Giáo trình toán rời rạc GS nguyễn hữu anh

GS.NGUYỄN HỮU ANH TOÁ N RỜ I RẠC NHÀ XUẤT BẢN LAO ĐỘNG Xà HỘI MỤC LỤC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC §1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ §2 DẠNG MỆNH ĐỀ §3 QUY TẮC SUY DIỄN 12 §4 VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 18 §5 NGUYÊN LÝ QUY NẠP 23 BÀI TẬP CHƯƠNG .25 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 36 §1 TẬP HỢP 36 §2 ÁNH XẠ 38 §3 PHÉP ĐẾM 40 §4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 45 §5 NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU 48 BÀI TẬP CHƯƠNG .50 CHƯƠNG 3: QUAN HỆ 57 §1 QUAN HỆ 57 §2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 60 §3 THỨ TỰ 62 §4 DÀN 66 §5 DÀN 69 §6 DÀN 70 BÀI TẬP CHƯƠNG .76 CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL 83 §1 ĐẠI SỐ BOOL 83 §2 HÀM BOOL 88 §3 MẠNG CÁC CỔNG VÀ CƠNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU 92 §4 PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH 96 §5 PHƯƠNG PHÁP THỎA THUẬN 104 BÀI TẬP CHƯƠNG 110 GIẢI ĐÁP MỘT SỐ BÀI TẬP 114 GS Nguyễn Hữu Anh GS Nguyễn Hữu Anh CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC §1 PHÁP TÍ NH MỆNH ĐỀ Trong toán học ta quan tâm đến mệnh đề có giá trị hân lý xác định (đúng sai vừa vừa sai) Các khẳng định gọi mệnh đề Các mệnh đề nói có giá tr ị chân lý (hay chân tr ị đúng), mệnh đề sai nói có chân tr ị sai Ví dụ: Các khẳng định sau mệnh đề:  Mơn Tốn rời rạc mơn bắt buộc cho ngành Tin học  1+1=2  số nguyên tố Hai mệnh đề đầu có chân trị 1, mệnh đề thứ ba có chân trị Các khẳng định dạng tán than mệnh lệnh mệnh đề khơng có chân trị xác định Khẳng định “ số nguyên tố ” mệnh đề Tuy nhiên, thay n số ngun cố định ta có mệnh đề: chẳng hạn với = ta có mệnh đề đúng, với = ta có mệnh đề sai Khẳng định gọi v ị t đối tượn khảo sát logic Ta thường ký hiệu mệnh đề chữ , , , … chân trị (sai) ký hiệu (0) Đôi ta dùng ký hiệu , để chân trị dể chân trị sai Phân tích kỹ ví dụ ta thấy mệnh đề chia làm loại:  Các mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại liên từ(và, hay, nếu… thì… ) trạng từ “khơng” Ta nói mệnh đề mệnh đề phức hợp Ví dụ: “Nếu trời đẹp dạo” mệnh đề phức hợp  Các mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác liên từ trạng từ “không” Ta nói mệnh đề mệnh đề nguyên thủy hay sơ cấp Ví dụ: “Hơm trời đẹp”, “3 số nguyên tố” mệnh đề nguyên thủy Mục đích phép tính mệnh đề nghiên cứu chân trị mệnh đề phức hợp từ chân trị mệnh đề đơn giản phép nối mệnh đề thể qua lien từ trạng từ “không” Các phép nối: Phép