Bài giảng toán rời rạc 1

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG  KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BÀI GIẢNG TỐN RỜI RẠC NGUYỄN DUY PHƯƠNG Hà Nội 2016 LỜI GIỚI THIỆU Toán rời rạc lĩnh vực nghiên cứu xử lý đối tƣợng rời rạc Toán rời rạc dùng để đếm, quan sát, xử lý mối quan hệ đối tƣợng tập hợp khác Bản chất tính tốn máy tính rời rạc Chính vậy, tốn học rời rạc đƣợc xem mơn học kinh điển cho sinh viên ngành Công nghệ thông tin Điện tử Viễn thông Tài liệu hƣớng dẫn mơn học tốn học rời rạc đƣợc xây dựng dựa sở kinh nghiệm giảng dạy môn học kế thừa nội dung từ giáo trình “Tốn học rời rạc ứng dụng tin học” Kenneth Rossen Tài liệu đƣợc trình bày thành hai phần: Lý thuyết tổ hợp (Toán rời rạc 1) Lý thuyết đồ thị (Tốn rời rạc 2) Phần I trình bày kiến thức lý thuyết tổ hợp thơng qua việc giải bốn tốn là: Bài tốn đếm, Bài tốn tồn tại, Bài toán liệt kê Bài toán tối ƣu Phần II trình bày kiến thức Lý thuyết đồ thị: khái niệm, định nghĩa, thuật toán đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton Một số tốn có ứng dụng thực tiễn quan trọng khác lý thuyết đồ thị đƣợc trọng giải Bài tốn tơ màu đồ thị, Bài tốn tìm đƣờng ngắn Bài tốn luồng cực đại mạng Trong phần tài liệu, chúng tơi cố gắng trình bày ngắn gọn trực tiếp vào chất vấn đề Các thuật toán đƣợc trình bày cài ngơn ngữ lập trình C++ Mặc dù cẩn trọng trình biên soạn, nhiên tài liệu không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Chúng tơi mong đƣợc góp ý q báu tất đọc giả bạn đồng nghiệp Hà nội, tháng 12 năm 2016 MỤC LỤC CHƢƠNG LOGIC, TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Giới thiệu chung 1.2 Những kiến thức Logic mệnh đề 1.2.1 Định nghĩa & phép toán 1.2.2 Sự tƣơng đƣơng mệnh đề 1.2.3 Dạng chuẩn tắc 1.3 Vị từ lƣợng từ 10 1.4 Một số ứng dụng máy tính 12 1.5 Những kiến thức lý thuyết tập hợp 15 1.5.1 Khái niệm & định nghĩa 15 1.5.2 Các phép toán tập hợp 16 1.5.3 Các đẳng thức tập hợp 17 1.6 Biểu diễn tập hợp máy tính 18 1.7 Những nội dung cần ghi nhớ 19 BÀI TẬP CHƢƠNG 19 CHƢƠNG BÀI TOÁN ĐẾM 21 2.1 Những nguyên lý đếm 21 2.1.1 Nguyên lý cộng 21 2.1.2 Nguyên lý nhân 22 2.2 Nguyên lý bù trừ 24 2.3 Đếm hoán vị tổ hợp 27 2.3.1 Chỉnh hợp lặp 27 2.3.2 Chỉnh hợp không lặp 27 2.3.3 Hoán vị 28 2.3.4 Tổ hợp 28 2.3.5 Tổ hợp lặp 30 2.4 Hệ thức truy hồi 31 2.4.1 Định nghĩa ví dụ 31 2.4.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính với hệ số số 34 2.5 Qui toán đơn giản 38 2.6 Phƣơng pháp liệt kê 40 BÀI TẬP CHƢƠNG 43 CHƢƠNG BÀI TOÁN LIỆT KÊ 45 3.1- Giới thiệu toán 45 3.2 Thuật tốn độ phức tạp tính tốn 46 3.2.1 Ví dụ Định nghĩa 46 3.2.2 Phƣơng pháp biểu diễn thuật toán: 46 3.2.3 Độ phức tạp tính tốn 48 3.2.4 Qui tắc xác định độ phức tạp thuật toán 51 3.3 Phƣơng pháp sinh 54 3.4 Thuật toán quay lui (Back track) 64 3.5 Những nội dung cần ghi nhớ 70 BÀI TẬP CHƢƠNG 71 CHƢƠNG BÀI TOÁN TỐI ƢU 74 4.1 Giới thiệu toán 74 4.2 Phƣơng pháp duyệt toàn 77 4.3 Thuật toán nhánh cận 80 4.4 Kỹ thuật rút gọn giải toán ngƣời du lịch 90 4.4.1.Thủ tục rút gọn 91 4.4.2.Thủ tục chọn cạnh phân nhánh (r,c) 94 4.4.3.Thuật toán nhánh cận giải toán ngƣời du lịch 99 4.5 Những điểm cần ghi nhớ 100 BÀI TẬP CHƢƠNG 100 CHƢƠNG BÀI TOÁN TỒN TẠI 102 4.1 Giới thiệu toán 102 5.2 Phƣơng pháp phản chứng 105 5.3 Nguyên lý Dirichlet 106 5.4 Những nội dung cần ghi nhớ 107 BÀI TẬP 108 CHƢƠNG LOGIC, TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG Nội dung chƣơng đề cập đến kiến thức logic mệnh đề, lý thuyết tập hợp ứng dụng Nội dung chƣơng bao gồm:  Logic mệnh đề ứng dụng  Logic vị từ ứng dụng  Lý thuyết tập hợp ứng dụng  Một số ứng dụng logic tập hợp tin học  Bài tập chƣơng Bạn đọc tìm thấy kiến thức sâu chi tiết tài liệu [1] [2] tài liệu tham khảo 1.1 Giới thiệu chung Tổ hợp lĩnh vực quan trọng toán học rời rạc đề