Đang tải... (xem toàn văn)
Tập bài giảng Toán I này được biên soạn dành cho sinh viên trong chương trình Chất lượng cao Việt-Pháp. Tổng số giờ lí thuyết và bài tập của môn học khoảng 180 tiết kéo dài trong 15 tuần. Nội dung của môn học bao gồm các vấn đề cơ bản của Đại số đại cương, Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một biến. Nội dung của giáo trình dựa theo các tài liệu [1], [2], [3] trong toàn bộ bảy tập của tác giả Jean-Marie Monier. Đây là tài liệu chính dành cho sinh viên của chương trình Việt-Pháp. Chúng tôi cố gắng biên soạn lại cho dễ hiểu hơn đối với sinh viên Việt Nam và cũng tham khảo thêm một số sách khác như [6], [7]. Các bài tập được tuyển chọn trong các sách kể trên và trong các cuốn sách [4], [5], [8].
LÊ THÁI THANH GIÁO TRÌNH TỐN I (Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM 51 89/176-05 GD-05 Mã số: 8I092M5 Lời nói đầu Tập giảng Toán I biên soạn dành cho sinh viên chương trình Chất lượng cao Việt-Pháp Tổng số lí thuyết tập môn học khoảng 180 tiết kéo dài 15 tuần Nội dung môn học bao gồm vấn đề Đại số đại cương, Đại số tuyến tính Giải tích hàm biến Nội dung giáo trình dựa theo tài liệu [1], [2], [3] toàn bảy tập tác giả Jean-Marie Monier Đây tài liệu dành cho sinh viên chương trình Việt-Pháp Chúng tơi cố gắng biên soạn lại cho dễ hiểu sinh viên Việt Nam tham khảo thêm số sách khác [6], [7] Các tập tuyển chọn sách kể sách [4], [5], [8] Chúng mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Thư từ góp ý xin gửi về: Bộ mơn Tốn ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP HCM, 104 Nhà B4, 268 Lý Thường Kiệt, P.14, Q.10, TP HCM Điện thoại: 08-8647256 (ext 5305) E-mail: tlethai@hcmut.edu.vn TP HCM, ngày 22 tháng năm 2010 Tác giả Mục lục Lời nói đầu Mục lục TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ 1.1 Mệnh đề 1.2 Tập hợp 10 1.3 Ánh xạ 11 1.4 Quan hệ hai 13 Bài tập chương 15 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 17 2.1 Phép tốn hai ngơi 17 2.2 Nhóm 20 2.3 Vành 22 2.4 Thể 24 Bài tập chương 24 CÁC TẬP HỢP SỐ 28 3.1 Số tự nhiên 28 3.2 Số nguyên 29 3.3 Số hữu tỉ 29 3.4 Số thực 29 3.5 Số phức 32 Bài tập chương 35 DÃY SỐ 4.1 Các định nghĩa 38 38 MỤC LỤC 4.2 Dãy 44 4.3 Một số loại dãy thông thường 45 4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp 45 4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 45 4.3.3 Dãy trung bình Césaro 47 Bài tập chương HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 48 50 5.1 Khái niệm hàm số 50 5.2 Giới hạn hàm số 53 5.3 Vô bé vô lớn 57 5.4 Tính liên tục 58 Bài tập chương 62 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 66 6.1 Đạo hàm vi phân 66 6.2 Các định lý hàm khả vi 72 6.3 Công thức Taylor 74 6.4 Sự biến thiên hàm 77 6.5 Khảo sát vẽ đồ thị đường cong 79 f ÔxÕ 79 6.5.2 Đường cong cho phương trình tham số 80 6.5.3 Đường cong toạ độ cực 81 6.5.1 Đường cong cho phương trình y Bài tập chương TÍCH PHÂN 7.1 Tích phân bất định 82 88 88 7.1.1 Định nghĩa cách tính 88 7.