phủ định: ph ủ định mệnh đề P ký hiệu ¬ Chân trị ¬ chân trị ngược lại (đọc khơng P) Ta có bảng sau gọi b ảng chân tr ị phép phủ định: GS Nguyễn Hữu Anh ¬ 1 Phép nối liền: m ệnh đề n ối liền hai mệnh đề P, Q ký hiệu P∧Q (đọc P Q) Chân trị P∧Q P lẫn Q có chân trị Trong trường hợp khác, P∧Q có chân trị Nói cách khác phép nối liền xác định b ảng chân tr ị sau: 0 ∧ 1 0 1 Ví dụ: mệnh đề “Hơm trời đẹp trận bóng đá hấp dẫn” xem mệnh đề hai điều kiện “trời đẹp” “trận bóng đá hấp dẫn” xảy Ngược lại mệnh đề mệnh đề sai hai mệnh đề sai mệnh đề mệnh đề sai Phép nối rời: mệnh đề n ối r ời hai mệnh đề P, Q ký hiệu P∨Q (đọc P Q) Chân trị P∨Q P lẫn Q có chân trị Trong trường hợp khác, P∨Q có chân trị Nói cách khác phép nối rời xác định b ảng chân tr ị sau: 0 ∨ 1 1 1 Ví dụ: “Ba đọc báo hay xem tivi” mệnh đề lúc ba đọc báo, xem tivi hay vừa đọc báo vừa xem tivi (!) Ngược lại hai việc khơng xảy ra, ví dụ Ba làm việc mệnh đề mệnh đề sai Chú ý mệnh đề P∨Q, từ “hay” dung theo nghĩa bao gồm,nghĩa đồng thời Tuy nhiên theo ngôn ngữ ngày ta thường hiểu ∨ theo nghĩa loại trừ, nghĩa hay không đồng thời Để phân biệt rõ rang, trường hợp loại trừ ta sử dụng từ “hoặc”: “ ” ký hiệu ∨ ( hay không đồng thời hai) Bảng chân trị ∨ là: GS Nguyễn Hữu Anh 0 ∨ 1 1 1 0 Phép kéo theo: P Q ký hiệu → (cũng đọc kéo theo , điều kiện đủ , điều kiện đủ ) Để xác định chân trị cho → ta xem ví dụ mệnh đề “nếu trời đẹp tơi dạo” Ta có trường hợp sau:  tr ời đẹp tác giả kh ẳng định dạo: hiển nhiên mệnh đề  tr ời đẹp tác giả ng ồi nhà: mệnh đề rõ ràng sai  tr ời xấu tác gi ả dạo: mệnh đề  tr ời xấu tác giả ng ồi nhà: trời xấu tác giả không vi phạm khẳng định nên mệnh đề phải xem Từ ta có b ảng chân tr ị phép kéo theo sau: 0 → 1 0 1 1 Chú ý: Với quy ước chân trị trên, ta cò khẳng định ngộ nghĩnh như: “nếu 2=1 Quang Trung Trần Hưng Đạo người” Cần phân biệt mệnh đề → với lệnh ℎ số ngôn ngữ lập trình ví dụ Pascal, Basic Trong → mệnh đề lệnh ℎ ℎì mệnh đề cịn dãy liên tiếp dòng lệnh thực mệnh đề P có chân trị bỏ qua P có chân trị Nhắc lại dòng lệnh mệnh lệnh mà máy phải thực nên mệnh dề theo nghĩa ta xét Dù có tương tự hai đối tượng “ → ” “ ℎ ” Hơn lợi dụng tương đương logic để thực lệnh “ ℎ ” có hiệu Trong ngơn ngữ ngày, người ta thường hay nhầm lẫn phép kéo theo với kéo theo hai chiều, chẳng hạn phát biểu ”giảng viên khoa Toán dạy nghiêm túc” mà viết theo phép nối “nếu anh giáo viên khoa Toán anh dạy nghiêm túc” thường bị phản ứng giáo viên khoa khác họ cho người nói ám “nếu giảng viên khoa khác dạy không nghiêm túc” Thật phát biểu, người