cập tới nhiều vấn đề khác toán học Lý thuyết Tổ hợp nghiên cứu việc phân bố phần tử vào tập hợp Thông thƣờng phần tử tập hợp hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định tuỳ theo u cầu tốn Mỗi cách phân bố đƣợc coi “cấu hình tổ hợp” Các cấu hình tổ hợp đƣợc xem xét nhƣ lời giải toán đếm, toán liệt kê, toán tồn hay toán tối ưu Bài toán đếm: dạng toán nhằm trả lời câu hỏi “có cấu hình thoả mãn điều kiện nêu?” Bài toán đếm đƣợc áp dụng có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh giá nhƣ xác suất xảy kiện, thời gian tính tốn hay độ phức tạp chƣơng trình máy tính Bài tốn liệt kê: toán liệt kê quan tâm đến tất cấu hình có đƣợc, lời giải đƣợc biểu diễn dƣới dạng thuật tốn “vét cạn” tất cấu hình Bài tốn liệt kê thƣờng đƣợc làm cho nhiều toán khác Hiện nay, số toán tồn tại, toán tối ƣu, tốn đếm chƣa có cách giải phƣơng pháp liệt kê Phƣơng pháp liệt kê trở nên quan trọng đƣợc hỗ trợ hệ thống máy tính Bài tốn tối ƣu: khác với toán liệt kê, toán tối ƣu quan tâm tới cấu hình “tốt nhất” theo nghĩa Đây tốn có nhiều ứng dụng thực tiễn đƣợc giải lý thuyết tổ hợp Bài toán tồn tại: nhƣ tốn đếm thực đếm cấu hình có, tốn liệt kê xem xét tất cấu hình có, tốn tối ƣu cấu hình tốt Bài tốn tồn hƣớng đến giải vấn đề nghi vấn Điều có nghĩa kể vấn đề có hay khơng cấu hình chƣa biết Những toán thƣờng toán khó Do máy tính đƣợc xem cơng cụ hữu hiệu giải toán tồn 1.2 Những kiến thức Logic mệnh đề Các qui tắc Logic cho ta ý nghĩa xác mệnh đề Những qui tắc logic cơng cụ sở để xây dựng nên ngơn ngữ lập trình, bảng mạch máy tính, kiểm chứng tính đắn chƣơng trình nhiều ứng dụng quan trọng khác 1.2.1 Định nghĩa & phép toán Đối tƣợng nghiên cứu logic mệnh đề Một mệnh đề đƣợc hiểu câu khẳng định hoặc sai khơng thể vừa vừa sai Ví dụ: Những câu khẳng định sau mệnh đề: “Hà nội thủ đô Việt nam.” 1+1 =2 2+2=3 Các mệnh đề “ Hà nội thủ đô việt nam”, “ +1 =2 “ mệnh đề đúng, mệnh đề “2 +2 =3” sai Nhƣng câu ví dụ sau khơng phải mệnh đề câu khơng cho ta khẳng định chẳng cho ta khẳng định sai “Bây ?” “Hãy suy nghĩ điều cho kỹ lưỡng” x +1 =2 x+y=z Ta ký hiệu chữ A, B, C, D, p, q, r, s mệnh đề Giá trị mệnh đề đƣợc ký hiệu T, giá trị mệnh đề sai đƣợc ký hiệu F Tập giá trị T, F đƣợc gọi giá trị chân lý mệnh đề Định nghĩa Cho p mệnh đề Phép phủ định mệnh đề p mệnh đề (ký hiệu p p) Mệnh đề p có giá trị F mệnh đề p nhận giá trị T, nhận giá trị F p nhận giá trị T Định nghĩa Cho p q hai mệnh đề Phép hội mệnh đề p với mệnh đề q mệnh đề (ký hiệu p  q ) Mệnh đề p  q có giá trị T p, q nhận giá trị T, có giá trị F p, q, hai nhận giá trị F Định nghĩa Cho p q hai mệnh đề Phép tuyển mệnh đề p với mệnh đề q mệnh đề (ký hiệu p p) Mệnh đề p p có giá trị T hai mệnh đề p, q nhận giá trị T, có giá trị F p, q nhận giá trị F Định nghĩa Cho p q hai mệnh đề Phép tuyển loại mệnh p với mệnh đề q (đƣợc ký hiệu pq) mệnh đề Mệnh đề pq p q sai trƣờng hợp khác lại Định nghĩa Cho p q hai mệnh đề Phép kéo theo mệnh đề p với mệnh đề q (ký hiệu p  q) mệnh đề Mệnh đề p  q nhận giá T p q nhận giá trị F p q nhận giá trị T Mệnh đề pq nhận giá trị F p nhận giá trị T q nhận giá trị F Định nghĩa Cho p q hai mệnh đề Phép tƣơng đƣơng mệnh đề p với mệnh đề q mệnh đề (ký hiệu p  q) Mệnh đề p  q có giá trị p q có giá trị chân lý sai trƣờng hợp khác cịn lại Các phép tốn : , , chân lý sau: , , ,  đƣợc định nghĩa thông qua bảng giá trị Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý phép toán , , , , ,  p q p pq pq pq pq p q T T F T T F T T T F F F T T F F F T T F T T T F F F T F F F T T 1.2.2 Sự tƣơng đƣơng mệnh đề Một vấn đề quan trọng lập luận toán học việc thay mệnh đề mệnh đề khác có giá trị chân lý Hai mệnh đề có giá trị chân lý hiểu theo cách thông thƣờng chúng tƣơng đƣơng ngữ nghĩa Do vậy, ta tiếp cận phân loại mệnh đề phức hợp thông qua giá trị