bài giảng toán rời rạc

M cL c M CL C M C L C CH NG 1: C S LOGIC 1.1 PHÉP TệNH M NH Đ 1.1.1 M nh đ 1.1.2 Các phép toán m nh đ 1.2 D NG M NH Đ 1.2.1 Bi u th c logic 1.2.2 S t ng đ ng logic 1.2.3 Bi u th c đúng, sai 1.2.4 Các lu t logic 1.3 QUI T C SUY DI N 1.3.1 Khái ni m 1.3.2 Bi u di n 1.3.3 Các qui t c suy di n c b n 1.3.4 Một s ví d 1.4 V T -L NG T 1.4.1 V t 1.4.2 L ng t BƠi t p 10 CH NG 2: PH NG PHỄP Đ M 13 2.1 T P H P 13 2.1.1 Một s khái ni m 13 2.1.2 Cách xác đ nh t p h p 13 2.1.3 Quan h bao hƠm 13 2.1.4 Các phép toán t p h p 13 2.2 S NGUYểN 14 2.2.1 S nguyên vƠ phép chia 14 2.2.2 c s chung l n nh t vƠ bội s chung nh nh t 16 2.2.3 S học mô đun 16 2.2.4 Các ng d ng đ ng d 17 2.2.5 S nguyên vƠ thu t toán 18 2.3 ỄNH X 19 2.3.1 Đ nh nghƿa 19 2.3.2 nh vƠ nh ng c 19 2.3.3 Các ánh x đặc bi t 20 2.3.4 Ễnh x h p 20 2.3.5 Ễnh x đ ng nh t 20 2.4 PHÉP Đ M 20 2.4.1 L c l ng 20 M cL c 2.4.2 Nguyên lý cộng 21 2.4.3 Nguyên lý nhân 23 2.5 GI I TệCH T H P 24 2.5.1 Ch nh h p 24 2.5.1.1 Ch nh h p không lặp 24 2.5.1.2 Ch nh h p lặp 24 2.5.2 T h p 25 2.5.2.1 T h p không lặp 25 2.5.2.2 T h p lặp 26 2.6 NGUYểN Lụ CHU NG B CÂU 27 2.7 C NG TH C TRUY H I 28 2.7.1 Khái ni m 28 2.7.2 Gi i công th c truy h i kh đ quy 29 BƠi t p 35 CH NG 3: QUAN H 41 3.1 QUAN H NG I 41 3.1.1 Đ nh nghƿa 41 3.1.2 Một s ví d 41 3.1.3 Bi u di n quan h 41 3.1.4 Các tính ch t quan h 42 3.2 QUAN H T NG Đ NG 42 3.2.1 Đ nh nghƿa 42 3.2.2 Một s ví d 42 3.2.3 L p t ng đ ng 42 3.3 QUAN H TH T 43 3.3.1 Đ nh nghƿa 43 3.3.2 Bi u đ Hasse 44 3.3.3 Dàn 44 BƠi t p 47 CH NG : Đ I S BOOL 52 4.1 Đ NH NGHƾA 52 4.2 HÀM BOOL 53 4.2.1 Đ nh nghƿa 53 4.2.2 Bi u di n hƠm Bool 53 4.2.3 M ng c ng logic 53 4.2.4 Ph ng pháp bi u đ Karnaugh 54 BƠi t p 57 Tài li u tham kh o 58 CH NG 1: C Ch ng 1: C s logic S LOGIC 1.1 PHÉP TệNH M NH Đ 1.1.1 M nh đ Khái ni m: lƠ khẳng đ nh sai, giá tr sai đ tr m nh đ , đ c ký hi u l n l t T, Đ (F, S) c gọi lƠ chơn Ví d : Xét khẳng đ nh nh sau: ắ3 lƠ s nguyên t ” ắT ng góc tam giác = 180o ” ắ3 chia h t cho 2” ắn lƠ s lẻ” ắAnh lƠ ai?” Các khẳng đ nh 1, 2, lƠ m nh đ vƠ có chơn tr 1, có chơn tr Khẳng đ nh 4, không ph i lƠ m nh đ khơng có chơn tr xác đ nh M nh đ s cấp: Một m nh đ đ m nh đ khác c gọi lƠ s c p n u khơng th phơn tích thƠnh M nh đ ph c h p: Một m nh đ đ nhi u m nh đ s c p c gọi lƠ ph c h p n