nói có muốn ám “nếu anh giáo viên khoa Tốn anh dạy nghiêm túc” Ở viết phát biểu ban đầu dạng → hai phát biểu hiểu nhầm có dạng ( ¬ ) → ( ¬ ) → Tuy nhiên, bao gồm them hai phát biểu sau, phát biểu → thành phép kéo theo hai chiều theo nghĩa GS Nguyễn Hữu Anh Phép kéo theo hai chiều: mệnh đề ngược lại ký hiệu ↔ (cũng đọc , , hay P điều kiện cần đủ để có ) Theo trên, hai chiều → → nên ngược lại Do ta có b ảng chân tr ị phép kéo theo hai chiều sau: 0 ↔ 1 0 1 1 §2 DẠNG MỆNH ĐỀ Trong Đại số ta có biểu thức đại số xây dựng từ:  số nguyên, hữu tỉ, thực,… mà ta gọi h ằng số  biến , , … lấy giá trị số  phép toán thao tác số biến theo thứ tự định Khi thay biến biểu thức đại số số kết thực phép tốn biểu thức số Trong phép tốn mệnh đề ta có “biểu thức logic” tương tự mà ta gọi d ạng mệnh đề xây dựng từ:  mệnh đề (hằng mệnh đề)  biến mệnh đề , , … lấy giá trị mệnh đề  phép nối thao tác mệnh đề biến mệnh đề theo thứ tự định Ở thứ tự xác định dấu “()” để rõ phép nối thực cặp mệnh đề nào, biểu th ức Ví dụ như: ( , , ) = ( ∧ ) ˅ ( ( ¬ ) → ) dạng mệnh đề , , biến mệnh đề mệnh đề Giả sử , dạng mệnh đề, ¬ , ∧ , → , ↔ dạng mệnh đề Bằng cách ta xây dựng dạng mệnh đề ngày phức tạp Mặt khác, điều ta quan tâm dạng mệnh đề ( , , , …) chân trị mệnh đề có ( , , , …) thay biến mệnh đề , , , … mệnh đề , , , … có chân trị xác định, nghĩa phụ thuộc chân trị ( , , , …) theo chân trị , , , … theo thể cụ thể , , , … qua mệnh đề cu thể , , , … Nói cách khác dạng mệnh đề ( , , , …) có bảng chân trị xác định dịng cho biết chân trị ( , , , …) theo chân trị cụ thể , , ,… GS Nguyễn Hữu Anh Ví dụ: Ta xây dựng bảng chân trị hai dạng mệnh đề ˅( ˄ ) và ( ˅ ) ˄ theo biến mệnh đề , , 0 ˄ ˅( ˄ ) ˅ ( ˅ )˄ 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Ta thấy hai dạng mệnh đề ˅( ˄ ) , ( ˅ ) ˄ có bảng chân trị khác Điều cho thấy thứ tự thực phép nối quan trọng cần thiết dấu “()” Tuy nhiên ta quy ước phép nối ¬ với phép nối khác mà khơng có dấu “()” phép nối ¬ ưu tiên thực trước Ví dụ ¬ ˅ có nghĩa thực ¬ trước thực ฀, nói cách khác biểu thức ¬ ˅ ( ¬ ) ˅ Trong trường hợp muốn thực sau ta phải đặt dấu ngoặc: ¬ ( ˅ ) Ta xây dựng bảng chân trị hai dạng mệnh đề → ¬ ˅ 0 → 1 1 0 0 1 1 ¬ Như hai dạng mệnh đề tương đương logic theo nghĩa sau → ¬ ˅ ¬ ˅ có bảng chân trị Ta nói chúng Định nghĩa 1.2.1: hai dạng mệnh đề , nói chúng tương đương logic chúng có bảng chân trị Khi ta viết ⟺ Chú ý tương đương logic dạng mệnh đề trị dù biến có lấy giá trị Định nghĩa 1.2.2: i ii ↔ luôn lấy giá Một dạng mệnh đề coi h ằng ln ln lấy chân trị Một dạng