chân lý chúng Định nghĩa Một mệnh đề phức hợp luôn với giá trị chân lý mệnh đề thành phần đƣợc gọi (tautology) Một mệnh đề luôn sai với giá trị chân lý mệnh đề thành phần đƣợc gọi mâu thuẫn Ví dụ: mệnh đề phức hợp p  p đúng, p  p mâu thuẫn giá trị chân lý mệnh đề luôn đúng, luôn sai nhƣ đƣợc bảng 1.2 Bảng 1.2 Ví dụ mệnh đề & mệnh đề mâu thuẫn p pp p p p T F T F F T T F Định nghĩa Hai mệnh đề p, q đƣợc gọi tƣơng đƣơng logic với (ký hiệu : pq, p  q , p=q) cột cho giá trị chân lý chúng giống Hay mệnh đề pq Ví dụ Hai mệnh đề  p  q  p  q tƣơng đƣơng logic cột giá trị chân lý chúng đƣợc thể qua bảng sau: Bảng 1.3 Bảng giá trị chân lý  p  q  p  q p q pq  p  q p q pq T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T Dùng bảng giá trị chân lý để chứng minh tính tƣơng đƣơng logic hai mệnh đề phức hợp cho ta phƣơng pháp trực quan dễ hiểu Tuy nhiên, với mệnh đề logic phức hợp có k mệnh đề thành phần cần tới 2k tổ hợp giá trị chân lý khác Do đó, dùng bảng chân lý để chứng minh tính tƣơng đƣơng logic hai mệnh đề phức hợp gặp nhiều khó khăn Trong trƣờng hợp ta chứng minh tính tƣơng logic việc thay mệnh đề phức hợp tƣơng đƣơng logic có trƣớc Bằng phƣơng pháp bảng chân lý, dễ dàng chứng minh đƣợc tƣơng đƣơng công thức dƣới đây: p q  p  q pq  (pq)(qp) p  p Bảng 1.4 Bảng tương đương logic TƢƠNG ĐƢƠNG TÊN GỌI Luật đồng pTp pFp Luật nuốt pTT pFF Luật luỹ đẳng ppp ppp Luật phủ định kép p p Luật giao hoán pqqp pqqp Luật kết hợp (p  q)  r  p  ( q  r) (p  q)  r  p ( q  r) Luật phân phối p  ( q  r)  (p  q )  (p  r) p  ( q  r)  (p  q)  (p  r)  p  q  p  q Luật De Morgan  p  q  p  q   Ví dụ: Chứng minh p  p  q  p  q ? Chứng minh:    p pq  p pq      p p q theo luật De Morgan thứ  p pq theo luật De Morgan thứ     p  p   p  q   F  p  q   p  q  F  p  q theo luật phủ định kép theo luật phân phối tƣơng đƣơng tiện ích Điều cần chứng minh 1.2.3 Dạng chuẩn tắc Các công thức (mệnh đề) tƣơng đƣơng đƣợc xem nhƣ biểu diễn khác mệnh đề Để dễ dàng viết chƣơng trình máy tính thao tác cơng thức, cần chuẩn hóa cơng thức, đƣa chúng dạng biểu diễn chuẩn đƣợc gọi dạng chuẩn hội Một công thức đƣợc gọi dạng chuẩn hội hội mệnh đề tuyển Phƣơng pháp để biến đổi công thức dạng chuẩn hội cách áp dụng thủ tục sau:  Bỏ phép kéo theo () cách thay (pq) p  q  Chuyển phép phủ định ( ) vào sát ký hiệu mệnh đề cách áp dụng luật De Morgan thay p p  Áp dụng luật phân phối thay cơng thức có dạng (p(qr)) (pq)(pr) Ví dụ Ta chuẩn hóa cơng thức Lời giải  p  q   r  s   p  q   r  s    p  q  r  s        p  q   r  s   p  q  r  p  q  s  p  q   r  s  đƣợc đƣa  pq  rs Nhƣ công thức p  q  r  p  q  s dạng chuẩn hội 1.3 Vị từ lƣợng từ Trong toán học hay chƣơng trình máy tính hay gặp khẳng định chƣa phải mệnh đề Những khẳng định có liên quan đến biến Chẳng hạn khẳng đinh: P(x) = “x > 3” mệnh đề nhƣng giá trị cụ thể x=x0 P(x0) lại mệnh đề Hoặc đoạn chƣơng trình gặp câu lệnh: if ( x > ) then x:= x +1; chƣơng trình đặt giá trị cụ thể biến x vào P(x), mệnh đề P(x) cho giá trị x đƣợc tăng lên câu lệnh x:=x+1, P(x) có giá trị sai giá trị x đƣợc giữ nguyên sau thực câu lệnh if Chúng ta phân tích khẳng định thành hai phần chủ ngữ vị ngữ (hay vị từ), câu “ x lớn 3” x chủ ngữ, “ lớn 3” vị ngữ Hàm P(x) đƣợc gọi hàm mệnh đề Một hàm mệnh đề có nhiều biến Giá trị chân lý hàm mệnh đề giá trị cụ thể biến đƣợc xác định nhƣ mệnh đề thơng thƣờng Ví dụ Cho Q(x, y, z) hàm mệnh đề xác định câu x2 = y2 +z2 xác định giá trị chân lý mệnh đề Q (3, 2, 1), Q ( 5, 4, 3)? Lời giải 10 Năm 1878, keli báo đăng tuyển tập cơng trình nghiên cứu Hội tốn học Anh có hỏi toán đƣợc giải hay chƣa? Từ tốn trở nên tiếng, xuốt kỷ qua, nhiều nhà toán học cố gắng chứng minh giả thuyết Tuy vậy, tới năm 1976 hai nhà toán học Mỹ K Appel W Haken chứng minh đƣợc nhờ máy tính điện tử Bài tốn Hình lục giác thần