TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics

Trường đại học Cần Thơ Khoa Công nghệ thông tin truyền thơng Bộ mơn Khoa học máy tính TỐN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương 3: Phép đếm Nội dung  Các nguyên lý đếm  Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp lặp  Hệ thức truy hồi Nguyên lý cộng, nhân  Ví dụ:  Có xâu bit nhị phân có độ dài 7? 2*2*2*2*2*2*2 = 27 = 128 (xâu)  An có áo tay dài, áo tay ngắn Để chọn áo An có cách? + = (cách) Nguyên lý cộng, nhân  Ví dụ: Giá trị k thực đoạn chương trình sau: k=0; for (i=1; i≤n1; ++i) k=k+1; for (i=1; i≤n2; ++i) k=k+1; …… for (i=1; i≤nm; ++i) k=k+1; k = n1 + n2 + ….+ nm k=0; for (i=1; i≤n1; ++i) for(j=1; j≤n2; ++j) for(l=1;l≤n3; ++l) …… for(i=1;i≤nm;++i) k=k+1; k = n1 * n2 * … * nm Nguyên lý cộng, nhân Ví dụ: Cho tập X ={0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có số tự nhiên có chữ số khác mà chia hết cho Giải  Gọi số có chữ số abc  TH1: c=0 Khi      c có cách chọn a có cách chọn (a  X\{0}) b có cách chọn (b  X\{a, 0}) TH1 có 1*5*4 =20 c có cách chọn a có cách chọn ( a  X\{c, 0} ) b có cách chọn ( b  X\{a, c} ) TH2 có 2*4*4 =32 TH2: c≠0 Khi    Vậy có 20+32 =52 Ngun lý cộng, nhân  Cơng việc A có phương pháp  Phương pháp có n cách làm  Phương pháp có m cách làm Khi số cách làm cơng việc A n+m  Công việc A cần thực bước  Bước có n cách làm  Bước có m cách làm Khi số cách làm cơng việc A n.m Nguyên lý cộng, nhân  Ví dụ: Mỗi người sử dụng mail có mật dài từ đến kí tự, kí tự chữ in hoa chữ số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi có mật khẩu? P6= 366 – 266 P7= 367 – 267 P8= 368 – 268 P = P6 + P7 + P8 (366 – 266) + (367 – 267) + (368 – 268) Nguyên lý bù trừ (1) A B hai tập hữu hạn,  Khi |A U B|= |A|+|B| - |A ∩ B|  Cho A, B C hai tập hữu hạn,  Khi |A U B U C| = |A|+|B| +|C|  Cho A A∩B B - |A ∩ B|- |A ∩ C| - |B ∩ C| +|A ∩ B ∩ C| Nguyên lý bù trừ (2)   Ví dụ: Trong lớp ngoại ngữ Anh Pháp Có 24 HS học tiếng Pháp, 26 học sinh học tiếng Anh, 15 học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Hỏi lớp có người? Giải  Gọi A số học sinh học Tiếng Pháp  B số học sinh học Tiếng Anh Số học sinh lớp |A U B| Theo nguyên lý bù trừ ta có  |A U B|= |A|+|B| -|A ∩ B|=24+26-15=35 Nguyên lý bù trừ (3) Ví dụ: Có xâu bit nhị phân có độ dài bit bắt đầu bit kết thúc hai bit 00?  Giải  bit có độ dài tám có bit đầu tiên?  Xâu bit có độ dài tám kết thúc hai bit 00?  Xâu bit có độ dài bắt đầu bit kết thúc hai bit 00?  Xâu 27 + 26 - 25=128 + 64 – 32 =160 10 Ví dụ Hệ thức truy hồi (4) Hãy xác định xem dãy {an}?  an=5 (n ≥ 0) lời giải hệ thức truy hồi an= 2an-1-an-2, với n = 2, 3, 4, hay không?  