mệnh đề coi h ằng sai hay mâu thu ẫn ln ln lấy chân trị Từ nhận xét trên, ta ln có Mệnh đề 1.2.1: hai dạng mệnh đề GS Nguyễn Hữu Anh tương đương logic → Nếu để ý đến phép kéo theo chiều ta có Định nghĩa 1.2.3: dạng mệnh đề nói hệ logic mệnh đề Khi ta viết ⟹ Ta nói hệ logic Như nói hệ logic tương đương logic với có nghĩa hệ logic → Trong phép tính mệnh đề, ta thường không phân biệt dạng mệnh đề tương đương logic Ta có Quy tắc thay thứ nhất: dạng mệnh đề ta thay biểu thức dạng mệnh đề tương đương logic dạng mệnh đề thu tương dương logic với Chú ý: Ta sử dụng khái niệm biểu thức theo nghĩa tự nhiên: dạng mệnh đề “xuất hiện” , hay nói cách khác xây dựng từ số dạng mệnh đề khác qua phép nối Ví dụ: → ( → ) tương đương logic với → ( ¬ ˅ ) biểu thức thay dạng mệnh đề tương dương logic ¬ ˅ → Với quy tắc thay ta “rút gọn” dạng mệnh đề cách thay biểu thức dạng mệnh đề tương đương đơn giản giúp cho bước rút gọn dễ dàng Ngoài ra, cần nhận biết số Thường suy từ số đơn giản nhờ: Quy tắc thay thứ hai: giả sử dạng mệnh đề ( , , , …) Nếu ta thay nơi p xuất E dạng mệnh đề tùy ý ( ’, ’, ’, …) dạng mệnh đề nhận theo biến , , , …, ’, ’, ’, … cịn Ngồi hai quy tắc thay trên, ta sử dụng 10 quy luật logic phát biểu dạng tương đương logic rút gọn dạng mệnh đề cho trước Ta có Định lý 1.2.2 (Quy luật logic): với , , biến mệnh đề, mâu thuẫn (hằng sai), ta có tương đương logic: i Phủ định phủ định: ¬¬ ii ⇔ Quy t ắc De Morgan: ¬( ∧ ) ⇔ ¬ iii ¬( ∨ ) ⇔ ¬ ∧¬ Lu ật giao hốn: ∨ ⇔ iv ∨¬ ∧ ∨ ⇔ ∧ Lu ật kết h ợp: ∧ ( ∧ ) ⇔ ( ∧ ) ∧ ) v ∨ ( ∨ ) ⇔ ( ∨ ) ∨ ) Lu ật phân b ố: ∧( ∨ ) ⇔ ( ∧ ) ∨( ∧ ) ∨ ( ∧ ) ⇔ ( ∨ ) ∧ ( ∨ ) GS Nguyễn Hữu Anh vi Lu ật lũy đẳng (I dempotent Rules) ∧ vii ∨ ⇔ ⇔ Lu ật trung hòa: ∧1 ⇔ viii ∨0 ⇔ Lu ật ph ần t bù: ∧¬ ix ∨¬ ⇔ ⇔ Lu ật th ống tr ị: ∧ ⇔ x ∨ ⇔ Lu ật h ấp th ụ: ∧ ( ∨ ) ⇔ ∨ ( ∧ ) ⇔ Chứng minh: đọc giả kiểm tra dễ dàng 10 quy luật logic cách lập bảng chân trị hai vế tương đương logic  đpcm Ví dụ: Từ quy tắc De morgan ta ¬ ( ∧ )  ⟺ ¬ ∨¬ Thay p r฀s ta ¬ ( ( ∧ ) ∧ )  ⟺ ¬ ( ∧ ) ∨ ¬ Hãy chứng minh dạng mệnh đề sau [ ( → ) ∧ [ ( → ) → ( ¬ ∨ ) ] ] → ( ¬ ∨ ) (1.2.1) Muốn ta thay r→s p ¬t฀u q đưa chứng minh dạng mệnh đề sau đúng: [ ∧ ( → ) ] → Ta sử dụng liên tiếp quy tắc thay thứ tương đương logic sau: [ ∧ ( → ) ] → [ ( ∧ ¬ ) ∨ ( ∧ ) ] → [ ( ∧ ) ] → ¬ ∨1   [ ∧ (¬ ∨ ) ] → [ ∨ ( ∧ ) ] →  ¬    ∨¬ ∨  ∨¬ ∨  Do 1.2.1 Tương tự ta có: ( ∧ ) → ¬ ∨ (¬ ∨ ) GS Nguyễn Hữu Anh  ¬  ¬ ∨( → ) (1.2.2) 10 ⟶ ⟶ ⟶ ¬ ∧¬ ( ∨ ) ¬ ∴ Dùng PP Phủ định lần b) Đúng 34 a) Sai c) Đúng 37 a) Đúng: thay d) Đúng: chọn = e) Sai: chọn