bí Năm 1890 Clifford Adams đề tốn hình lục giác thần bí sau: Trên 19 lục giác (nhƣ Hình 5.2) điền số từ đến 19 cho tổng theo hƣớng lục giác (và 38) Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối Adams tìm đƣợc lời giải Sau sơ ý đánh thảo ông tốn thêm năm để khôi phục lại Năm 1962 Adams công bố lời giải Nhƣng thật khơng thể ngờ đƣợc lời giải 15 14 13 11 10 18 12 17 16 19 Hình 5.2 Hình lục giác thần bí Bài toán Bài toán chọn 2n điểm lƣới n  n điểm Cho lƣới gồm n  n điểm Hỏi chọn số chúng 2n điểm cho khơng có ba điểm đƣợc chọn thẳng hàng? Hiện ngƣời ta biết đƣợc lời giải toán n  15 Hình 3.3 cho lời giải với n = 12 104 Hình 2.4 Một lời giải với n = 12 5.2 Phƣơng pháp phản chứng Một cách giải toán tồn dùng lập luận phản chứng: giả thiết điều chứng minh sai, từ dẫn đến mâu thuẫn Ví dụ Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ta ln ln tìm đƣợc đoạn để ghép lại thành tam giác Giải: Điều kiện cần đủ để đoạn cạnh tam giác tổng hai cạnh phải lớn cạnh Ta đoạn thẳng theo thứ tự tăng dần độ dài a1, a2, , a7 chứng minh dãy xếp ln tìm đƣợc đoạn mà tổng hai đoạn đầu lớn đoạn cuối Để chứng minh, ta giả sử khơng tìm đƣợc ba đoạn mà tổng hai đoạn nhỏ đoạn, nghĩa bất đẳng thức sau đồng thời xảy ra: a1 + a  a3  a3  20 (vì a1 , a2  10 ) a2 + a  a4  a4  30 (vì a2  10 , a3  20) a3 + a  a5  a5  50 (vì a3  20, a  30 ) a4 + a  a6  a6  80 (vì a4  30 , a5  50) a5 + a  a7  a7  130 (vì a5  50, a6  80)  Mâu thuẫn (bài tốn đƣợc giải quyết) Ví dụ Các đỉnh thập giác đƣợc đánh số số nguyên 0, 1, , cách tuỳ ý Chứng minh ln tìm đƣợc ba đỉnh liên tiếp có tổng số lớn 13 Giải : Gọi x1, x2, , x10 số gán cho đỉnh thập giác Giả sử ngƣợc lại ta khơng tìm đƣợc đỉnh liên tiếp thoả mãn khẳng định Khi ta có 105 k1 = x1 + x2 + x3  13 k2 = x2 + x3 + x4  13 k3 = x3 + x4 + x5  13 k4 = x4 + x5 + x6  13 k5 = x5 + x6 + x7  13 k6 = x6 + x7 + x8  13 k7 = x7 + x8 + x9  13 k8 = x8 + x9 + x10  13 k9 = x9 + x10 + x1  13 k10 = x10 + x1 + x2  13  130  k1 + k2 + + k10 = (x1+ + x2 + + x10) = ( + + + + 9) Khẳng định chứng minh = 135  Mâu thuẫn số 135 130 5.3 Nguyên lý Dirichlet Trong nhiều toán tổ hợp, để chứng minh tồn cấu hình với tính chất cho trƣớc, ngƣời ta sử dụng nguyên lý đơn giản sau gọi nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet Nếu đem xếp nhiều n đối tƣợng vào n hộp ln tìm đƣợc hộp chứa khơng đối tƣợng Chứng minh Việc chứng minh nguyên lý cần sử dụng lập luận phản chứng đơn giản Giả sử khơng tìm đƣợc hộp chứa khơng hai đối tƣợng Điều nghĩa hộp không chứa đối tƣợng Từ suy tổng đối tƣợng khơng vƣợt q n trái với giả thiết tốn có nhiều n đối tƣợng đƣợc xếp vào chúng Ví dụ Trong nhóm có 367 ngƣời có hai ngƣời có ngày sinh Giải: Vì năm có nhiều 366 ngày Nhƣ vậy, theo ngun lý Dirichlet có ngày có hai ngƣời ngày sinh Ví dụ Trong 27 từ tiếng Anh có hai từ bắt đầu chữ Giải: Vì bảng chữ tiếng Anh có 26 chữ Nên theo nguyên lý Dirichlet tồn từ bắt đầu chữ Ví dụ Bài thi môn học cho sinh viên đƣợc chấm theo thang điểm 100 Hỏi lớp phải có sinh viên để có hai sinh viên đƣợc nhận điểm 106 Giải: Cần có 102 sinh viên thang điểm tính từ 100 gồm 101 số Do vậy, theo nguyên lý Diriclet muốn có sinh viên nhận điểm lớp phải có 101 +1 = 102 sinh viên Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu đem xếp n đối tƣợng vào k hộp ln tìm đƣợc hộp chứa n/k đối tƣợng Nguyên lý đƣợc nhà toán học ngƣời Đức Dirichlet đề xuất từ kỷ 19 ông áp dụng để giải nhiều tốn tổ hợp Ví dụ Trong 100 ngƣời có ngƣời sinh nhật tháng Giải: Một năm có 12 tháng Xếp tất ngƣời sinh nhật vào nhóm Theo ngun lý Dirichlet ta có 100/12 = ngƣời sinh nhật tháng Ví dụ Có năm loại học bổng khác để phát cho sinh viên Hỏi phải có sinh viên để chắn có ngƣời đƣợc nhận học bổng nhƣ Giải Số sinh viên để có sinh viên đƣợc nhận loại học bổng số n thoả mãn n/5 > Số nguyên bé