Đáp án: an=2an-1-an-2 = 2*5 - = = an   Vậy an=5 (n ≥ 0) lời giải hệ thức truy hồi an= 2an-1-an-2 45 Mơ hình hố tốn Hệ thức truy hồi Tính lãi gộp  Đếm số thỏ đảo  Xác định số dịch chuyển trò chơi Tháp Hà Nội  Tính số xâu bit có tính chất định  46 Tính lãi gộp      Một người gửi 10.000đô vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Sau 30 năm tài khoản có tiền? Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Vì số tiền có tài khoản sau n năm số có sau n  năm cộng lãi suất năm thứ n Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1 Dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi với: P0 = 10.000đô      P1=1,11P0 P2=1,11P1=(1,11)2P0 … Pn=1,11Pn-1=(1,11)nP0 Pn = (1,11)n *10.000 Thay n = 30  P30 = 22.8922,97đô 47 Họ nhà thỏ số Fibonacci  Một cặp thỏ sinh (1 đực + cái) thả hịn đảo Sau tháng tuổi, đơi thỏ tháng sinh đơi thỏ Tìm hệ thức truy hồi tính số cặp thỏ đảo sau n tháng? (Giả sử thỏ trường thọ) 48 Họ nhà thỏ số Fibonacci Gọi F(n) số cặp thỏ cuối tháng thứ n  Số cặp thỏ cuối tháng thứ nhất: F(1)=1  Số cặp thỏ cuối tháng thứ hai: F(2)=1  Số cặp thỏ cuối tháng thứ n (sau n tháng): số cặp thỏ tháng trước + số cặp thỏ sinh: F(n)=F(n-1)+F(n-2)  Xét với n=3,4, 5…: thoả hệ thức truy hồi  49 Họ nhà thỏ số Fibonacci n0 0  F (n)  1 n   F (n  1)  F (n  2) n   Tháng Số cặp sinh sản Số cặp thỏ Tổng 1 1 1 2 5 50 Tháp Hà Nội (1) 51 Tháp Hà Nội (2) Hn = 2Hn-1 +1 = 2(2Hn-2+1)+1=22Hn-2 +2 +1 = 22(2Hn-3+1)+2+1=23 Hn-3 +22 +2 +1 … = 2n-1 H1 + 2n-2 + 2n-3 + … +2 +1 = 2n-1 +2n-2 + … + + = 2n – ( Tổng n số hạng cấp số nhân với u1=1; công bội q=2 52 Xâu nhị phân (1)  Ví dụ: Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit liên tiếp Có xâu có độ dài 5?  Đáp án: 13 ? Hệ thức truy hồi: an = an-1 + an-2 ?  53 Xâu nhị phân (2)     Gọi an số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit liên tiếp Theo ngun lý cộng: an= số xâu có độ dài n-1, khơng có hai bit liên tiếp kết thúc bit (an-1 xâu bit) + số xâu có độ dài n-1, khơng có hai bit liên tiếp kết thúc bit  bit thứ n-1 1 số xâu có độ dài n-2, khơng có hai bit liên tiếp kết thúc bit 10 (an-2 xâu bit) Hệ thức truy hồi: an = an-1 + an-2 , n>=3 54 Xâu nhị phân (3)      a1 =2 (0; 1) a2 =3 (01; 10; 11) a3 =2 +3 = a4 =3 + =8 a5 =5 + =13 55 Bài tập Hệ thức truy hồi (1) Tìm số hạng xác định hệ thức truy hồi điều kiện đầu sau: a) an= 6an-1, a0=2 b) an= a2n-1, a1=2 c) an= an-1+3an-2, a0=1, a1=2 d) an=nan-1+n2an-2, a0=1, a1=1 e) an=an-1+an-3, a0=1, a1=2, a2=0  56 Bài tập Hệ thức truy hồi (2) Dãy {an } có nghiệm hệ thức truy hồi an=8an-1-16an-2 hay không nếu: a) an=0 (là nghiệm) b) an= c) an= 2n d) an=4n (là nghiệm) e) an= n4n f) an= 2.4n+3n.4n  57 Bài tập Hệ thức truy hồi (3)  Sinh viên tự tìm hiểu thêm cách giải Hệ thức truy hồi 58