x=0 phần tử tùy ý cho ( ) = hay = Khi > b) Sai: chọn c) Đúng: chọn d) Đúng: chọn = ( ) sai nên ( ) ⟶ ( ) = ( ) sai nên ( ) ⟶ ¬ ( ) b) Đúng 38 a) Sai e) Cho = ( 5) ¬ (5) sai tùy ý, chọn c) Đúng = d) Đúng ( , ) f) Sai cì có phủ định là: ∀ ∃ , ¬ ( , ) Thật cho ¬ ( , ) g) Đúng tùy ý, chọn = + h) Đúng 39 a) Sai: chọ = −1 = > < Phủ định cho viết b) Đúng Phủ định cho viết c) Đúng 1.3=3 số lẻ Phủ định viết khơng xác Phủ định là: tích hai số lẻ số chẵn d) Đúng Phủ định viết khơng xác Phủ định : tồn số hữu tỉ có bình phương số vơ tỉ 40 a) Tồn số nguyên cho chia hết cho số chẵn b) Tồn số ngun chẵn có bình phương số lẻ − , − c) Tồn số nguyên , , cho d) Tồn số thực cho e) Tồn số thực > 16 −4 ≤ cho | − | < 41 a) ∀ , ¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∀ , ¬ ( ) ∧ ¬ ( ) b) ∃ , ¬ c) ∃ , ¬ d) ∀ , ≤4 − ≤ −4 số lẻ ≥ 10 ( ) ∧ ¬ ( ) ⟺ ∃ ,¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∃ , ( ) → ( ) ( ) → ( ) ⟺ ∃ ,¬ ¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∃ , ( ) ∧ ¬ ( ) ( ) ∨ ( ) ∧¬ ( ) ⟺∀ , ( ) ∧¬ ( ) 43 a) ∃ ∀ , d) Trong = b) ∀ ∃ , + = c) ∀ , ( ≠ ) → ( ∃ , = 1) b) c) phải thay ∀ , ( | | = ) → ( ∃ , 44 a) ∀ ∈ , ( ≠ ) → ∃! = viết: ∀ ≠ 0, ∃! : b) ∀ ∈ , ∀ ∈ , ∃! ∈ : = = Nếu : + = 1) hiểu ngầm mệnh đề c) ∀ , ∃! : = + 45 ∀ , ∃! , = −2 ∃! , ∀ , = −2 sai Thật ta cần kiểm tra ∃ , ∀ , ≠ −2 Muốn vậy, ta cho = tùy ý chọn = − + = −2 + ≠ −2 GS Nguyễn Hữu Anh 115 Với kết a) sai b) 46 Chọn = 0, = 0, = ( , ) ( , ) ≠ Như ( ) ( ) ∀ ∃! , sai Suy ∃! ∀ ; , sai Từ ta thấy hai kết luận a) b) 47 Với tập hợp vũ trụ mệnh đề sai = { 1,2} mệnh đề “∃! , > ” với = { 1,2 } 49 a) Đúng Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng PP khẳng định sử dụng b) Sai Có thể ơng Bình đóng thuế khơng công dân tốt (vi phạm luật giao thông chẳng hạn!) c) Sai Có thể Hà khơng quan tâm đến môi trường để riêng túi nhựa bỏ (bị mẹ bắt chẳng hạn!) d) Sai.Có thể Minh khơng nộp chưa làm xong khơng chịu làm (do Minh khơng phải sinh viên nghiêm túc) 50 a) b) hiển nhiên c) Sử dụng Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng, Qui tắc tổng quát hóa phổ dụng Phép chứng minh theo trường hợp, d) Xét hai vị từ : ( ) : " ≥ 0" ( ) : " ≤ 0" Khi “ ∀ , ( ) ∨ ( ) ” “ ∀ , ( ) ” “ ∀ , ( ) ” sai 54.Suy luận sai ngay bước qui nạp đầu tiên: ( ) → ( 2) 55 Giả sử số liên tiếp có tổng ≤ 38 Khi ta có: (1 + + ⋯ + 25) nghĩa 25.39 ≤ ≤ 25.38 25.38: mâu thuẫn 56 a) Suy dễ dàng từ nguyên lý qui nạp b) Cần chứng minh qui nạp bất đẳng thứ phụ > + < c) Cần chứng minh qui nạp bất đẳng thứ phụ: > > + 10 < + + 1< 57 Giả sử + + + ⋯+ Khi ấy: + + ⋯+ + + 1= = 2 + 1+ + + 1= 2 Tuy nhiên (1) sai nên không áp dụng nguyên lý qui nạp 58 Công thức cần chứng minh ( + 1) + ( Giả sử công thức với = Ta có: ( ( + 1) + 1) + ( ( + 1) + ) + ⋯ + ( + 2) GS Nguyễn Hữu Anh + 2) + ⋯ + ( + 1) = + ( + 1) , ≥0 116 + + + 1) + ( = ( + + + 2) + + + + + 1) + ( + ) + + + ( + ) + + …+ ( = ( + 2) + ⋯ + ( + 1) + ( = ( + 1) + + + 1) + ( + ) ( + 1) + + + + 12 + = ( + 1) + ( + 2) CHƯƠNG Bốn tập hợp Tuy nhiên cách viết sau khơng hợp lý có phần tử kể lần tập hợp a) Đúng b) Đúng c) Đúng a) d) Đúng b) e) Sai Ta phải viết { } ⊂ a) Sai b) c) d) Đúng f) Sai Ta phải viết { } ∈ a) { 0,2 } b) 2, , c) a) b) c) e) Đúng , , , , , , , d) f) Sai Chỉ có d) khác ∅ phươn trình tương ứng có nghiệm a) {1,2,3,5} b) g) ∅ i) {1,3,4,5,8} h) {1} c) d) a) c) d) Đúng b) e) f) Sai 10 a) c) b) ≠ tùy ý 12 a) Sai, chọn b) Sai, chọn d) ≠ tùy ý e) ̅ = { + 1/ f) = = ∅, e) {4,8} \ { 2} = = ∅, = ∩( ∩ ) = 13 a) Sai Chọn = { 1} , Do 11 d) ⊂ Tương tự ta có 15 a) c) ̅ ∪ 21 a) ∩ ̅ ) = ( ∩ ̅ ) ∩ ∩( ∩ ̅) = ∪( ∩ ∘ ( ) = − ℎ ∘ ( ) = ℎ( ) = ℎ ( ) ; ∘ b) = { 2} ∘ ℎ( ) = 3ℎ( ) − − 2, ( ) = ( ) = ∩ ∩ ∩ ( ) = = 23 a) ∩ ∩ = = = ∅ ∩ ∩ = ∅ = ∅ b) ( ∩ ) ∪ ( ∩ ∩ ̅∩ ) ∪( ̅∩ ) = d) Tập hợp cho ∘ ( ) = −3 ∩ ∩ ∩ ∘ ℎ( ) = ế ℎẵ ế ẻ − 3, ∩( ∪ ) = ( ) = , ∩ ∪ ∩( ∪ ) ∩( ∪ ) = ( −3 ) = nên = ∪ )∩ b) Đúng song ánh Ánh xạ ngược b) ( ) = ∩ = ( ⊂ Nghĩa ℎ = ℎ, ℎ = ℎ = ℎ Bằng qui nạp ℎ 22 ∈ } = c) Đúng Ta có: ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ Suy ( ∩ ) ⊂ f) {1,2,3,4,5,8} = ℎ ∩( ∪ ) ∩( ∪ ) = : không đơn ánh GS Nguyễn Hữu Anh ( ) = 27 → ( ) cho ( ) = − 117 c) Hàm số tăng ngặt [4,9] nên đơn ánh Mặt khác ( [4,9]) ⊂ [21,96] Hơn + − = có nghiệm = −1 + + Do với ∈ [ 21,96 ] phương trình ( ) = −1 + + song ánh với ánh xạ ngược d) song ánh Ánh xạ ngược: ( )= ( ) = ln( ) − 1, e) song ánh f) đơn ánh ( ) = 7, ( [ −5, −1 ]) = [ 2,6 ] , b) ∈ ( 0, + ∞) ế < khơng tồn ánh ∉ ( ) ( −10 ) = −3, 27 a) ế ≥0 ( ) = 1, ([ −2,4 ]) = ( 6) = ( [ −2,0 ]) ∪ ([ 3,4 ]) = ( −1,7 ] ( 0.3 ) ∪ 28 a) Chú ý song ánh ={1,2,…} va tập hợp số nguyên tự nhiên { } lẻ, song ánh ∪ = { …, −2, −1,0} tập hợp số nguyên tự nhiên chẵn Suy song ánh + b) ( ) = ∘ b) Do = ( ) ∈ c) ( ∘ ) ê ự ℎ ê ẻ − ế ố 29 a) ( ) = ế ố ) ⟹ ( ê ự ℎ ê ℎẵ ∘ = ∈ ′ ế ộ ố −1 30 a) ( ) = ± nên b) Giả sử ( ) = đơn ánh ( ) Như song ánh d) Ta có = 31 i) Giả sử ( 365 ) = + ( Tương tự , ) = ii) Đặt + < ( = , ( + ế ố = ∘ ( ) = ( ) với ê ự ℎ ê ẻ tính chẵn lẻ nên ( −1 ) + ( −1 ) − ( −1 ) = = = ) ′ Khi ≤ ≤ + < ( ( )( + + + = , = ( −1 ) Suy = ∶ = 364 + + 3) − 1) ( + ) Ta có = GS