thoả mãn điều kiện n = 25 + = 26 Nhƣ phải có 26 sinh viên để có sinh viên đƣợc nhận loại học bổng Ví dụ Trong tháng có 30 ngày đội bóng chày chơi ngày trận, nhƣng tháng chơi không 45 trận Hãy phải tìm đƣợc giai đoạn gồm số ngày liên tục tháng cho giai đoạn đội chơi 14 trận Giải: Giả sử aj số trận thi đấu ngày thứ j đội Khi a1, a2, , a30 dãy tăng số nguyên dƣơng  aj  45 Suy dãy a1 + 14, a2 + 14, , a30 + 14 dãy tăng số nguyên dƣơng 15  aj  59 Nhƣ vậy, dãy 60 số nguyên dƣơng a1, a2, , a30, a1 + 14, a2 + 14 , , a30 + 14 tất số nhỏ 59 Theo nguyên lý Dirichlet phải tồn hai số số hai số nguyên Vì số a1, a2, , a30 đôi khác a1 + 14, a2 + 14, , a30 + 14 đôi khác Nên ta suy phải tồn số i j cho a i=aj + 14 Điều có nghĩa có 14 trận đấu giai đoạn từ ngày j + đến ngày thứ i 5.4 Những nội dung cần ghi nhớ Bạn đọc cần ghi nhớ số kiến thức quan trọng sau: 107  Những nguyên lý đếm bản: nguyên lý cộng, nguyên lý nhân & nguyên lý bù trừ  Sử dụng nguyên lý tron đếm hoán vị, tổ hợp  Hiểu phƣơng pháp cách giải toán đếm hệ thức truy hồi  Nắm vững cách thức qui toán đếm toán  Cách giải phổ biến cho toán tồn sử dụng phƣơng pháp phản chứng sử dụng nguyên lý Dirichlet BÀI TẬP Dùng bảng chân lý để chứng minh luật giao hoán: a) p  q  q  p b) p  q  q  p Dùng bảng chân lý để chứng minh luật kết hợp a)  p  q   r  p  q  r  b)  p  q   r  p  q  r  Dùng bảng chân lý để chứng minh luật phân phối a) p  q  r    p  q    p  r  b) p  q  r    p  q    p  r  Dùng bảng chân lý để chứng minh luật De Morgan a)  p  q   p  q b)  p  q   p  q Dùng bảng chân lý để chứng minh mệnh đề kéo theo dƣới a)  p  q   p b) p   p  q  c) p   p  q  Dùng bảng chân lý để chứng minh mệnh đề kéo theo dƣới a)  p  q    p  q  b)  p  q   p c)  p  q   q Dùng bảng chân lý để chứng minh mệnh đề kéo theo dƣới a) p   p  q   q b)  p  q   q  r    p  r  c)  p   p  q   q d)  p  q    p  r   q  r   r Chứng minh cặp mệnh đề dƣới tƣơng đƣơng   108     a)  p  q    p  q   p  q b)  p  q   q  p c)  p  q    p  q  d)  p  q   p  q Không dùng bảng chân lý chứng minh mệnh đề kéo theo dƣới a)  p  q   p b) p   p  q  c) p   p  q  d)  p  q    p  q  e)  p  q   p f)  p  q   q 10 Không dùng bảng chân lý chứng minh mệnh đề kéo theo dƣới a) p   p  q   q b)  p  q   q  r    p  r  c)  p   p  q   q d)  p  q    p  r   q  r   r 11 Không dùng bảng chân lý, chứng minh cặp mệnh đề dƣới tƣơng đƣơng a)  p  q    p  q   p  q b)  p  q   q  p c)  p  q    p  q  d)  p  q   p  q       12 Cho A, B, C tập hợp Chứng minh rằng: a) B  A  C  A  B  C   A b) A  B  A  B c)  A  B   A  B  A d) A  B  C    A  B  C e)  A  B  C   A  B  B  C    12 a) Trình bày thuật tốn sinh hoán vị 1, 2, , n ? b) Cho tập A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Sử dụng phƣơng pháp sinh hốn vị theo thứ tự từ điển, tìm hốn vị liền kề hoán vị 568397421 ? c) Áp dụng thuật toán Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất hốn vị 1, 2, , n ? 13 109 a) Trình bày thuật toán sinh hoán vị 1, 2, , n ? b) Cho tập A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Sử dụng phƣơng pháp sinh hốn vị theo thứ tự từ điển, tìm hoán vị liền kề hoán vị 458796321 ? c) Áp dụng thuật toán Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất hốn vị 1, 2, , n ? 14 a) Trình bày thuật toán quay lui liệt kê hoán vị 1, 2, , n ? b) Kiểm nghiệm thuật toán với n=3 ? c) Áp dụng thuật toán Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất hốn vị 1, 2, , n ? 15 a) Trình bày thuật tốn sinh tổ hợp chập k 1, 2, ,n ? b) Cho tập A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Sử dụng phƣơng pháp sinh tổ hợp chập k tập hợp theo thứ tự từ điển, tạo tổ hợp chập liền kề tổ hợp 2,6,8,9? c) Áp dụng thuật toán Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất tổ hợp chập k 1, 2, , n ? 