u đ c c u thƠnh t hay Ví d : ắ2 lƠ s chẵn” ắ2 lƠ s chẵn vƠ lƠ s nguyên t ” M nh đ lƠ m nh đ s c p, m nh đ lƠ m nh đ ph c h p hình thƠnh t m nh đ s c p: ắ2 lƠ s chẵn” vƠ ắ2 lƠ s nguyên t ” 1.1.2 Các phép toán m nh đ Các phép toán m nh đ đ c s d ng đ liên k t m nh đ l i v i t o thƠnh bi u th c m nh đ Các phép toán g m: Phép phủ đ nh  , phép n i li n (), phép n i r i ), phép kéo theo ( , phép kéo theo chi u ) Th t u tiên phép toán:  ,  , Ch 1.1.2.1 ng 1: C s logic Phép phủ đ nh Cho p lƠ bi n m nh đ , phủ đ nh p ký hi u lƠ  p có b ng chơn tr nh sau: 1.1.2.2 p p 1 Phép n i li n Cho p, q lƠ m nh đ , phép n i li n p vƠ q ký hi u lƠ p  q p 0 1 1.1.2.3 q 1 pq 0 Phép n i r i Cho p, q lƠ m nh đ , phép n i r i p vƠ q ký hi u lƠ p  q p 0 1 1.1.2.4 q 1 pq 1 Phép kéo theo Cho p, q lƠ m nh đ , phép kéo theo p vƠ q ký hi u lƠ p  q p 0 1 1.1.2.5 q 1 pq 1 Phép kéo theo chi u Cho p, q lƠ m nh đ , phép kéo theo chi u p vƠ q ký hi u lƠ p  q p 0 1 q 1 pq 0 Ch ng 1: C s logic 1.2 D NG M NH Đ 1.2.1 Bi u th c logic Một bi u th c logic đ c hình thƠnh t bi n m nh đ , m nh đ vƠ phép toán liên k t m nh đ Ví d : A = p  q)  [ q  (p  r ] lƠ bi u th c logic 1.2.2 S t ng đ ng logic Hai bi u th c logic đ c gọi lƠ t ng đ h p chơn tr bi n m nh đ ng n u có chơn tr tr ng Ví d : Xét bi u th c logic sau: A=pq,B=qp L p b ng chơn tr A vƠ B p 0 1 1.2.3 q 1 p q 1 0 0 pq 1 q p 1 Bi u th c đúng, sai Một bi u th c logic đ c gọi lƠ t ng ng sai n u có chơn tr t ng ng tr ng h p chơn tr bi n m nh đ Ví d : A = p  q  p  q lƠ bi u th c có b ng chơn tr nh sau: p 0 1 q 1 pq 0 pq 1 A 1 1 B = p   (q  p lƠ sai vƠ có b ng chơn tr nh sau: p 0 1 q 1 qp 1 (qp) 0 B 0 0 Ch 1.2.4 ng 1: C s logic Các lu t logic - Phủ đ nh phủ đ nh  p  p - Giao hoán pqqp pqqp - K th p (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) - Phơn b p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) - Kéo theo - T ng đ pqpq ng p  q  (p  q)  (q  p) - Demorgan  (p  q)  ( p   q)  (p  q)  ( p   q) - Ph n t bù pp0 pp1 - Luỹ đẳng ppp ppp - Th ng tr p00 p11 - Trung hoà Ch ng 1: C s logic p0p p1p - H p thu p  (p  q)  p p  (p  q)  p 1.3 QUI T C SUY DI N 1.3.1 Khái ni m - Trong trình ch ng minh bƠi toán ng i ta th ng d a vƠo gi thuy t ti n đ vƠ áp d ng đ nh lý, đ nh nghƿa đ suy k t qu k t lu n Các qui t c đ c áp d ng trình ch ng minh t ti n đ đ n