Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài tiểu luận này, tôi đã hệ thống lại một cách tương đối đầy đủ và chi tiết lý thuyết về tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, phương pháp giải các bài toán liên quan gi[r]
(1)
-Tô Văn Giáp
TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
TIỂU LUẬN
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
(2)Mục lục
Mở đầu
1 Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Tỉ lệ thức
1.1.1 Định nghĩa
1.1.2 Tính chất
1.2 Tính chất dãy tỉ số
2 Các dạng tốn phương pháp giải 2.1 Tìm giá trị biến tỉ lệ thức
2.1.1 Phương pháp giải toán
2.1.2 Bài tập tương tự
2.2 Chứng minh tỉ lệ thức
2.2.1 Phương pháp giải toán
2.2.2 Bài tập tương tự 10
Kết luận 13
(3)Mở đầu
Tỉ lệ thức - tính chất dãy tỉ số kiến thức chương trình tốn THCS Việc nắm vững kiến thức phần giúp em học sinh có kiến thức tảng để giải số toán cấp THCS cách dễ dàng Tuy nhiên, q trình dạy học tơi nhận thấy việc giải toán liên quan đến tỉ lệ thức - dãy tỉ số em học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng chưa định hình, hệ thống phương pháp giải
Trong tiểu luận này, hệ thống lại cách tương đối đầy đủ chi tiết lý thuyết tỉ lệ thức - tính chất dãy tỉ số nhau, phương pháp giải toán liên quan giúp em học sinh hệ thống phương pháp giải định hướng tìm lời giải cho toán
Bài tiểu luận gồm hai chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị
Chương trình bày tổng hợp kiến thức tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số
Chương Các dạng toán phương pháp giải
Dựa sở lý thuyết chương tơi trình bày hai dạng tốn liên quan đến tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, đồng thời trình bày phương pháp giải thơng qua ví dụ cụ thể Ngồi ra, cịn hệ thống tập tương tự giúp em vận dụng phương pháp giải nêu
(4)Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Tỉ lệ thức
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Trong tỉ lệ thức ab = dc
(hoặc a:b=c:d) số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ
Chú ý 1.1 Khi viết tỉ lệ thức ab = cd, ta giả thiết b6= 0, d6= 1.1.2 Tính chất
Tính chất 1.1 Nếu ab = cd ad=bc
Tính chất 1.2 Nếu ad =bc a, b, c, d6= ta có tỉ lệ thức sau:
a b =
c d;
a c =
b d;
d b =
c a;
b a =
d c
Nhận xét 1.1 Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại
1.2 Tính chất dãy tỉ số nhau
Tính chất 1.3 Nếu có tỉ lệ thức:
a b =
c d
thì:
a b =
c d =
a+c b+d =
(5)Tính chất 1.4 Nếu có dãy tỉ số nhau:
a b =
c d =
e f
thì:
a b =
c d =
e f =
a+c+e b+d+f =
a−c+e b−d+f =
Tính chất 1.5 (Tính chất mở rộng) Nếu có n (n ≥2) tỉ số nhau:
a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
= = an
bn
thì:
a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
= = an
bn
= a1+a2+ +an
b1+b2+ +bn
= a1−a2+ (−1)
(n−1)a
n b1−b2+ (−1)(n−1)bn
=
Chú ý 1.2 Khi có dãy tỉ số
a b =
c d =
e f
ta nói số a, c, e tỉ lệ với số b, d, f Ta viết a : c : e = b : d : f