16 a) Trình bày thuật tốn quay lui liệt kê tổ hợp chập k 1, 2, ,n ? b) Kiểm nghiệm thuật toán với n=5, k =3 ? c) Áp dụng thuật tốn Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất tổ hợp chập k 1, 2, , n ? 17 a) Trình bày thuật tốn sinh xâu nhị phân có độ dài n? b) Cho xâu nhị phân X = { 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Sử dụng phƣơng pháp sinh xâu nhị phân theo thứ tự từ điển, tìm xâu nhị phân liền kề X? c) Áp dụng thuật tốn Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất xauu nhị phân có độ dài n? 18 a) Trình bày thuật tốn sinh xâu nhị phân có độ dài n? b) Cho xâu nhị phân X = { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1} Sử dụng phƣơng pháp sinh xâu nhị phân theo thứ tự từ điển, tìm xâu nhị phân liền kề X? c) Áp dụng thuật tốn Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất xauu nhị phân có độ dài n? 19 110 a) Trình bày thuật tốn quay lui liệt kê xâu nhị phân có độ dài n? b) Kiểm nghiệm thuật toán với n=3 ? c) Áp dụng thuật tốn Mục a, viết chƣơng trình liệt kêt tất xâu nhị phân có độ dài n ? 20 Có biển số xe bắt đầu chữ in hoa kết thúc chữ số, biết có 26 chữ bảng chữ tiếng anh? (VD : RS 0912 biển số) 21 Có biển số xe bắt đầu chữ in hoa kết thúc chữ số, biết có 26 chữ bảng chữ tiếng anh? (VD : ABZ 09 biển số) 22 Có số nguyên khoảng từ 1000 đến 5000 chia hết cho ? 23 Có số nguyên khoảng từ 5000 đến 9999 chia hết cho 12 ? 24 Giả sử tất số điện thoại giới theo quy tắc, bắt đầu mã quốc gia dài từ đến chữ số, tức có dạng X, XX XXX ; 10 chữ số dạng NXX-NXX-XXXX N nhận giá trị từ đến 6, X biểu thị chữ số từ đến Theo cách đánh số này, có tối đa số điện thoại dùng ? 25 Giả sử tất số điện thoại giới theo quy tắc, bắt đầu mã quốc gia dài từ đến chữ số, tức có dạng X, XX XXX ; 10 chữ số dạng NNX-NXX-XXXX N nhận giá trị từ đến 9, X biểu thị chữ số từ đến Theo cách đánh số này, có tối đa số điện thoại dùng ? 26 Lớp học có 55 bạn nam 35 bạn nữ Hãy cho biết có cách chọn đội văn nghệ lớp cho số bạn nam số bạn nữ, biết đội văn nghệ cần thành viên nhiều 10 thành viên 27 Lớp học có 60 bạn nam 42 bạn nữ Hãy cho biết có cách chọn đội văn nghệ lớp cho số bạn nam số bạn nữ, biết đội văn nghệ cần thành viên nhiều thành viên 28 Lớp học có 50 bạn nam 20 bạn nữ Hãy cho biết có cách chọn đội văn nghệ lớp cho số bạn nam lần số bạn nữ, biết đội văn nghệ cần thành viên nhiều 12 thành viên 111 29 : Lớp học có 60 bạn nam 25 bạn nữ Hãy cho biết có cách chọn đội văn nghệ lớp cho số bạn nam lần số bạn nữ, biết đội văn nghệ cần thành viên nhiều thành viên 30 Trong kỳ thi tuyển sinh đại học khối A, thí sinh thi trắc nghiệm mơn Lý Hóa, mơn thi có 50 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phƣơng án trả lời đƣợc lựa chọn tối đa phƣơng án Mỗi câu trả lời đƣợc 0.2 điểm, câu trả lời sai khơng trả lời khơng đƣợc điểm a) Hãy cho biết có cách điền phiếu trắc nghiệm mơn Lý b) Cần có thí sinh tham gia để có 10 sinh viên có tổng điểm Lý Hóa Biết điểm thi khơng đƣợc làm trịn 31 Trong kỳ thi tuyển sinh đại học khối A, thí sinh thi trắc nghiệm mơn Lý Hóa, mơn thi có 40 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phƣơng án trả lời đƣợc lựa chọn tối đa phƣơng án Mỗi câu trả lời đƣợc 0.25 điểm, câu trả lời sai khơng trả lời khơng đƣợc điểm a) Hãy cho biết có cách điền phiếu trắc nghiệm mơn Hóa b) Cần có thí sinh tham gia để có 10 sinh viên có tổng điểm Lý Hóa nhau, biết điểm thi khơng đƣợc làm trịn 32 Một thi trắc nghiệm có 30 câu hỏi, câu hỏi có phƣơng án trả lời có phƣơng án Mỗi câu trả lời đƣợc điểm, trả lời sai bị trừ điểm, khơng trả lời câu nhận điểm Biết tổng điểm thấp Hãy cho biết: a) Có cách điền phiếu trắc nghiệm (mỗi câu đƣợc chọn tối đa phƣơng án) b) Cần sinh viên tham gia thi để đảm bảo có sinh viên có kết thi 33 Một thi trắc nghiệm có 35 câu hỏi, câu hỏi có phƣơng án trả lời có phƣơng án Mỗi câu trả lời đƣợc