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ 91 7.1.3 Tích phân số hàm vô tỉ 92 7.1.4 Tích phân hàm lượng giác 94 7.2 Tích phân xác định 95 7.2.1 Định nghĩa tính chất 95 MỤC LỤC 7.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 97 7.3 Tích phân suy rộng 100 7.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 100 7.3.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 102 7.4 Ứng dụng tích phân 104 Bài tập chương 106 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 111 8.1 Ma trận 111 8.1.1 Các định nghĩa 111 8.1.2 Các phép toán ma trận 112 8.2 Định thức 114 8.2.1 Định nghĩa tính chất 114 8.2.2 Các ví dụ tính định thức 116 8.3 Ma trận nghịch đảo 118 8.4 Hạng ma trận 120 Bài tập chương 121 KHÔNG GIAN VECTƠ 126 9.1 Khái niệm không gian vectơ 126 9.2 Không gian vectơ 134 9.3 Không gian Euclide thực 137 Bài tập chương 141 10 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 144 10.1 Các khái niệm 144 10.2 Hệ 147 Bài tập chương 10 149 CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI 151 Chỉ dẫn trả lời tập chương 151 Chỉ dẫn trả lời tập chương 152 Chỉ dẫn trả lời tập chương 155 MỤC LỤC Chỉ dẫn trả lời tập chương 157 Chỉ dẫn trả lời tập chương 159 Chỉ dẫn trả lời tập chương 161 Chỉ dẫn trả lời tập chương 165 Chỉ dẫn trả lời tập chương 168 Chỉ dẫn trả lời tập chương 170 Chỉ dẫn trả lời tập chương 10 172 Tài liệu tham khảo 173 CHƯƠNG MỘT TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 Bài Mệnh đề Tập hợp Ánh xạ Quan hệ hai tập chương 10 11 13 15 §1.1 MỆNH ĐỀ Mệnh đề hay mệnh đề toán học khẳng định có giá trị xác định (đúng sai vừa vừa sai) Các giá trị sai gọi chân trị mệnh đề Ví dụ 1.1 "1 1 2" mệnh đề có giá trị chân trị "4 số nguyên tố" mệnh đề có giá trị chân trị sai Khẳng định "n số nguyên tố" mệnh đề toán học Tuy nhiên, thay n số tự nhiên trở thành mệnh đề tùy theo n, giá trị chân trị mệnh đề sai Ta thường ký hiệu mệnh đề chữ in hoa: P, Q, R, ; chân trị (hoặc T ), chân trị sai (hoặc F ) Để kiểm tra mệnh đề hay sai ta thường lập bảng chân trị cho mệnh đề Cho P Q hai mệnh đề Xét phép toán sau: phép phủ định ( P ), phép tuyển (P (P Q), phép hợp (P Q), phép kéo theo (P Q) Giá trị phép toán cho bảng chân trị sau: P Q P P Q P Q P Q P Q 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Q), phép tương đương 1.1 Mệnh đề Chú ý: Mệnh đề P Q đọc theo nhiều cách sau: P điều kiện đủ Q Q điều kiện cần P Còn mệnh đề P Q đọc sau: P điều kiện cần đủ để có Q P Q P Q Các tính chất sau phép tốn mệnh đề dễ dàng chứng minh lập bảng chân trị xem tập Ô P Õ P ÔP ÔP ÔP ÔP Q Õ ÔP QÕÕ Ô QÕÕ QÕ Ô P ÔP Q QÕ Ô Q ÔÔP QÕ ÔQ QÕ PÕ RÕÕ ÔP RÕ Vị từ khẳng định P Ôx, y, Õ có chứa số biến x, y, lấy giá trị tập hợp cho trước X, Y, cho thân P Ôx, y, Õ mệnh đề thay x, y, phần tử cố định x P Ôa, b, Õ a È X, y b È Y, ta môt mệnh đề P ÔnÕ = "n số nguyên tố" vị từ theo biến