k t lu n đ c gọi lƠ qui t c suy di n - Một qui t c suy di n có th ki m tra cách l p b ng chơn tr dùng lu t logic N u lƠ suy lu n lƠ 1.3.2 Bi u di n Có cách bi u di n qui t c suy di n: - Bi u th c đúng: - Dòng suy di n: p1  p2  … pn  q  p1  p2  … pn  q - Mô hình suy di n: p1 p2 … pn q 1.3.3 Các qui t c suy di n c b n - Qui t c Modus Ponens (p  q)  p  q - Qui t c Modus Tollens (p  q)   q   p Ch ng 1: C s logic - Tam đo n lu n (p  q)  (q  r)  (q  r) - Tam đo n lu n r i (p  q)   q  p - Qui t c mơu thuẩn p1  p2  … pn  q  p1  p2  … pn   q  Một s ví d 1.3.4 Ki m tra suy lu n sau lƠ hay sai p pq qr r Ta có: p p  q (QT Modus Ponens) q q qr QT tam đo n lu n r i V y suy lu n lƠ r pr pq qs r s 0 Ta có: p  r r p (QT Modus Tollens) Ch ng 1: C s logic p pq q (QT Modus Ponens) q qs (QT Modus Ponens) s ss0 V y suy lu n lƠ 1.4 V T 1.4.1 -L NG T V t - V t lƠ khẳng đ nh p x,y,z,… x,y,z,… lƠ bi n l y giá tr t nh ng t p h p cho tr c Khi thay bi n nƠy giá tr c th ta đ c m nh đ - Ví d : Xét v t nh sau: p x = {x lƠ s nguyên t } p x,y = {x lƠ 1.4.2 L c s y} ng t L ng t lƠ ký hi u toán học đ mi n xác đ nh nƠo Ký hi u:  l  l c s d ng đ buộc giá tr bi n ph i thuộc ng t v i ng t t n t i Khi thay giá tr bi n vƠo v t có tr ng h p có th x y nh sau: o Tr ng h p 1: giá tr bi n thay vƠo ta đ Ta vi t  x, p(x) c m nh đ o Tr ng h p 2: Một s giá tr bi n lƠm cho m nh đ đúng, s giá tr khác lƠm cho m nh đ sai Ta vi t  x, p(x) o Tr ng h p 3: giá tr bi n lƠm cho m nh đ có chơn tr sai Ta vi t  x,  p(x) Một m nh đ đ hố c hình thƠnh t l ng t vƠ v t đ c gọi lƠ m nh đ l ng t Ví d : Xét v t xác đ nh R nh sau: Ch ng 1: C s logic p(x) = {x2 ậ 4x +3 = 0} q(x) = {x > 0} Xét m nh đ l ng t hóa có chơn tr đ a  x  R, p(x)  q(x)  c xác đ nh nh sau: b  x R, p(x)  q(x)  BƠi t p Trong khẳng đ nh sau, khẳng đ nh nƠo lƠ m nh đ a S nguyên t lƠ s l b) B n tên gì? c T ng c nh tam giác > c nh th d Tr i hôm đ p e x lƠ s nguyên d ng Cho bi t chơn tr m nh đ sau: a lƠ s l vƠ lƠ s nguyên t b N u 2=1 lƠ s l c N u 3>0 chia h t cho d Mọi s nguyên d ng đ u lƠ s ph ng Gi s m nh đ pq có chơn tr sai, hƣy xác đ nh chơn tr m nh đ sau: a) p  q b) p  q c) q  p Cho bi u th c m nh đ A = (p  [(q  r)  s])  [s  (r  p ] có chơn tr Hƣy xác đ nh t t c chơn tr bi n m nh đ q, r, s n u p có chơn tr L p b ng chơn tr cho m nh đ sau: a) p  (q  p) b) [(p  