điểm, trả lời sai bị trừ điểm, không trả lời câu nhận điểm Biết tổng điểm thấp Hãy cho biết: a) Có cách điền phiếu trắc nghiệm (mỗi câu đƣợc chọn tối đa phƣơng án) b) Cần sinh viên tham gia thi để đảm bảo có sinh viên có kết thi 112 34 Phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 13 có nghiệm ngun khơng âm thỏa mãn a) x1  1, x2  3, x3  b) x1  0, x2  3, x3  35 Phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 15 có nghiệm nguyên không âm thỏa mãn a) x1  2, x2  0, x3  b) x1  1, x2  0, x3  36 Phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 14 có nghiệm nguyên không âm thỏa mãn a) x1  0, x2  3, x3  b) x1  0, x2  6, x3  3, 37 Phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 16 có nghiệm nguyên không âm thỏa mãn a) x1  2, x2  0, x3  b) x1  6, x2  3, x3  38 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 2, a1 = 6, an = 3an-1 - 2an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 39 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 4, a1 = 8, an = an-1 + 2an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 40 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 1, a1 = 5, an = -an-1 + 6an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, bắt đầu số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 113 41 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 6, a1 = 7, an = an-1 + 6an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, kết thúc số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 42 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 5, a1 = 4, an = an-1 + 2an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, bắt đầu số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 43 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 8, a1 = 3, an = -an-1 + 2an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, kết thúc số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 44 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 5, a1 = 2, an = -3an-1 + 4an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, bắt đầu số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 45 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 6, a1 = 9, an = 3an-1 + 4an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, kết thúc số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 114 46 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 6, a1 = 9, an = 7an-1 - 12an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, bắt đầu số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 47 a) Giải hệ thức truy hồi sau a0 = 8, a1 = 7, an = -an-1 + 12an-2 với n2 b) Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân độ dài n, kết thúc số có chứa số liên tiếp c) Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện câu b với n = 48 Hãy tìm nghiệm cơng thức truy hồi với điều kiện đầu dƣới đây: a) an = 3an-1 với a0 =2 b) an = -4an-1 - 4an-2 với n2 a0 =0 a1 =1 c) an = 14an-1 - 49an-2 với n2 a0 =3 a1 = 35 49 Hãy tìm nghiệm công thức truy hồi với điều kiện đầu dƣới đây: a) an = an-1 + với a0 =3 b) an = -4an-1 - 4an-2 với n2 a0 =0 a1 =1 c) an = 13an-1 - 22an-2 với n2 a0 =3 a1 = 15 50 Hãy tìm nghiệm cơng thức truy hồi với điều kiện đầu dƣới đây: a) an = an-1 + 2n + với a0 =4 b) an = -6an-1 - 9an-2 với n2 a0 =3 a1 =-3 c) an = 2an-1 + 5an-2 - 6an-3 với n3 a0 =7 a1 =-4, a2 =8 51 Hãy tìm nghiệm công thức truy hồi với điều kiện đầu dƣới đây: a) an = an-1 + 2n với a0 =1 b) an = 14an-1 - 49an-2 với n2 a0 =3 a1 = 35 c) an = 2an-1 + an-2 - 2an-3 với n3 a0 =3 a1 =6, a2 =0 52 Hãy tìm nghiệm cơng thức truy hồi với điều kiện đầu dƣới đây: a) an = an-1 + 2n với a0 =1 b) an = -13an-1 - 22an-2 với n2 a0 =3 a1 = 15 c) an = 2an-1 + 5an-2 - 6an-3 với n3 a0 =7 a1 =-4, a2 =8 53 Hãy tìm nghiệm cơng thức truy hồi với điều kiện đầu dƣới đây: 115 a) an = -4an-1 - 4an-2 với n2 a0 =0 a1 =1 b) an = 2an-1 + an-2 - 2an-3 với n3 a0 =3 a1 =6, a2 =0 c) an = 7an-2 + 6an-3 với n3 a0 =9 a1 =10, a2 =32 54 Phƣơng trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +x6 = 24 có nghiệm nguyên không âm cho a) xi  với i=1, 2, 3, 4, 5, 6? b) 1 x1  x3 8? c) 1 x1  3 x2  7? d) 1 x1  3 x2  x3 8? 