n È N Ví dụ 1.2 QƠx, y Õ = "y 2, x ¡ y, x 2y số chẵn" vị từ với hai biến tự x, y QÔ4, 2Õ mệnh đề Trong QÔ5, 2Õ, QÔ4, 7Õ mệnh đề sai È Z Chẳng hạn, Cho hai vị từ P ÔxÕ, QÔxÕ theo biến x È X Khi đó: Phủ định P ƠxÕ, ký hiệu X ta mệnh đề Các phép toán ( , , P ÔxÕ, vị từ mà thay x phần tử a cố định P ÔaÕ , ) vị từ P ÔxÕ, QÔxÕ vị từ theo biến x mà thay x phần tử cố định a È X ta mệnh đề tương ứng Giả sử P ÔxÕ vị từ theo biến x È X Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Khi thay x phần tử tùy ý a P ÔaÕ Như mệnh đề "với x hiệu "x È X, P ƠxÕ" È X, ta ln mệnh đề È X, P ƠxÕ" mệnh đề ln ln ký Trường hợp 2: Với số giá trị a È X P Ơ mệnh đề đúng, với số giá trị b È X P ÔbÕ mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề "tồn x È X, P ÔxÕ" mệnh đề ký hiệu " x È X, P ÔxÕ" Các ký hiệu gọi lượng từ với lượng từ tồn Ngoài ta dùng ký hiệu ! với ý nghĩa tồn Chú ý ký tự tác động lượng từ câm (nghĩa thay ký tự khác) Ví dụ: Ôx È X, pÔxÕÕ Ôy È X, pÔyÕÕ Ô x È X, pÔxÕÕ Ô y È X, pƠÕ 10 1.2 Tập hợp Ta dùng phép tốn phủ định câu lượng hóa Ôx È X, pÔxÕÕ Ô x È X, pÔxÕÕ Ô x È X, pÔxÕÕ Ôx È X, pƠxÕÕ Chú ý nói chung ta khơng thể thay đổi thứ tự lượng từ câu lượng hóa Ví dụ, x È N, y È N, x y mệnh đề đúng, y È N, x È N, x y mệnh đề sai §1.2 TẬP HỢP Tập hợp khái niệm tốn học khơng định nghĩa Nó hiểu tụ tập đối tượng tính chất chung hợp thành Ta ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, X, Y, Nếu x thành phần tạo nên tập hợp X ta nói x phần tử X viết x È X Nếu y phần tử X ta viết y Ta nói tập hợp A tập tập hợp B, ký hiệu A định A A B viết A B B B, x ÈA Ê X x È B Phủ B Hai tập hợp A B gọi nhau, A B, A Để xác định tập hợp, ta liệt kê phần tử tập hợp X Øx, y, z, Ù Øx pƠxÕÙ Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng ký hiệu À Ta có với tập X: À X tính chất mà phần tử có X Một tập hợp có hữu hạn phần tử gọi tập hợp hữu hạn Ngược lại gọi tập hợp vô hạn Số lượng phần tử tập hợp A ký hiệu CardƠà hay #A Tập tất tập tập X cho trước ký hiệu BÔX Õ Nếu X tập hữu hạn có n phần tử tập BƠX Õ có 2n phần tử Giả sử X tập hợp, A, B È BÔX Õ Ta định nghĩa phép toán tập hợp X sau: Phần bù tập A X: CX Ơà Øx È X x Ê Á Hợp hai tập hợp A B: A B Øx È X xÈA x È BÙ Giao hai tập hợp A B: A B Øx È X xÈA x È BÙ Hiệu hai tập hợp A B: AÞB A¡B Øx È X Hai tập hợp A B gọi rời A khơng có nhầm lẫn ta ký hiệu CX Ơà C Ơà B xÈA x Ê BÙ À Đối với phép toán phần bù, A Các phép toán tập hợp có tính chất sau (xem tập, sinh viên tự chứng minh) CX ÔÀÕ X, CX ƠX Õ À, CX ƠCX ƠÃÕ A Chỉ dẫn trả lời tập chương 160 10 Không tồn lim DÔxÕ lim xDÔxÕ x x 0 11 Tính giới hạn tương ứng 12 Tính giới hạn tương ứng 13 Theo định nghĩa với ε 1, tồn số A hữu hạn số b a cho x, x b f ÔxÕ ¡ A A¡1 f ÔxÕ A Mặt khác f ƠxÕ liên tục Ưa, b× nên tồn hai số m1, M f ÔxÕ M Đặt m ÔA ¡ 1, m1Õ M max ÔA 1, M 1Õ, ta thu cho x È Ưa, b×, m1 x È Ưa, Õ, m f ÔxÕ M Nghĩa f bị chặn Öa, Õ 14 Chứng minh qui nạp theo n: x