q)   r]  p c) (p  q)  (p  q) d) (p  r)  (p  q) e) (p  q)  (p  q)  r f) p  [( p   q) (r  q)] Trong bi u th c m nh đ sau, bi u th c nƠo lƠ đúng, sai a) p  q  p  q 10 Ch ng 3: Quan h o Chặn nh nh t t p A lƠ ph n t nh nh t t p chặn ký hi u lƠ sup A - Ví d : Cho X= {1,2,3,4,5}, R lƠ quan h th t X, A={3,4,5}  X R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)} o Ph n t nh nh t X lƠ X không t n t i o Ph n t l n nh t X lƠ max X = 1R5, 2R5, 3R5, 4R5 o Ph n t t i ti u X lƠ vƠ khơng t n t i ph n t nƠo thuộc X khác 1, vƠ có quan h v i 1,2 o Ph n t t i đ i X lƠ khơng t n t i ph n t nƠo thuộc X khác vƠ có quan h v i ph n t o Sup(A) = 5, Inf(A) = 3.3.2 Bi u đ Hasse Đ nh nghƿa: lƠ c u trúc đ th th hi n s quan h gi a ph n t t p h p th t Trên bi u đ Hasse quan h có tính ch t ph n x vƠ b t c u đ c lo i b , nh ng v n đ c hi u ng m lƠ có Ví d : Cho X = {1,2,3,4,5}, R lƠ quan h th t X đ c đ nh nghƿa nh sau: R= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)} Ta có bi u đ Hasse t p h p th t X,R nh sau: 3.3.3 Dàn Đ nh nghƿa: Cho L,R lƠ t p h p th t , L,R đ  sup{x,y} inf{x,y} ký hi u sup{x,y} = x  y Tính ch t:  x,y,z  L ta có c gọi lƠ dƠn n u  x,y  L inf{x,y} = x  y 44 Ch ng 3: Quan h o xy=yx xy=yx o o (x  y)  z = x  (y  z) o (x  y)  z = x  (y  z) Ví d : 4 6 5 3 1 Dàn Không ph i dƠn Dàn Dàn - Đ nh nghƿa: Cho L,R lƠ dƠn vƠ B  L, B đ  a, b  B, sup{a,b}  B, inf{a,b}  B - Ví d : Xét dƠn L,R nh sau: Không ph i dƠn c gọi lƠ dƠn L  Dàn L 6 4 5 2 1 Không dàn Là dàn L Là dàn L Không dàn 45 Ch DƠn phơn b ng 3: Quan h c gọi lƠ phơn b n u  x,y,z  L ta có: Đ nh nghƿa: Một dƠn L đ x  (y  z) = (x  y)  (x  z) x  (y  z) = (x  y)  (x  z) 10 Ví d : Xét dàn u10 có bi u đ Hasse nh sau: u10 lƠ dƠn phơn b Xét dƠn L có bi u đ Hasse nh sau: e L lƠ dƠn nh ng không phơn b vì: d  (b  c) = d b (d  b)  (d  c) = a  d c d a Dàn bù Đ nh nghƿa: Cho L lƠ dƠn v i ph n t l n nh t vƠ nh nh t ký hi u lƠ vƠ 0, y x đ c nói lƠ ph n bù x  L n u x  x = 1, x  x = Ta nói L lƠ dƠn bù n u  x  L đ u có ph n bù Ví d : Xét dƠn có bi u đ Hasse nh sau: d c b e a L1 L2 L1 lƠ dƠn bù ph n t L1 đ u có ph n bù e = c, a = d, b = e, c = e, d = a L2 không ph i dƠn bù ph n t khơng có ph n bù Đ ng cấu dƠn, đẳng cấu dƠn Đ nh nghƿa: Cho dƠn L vƠ M, ánh x f: L→ M đ n u x,yL, xRy  f(x)Rf(y) c gọi lƠ đ ng c u dƠn 46 Ch N u f lƠ song