55 Hãy tìm tất số tự nhiên có chữ số thỏa mãn: a) Số có chữ số tạo thành số thuận nghịch; b) Số có chữ số tạo thành số thuận nghịch có tất chữ số khác 0; c) Số có chữ số có tổng chữ số 18; 56 Hãy tìm tất số tự nhiên có chữ số thỏa mãn: a) Số có chữ số tạo thành số thuận nghịch; b) Số có chữ số tạo thành số thuận nghịch có tất chữ số khác 0; c) Số có chữ số có tổng chữ số 19; 57 Hãy tìm tất số tự nhiên có 10 chữ số thỏa mãn: a) Số có 10 chữ số tạo thành số thuận nghịch; b) Số có 10 chữ số tạo thành số thuận nghịch có tất chữ số khác 0; c) Số có 10 chữ số có tổng chữ số 18 58 a) Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n k số liên tiếp? b) Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n có dãy k số liên tiếp? 59 a) Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n khơng có k số liên tiếp? b) Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n có dãy k số liên tiếp? 60 116 a) Một hệ thống máy tính coi xâu chữ số hệ thập phân từ mã hợp lệ chứa số chẵn chữ số Ví dụ 1231407869 hợp lệ, 120987045608 khơng hợp lệ Giả sử an số từ mã độ dài n Hãy tìm hệ thức truy hồi điều kiện đầu cho an? b) Giải hệ thức truy hồi an = 2an-1 + an-2 - 2an-3 với n3 a0 =3 a1 =6, a2 =0 61 Phƣơng trình x1  x2  x3  x4  x5  x6  25 có nghiệm ngun khơng âm thỏa mãn a) x1  1, x2  2, x3  3, x4 4, x5 5 , x6  6? b) 2 x1 7, 4 x2 8; x3  5? 62 a) Một hệ thống máy tính coi xâu chữ số hệ thập phân từ mã hợp lệ chứa số lẻ chữ số Ví dụ 1231407869 hợp lệ, 12098704568 khơng hợp lệ Giả sử an số từ mã độ dài n Hãy tìm hệ thức truy hồi điều kiện đầu cho an? b) Giải hệ thức truy hồi an = 7an-2 + 6an-3 với n3 a0 =9 a1 =10, a2 =32 63 Phƣơng trình x1  x2  x3  x4  x5  x6  28 có nghiệm ngun khơng âm thỏa mãn c) x1  1, x2  2, x3  3, x4 4, x5 5 , x6  6? b) 1 x1 6, 4 x2 9; x3  4? 64 a) Trình bày thuật tốn nhánh cận giải tốn túi? b) Áp dụng thuật toán nhánh cận giải toán túi dƣới đây, rõ kết theo bƣớc thực thuật toán? 5 x1  x  x3  3x  max,  4 x1  x  x3  3x  10,  x  0,1, j  1,2,3,4  j 117 65 a) Trình bày thuật toán nhánh cận giải toán túi? b) Áp dụng thuật toán nhánh cận giải toán túi dƣới đây, rõ kết theo bƣớc thực thuật toán? 7 x1  3x  x3  x  max,  5 x1  3x  x3  x  12,  x  0,1, j  1,2,3,4  j 66 a) Trình bày thuật tốn nhánh cận giải toán túi? b) Áp dụng thuật toán nhánh cận giải toán túi dƣới đây, rõ kết theo bƣớc thực thuật toán? 30 x1  19 x  13x3  38 x  20 x5  x6  x7  19 x8  10 x9  11x10  max,  15 x1  12 x  x3  27 x  15 x5  x6  x7  20 x8  12 x9  15 x10  62  x  0,1, j  1,2,10  j 67 Giải toán ngƣời du lịch với ma trận chi phí nhƣ sau:  31 15 23 10 17 16  24 07 12 12 34 03  25 54 25 15 20 33  50 40 16 10 32 03  23 18 20 13 28 21  68 Giải toán ngƣời du lịch với ma trận chi phí nhƣ sau:  04 45 39 28 03 03  17 90 46 88 93 77  80 88 18 13 42 36  33 46 33 21 16 56  92 09 16 28 07 25  118 ... thấy P0 = 10 000 P1 = 1. 11P0 P2 = 1. 11P1 = (1. 11) 2P0 Pn = 1. 11Pn -1 = (1. 11) n-1P0 31 Ta chứng minh tính đắn công thức truy hồi qui nạp Thay P0= 10 000, n = 30 ta đƣợc: P30 = (1. 11) 3 010 000 = 228922,97... bít 011 01 1 011 0 11 000 11 1 01 tìm xâu AND bít, OR bít, XOR bít Bảng 1. 5 Các phép tốn cấp bít ứng dụng ngôn ngữ LT Giá trị A Giá trị B A and B A or B A xor B A = 13 =11 00 B = 8 =10 00 10 00 11 01 010 1... đƣợc nhiều : x x 10 x x x10 x10 x10 x 10 x 10 x10 = x 83 x 10 6 = 024 10 6 đánh số theo dự án NXX NXX XXXX đƣợc nhiều : x 10 x 10 x x 10 x10 x10 x10 x 10 x 10 x10 = 82 x 10 8 = 64 10 8 2N(S) Ví dụ