È R, n È N, f ÔxÕ tính liên tục f ta thu f ƠxÕ c, c È R 15 f ¡x© 3n Cho n tiến tới sử dụng (a) Hàm liên tục x È R (b) Hàm liên tục 16 Áp dụng định lý giá trị trung gian vào hàm hÔxÕ 17 Áp dụng định lý 5.14 vào hàm g ÔxÕ f ÔxÕ ¡ λg ÔxÕ f ÔxÕ ¡ x 18 Cho a, b È I cố định cho a b x, y È I cho x y Xét ánh xạ g : Ư0, 1× R định nghĩa bởi: t È Ư0, 1×, g ƠtÕ f ƠƠ1 ¡ tÕb ty Õ ¡ f ÔÔ1 ¡ tÕa txÕ liên tục Ư0, 1× Ta có g Ơ0Õ f ƠbÕ ¡ f ÔaÕ g Ô1Õ f Ôy Õ ¡ f ÔxÕ Nếu Ôf Ôy Õ ¡ f ÔxÕÕÔf ÔbÕ ¡ f ƠÕ theo định lý giá trị trung gian, tồn Nghĩa là: f ÔÔ1 ¡ cÕb cy Õ f ÔÔ1 ¡ cÕa cxÕ Do f đơn ánh nên c È Ư0, 1× cho g ÔcÕ Ô1 ¡ cÕb cy Ô1 ¡ cÕa cx Ô1 ¡ cÕÔb ¡ aÕ ¡cÔy ¡ xÕ Ta có mâu thuẫn Vậy f Ơ ¡ f ÔxÕ dấu nghiêm ngặt f ÔbÕ ¡ f ÔaÕ Cuối f ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt 19 Hàm h : Ưa, b× 5.17, tồn µ È Ơ1, f ƠxÕ liên tục đoạn Ưa, b× hƠxÕ g ƠxÕ cho: x ẩ ệa, bì, hễxế Chn Ă R xác định hÔxÕ Õ 20 Theo đề bài, A 0, x A, f ÔxÕ f Ô0Õ B 0, ƯA, B × nên tồn x0 È ƯA, B × cho x È ƯA, B ×, f ÔxÕ x È R, f ÔxÕ f Ôx0 Õ Theo định lý x B, f ÔxÕ f Ô0Õ Mặt khác f liên tục f Ôx0 Õ Do A B nên f Ô0Õ f Ôx0 Õ Vậy 0, b bễế, xẵ , xắ b, f ễxẵ ế Ă f Ơx¾ Õ ε Ta cố định số b Vì f ƠxÕ liên tục 21 ε Ưa, b× nên liên tục đều, nghĩa với ε tuỳ ý chọn trên, δ δ ÔεÕ cho xẵ , xắ ẩ ệa, bì, f ễxẵ ế Ă f ễxắ ế xẵ Ă xắ Nhng vỡ bt ng thc f ễxẵ ế Ă f ễxắ Õ ε với δ Do f ƠxÕ liờn tc u trờn ệa, ế xẵ , xắ b nờn nú ỳng vi mi xẵ , xắ a m xẵ Ă xắ 22 Khụng b chn l dng Vi f ễxẵ ế Ă f ễxắ ế tuỳ ý, ta có: Ơx ¡ x Õ Ô§sin x ¡ sin §x §Õ § x ¡ x §§ §§ x x x ¡ x ĐĐsin Ô cos 2 Đ Đ ẵ ắ ẵ ½ ½ ¾ ¾ ¾ với x½ , x¾ tho bt ng thc xẵ Ă xắ ẵ ắ ĐĐ ĐĐ xẵ Ă xắ ε Chỉ dẫn trả lời tập chương 161 23 Kết quả: (a) Khơng (d) Có (b) Có (c) Khơng (e) Có (f ) Khơng 24 ε (a) δ (b) δ (c) δ (d) δ ε2 ε  , 3 ê 25 Giả sử a, b hữu hạn Từ điều kiện tốn, ta suy tồn lim f ƠxÕ x a Trường hợp a, b vô hạn, lập luận tập 21 A lim f ÔxÕ x b¡ CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI BÀI TẬP CHƯƠNG Ta có: (a) y ½ 2Ơ1 ¡ 2xÕ Ơ1 ¡ x x2 Õ2 (b) y ½ a2 (c) y ½ (d) y ½ (e) y ½ (f ) y ½ (g) y ½ Ơa2 ¡ x2 Õ3 2x2 x2 ¡ sin 2x cosÔcos 2xÕ (h) y ½ (i) y ½ (j) y ½ x2 Ôcos x x sin xÕ2 Ta có: (a) ° ² ¡1 y½ ± 2x 1¡ ¡ x x 2Ôx ¡ aÕÔx ¡ bÕÔ2x ¡ a ¡ bÕ (b) y khi x (a) n (b) n (c) n (a) f ½ Ơ0¡ Õ ¡ 12 , f ½ Ơ0 Õ (b) f ½ Ơ0¡ Õ f ½ Ơ0 Õ (c) f ½ Ơ0¡ Õ f ½ Ô0 Õ khi a x b x Ê Ưa, b× sin2 x x x ¡1 1 x2 ex e2x sin 2x sin x cos4 x B Chỉ dẫn trả lời tập chương a ¡x20 2x0 , b a (a) arctan (b) π 2, 083, (a) yx¾ (b) yx¾ (c) yx¾ (c) y ƠnÕ (d) y ƠnÕ (e) y ÔnÕ (f ) y ÔnÕ 10 80 2, 9907, 100 1, 938, 10 1000 1, 9954 4Ô1 ¡ tÕ e¡t ¡ cos3 t (a) y ÔnÕ (b) y ÔnÕ ¡ x2 sinÔln xÕ 3x Ô1 2x2 Õ arcsin x Ô1 ¡ x2 Õ2 Ơ1 ¡ x2 Õ5 (d) yx¾ 162 π© Ơ¡1Õn n! Ơx ¡ 12Õn 1 ¡ Ơx ¡ 11ến1 ễĂ1ến1 Ô nễ3n Ă 5ÕÔn 3n 2xÕ Ô1 xÕ ¡ nπ © 4n¡1 cos 4x ¡ ¡ © nÔn ¡ 1Õ nπ © ¡ 2nan¡1x cos ax nπ an x2 ¡ sin ax ¡ a2 n â ex 2nò2 cos x Ă n â x nò2 e sin x ¢ ªƠnÕ 1 x2 2i ¢ x¡i ễĂ1ến n! 2i êễnế Ă Â êễnế 2i Ô¡1Õn n! ¡ Ô¡1Õnn! Ôx ¡ iÕn 1 Ôx iÕn 1 x i n 1 ¡ Ô1 x2 Õ ÔcosÔn 1Õϕ i sinÔn 1ÕϕÕ ¡ n 1 ¡ Ô¡ 1Õn n! ¡ Ô1 x Õ ÔcosÔn 1Õϕ ¡ i sinÔn 1ÕϕÕ 2i Ô¡1Õn n! sinÔn 1Õϕ với ϕ argÔx iÕ π ¡ arctan x n 1 2 Ô1 x Õ 11 Lần lượt lấy đạo hàm trực tiếp khó khăn, ta tiến hành sau Đạo hàm hàm f hai lần ta nhận được: x x fẵ , fắ fẵ 2 Ă x2 1¡x Ô1 ¡ x Õ ¡ x Từ ta thu đẳng thức Ô1 ¡ x2 Õf ¾ ¡ xf ½ Sử dụng cơng thức Leibnitz, đạo hàm đẳng thức n ¡ lần cho x 0, ta có: f ƠnÕ Ơ0Õ Ơn ¡ 2Õ2 f Ôn¡2Õ Ô0Õ Sử dụng f Ô0Õ 0, f ½ Ô0Õ 1, ta đến kết quả: f Ô2kÕ ễ0ế 0, f ễ2k1ế ễ0ế ệ1 Ô Ơ2k ¡ 1Õ×2 , k 1, 2, 3, Chỉ dẫn trả lời tập chương 163 12 Xét hàm uÔxÕ Ôx2 ¡ 1Õn Ta thu Ơx2 ¡ 1Õu½ 2nxu Đạo hàm đẳng thức Ơn 1Õ lần, ta có: Ơ1 ¡ x2 ÕuÔn 2Õ ¡ 2xuÔn 1Õ nÔn 1ÕuÔnÕ Ta đến đpcm 13 Ta có: (a) θƠx, hÕ (b) θÔx, hÕ x £ xh h2 ß3 x2 , Ôx h (c) θÔx, hÕ c h 1 (d) θÔx, hÕ eh ¡1 ln h h h x ¡1 « 0Õ 0, h , ƠxƠx hÕ 0Õ 14 Theo công thức số gia hữu hạn, với ∆x x 1¡ Ta suy ra: θÔxÕ nên 1, ta có: x x θƠxÕ 1 Ô xÔx 1Õ ¡ xÕ Từ đó: xlim0 θƠxÕ θƠxÕ ¢ 15 Đạo hàm (*) theo h ta f ½ ễx hế h ắ f ễ0ế f ẵ Ô0Õ Trong (*) thay x f ÔhÕ f½ x h ª Ơx , 0Õ , lim ễxế x h2 f ắ  x θƠxÕ đơn điệu tăng ª h Thay x ¡ h2 , ta có f ẵ  ê h ta c hf ẵ  ê h f ễ0ế h2 f ắ Ô0 Õ hf ½ Ô0Õ f Ô0Õ, h È R Ta có đpcm 16 Hàm f ƠxÕ khả vi đoạn Ư0, 2× Áp dụng cơng thức số gia hữu hạn, ta có f Ơ2Õ¡ f Ơ0Õ c 2Õ Vì f Ơ2Õ , f Ơ0Õ 2 ° ²¡x, f ½ ƠxÕ ±¡ 12 , x Từ c1 , c2 x x nên ¡1 ° ²¡2c, ±¡ 22 , c c c 2f ½ ƠcÕ, Ơ0 17 Sử dụng tính đơn điệu hàm thích hợp 18 Kết 125 19 Áp dụng định lý Cauchy hàm f ÔxÕ ϕÔxÕ hàm f ÔxÕ ψ ÔxÕ Ôb ¡ xÕ2 đoạn Ôx ¡ aÕ2 đoạn a, a b , b , ta thu đpcm a b Chỉ dẫn trả lời tập chương 20 (a) Hàm tăng khoảng ¢ π kπ π kπ , 2 ª kπ π , kπ ê 0, ă1, v gim cỏc khong , k 0, ă1, , k (b) y tăng khoảng ¢ 164 ¢ 0, ln ª giảm khoảng Ô¡ 21 Áp dụnh định lý Lagrange hàm f ÔxÕ đoạn a, a , 0Õ ¢ , ln ª f Ơa Õ , ta suy f k ¢ a f Ơa Õ k ª 22 Ta có: (g) e π (h) (i) ¡ (j) ¡ 12 (k) 19 (l) 90 (a) (b) ¡ 13 (d) (e) (f ) (c) 23 (a) f ÔxÕ (b) f ÔxÕ 2x 2x2 ¡ 2x4 0Ôx4 Õ (c) f ÔxÕ x x3 oÔx3 Õ 1 2x x2 ¡ x3 ¡ x4 ¡ x5 oÔx5 Õ 15 (d) f ÔxÕ x¡ 24 f ÔxÕ 2x x7 18 13 x ¡ 3240 0ễx13 ế Ă 8x1  ê x3 25 Theo cơng thức Taylor ta có: f Ơ0Õ f ễxế Ă f ẵ ễxếx f ắ ễc1 Õ Từ ta có: §§ §§ f xÕ (a) A (b) A 27 c1 x, f Ô1 Õ ¡ 25 , B ¡ 151 , B , C 12 (a) Đạt CT x (b) Đạt CT x f ÔxÕ f ẵ ễxếễ1 Ă xế f ắ ễc2 ế Đ ĐĐ ắ f ễc1 ếx2 Ă f ắ ễc2 ếễ1 Ă xế2 Đ ẵ 26 x2 , Ă 12 , D 5ă 13 12 ; đạt CĐ x § A §§ 2x ¡ 2x 1§ A Ơ1 ¡ xÕ2 , x c2 Chỉ dẫn trả lời tập chương 165 ; x khơng có cực trị e¡2 ; đạt CĐ x 0 (c) Đạt CT x (d) t CT ti x (e) t CT ti x ă 2π3 2kπ; đạt CĐ x (f ) Đạt CĐ x (g) Đạt CT x ¡ π4 2kπ; đạt CĐ x 0; đạt CĐ ti x ă1 (h) t CT ti x 28 M ÔxÕ ³ ² ³ ± 1 x x2 ¡ kπ 3π 2kπ ° x x mÔxÕ ³ ³ ² ³ ³ ± ¡ 16 1 x x2 nếu ¡ ¡3 ¡1 x x x ¡3 ¡1 29 Sinh viên tự làm 30 Sinh viên tự làm 31 Sinh viên tự làm CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI BÀI TẬP CHƯƠNG Kết quả: x2 C (a) arctan 4§ § § § x § C (b) ln §§ x2 § (c) ă lnễ x x ế C (d) lnÔ2 ex Õ C (e) (f ) (g) (h) Kết quả: (a) ¡ x1 Ôln2 x ln x 2Õ C (g) (b) ¡ e Ôx2 x 12 Õ C ¡ x x arctan x C (h) (c) ¡2x 2 x2 x3 ¡ x2 (d) ¡ arccos x C § § x § § (e) ln §tan § cos x lnƠtan xÕ C (f ) xÔarcsin xÕ2 ¡ x2 arcsin x ¡ 2x C Kết quả: (a) ¡ 3Ơx ¡ 1Õ §§ x ¡ §§ C ln §x 2§ § § (i) (j) (k) (l) ¡ lnÔe¡x e¡2x Õ C a2 sinx b2 cos2 x C, Ôa2 a2 ¡ b 2 3ß2 ln Ôx x2 Õ C x2 ¡ 1 arctan C b2 Õ x 1 x2 Ô arctan xÕ2 ¡ x arctan x lnÔ1 x2 Õ C 2 x ¡ 2Ô1 x2 Õ arctan x C a4 xÔ2x2 a2 Õ lnÔx a2 x2 Õ C a x2 ¡ 8 x ƯsinƠln xÕ ¡ cosƠln xÕ× C x ƯsinƠln xÕ cosƠln xÕ× C x sin 2x ¡ ex Ôsin x cos xÕ 12 e2x C Chỉ dẫn trả lời tập chương (b) (c) (d) (e) (f ) § § ln §x2 ¡ 1§ C 1 x 1 Ôx 1Õ2 C arctan x ln 2 x 1 ¡ 5Ôx 1¡ 1Õ 501 ln x2Ôx ¡2x1Õ ¡ 258 arctanƠx 1Õ C § § §§ x ¡ §§ ¡ arctan x C ln §x 1§ 2 ¡ 6Ơ1 1 xÕ 16 ln 1Ô¡1 x xÕx2 12 arctan x ¡ 3 arctan 2x ¡3 C (g) Ôx2 1Õ2 ln 12 x ¡ x2 (h) x10 ln 10 20 x (i) 166 13 arctan x3 arctan 2x2 ¡ C C x2 ¡ arctan C (j) arctan x aγ cα x arctan x2 C 2bβ Kết quả: (a) (b) ln Ô1 x3x xÕ2 Ô1 ¡ x xÕ3 3 t ¡ t ¡ ln t ¡ 4 ¡ C x4 x ¡ 2t 27 arctan 7 arctan 158 lnÔt2 t 2Õ ¡ C, Ơt § x x2 ¡ 1 §§ x2 ¡ ln x x2 ¡ 1§ C 2 x 1 (d) x¡ xÔx 1Õ ¡ lnÔ x x 1Õ C 2  ê 2x Ă 1 2 x x ¡ ln x x x 1 C (e) (c) (f ) (g) §§ §§ x 1 § § C ln § ¡ x x2 x § § § x¡3 §§ 3x ¡ x2 ¡ x ¡ §§ arcsin ¡ ln § C x 1 5Ơx ¡ 1Õ § (h) lnÔx (i) 2Ô2z 1Õ z4 12 ln 2Ô3 ¡ 4z Õ (j) 5Ô1 ¡ z ¡ z Õ (k) x2 Õ C x x2 ¡ arctan z2 z ln Ôz ¡ 1Õ2 2z ¡ §§ ln § § C với z § x x2 x 2z §§ C với z ¡ ¡ 2z § 2z arctan 3 C với z ¡x x3 x x2 x x 2Õ Chỉ dẫn trả lời tập chương 5 (l) z ¡ z C với z 1 167 x Kết quả: (a) x ¡ sin 2x sin 4x sin3 2x C 16 64 48 (b) ¡ cos642x cos962x ¡ cos3202x C z2 z ¡ arctan zz2 ¡21 C với z tan x ln 2 z ¡z 2 1 3 ¡ 16 cos 2x 64 cos 4x 481 cos 6x ¡ 128 cos 8x cos 12x C 192 Ô1 ¡ cosxÕÔ2 cos xÕ2 ln C Ô1 cos xÕ3 z arctan azb C với ab z tan x 2b2 Ôa2 z b2 Õ ab3 (c) (d) (e) (f ) ¡ 16 ln Ô1sin¡xsin xcoscosxxÕ ¡ (g) (h) (i) £ 2 arctan u arctan 4 2 ¡ ¢ cos x ¡ sin x sin x 2¡ ¡ x5 ¡ 35 ln sin x cos x C (j) x ¡ ln sin x cos x ¡ 5 §§ § §§ 2Ơcos x sin xÕ §§ § (k) ln ¡ ln § § 2Ơcos x sin xÕ ¡ § § (l) 2 ln sin2 x cos x 4¡2 ¡ x ¡ x tan tan C Kết quả: (a) (b) Ô8 ¡ 4x2 3x4 Õ x2 15 2 ¡ lnÔ1 1 x x x Õ ¡ 12 ln 1Ô 1 x xÕx2 ¢ (d) ¡ 2Ô1ln xx2 Õ 14 ln x x2 C (e) x x (f ) arctan 2x §§ § §§ §§ª a b §§§ x ¡ §§§ x ¡ §§ ln § ¡ ln x ¡1 C x 1§ x 1§ (c) a x ln §§ C ex ¡1, ¡ e¡x , nếu x x 0, C « C vi u âĐ Ă ĐĐ â ĐĐ C ¡1 § § 2Ơsin x ¡ cos xÕ §§ C ¡ 2Ơsin x ¡ cos xÕ § §§ ln § 21 §§ Ă C u arctan Đ ê C tan 2x Chỉ dẫn trả lời tập chương 8 Kết quả: ÷ Ơ ƠbÕ π , sin α 10 ÔaÕ 0, π, 11 ÔaÕ ln 2, ° ³ ³ ² ³ ³ ± f ÔxÕ dx x, x2 x, x2 , ¡ nếu , x ÔcÕ πab , ÔdÕ π, ÔeÕ 2π3 ¡ 2π , ¡ ε2 n chẵn n lẻ 168 0, x x C ÔbÕ Ô¡1Õn π, ÔcÕ 2πn , ÔdÕ 2πn sin nπ ÔbÕ 34π3 , ÔcÕ 32π3 , ÔdÕ π , Ơ π2 , Ơf Õ 15 ln ¢ Ă 3ế!! Ô anĂ1 sign a , ễkế n! n Ô¡1Õk 1 C k lnÔk 1Õ, ÔiÕ n!, Ôj Õ ÔÔ2n n 2n ¡ 2Õ!! Ôac ¡ b2 Õn k 1 12 ÔaÕ HT, ÔbÕ PK, ÔcÕ HT, nếup ÔeÕ HT, nếu1 