ánh f đ ng 3: Quan h c gọi lƠ đẳng c u dƠn Ví d : Cho dƠn L vƠ M nh sau: g e b f c d a L Xét ánh x f: L → M đ M c đ nh nghƿa nh sau: f = a, f = c, f = b , f = e F lƠ đ ng c u dƠn vì:  x,y  L, xRy  f(x)Rf(y) Th t v y, ta có 1R2  aRc, 1R3  aRb, 1R4  aRe, 2R4  cRe, 3R4  bRe BƠi t p Cho A={0,1,2,3,4} vƠ quan h R A nh sau: R={(0,0),(2,1),(0,3),(1,1),(3,0),(1,4),(4,1),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4),(1,2),(4,2)} R có lƠ quan h t ng đ ng? N u có hƣy tìm phơn ho ch t ng ng v i R Cho A={1,2,3,4,5,6} Trên A xác đ nh quan h R ={ a,b | a-b=3k, a,b  A, k  Z } a Bi u di n R ph th có h ng ng pháp li t kê, ph b Ch ng minh R lƠ quan h t c Tìm quan h t A3={4,5,6} ng đ ng đ ng pháp ma tr n, ph ng pháp đ ng A Tìm phơn ho ch R sinh ng S A sinh l p sau: A1={1}; A2={2,3}; Cho t p X={1,2,…,n}; vƠ cho quan h R X d ng li t kê Vi t ch ng trình nh p vƠo s nguyên d ng n vƠ cặp quan h R, cho bi t R có lƠ quan h t ng đ ng X hay không, n u có cho bi t l p t ng đ ng mƠ R sinh Xét quan h sau t p s nguyên: R1= {(a,b)| a  b}; R2= {(a,b)| a>b}; R3= { a,b | a=b a=-b}; R4= {(a,b)| a=b}; R5= {(a,b)| a=b+1}; 47 Ch ng 3: Quan h R6= {(a,b)| a+b  3}; Quan h nƠo lƠ quan h t sao? ng đ ng, quan h nƠo khơng lƠ quan h t Có quan h R có tính ph n x ng đ ng? t i đ i x ng t p A có n ph n t ? Hƣy tìm quan h A={1,2,3,4} cho có tính ch t: a Ph n x vƠ đ i x ng nh ng không b c c u b Ph n x vƠ b c c u nh ng không đ i x ng c Đ i x ng vƠ b c c u nh ng không ph n x Trong s quan h d ph n x ng, b c c u: i đơy, hƣy cho bi t quan h nƠo có tính ph n x , đ i x ng, a) C t p c đ nh E, xét quan h R P E lƠ t p t t c t p E: A R B  A  C=B  C b quan h R Z : x R y  x y chẵn c) quan h R Z : x R y  x-y lẻ d quan h R Z x Z : (a,b)R(c,d)  a  c e quan h R Z : x R y  x2 +y2 chẵn f quan h R Z: x R y  |x|=|y| g quan h R Z: x R y  sin2x+cos2y=1 R lƠ quan h A v i n ph n t Cho bi t khẳng đ nh sau hay sai N u sai, ch ph n ví d a N u R ph n x |R|  n b N u |R|  n R ph n x c N u R1 R2 lƠ hai quan h A cho R2  R1 R1 ph n x R2 ph n x d K t lu n t ng t nh c cho tính đ i x ng, ph n x ng, b c c u f K t lu n t ng t nh e cho tính đ i x ng, ph n x ng, b c c u e N u R1 R2 lƠ hai quan h A cho R2  R1 R2 ph n x R1 ph n x Quan h đ i ng u R* quan h R đ c đ nh nghƿa b i : x R* y  y R x a Quan h đ i ng u R* ? b Có th nói v R n u R=R* 48 