c < 3030 ) Theo đề ta có: a + b + c = 3030 Mặt khác: cuối đợt, đội I chở là: a + 26%.a = 126%.a (tấn) cuối đợt, đội II chở là: 105%.b (tấn) cuối đợt, đội III chở là: 108%.c (tấn) mà ba đội chở nên: 126%.a = 105%.b = 108%.c ⇒ 126a = 105b = 108c a b c (chia cho BCNN (126;105;108) = 3780 ) = = 30 36 35 a b c a+b+c 3030 = = = = = 30 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: 30 36 35 30 + 36 + 35 101 Do đó: a = 30.30 = 900 , b = 30.36 = 1080 , c = 30.35 = 1050 ⇒ Vậy định mức vận chuyển đội I, đội II, đội III 900, 1080, 1050 (tấn) Bài 8: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng có diện tích Đội cày xong ngày, đội hai cày xong ngày, đội ba cày xong ngày Hỏi đội có máy cày, biết đội hai nhiều đội ba máy (giả sử suất máy nhau) Giải Gọi số máy cày đội một, đội hai, đội ba x, y, z (máy) (x, y, z∈ N*) Theo đề ta có: y − z = Vì số máy thời gian cày xong cánh đồng hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: x y z = = 10 x y z y−z = = = =1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 10 6 − Do đó: x = 10 , y = , z = 3x = y = z ⇒ Vậy đội có 10 máy, đội hai có máy, đội ba có máy Giaovienvietnam.com Chun đề: Tính chất Dãy tỉ số Bài 9: Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2, 3, Hỏi đơn vị chia tiền lãi tổng tiền lãi 135 triệu tiền lãi chia tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp Giải Gọi số tiền lãi chia ba đơn vị a, b, c (triệu đồng) (a, b, c ∈ N*; a, b, c < 135 ) Theo đề ta có: a + b + c = 135 Vì số tiền lãi chia tỉ lệ thuận với số vồn đóng góp nên a, b, c tỉ lệ thuận với 2, 3, 4, ta có: a b c = = a b c a + b + c 135 = = = = = 15 2+3+ c = 15.4 = 60 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Suy ra: a = 15.2 = 30 ; b = 15.3 = 45 ; Vậy số tiền lãi chia ba đơn vị 30, 45, 60 (triệu đồng) Bài 10: Hai ô tô khởi hành từ A để đến B Vận tốc ô tô thứ 50 km/h, vận tốc tơ thứ hai 60km/h Ơ tơ thứ đến sau ô tô thứ hai 36 phút Tính quãng đường AB Giải Đổi 36 phút = 0,6 Gọi thời gian hết quãng đường AB ô tô thứ ô tô thứ hai x, y (h) ( x, y > ) Theo đề ta có: x − y = 0,6 Vì vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ quãng đường nên: x y x y = ⇒ = 60 50 x y x− y = 0,6 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: = = 6−5 Do đó: x = 6.0,6 = 3,6 ; y = 0,6.5 = (thỏa mãn) 50 x = 60 y ⇒ Vậy quãng đường AB dài: 60.3 = 180 (km) Dạng 3: Toán giá trị biểu thức x + y − 3z Bài 1: Cho P = x − y + 3z Tính giá trị biểu thức P biết x, y, z tỉ lệ với 5; 4; Giải Vì x, y, z tỉ lệ với 5; 4; nên x y z = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số x y z x + y − 3z x + y − 3z = = = = (1) 5 + 2.4 − 3.3 x y z x − y + z x − y + 3z = Và = = = (2) 5 − + 3 x + y − 3z x + y − 3z x − y + 3z = = = ⇔ Từ (1) (2) suy ra: x − y + 3z 6 Vậy P = Bài 2: Cho số A, B,C tỉ lệ với số a, b, c Ax + By + C Chứng minh giá trị biểu thức: Q = ax + by + c không phụ thuộc x, y Giải Theo đề ta có: A B C = = khơng đổi a b c A B C Ax + By + C Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a = b = c = ax + by + c Ax + By + C Vậy Q = ax + by + c có giá trị khơng đổi Ax + By + C hay giá trị biểu thức Q = ax + by + c không phụ thuộc x, y 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + Tính giá trị biểu thức M = c+d d +a a+b b+c ( a, b, c, d ≠ , a + b + c + d ≠ , a + b ≠ , b + c ≠ , c + d ≠ , d + a ≠ ) Bài 3: Cho dãy tỉ số nhau: Giải Phân tích: Nhận thấy vai trị a, b, c, d tổng hệ số a, b, c, d tử số nên ta dự đoán: a = b = c = d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d 5a + 5b + 5c + 5d = = = = =5 a b c d a+b+c+d (1) 2a + b + c + d = 5a b + c + d = 3a a + 2b + c + d = 5b a + c + d = 3b (2) ⇔ Do đó: (3) a + b + 2c + d = 5c a + b + d = 3c a + b + c + 2d = 5d a + b + c = 3d (4) Từ (1) (2) suy b − a = 3( a − b ) ⇔ 4( a − b ) = ⇔ a = b Từ (2) (3) suy c − b = 3( b − c ) ⇔ 4( b − c ) = ⇔ b = c Từ (3) (4) suy d − c = 3( c − d ) ⇔ 4( c − d ) = ⇔ c = d Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số a+b b+c c+d d +a = = = =1 Nên: a = b = c = d ⇒ c+d d +a a+b b+c a+b b+c c+d d +a + + + = 1+1+1+1 = Vậy M = c+d d +a a+b b+c a b c d = = = với a + b + c + d ≠ b c d a 2a − b 2b − c 2c − d 2d − a + + + Tính giá trị biểu thức M = c+d d +a a+b b+c Bài 4: Cho Giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c d a+b+c+d = = = = =1 b c d a b+c+d +a Nên a = b = c = d 2a − b 2b − c 2c − d 2d − a 2a − a a = = = = = = c+d d +a a+b b+c a+a 2a 2a − b 2b − c 2c − d 2d − a 1 1 + + + = + + + = Vậy M = c+d d +a a+b b+c 2 2 Suy ra: Bài 5: Cho x + 16 y − 25 z + 10 = = x − = 15 Tính x + y + z 16 25 Giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x + 16 y − 25 z + 10 x + 16 + y − 25 + 10 ( x + y + z ) + = = = = (1) 16 25 + 16 + 25 50 Mặt khác theo đề bài: x − = 15 ⇔ x = 16 ⇔ x = ⇔ x = x + 16 + 16 = = (2) 9 ( x + y + z ) + = ⇔ ( x + y + z ) + = 100 ⇔ x + y + z = 99 Từ (1) (2) suy 50 Phân tích: Từ giả thiết x − = 15 ta suy x = thay vào dãy tỉ số Do đó: x + 16 y − 25 z + 10 = = tính cụ thể y, z ; từ tính tổng x + y + z mà không cần 16 25 sử dụng tính chất dãy tỉ số Dạng 4: Toán chứng minh tỉ lệ thức Bài 1: Cho a+5 b+6 a = (với a ≠ , b ≠ ) Chứng minh = a−5 b−6 b Giải Từ giả thiết a+5 b+6 a+5 a−5 = = ta có a−5 b−6 b+6 b−6 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số a + a − a + + a − 2a a = = = = (1) b + b − b + + b − 2b b a + a − ( a + 5) − ( a − 5) 10 Và b + = b − = ( b + 6) − ( b − 6) = 12 = (2) Từ (1) (2) suy a = b a c a + b ab a , b , c , d ≠ = = Bài 2: Cho (với ) Chứng minh b d c + d cd Giải Từ giả thiết a c a b a b = ta có: = ⇒ = b d c d c d 2 a2 b2 a2 + b2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: = = (1) c d c +d2 a b a a a b a ab = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = Mặt khác: (2) c d c c c d cd c a + b ab = Từ (1) (2) suy c + d cd Bài 3: Chứng minh: ( a + b + c + d ).( a − b − c + d ) = ( a − b + c − d ).( a + b − c − d ) a b = c d Giải Từ ( a + b + c + d ).( a − b − c + d ) = ( a − b + c − d ).( a + b − c − d ) ta có: a+b+c+d a+b−c−d = a−b+c−d a−b−c+d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a + b + c + d a + b − c − d ( a + b + c + d ) + ( a + b − c − d ) 2a + 2b a + b = = = = (1) a − b + c − d a − b − c + d ( a − b + c − d ) + ( a − b − c + d ) 2a − 2b a − b a+b+c+d a+b−c−d (a + b + c + d) − (a + b − c − d) 2c + 2d c+d Và a − b + c − d = a − b − c + d = ( a − b + c − d ) − ( a − b − c + d ) = 2c − 2d = c − d (2) Từ (1) (2) ta có: a+b c+d a+b a −b = ⇒ = a−b c−d c+d c−d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Và a + b a − b a + b + a − b 2a a = = = = (3) c + d c − d c + d + c − d 2c c a + b a − b ( a + b ) − ( a − b ) 2b b = = = = (4) c + d c − d ( c + d ) − ( c − d ) 2d d Từ (3) (4) suy Bài 4: Cho a b = c d a c 5a + 3b 5a − 3b = = (với c ≠ ± d ) Chứng minh b d 5c + 3d 5c − 3d Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số Giải Từ giả thiết a c a b = suy = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Do đó: a b 5a + 3b = = c d 5c + 3d a b 5a − 3b = = c d 5c − 3d 5a + 3b 5a − 3b = 5c + 3d 5c − 3d Bài 5: Cho a+b c+a = Chứng minh ba số a, b, c phân biệt khác từ số a−b c−a a, b, c (có số dùng lần) lập thành tỉ lệ thức Giải Từ giả thiết a+b c+a a+b a−b ⇒ = = a−b c−a c+a c−a Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Và a + b a − b a + b + a − b 2a a = = = = (1) c + a c − a c + a + c − a 2c c a + b a − b ( a + b ) − ( a − b ) 2b b = = = = (2) c + a c − a ( c + a ) − ( c − a ) 2a a Từ (1) (2) suy a b = c a Bài 6: Cho b = ac , c = bd Với b, c, d ≠ , b + c ≠ d , b + c ≠ d a3 + b3 − c3 a + b − c Chứng minh rằng: 3 = b +c −d b+c−d Giải a b b = c b = ac a b c ⇒ ⇒ = = Từ giả thiết: b c d c = bd b = c c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a3 b3 c3 a + b − c Suy = = = b c d b+c−d a b c a+b−c = = = b c d b+c−d (1) Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số ta có: a3 b3 c3 a3 + b3 − c3 = = = (2) b3 c3 d b3 + c3 − d 3 a3 + b3 − c3 a + b − c Từ (1) (2) suy 3 = b +c −d b+c−d Bài 7: Chứng minh rằng: 2( x + y ) = 5( y + z ) = 3( z + x ) x− y y−z = Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số Ta có BCNN ( 2;5;3) = 2.3.5 = 30 Giải Từ giả thiết 2( x + y ) = 5( y + z ) = 3( z + x ) suy x+ y y+z z+x = = 15 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x + y y + z z + x ( z + x) − ( y + z ) x − y = = = = (1) 15 10 10 − x + y y + z z + x ( x + y) − ( z + x) y − z = = = = Và (2) 15 10 15 − 10 x− y y−z = Từ (1) (2) suy Bài 8: Cho 3x − y z − x y − 3z x y z = = Chứng minh = = 2 Giải Phân tích: Đây dạng tương tự – dạng Để giải ta tìm cách khử x, y, z tử số cách biến đổi cho hệ số ẩn đối Từ giả thiết 3x − y z − x y − 3z = = suy : 4.( x − y ) 3.( z − x ) 2.( y − z ) 12 x − y z − 12 x y − z ⇔ = = = = 16 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12 x − y z − 12 x y − z 12 x − y + z − 12 x + y − z = = = =0 16 16 + + 12 x − y = Do đó: 6 z − 12 x = ⇔ 12 x = y = z 8 y − z = x y z = = ( chia cho BCNN (12;8;6) = 24 ) bz − cy cx − az ay − bx = = Bài 9: Chứng minh ( a, b, c ≠ ) x, y, z tương ứng tỉ lệ với a b c ⇔ a, b, c Giải Phân tích: Đây dạng tổng quát Để giải ta tìm cách khử x, y, z tử số Từ giả thiết bz − cy cx − az ay − bx = = ta có: a b c a.( bz − cy ) b.( cx − az ) c.( ay − bx ) abz − acy bcx − abz acy − bcx ⇔ = = = = 2 a b c a2 b2 c2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số abz − acy bcx − abz acy − bcx abz − acy + bcx − abz + acy − bcx = = = =0 a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 abz − acy = bcx acy abz x y z = = ⇔ = = Do đó: bcx − abz = ⇒ bcx = acy = abz ⇔ abc abc abc a b c acy − bcx = Vậy bz − cy cx − az ay − bx = = x, y, z tương ứng tỉ lệ với a, b, c a b c 2n 2n 2n Bài 10: Cho ( x1 p − y1q ) + ( x p − y q ) + + ( x m p − y m q ) ≤ với m, n ∈ N * x + x + + x q m Chứng minh y + y + + y = p m Giải Nhận thấy: ( xi p − yi q ) ≥ ( vói ≤ i ≤ m ) 2n 2n 2n 2n Nên từ giả thiết ( x1 p − y1q ) + ( x p − y q ) + + ( x m p − y m q ) ≤ , ta có: ( x1 p − y1q ) n = ( x p − y q ) n = = ( xm p − y m q ) x 2n x x =0 q m Suy ra: x1 p = y1q ; x p = y q ; … ; x m p = y m q ⇒ y = y = = y = p (1) m x x x x + x + + x m m Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: y = y = = y = y + y + + y (2) m m x + x + + x q m Từ (1) (2) suy y + y + + y = p (đpcm) m Giaovienvietnam.com ... Tính giá trị biểu thức P biết x, y, z tỉ lệ với 5; 4; Giải Vì x, y, z tỉ lệ với 5; 4; nên x y z = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Giaovienvietnam.com Chun đề: Tính chất Dãy tỉ số. .. cho 20) 11 25 24 22 số thóc cịn lại kho III sau chuyển là: c − Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số a b c a+b+c 710 = = = = = 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: 25 24 22 25 +... − 20 z = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x + y + z 48 = = = = =4 5 + + 12 Do đó: x = 20 , y = 16 , z = 12 Giaovienvietnam.com Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số t −9 t − t − t3