n 2, Ôf Õ HT, nếu1 Ôj Õ HT, nếup 1, q ª 1 π , Ôg Õ 0, ÔhÕ ¡ 1, ° Ô n ¡ Õ !! π ³ ² ¤ , n chẵn ÔlÕ ³ Ôn ¡n!!1Õ!! ± , n lẻ n!! ¡1, q ¡1, ÔdÕ HT, nếum ¡1, n ¡ m 1, n 2, Ôg Õ HT, nếun 0, ÔhÕ PK, ÔiÕ HT, 13 Kết quả: 2 (b) π π (c) coth 2 (a) (d) 3πa (f ) a2 3a2 (h)  ê 1 ¡ ln (i) (g) (e) 6a2  16 Ă9 ê 14 Kt qu: e2 1 a b (b) a ln a¡b lnÔ1 2Õ 2 lnÔ1 2Õ (c) (a) ¡b (d) 15 Kết quả: 8π 16π 15 π (b) 5Ô1 ¡ e¡2π Õ (a) (c) 5π a3 6π a3 32 32 (d) πab2 πa b 105 105 CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI BÀI TẬP CHƯƠNG (a) A 11 13 ¡22 ¡27 ¡17 29 32 26 π π Ôf Õ πa , Ôg Õ , ÔhÕ , 16 4 , Chỉ dẫn trả lời tập chương (b) A 10 (c) A 0 169 10 7 ¡5 0 Kết quả: (a) 0 (b) cos nα sin nα (c) (d) λn nλn¡1 λn n chẵn; ¡1 ¡2 ¡ sin nα n lẻ cos nα n Kết quả: (a) A a 3b 2b a 3b (b) A a 3b ¡5b a 9b (c) A a b c a b 0 a (d) A a b c d a b c 0 a b 0 a Với a, b, c, d số tuỳ ý 0 f Ơà 0 0 0 Sử dụng tính chất trƠAB Õ a c A b Ăa ăI hoc A ễaế với a2 bc a c b ¡a trƠBà với a2 bc ÔbÕ 3abc ¡ a3 ¡ b3 ¡ c3 ÔcÕ Ôab bc caÕx abc ÔdÕ a2 b2 c2 ÔeÕ ¡ Ôf Õ 3i ÔaÕ 8a 15b 12c ¡ 19d ÔbÕ Ôa2 b2 c2 d2 Õ2 ÔdÕ 100 ÔeÕ Ôf Õ 10Ô ¡ 2Õ 10 (a) nÔ¡1Õ nÔn ¡ 1Õ (b) Ôx ¡ 1ÕÔx ¡ 2Õ Ôx ¡ n 1Õ ÔcÕ a2 b2 c2 ¡ 2Ôab bc caÕ 2d Chỉ dẫn trả lời tập chương (c) 170 an 1 ¡ bn 1 a¡b (d) xn Ôa1 a2 Ô Ô Ô an ếxnĂ1 (e) x1 x2 xn ¢ x1 (f ) Ôa2 ¡ b2 Õn (g) Sử dụng Cnk x1 Ô Ô Ô x1 ê n i k Ôxk ¡ xi Õ ¡1 Đáp số: Cnk¡1 Cnk¡ 11 Kết quả: (a) A¡1 (e) A¡1 (a) (b) ¡3 ¡6 ¡1 ¡9 3c1 c1 3c2 c2 22 (b) A¡1 ¡1 0 ¡1 0 0 ¡2 1 ¡2 0 0 0 0 (c) A¡1 12 ¡7 0 0 với c1 , c2 0 ¡2 ¡17 ¡1 (d) A¡1 0 (f ) A¡1 2¡n 1 ¡6 ¡26 17 20 ¡13 ¡1 ¡1 ¡5 ¡1 Ô¡1Õn¡1 ¡1 Ô¡1Õn¡2 Ô¡1Õn¡3 0 1 ¡1 ¡1 ÈR (c) Vô nghiệm (d) 1 (e) ¡ 3c1 ¡ 3c2 c1 c2 5c1 ¡ 5c2 ¡ 13 ÔaÕ 3 ¡ 3c3 c3 5c3 ¡ ÔbÕ ÔcÕ ÔdÕ ÔeÕ Ôf Õ CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI BÀI TẬP CHƯƠNG Sinh viên tự làm (a) x (b) x e1 2e2 3e3 0e1 2e2 e3 2e4 Sinh viên tự làm 0 ¡1 Chỉ dẫn trả lời tập chương 13 19 45.25 10 24.25 Ma trận chuyển sở: S toạ độ Ưp×B ¡27 ¡71 ¡41 S ¡1 ¡9 ¡13 ¡31.50 S 171 ¡α 20 12 α2 ¡2α Ôa0 , a1 , , an¡1 Õ, Ưp×B ¡α3 3α Ô¡1Õn¡1 αn¡1 ễĂ1ếnĂ2 ễn Ă 1ếnĂ2 ê  ắ ễế pƠn¡1Õ ƠαÕ p ½ , , pƠαÕ, p ƠαÕ, 2! n! ½ Chứng minh phản chứng Giả sử F E G E Nghĩa x È E, x Ê F y È E, y F G E ta suy x È G y È F Do x y phải thuộc F G ta đến mâu thuẫn Øe Ôi, ¡Ô1 iÕ, 1ÕÙ dim F B dim F 3, dim G (a) dim F (b) dim F Ê G Vì 3, B 3, B 2, dimƠF GÕ 4, dimÔF GÕ Øx1 , x2 , x4 Ù Øx1 , x2 , x5 Ù 10 Sử dụng sở trực giao 11 Ô1, 2, 2, ¡1Õ, e2 Ô2, 3, ¡3, 2Õ, e3 Ô2, ¡1, ¡1, ¡2Õ Ô2, 1, 3, ¡1Õ, e2 Ô3, 2, ¡3, ¡1Õ, e3 Ô1, 5, 1, 10Õ (a) e1 (b) e1 12 Sinh viên tự làm 13 Chẳng hạn như: e1 Ô2, ¡2, ¡1, 0Õ, e2 Ơ1, 1, 0, ¡1Õ 14 Tìm α từ điều kiện x ¡ αe, e 15 Xét Ô 16 A y, y Ô B Ô C với y x¡ k Tương tự cho việc chứng minh tính αi ei αi x, ei i 60o , AB AC BC π , ϕ4 60o 17 a n 18 ϕn arccos , ϕn n n 19 60o 20 Xét uk ÔtÕ ¡1 Pj ƠtÕPk ƠtÕdt Ơt2 ¡ 1Õk có kjÕ ễă1ế nu j k vi j k Ly tích phân phần ¡1 ƠkÕ ƠtÕtj dt suy uk Chỉ dẫn trả lời tập