Ch c N u R b c c u R* có b c c u khơng ? Cơu h i t ph n x ng ng 3: Quan h ng t cho tính đ i x ng, 10 Cho A={1,2,3,4} Xác đ nh s quan h A có tính ch t: a) Ph n x b Đ i x ng b Ph n x vƠ đ i x ng c Ph n x ng d Đ i x ng vƠ ph n x ng e Ph n x , đ i x ng vƠ ph n x ng 11 Cho A={1,2,3,4,5}; A1={1,2}, A2={2,3,4}, A3={5} Đ nh nghƿa quan h R A nh sau: x R y   i:  i  x,y  Ai R có ph i lƠ quan h t ng đ ng không ? 12 Cho A={1,2,3,4,5} vƠ R lƠ quan h A2 cho : (a,b)R(c,d)  a+b=c+d a Ki m tra l i R lƠ quan h t b Xác đ nh l p t ng đ ng đ ng ng [ 1,3 ] ; [(2,4)] ; [(1,1)] c) Ch phơn ho ch A2 R t o 13 Cho t p X={1,2,3,4,5} R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,3), (2,5), (2,1), (4,3), (4,1), (5,1), (3,1)} a Ch ng minh R lƠ quan h th t b Tìm ph n t l n nh t, nh nh t, t i đ i, t i ti u t p X v i R nh c Cho A={2,3,5}, hƣy tính sup A , inf A d Hƣy v bi u đ Hasse cho t p h p th t X, R 14 Cho t p X={a,b,c,d,e} R={(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (a,e), (c,b), (c,e), (c,d)} Hƣy v bi u đ Hasse cho t p h p X v i quan h R nh 15 Xét ánh x f: A  B Đ nh nghƿa quan h R A nh sau: xRy  f(x) = f(y) a Ch ng minh R lƠ quan h t b Tìm l p t ng đ ng đ ng ng 49 Ch ng 3: Quan h 16 Gi s A = P E v i E = {1, 2, 3} Trong t p h p A v i th t bao hƠm, hƣy tìm sup vƠ inf t p h p B  A d i đơy a) B={{1},{2}} b) {{1},{2},{3},{1,2}} c) {, {1},{2},{1, 2}} d) {{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}} e) {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}} f) {1},{2},{3},{1,2},{1,3}, {2,3},{1,2,3}} 17 Xét bi u đ Hasse t p h p th t X, R nh sau: k h j i e f b c g d a a Ki m tra xem X, R có ph i lƠ dƠn hay không b N u R lƠ dƠn, hƣy li t kê t t c dƠn X có ph n t , ph n t , ph n t , ph n t c Tính giá tr bi u th c sau: e  d; g  a; i  (g  b); (k  a)  f; (e  c)  (g  h) d Xét Y = {b, c, e, f}, Hƣy tìm t p chặn Y, t p chặn d sup(Y), inf(Y) i Y, 50 Ch ng 3: Quan h 18 DƠn nƠo lƠ bù dƠn sau đơy: h g f f f d b c d e e c b a a 19 Cho ví d v dƠn phơn b 20 Vi t ch ng trình nh p vƠo t p X = {1, 2, 3, 4} vƠ quan h R d tr n, sau xu t quan h R d i d ng li t kê i d ng ma 21 Vi t ch ng trình nh p vƠo t p X = {1, 2, 3, 4} nh p quan h R cách đọc file có nội dung nh sau: 1 0 1 0 0 1 sau xu t quan h R d i d ng li t kê 22 Hƣy vi t ch ng trình ki m tra xem quan h t p X có ph i lƠ quan h