(6)Chương 2
Các dạng toán phương pháp giải 2.1 Tìm giá trị biến tỉ lệ thức
2.1.1 Phương pháp giải tốn
Ví dụ 2.1 Tìm hai số x y biết
x
2 =
y
3
và x+y=20 Giải:
*Cách1: (Đặt ẩn phụ) Đặt
x
2 =
y
3 =t ⇒
x= 2t y= 3t
Ta có
x+y = 20⇒2t+ 3t = 20⇒5t = 20⇒t=
Vậy
x= 2.4 =
y= 3.4 = 12
*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
x
2 =
y
3 =
x+y
2 + = 20
5 =
Vậy
x
(7)và
y
3 = 4⇒y= 12
*Cách3: (Phương pháp thế) Ta có
x
2 =
y
3 ⇒y= 3x
2
Theo giả thiết:
x+y= 20⇒x+3x
2 = 20⇒5x= 40⇒x=
⇒y= 3.8 = 12
Ví dụ 2.2 Tìm x, y, z biết:
x = y 4; y = z
và 2x - 3y + z = Giải:
*Cách1: (Đặt ẩn phụ) Ta có: x = y ⇒ x = y 12 y = z ⇒ y 12 = z 20 ⇒ x = y 12 = z
20 =t⇒
( x= 9t
y= 12t z = 20t
Theo giả thiết: 2x−3y+z = 6⇒18t−36t+ 20t = 6⇒2t= 6⇒t =
Vậy
( x= 27
y = 36
z = 60
*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Từ x9 = 12y = 20z
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
x = y 12 = z 20 = 2x 18 = 3y 36 = z 20 =
2x−3y+z
18−36 + 20 = =
Vậy
( x= 27
y = 36
(8)x
3 =
y
4 ⇒x= 3y
4
y
3 =
z
5 ⇒z = 5y
3
Theo giả thiết:
2x−3y+z= ⇒ 3y
2 −3y+ 5y
3 = ⇒y= 36
x= 3.36
4 = 27;z = 5.36
3 = 60
Ví dụ 2.3 Tìm hai số x, y biết
x
2 =
y
5
và x.y = 40
Giải:
*Cách1: (Đặt ẩn phụ) Đặt
x
2 =
y
5 =t ⇒
x= 2t y= 5t
Ta có
x.y = 40⇒2t.5t = 40⇒t2 = 4⇒t =±2
Với t= 2⇒
x=
y= 10
Với t=−2⇒
x=−4
y=−10
*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Ta có: x = y ⇒ x 2 = x.y 2.5 =
40
10 = 4⇒x
2 = 16k ⇒
x= ⇒y = 10
x=−4⇒y =−10
*Cách3: (Phương pháp thế) Ta có
x
2 =
y
5 ⇒x= 2y
5
Theo giả thiết:
x.y = 40⇒ 2y
5 y = 40 ⇒y
2= 100⇒
y= 10⇒x=
(9)2.1.2 Bài tập tương tự
Bài tập 2.1 Tìm số x, y, z biết rằng:
a) 10x = y6 = 21z 5x+y−2z = 28 b) x3 = y4;y5 = 7z 2x+ 3y−z = 124
c) 23x = 34y = 45z x+y+z = 49 d) x2 = y3 xy= 54
e) x5 = y3 x2−y2= f) y+xz+1 = z+yx+1 = x+yz−2 =x+y+z
Bài tập 2.2 Tìm số x, y, z biết rằng:
a) 3x= 2y,7y= 5z x−y+z = 32 b) x−21 = y−32 = z−43 2x+ 3y−z = 50
c) 2x= 3y = 5z x+y−z = 95 d) x2 = y3 = z5 xyz = 810
e) 10x= 6y x2−y2 = f) y+zx+1 = z+yx+2 = x+zy−3 = x+1y+z
Bài tập 2.3 Tìm số x, y, z biết rằng:
1 + 2y
18 =
1 + 4y
24 =
1 + 6y
6x
Bài tập 2.4 Cho số a,b,c,d cho: a+b+c+d6=
a
b+c+d = b
c+d+a = c
d+a+b = d a+b+c
Tính giá trị biểu thức A= ac++db +db++ac +ca++db +db++ac
Bài tập 2.5 Tìm số x, y, z biết rằng:
a) xy = 73 5x−2y= 87 b) 19x = 21y 2x−y= 34
c) x83 = y643 = 216z3 x2+y2+z2= 14 d) 2x5+1 = 3y7−2 = 2x+36xy−1
Bài tập 2.6 Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30
(10)Bài tập 2.9 Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường
Bài tập 2.10 Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
ab(ab−2cd) +c2d2.[ab(ab−2) + 2(ab+ 1)] =
thì chúng lập thành tỉ lệ thức
2.2 Chứng minh tỉ lệ thức 2.2.1 Phương pháp giải toán
Để chứng minh tỉ lệ thức ab = dc ta thường dùng số phương pháp sau: *Phương pháp 1: Chứng tỏ a.d=b.c
*Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số ab = fe cd = fe ⇒.ab = cd
*Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức Một số kiến thức cần ý:
a b =
na nb;
a b =
c d ⇒.(
a b)
n = (c d)
n
Ví dụ 2.4 Cho tỉ lệ thức ab = cd Chứng minh rằng: aa−+bb = cc+−dd
Giải:
*Cách1: (Phương pháp 1) Ta có:
(a+b)(c−d) = ac−ad+bc−bd
(a−b)(c+d) = ac+ad−bc−bd
Theo giả thiết: ab = dc ⇒ad=bc
Vậy
(a+b)(c−d) = (a−b)(c+d)⇒ a+b
a−b = c+d c−d
*Cách2: (Phương pháp 2) Đặt ab = dc =k⇒a=bk, c=dk
Ta có:
a+b a−b =
bk+b bk−b =
k+
k−1
c+d c−d =
dk+d dk−d =
k+
(11)Vậy
a+b a−b =
c+d c−d
*Cách3: (Phương pháp 3) Theo giả thiết: ab = dc ⇒ ac = db
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
a c =
b d =
a+b c+d =
a−b c−d ⇒
a+b a−b =
c+d c−d
Ví dụ 2.5 Cho tỉ lệ thức ab = cd Chứng minh rằng: abcd = ac22−−db22 Giải:
*Cách1: (Phương pháp 1) Ta có:
(ab)(c2−d2) = abc2−abd2 =acbc−bdad
(cd)(a2−b2) = cda2−cdb2 =acad−bdbc
Theo giả thiết: ab = dc ⇒ad=bc
Vậy
(ab)(c2−d2) = (cd)(a2−b2)⇒ ab
cd =
a2−b2 c2−d2
*Cách2: (Phương pháp 2) Đặt ab = dc =k⇒a=bk, c=dk
Ta có: ab cd = bkb dkd = b2 d2
a2−b2 c2−d2 =
b2k2−b2 d2k2−d2 =
b2 d2
Vậy
ab cd =
a2−b2 c2−d2
*Cách3: (Phương pháp 3) Theo giả thiết: ab = dc ⇒ ac = db
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
ab cd =
a2 c2 =
b2 d2 =
a2−b2 c2−d2 ⇒
ab cd =
a2−b2 c2−d2
2.2.2 Bài tập tương tự
(12)c) aa−+bb = cc−+dd d) abcd = ((ac−−db))22 e) a+ab = c+cd f) 77aa22+5−5acac =
7b2+5bd
7b2−5bd
g) 23aa+5−4bb = 23cc+5−4dd h) 20052006ac+2007−2006db = 20052006ca−+20072006db
i) 117aa22+3−8abb2 =
7c2+3cd
11c2−8d2 k)
2008a−2009b
2009c+2010d =
2008c−2009d
2009a+2010b
Bài tập 2.12 Cho tỉ lệ thức ab = bc = dc Chứng minh rằng:
(a+b+c
b+c+d)
3
= a
d
Bài tập 2.13 Cho tỉ lệ thức 2003a = 2004b = 2005c Chứng minh rằng:
4(a−b)(b−c) = (c−a)2
Bài tập 2.14 Cho a1
a2 =
a2
a3 =
a3
a4 = =
a2008
a2009 Chứng minh rằng:
a1
a2009
=
a1+a2+a3+ +a2008
a2+a3+a4+ +a2009
2008
Bài tập 2.15 Cho a1
a2 =
a2
a3 = =
a8
a9 =
a9
a1 a1+a2+ +a96= Chứng minh rằng:
a1 =a2 = =a9
Bài tập 2.16 Cho a2 =bc Chứng minh rằng:
a+b a−b =
c+a c−a
Bài tập 2.17 Cho ac22++db22 =
ab
cd Chứng minh rằng: a
b = c d
Bài tập 2.18 Cho uu+2−2 = vv+3−3 Chứng minh rằng:
u
2 =
v
3
Bài tập 2.19 Cho
a(y+z) =b(z+x) =c(x+y)
trong a, b, c khác khác Chứng minh rằng:
y−z a(b−c) =
z−x b(c−a) =
(13)Bài tập 2.20 Cho
a b =
c d
trong số x,y,z,t thỏa mãn: xa+yb6= zc+td6=
Chứng minh rằng:
xa+yb za+tb =
xc+yd zc+td
Bài tập 2.21 Cho a,b,c,d là4số khác thỏa mãn: b2 =ac;c2=bdvàb3+c3+d36=
Chứng minh rằng:
a3+b3+c3 b3+c3+d3 =
a d
Bài tập 2.22 Chứng minh aa =
b b1 =
c
c1 giá trị
P = ax
2+bx+c
a1x2+b1x+c1
không phụ thuộc vào x
Bài tập 2.23 Cho
a a0 +
b0 b = 1;
b b0 +
c0 c =
Chứng minh rằng:
abc+a0b0c0=
Bài tập 2.24 Cho
2a+ 13b
3a−7b =
2c+ 13d
3c−7d
Chứng minh rằng:
a b =
c d
Bài tập 2.25 Cho
bz−cy
a =
cx−az
b =
ay−bx c
Chứng minh rằng:
x a =
y b =
(14)Kết luận
(15)Tài liệu tham khảo
[1] Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, SGK Toán - Tập một, NXB Giáo Dục Việt Nam, 2001