TOÁN rời rạc

LOGO Lê Văn Luyện email: lvluyen@yahoo.com TOÁN R I R C www.math.hcmus.edu.vn/~lvluyen/trr Edited by Foxit Reader Cơ sở Logic Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only Nội dung: gồm phần - Cơ sở logic - Phép đếm - Quan hệ - Hàm Bool - Đồ thị Edited by Foxit Reader Cơ sở Logic Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only Chương I: Cơ sở logic - Mệnh đề D ng mệnh đề Qui tắc suy diễn Vị từ, lượng từ Tập hợp Ánh x Qui n p toán học I Mệnh đề Định nghĩa: Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định, sai Câu hỏi, câu c m thán, mệnh lệnh… khơng mệnh đề Ví dụ: - mặt trời quay quanh trái đất - 1+1 =2 - Hôm trời đẹp ! (ko mệnh đề) - Học ! (ko mệnh đề) - số chẵn ph i không? (ko mệnh đề) I Mệnh đề Ký hiệu: người ta dùng ký hiệu P, Q, R… để mệnh đề Chân trị mệnh đề: Một mệnh đề sai, đồng thời vừa vừa sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai Chân trị chân trị sai ký hiệu 1(hay Đ,T) 0(hay S,F) I Mệnh đề Kiểm tra khẳng định sau có ph i mệnh đề khơng? - Paris thành phố Mỹ - n số tự nhiên - nhà mà xinh thế! - số nguyên tố - Toán rời r c môn bắt buộc ngành Tin học - B n có khỏe khơng? x  ln dương - I Mệnh đề Phân lo i: gồm lo i a Mệnh đề phức hợp: mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết liên từ (và, hay, khi,…) tr ng từ “không” b Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác thông qua liên từ tr ng từ “khơng” Ví dụ: - khơng số nguyên tố - số nguyên tố (sơ cấp) - Nếu 3>4 trời mưa - An xem phim hay An học - Hôm trời đẹp +1 =3 I Mệnh đề Các phép tốn: có phép tốn a Phép phủ định: phủ định mệnh đề P ký hiệu P hay P (đọc “không” P hay “phủ định của” P) P P B ng chân trị : 0 Ví dụ : - số nguyên tố Phủ định: không số nguyên tố - >2 Phủ định : 1≤ I Mệnh đề b Phép nối liền (hội, giao): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P  Q (đọc “P Q”), mệnh đề định : P  Q P Q đồng thời Bảng chân trị P Q PQ 0 0 1 0 1 Ví dụ: - 3>4 Trần Hưng Đ o vị tướng (S) - số nguyên tố số chẵn (Đ) - An hát uống nước (S) I Mệnh đề c Phép nối r i (tuyển, hợp): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P  Q (đọc “P hay Q”), mệnh đề định : P  Q sai P Q đồng thời sai Bảng chân trị Ví dụ: - p >4 hay p >5 (S) P Q 0 1 PQ 1 1 - số nguyên tố số chẵn (Đ) 10 VI Ánh x f(A) = {f(x)  x  A} = {y  Y  x  A, y = f(x)} Như y  f(A)  x  A, y = f(x); y  f(A)  x  A, y  f(x) f–1(B) = {x  X  f(x)  B} gọi nh ngược B f–1(B) Như x  f–1(B)  f(x)  B VI Ánh x Ví dụ Cho f: R R xác định f(x)=x2 +1 Ta có f([1,3])=[2,10] f([-2,-1])=[2,5] f([-1,3])=[1,10] f((1,5)) = (2,26) f–1(1)={0} f–1(2)={-1,1} f–1(-5)=  f–1([2,5])= [-2,-1] [1,2] VI Ánh x Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only Phân lo i ánh x a Đơn ánh Ta nói f : X  Y đơn ánh hai phần tử khác X có nh khác nhau, nghĩa là: Ví dụ Cho f: N R xác định f(x)=x2 +1 (là đơn ánh) g: R R xác định g(x)=x2 +1 (không đơn ánh) VI Ánh x Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only x, x'  X, x  x'  f(x)  f(x' ) Như f : X  Y đơn