t ng đ ng khơng N u có xu t l p t ng đ ng 23 Vi t ch ng trình ki m tra quan h t p X có th t hay khơng N u lƠ quan h th t xu t ph n t l n nh t, nh nh t, t i đ i, t i ti u 51 Ch CH ng 4: Đ i s Bool NG : Đ I S BOOL 4.1 Đ NH NGHĨA Một đ i s Bool lƠ t p h p A v i phép tốn ngơi , , bù, th a mƣn tính ch t sau: - Tính giao hốn:  x,y  X, x  y = y  x xy=yx - Tính k t h p:  x,y,z  X, (x  y)  z = x  (y  z) (x  y)  z = x  (y  z) - Tính phơn b :  x,y,z  X, x  (y  z) = (x  y)  (x  z) x  (y  z) = (x  y)  (x  z) - Tính trung hịa:  x  X, x  = x x1=x - Ph n t bù: 10  x  X, x  x = x x =0 - Ví d : 1 Xét dàn u10 có bi u đ Hasse nh sau: u10 lƠ đ i s Bool, u10 th a tính ch t đ i s Bool, ph n t l n nh t lƠ 10,nh nh t lƠ 1, x  u10, x = 10 x Cho E = {a,b,c}, P E lƠ t p t t c t p E, quan h P(E) quan h  {a,b,c} Bi u đ Hasse P E v i quan h  nh sau: {a,c} {a} {a,b} {c} {b,c} {b} {} 52 Ch ng 4: Đ i s Bool Ph n t l n nh t P E lƠ {a,b,c}, ph n t nh nh t lƠ  A, B  P(E), A  B = A  B; A  B = A  B P E v i quan h  lƠ đ i s Bool 4.2 HÀM BOOL 4.2.1 Đ nh ngh a - Một hƠm Bool n bi n lƠ ánh x f: Bn  B v i B = {0,1} - Một bi n x đ c gọi lƠ bi n Bool n u x ch l y giá tr thuộc B Ví d : Cho f lƠ hƠm Bool theo bi n x,y,z xác đ nh b i f x,y,z = xy  x z 4.2.2 Bi u di n hàm Bool Cho n lƠ s nguyên d ng, f lƠ hƠm Bool theo n bi n x1, x2,…,xn ta nói: - Mỗi bi u th c Bool hay hàm Bool có d ng xi hay xi lƠ t đ n - Mỗi bi u th c Bool hay hàm Bool lƠ tích c b n n u có d ng y1, y2,…,yn v i yi= xi hay xi - Ví d : tìm d ng n i r i t c hƠm Bool f(x,y,z) = xy  x z L p b ng giá tr f x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z 1 1 xy 0 0 0 1 xz 1 0 0 f 1 0 1 D ng n i r i t c f bi u di n bi n x,y,z t i f có giá tr =1 f = x y z  x yz  xy z  xyz 4.2.3 M ng c ng logic - Các c ng logic đ c ng nh sau: c s d ng k t h p v i đ bi u di n hƠm Bool có o C ng AND x x y y 53 Ch x o C ng OR ng 4: Đ i s Bool x y y x o C ng NOT x x xy o C ng NOT AND y x y x o C ng NOT OR y - Ví d : f(x,y) = ( x  xy ) y đ c bi u di n b i s đ m ng c ng nh sau: x x  xy xy f y f(x,y,z) = xy  y  x z có s đ m ng c ng nh sau: z x y 4.2.4 Ph z xz xy xy y f ng pháp bi u đ Karnaugh Ph ng pháp bi u đ Karnaugh lƠ ph ng pháp d a vƠo bi u đ Karnaugh đ tìm cơng th c đa th c đa th c t i ti u hƠm Bool f 54 Ch Xét hàm Bool bi n Xét hàm Bool bi n: x x x z 101 