Nguyễn Hữu Anh ,∀ ∈ ( 365 ) = 365 + ( −1 ) ) × cho ê ự ℎ ê ℎẵ ( ) khác tính chẵn lẻ ( ) Khi ( ) + ( −1 ) ( )= ∈ ( ) = ′ ( = toàn ánh nên cho ∈ tùy ý, sẽt tồn Điều chứng tỏ toàn ánh d) Chọn ( ) = với c) ) ⟹ ( ( ) = + 2) < ( + ′) ( + ) < ( , ) Mặt khác = Tóm lại đơn ánh + = + ( 0,0 ) ∈ 118 Mặt khác, giả sử = ( , ) Khi + = ( − 1, + 1) = Suy ( × ) = theo Nguyên lý Qui nạp > + 1= ( + 1,0 ) 10 = 35 = 252 b) 10 = 56 − − c) 4 33 a) 34 a) Đó tập hợp có dạng ∪ với tập ≠ ∅ {2,4,6,8,10} ⊂ { 1,3,5,7,9,11 } Do theo Nguyên lý nhân số tập hợp là: ( − ) b) Tương tự trên, số tập hợp có dạng ( − 1) c) Tổng quát hóa: tập hợp số chẵn có phần tử tập hợp số chẵn có phần tử số tập hợp ∪ chứa số chẵn là: ( − ) 35 = 20 38 a) Số nhãn hiệu thỏa tính là: ∩ ) ∪( |( ∩ ) ∪ ( ∩ )| = | ∩ | + | ∩ | + | ∩ | = Số nhãn hiệu thỏa tính là: |( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) | = 18 − = 14 Do số nhãn hiệu thỏa tính 10 b) Số nhãn hiệu khơng thỏa tính 15 - 14=1 7 − = 112 40 a) − = 126; − − − 41 … = b) 2 − 2; − − ! ! !… ! 44 Gọi , , tập hợp sinh viên làm thí nghiệm thứ nhất, thứ hai thứ ba tương ứng Ta có: | | = 21 − = 16 , | | = 21 − = 14, | | = 21 − = 15 Áp dụn 38 ta | ∩ | + | ∩ | + | ∩ | = 33 Số sinh viên làm hai thí nghiệm là: |( ∩ ) ∪( ∩ ) ∪ ( ∩ ) | = 33 − | ∩ ∩ |+ | ∩ Do có 21 − 15 = sinh viên làm thí nghiệm ∩ | = 15 45 Mỗi đường xác định ký tự (đi ngang) chọn dãy gồm có (đi lên) Do số đường khác + 46 = + ký tự + 10 + − = −1 47 a) 13 = 286 14 10 + − = = 1001 5−1 b) Chia cho đứa trẻ lớn hai bi, lại chia cho đứa: c) Chia bi lạc họ đứa: 5+ 5−1 = 5−1 48 a) Cho vào hợp vật, lại GS Nguyễn Hữu Anh − = 126 vật chia cho 8+ 5−1 = 5−1 hộp: − + −1 12 = 495 −1 = −1 −1 119 b) −1 −1 49 a) Đây số nghiệm ≥ phương trình b) Chỉ có nghiệm: = + −1 = 4−1 = = + + số nghiệm ≥ 11 = 165 + + = 28 với + 31 − = 4475 3 + + + , ≥ 0,0 ≤ , ≤ 24: = 50 a) Theo Nguyên lý nhân, số số hạng ( ) ( ) Do hệ số = = c) Chính số nghiệm phương trình + là: × × = 420 420 × × = 15120 số nghiệm phương trình b) Số số hạng có dạng = , với ∈ ,1 ≤ ≤ : + + + + 11 + −1 = = 330 5−1 8 53 a) = 28 b) = 70 c) = 28 8 + = 37 d) Đây số byte có nhiều bit 0: + 55 a) 56 a) 15 = 105 = ( b) )( 25 25 = 2300, = 12650 ) b) Có tam giác có chung hai cạnh với đa giác ( − 4) tam giác có chung cạnh với đa giác Do số tam giác khơng có cạnh chung ( − 1) ( − 2) 59 a) ( + ) = b) ( + c) d) − ) = 1 ! ( − 1) ! ! ( − 1) ! = = = ! ! ( −1 ) − ( − 4) − = ! ( − 1) = số lần tung Do 60 Ta cần có: c) ( − ) + GS Nguyễn Hữu Anh ( − + 20 ) ! 