ánh  (x, x'  X, f(x) = f(x')  x = x')  (y  Y, f–1(y) có nhiều phần tử)  (y  Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nhiều nghiệm x  X f : X  Y không đơn ánh  (x, x'  X, x  x' f(x) = f(x'))  (y  Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có hai nghiệm x  X VI Ánh x b Tồn ánh Ta nói f : X  Y toàn ánh f(X)=Y, nghĩa là: Ví dụ Cho f: R R xác định f(x)=x3 +1 (là toàn ánh) ánh) g: R R xác định g(x)=x2 +1 (khơng tồn VI Ánh x Toàn ánh  f(X)=Y Như f : X  Y toàn ánh  (y  Y, x  X, y = f(x))  (y  Y, f–1(y)  );  y  Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nghiệm x  X f : X  Y không toàn ánh  (y  Y, x  X, y  f(x));  (y  Y, f–1(y)  ); VI Ánh x c Song ánh Ta nói f : X  Y song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh Ví dụ Cho f: R R xác định f(x)=x3 +1 (là song ánh) ánh) g: R R xác định g(x)=x2 +1 (khơng song VI Ánh x Tính chất f : X  Y song ánh  (y  Y, !x  X, y = f(x));  (y  Y, f–1(y) có phần tử);  y  Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nghiệm x  X VI Ánh x Ánh x ngược Xét f : X  Y song ánh Khi đó, theo tính chất trên, với y  Y, tồn t i phần tử x  X thỏa f(x) = y Do tương ứng y  x ánh x từ Y vào X Ta gọi ánh xạ ngược f ký hiệu f–1 Như vậy: f–1 : Y  X y  f–1(y) = x với f(x) = y Ví dụ Cho f ánh xạ từ R vào R f(x) =2x+1 Khi f–1(x)=(y-1)/2 VI Ánh x Tích ánh x Cho hai ánh x f : X  Y g : Y'  Z Y  Y' Ánh xạ tích h f g ánh x từ X vào Z xác định bởi: h : X  Z x  h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof : X  Y  Z VI Ánh x Ví dụ Tìm gof, fog f ( x) = x  1, g ( x) = x   x2 if x > f ( x) =   x  if x  g ( x) = x  V Quy n p Chứng minh + + + + …+ (2n-1)= n2 v i n ≥ 1 Phương pháp Với toán chứng minh tính đắn biểu thức mệnh đề có chứa tham số n, P(n) Quy n p toán học kỹ thuật chứng minh P(n) với số tự nhiên n ≥N0 - Quá trình chứng minh quy n p bao gồm bư c:  Bước sở: Chỉ P(N0)  Bước quy nạp: Chứng minh P(k) P(k+1) Trong P(k) gọi gi thiết quy n p V Quy n p Ví dụ Chứng minh 1+3+…+(2n-1)=n2 với số nguyên dương n Gọi P(n) = “1+3+…(2n-1)=n2 “ + Bước sở: Hiển nhiên P(1) 1= 12 V Quy n p + Bước quy n p: - Gi sử P(k) đúng, tức     (2k  1) = k - Ta ph i P(k+1) đúng, tức     (2k  1) = (k  1) Từ gi thiết quy n p ta có:     (2k  1)  (2k  1) = k  (2k  1) = (k  1)2 - Suy ra, P(k+1) Vậy theo nguyên lý quy n p P(n) với số nguyên dương n V Quy n p n(n  1) CM     (n  1)  n = n  ... n p toán học I Mệnh đề Định nghĩa: Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định, sai Câu hỏi, câu c m thán, mệnh lệnh… khơng mệnh đề Ví dụ: - mặt trời quay quanh trái đất - 1+1 =2 - Hôm trời... suy diễn • Nếu trời mưa đường ướt • Nếu đường ướt đường trơn Suy trời mưa đường trơn • Một ngựa rẻ ngựa • Cái đắt Suy ngựa rẻ đắt () 35 III Qui tắc suy diễn Qui tắc tam đoạn luận rời Qui tắc thể...  q)  p Hoặc dư i d ng sơ đồ pq p 40 III Qui tắc suy diễn Hôm An học Toán rời r c học Anh văn Suy ra: Hơm An học Tốn rời r c 41 III Qui tắc suy diễn Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh ph n chứng)