111 011 001 z 100 110 010 000 y y ng 4: Đ i s Bool x 1010 1110 0110 0010 1011 1111 0111 0011 t z t 1001 1101 0101 0001 1000 1100 0100 0000 z y y y t y Ví d : V bi u đ Karnaugh hƠm Bool sau: f (x,y,z) = x yz  xy z  x y z  x y z  x y z f(x,y,z,t) = xyzt  x y z t  x y z t  x yz t  x y z t  x y z t - T bƠo: Trên b ng Karnaugh hƠm Bool ta gọi t bƠo lƠ nhóm đ c g ch chéo g n - T bƠo t i đ i: Một t bƠo T đ h n T ch a T c gọi lƠ t i đ i n u khơng có t bƠo nƠo khác l n - Thu t tốn tìm cơng th c đa th c t i ti u B c 1: Tìm t t c t bƠo t i đ i bi u đ Karnaugh B c 2: N u t n t i ô ch thuộc t bƠo nh t chọn t bƠo nƠy đ phủ ti p t c cho đ n h t tính ch t N u đƣ phủ kín bi u đ k t thúc thu t tốn vƠ suy công th c đa th c t i ti u ng c l i qua b c B c 3: Chọn ô ch a đ c phủ thuộc nhi u t bƠo t i đ i, chia nhi u tr ng h p đ phủ vƠ c ti p t c đ n kín bi u đ vƠ suy cơng th c đa th c t i ti u f - Ví d : Tìm cơng th c đa th c t i ti u hƠm Bool f có bi u đ Karnaugh nh sau: 55 Ch ng 4: Đ i s Bool Các t bƠo t i đ i bi u đ Karnaugh nh sau: xy t x zt xy z xyt yzt x yz  Chọn ô 1,1 ch thuộc t bƠo nh t x y t nên dùng t bƠo nƠy đ phủ  Chọn ô 1,3 ch thuộc t bƠo nh t x yz nên dùng t bƠo nƠy đ phủ  Cịn ch a phủ lƠ 2,2 , 3,2 , 4,2 , chọn phủ ô 2,2 b i t bƠo xyt vƠ yzt o Chọn t bƠo yzt đ phủ 2,2  Cịn ch a phủ, chọn xy z đ phủ kín bi u đ f1 = x y t  x yz  yzt  xy z o Chọn t bƠo xyt đ phủ 2,2 cịn ch a phủ lƠ ô 4,2  Phủ ô 4,2 chọn t bƠo xy z kín bi u đ  f2 = x y t  x yz  xyt  xy z  Phủ ô 4,2 chọn t bƠo x z t kín bi u đ  f3 = x y t  x yz  xyt  x z t V y có cơng th c đa th c t i ti u lƠ f1, f2, f3 56 Ch ng 4: Đ i s Bool BƠi t p Ch ng minh Dàn u30 đ i s Bool Hƣy dùng m ng c ng logic đ bi u di n hƠm Bool sau: a) f(x,y) = xy  x b) f(x,y,z) = xy  z  x y c) f(x,y,z) = x y z  x y z Hƣy tìm d ng n i r i t c hƠm Bool câu Hƣy v bi u đ Karnaugh hƠm Bool sau: a) f(x,y,z) = xyz  x y z  x y z  x y z  x y z b) f(x,y,z,t) = x yzt  x y z t  x y z t  x y zt  xyzt  x y z t  x y z t Tìm cơng th c đa th c t i ti u hàm Bool có bi u đ Karnaugh nh sau: a) d) b) c) e) f) 57 Tài li u tham kh o Tài li u tham kh o Toán r i r c ậ GS Nguy n H u Anh, NXB Lao Động Xã Hội Toán r i r c ng d ng tin học ậ TS Kenneth Rosen, NXB Th ng Kê Toán r i r c - Nguy n Đ c Nghƿa, Nguy n Tô Thành, NXB Giáo D c Saxl, Discrete_Mathematics, 1995 58