chương 10 172 CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI BÀI TẬP CHƯƠNG 10 (a) x1 1, x3 ¡2, x2 (b) x1 x2 (a) x1 0, x3 ¡1, x2 (b) x1 2, x2 (c) x1 ¡2, x2 (d) x1 0, x2 (e) x1 3, x2 (f ) x1 , x2 ¡1 x4 1, x4 ¡2, x4 3, x3 1, x3 1, x3 2, x3 ¡5, x3 ¡2, x3 ¡1 ¡3, x4 4, x4 , x4 4, x4 ¡ 32 ¡2, x5 3, x4 , x5 (a) Nghiệm x3 (b) Hệ khơng tương thích (c) Nghiệm x1 0, x4 (d) Nghiệm x1 2, x3 3, x4 ¡1 ¡ 15 ¡ 3x1 ¡ 4x2 , x4 x3 ¡ 9x4 ¡ , x2 11 ¡6 8x4 , 1, x3 ¡5x3 x4 10 Nghiệm riêng x 0, x4 ¡1, x2 11 ¡ 13x4 , x3 x2 ¡1, x2 Nghiệm riêng x1 15 ¡ 6x4 Nghiệm riêng x1 1, x3 ¡2, x2 (e) Hệ khơng tương thích (f ) Nghiệm x3 ¡1 ¡ 8x1 2, x3 ¡1, x4 0, x5 0: hệ khơng tương thích Khi λ (a) λ (b) λ 4x2 , 1: hệ không tương thích Khi λ (c) λƠλ 3Õ x4 : x1 : x1 0, x5 ¡ x2 Nghiệm riêng x1 ¡5x3 ¡ 13x4 ¡ , x 43 ¡ 8λ ¡ x3 , x2 ¡ 8λ 0: hệ khơng tương thích Khi λƠλ 3Õ 2λ ¡ , x3 λÔλ 3Õ 2x1 (a) X1 (b) X1 (c) X1 (d) X1 Ô1, 0, ¡ 25 , 72 ÕT , X2 Ô1, 0, 0, ¡ 49 , 43 ÕT , X2 Ô1, 1, 1, 1, 0, 0ÕT , X2 Ô¡3, 2, 1, 0, 0ÕT , X2 ¡ 4λ (d) Khi λƠλ 3Õ hệ có nghiệm x1 ¡ λ2 , x2 2λ ¡ 1, x3 nghiệm tổng quát: x1 ¡x2 ¡ x3 Khi λ ¡3 nghiệm tổng quát: x1 ¡7x3 ¡ 19x4 ¡ 14 x3 , x4 hệ có nghiệm x1 λ3 2λ2 ¡ λ ¡ λÔλ 3Õ Ô0, 1, 5, ¡7ÕT Ô0, 1, 0, ¡ 23 , 12 ÕT , X3 Ô0, 0, 1, ¡2, 1ÕT Ô¡1, 0, 0, 0, 1, 0ÕT , X3 Ô0, ¡1, 0, 0, 0, 1ÕT Ô5, ¡3, 0, 0, 1ÕT 1, x2 λ¡1 ¡ λ2 , x2 λÔλ 3Õ λ3 2λ2 ¡ λ ¡ Khi λ x2 x3 Tài liệu tham khảo [1] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 1: Giải Tích 1, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [2] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 2: Giải Tích 2, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [3] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 5: Đại số 1, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [4] Jean-Marie Monier, Exercices corrigés de mathématiques - Algèbre & Géométrie, Dunod, Paris - 1996 [5] Jean-Marie Monier, Exercices corrigés de mathématiques - Analyse, Dunod, Paris 1996 [6] Trần Văn Hãn, Đại số Tuyến tính Kỹ thuật NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1989 [7] G M Fihtengolъc, Kurs Differencialъnogo i Integralъnogo Isqisleni , Tom 1,2,3 Moskva - 1969 [8] B P Demidoviq, Sbornik Zadaq i Upraжneni i po Matematiqeskomu Analizu, Iz- datelъstvo «Nauka», Moskba - 1969 TÀI LIỆU THAM KHẢO 174 ... Đ? ?i số đ? ?i cương, Đ? ?i số tuyến tính Gi? ?i tích hàm biến N? ?i dung giáo trình dựa theo t? ?i liệu [1], [2], [3] toàn bảy tập tác giả Jean-Marie Monier Đây t? ?i liệu dành cho sinh viên chương trình Việt-Pháp... Õα? ?I Khi ta định nghĩa phép toán hợp Cho họ tập hợp X giao họ tập hợp sau: ä X Øx α È I, x È X Ù α α α? ?I ã X Øx α È I, x È X Ù Phép giao: α α Phép hợp: È α I §1.4 Q UAN HỆ HAI NG? ?I Cho X Y hai... Õ Ôxij Õ È N¦ , E np , ta có: n xk k n £ « p n p ¢n xij i j yk k j ª xij i È E qui tr? ?i (giản ước bên tr? ?i) ¦ Ơx, È E 2, Ơa ¦ x a ¦ y x yÕ Phần tử a È E qui ph? ?i (giản ước bên ph? ?i) ¦ Ơx,