61 a) Ít lần: Nguyên lý chuồng bồ câu Do giá trị nhỏ 60 Giả sử cửa có bồ câu Khi ta có: b) Gọi = 13 ≤ −1 < = : mâu thuẫn ≥ 120 63 a) Ta chọn 10 chuồng bồ câu: [1,2),[2,3),…,[9,10),{10} Do nguyên lý chuồng bồ < câu có hai phần tử ≠ có bậc hai thuộc tập hợp, nghĩa là: < √ − b) Cho trước số nguyên > Trong + phần tử khác { 1,2, …, < phần tử , cho: < √ − } , có 64 Vẽ tam giác có cạnh song song với cạnh tam giác cho vaa2 đỉnh chọn số đỉnh, diểm chia cạnh theo tỉ số tâm tam giác Theo Nguyên lý chuồng bồ câu, có số 10 điểm cho thuộc tam giác nhỏ Khoảng cách chúng ≤ Dấu = xảy đỉnh tam giác nhỏ Tuy nhiên có đỉnh nằm bên tam giác cho CHƯƠNG = 0, ( , , ) ∈ a) ≠ tùy ý, ≠ tùy ý, × × tùy ý: có 4.7 = 196 = 0, ( , ) ∈ × tùy ý: có = 112 tùy ý, ≠ tùy ý, = : có = 96 Vậy | ℛ | = 196 + 112 + 96 = 404 ≠ tùy ý, b) tùy ý, ≠ tùy ý, = tùy ý Vậy | ℛ | = 6.3 = 288 a) | × b) | |= = d) Đó số tập hợp × | | || | = 4096 = × : = 126 c) Quan hệ hàm: : ⟹ | | = 12 ⟹ | | = → , ( ) = + → , ( )= b) Quan hệ hàm: : → , ( ) = + hay : d) Không phải quan hệ hàm e) Quan hệ hàm: ( ) = b) c) ( ) : [ 0,1 ] ⟶ [ 0,1 ] , ( ) = √1 − ( ℛ) = [ 0, + ∞) , ( ℛ) = , ( ℛ) = ( ℛ) = [ −1,1 ] , × → , ( )= hay = ( ) : [ 0,1 ] ⟶ [ 0,1 ] , ( ) = 1− = ( ℛ) = [ −1,1] ( ℛ) = [ −1,1 ] a) Quan hệ × × đồng nên loại bớt b) = 512 9 − − = 466 a) Quan hệ hàm: : a) × | \ {( 1,2) , ( 1,5 ) } = = 128 × e) Đó số tập hợp phần tử f) − c) | = = 512 dịng đồng nên loại bớt dịng có thẻ dùng làm khóa a) Quan hệ chiếu lên × gồm cột đầu đủ dòng Quan hệ chiếu lên gồm cột đầu đủ dịng GS Nguyễn Hữu Anh × × 121 b) Khơng có khóa cột có giá trị lặp lại c) × , × , × , × , × a) ℛ = {( 1,1 ) , ( 2,2) , ( 3,3 ) , ( 4,4 ) , ( 1,2) , ( 2,1) , ( 2,3) , ( 3,2 ) } b) ℛ = {( 1,1) , ( 2,2) , ( 3,3 ) , ( 4,4 ) , ( 1,2) , ( 2,1) , ( 2,3 ) , ( 1,3 )} c) ℛ = {( 1,1) , ( 2,2) , ( 1,2) , ( 2,1 )} a) Phản xạ, đối xứng, bắc cầu Tuy nhiên không phản xứng trừ trường hợp = b), e), f), g) Phản xạ, đối xứng, bắc cầu không phản xứng c) Đối xứng khơng có ba tính chất d) Phản xạ, phản xứng, bắc cầu không đối xứng 11 a) ( ℛ∗ ) ∗ = ℛ b) ℛ = ℛ∗ ℛ đối xứng c) bắc cầu, phản xứng ℛ∗ bắc cầu, phản xứng Theo b) ℛ đối xứng ℛ∗ = ℛ đối xứng 12 a) | × | = 16, | ∆ | = nên số quan hệ phản xạ là: = 4096 b) Gọi = {( , ) / ≤ < ≤ } Với ⊂ ∪ ∆ ∪ {( , ) ( , ) ∈ } quan hệ đối xúng ngược lại Do số quan hệ đối xứng ∪∆ = = 1024 c) Một quan hệ phản xạ đối xứng xác định tập hợp phản xạ đối xứng | | = = 64 d) Giả sử ℛ phản xứng, đặt định , , = ℛ∩∆ , = ℛ∩ Do số quan hệ phản xứng : 2 = ℛ∗ ∩ ⊂ nên số quan hệ : rõ ràng ℛ xác = 11.664 e) Đó quan hệ ℛ ⊂ ∆ : có = 16 quan hệ f) Quan hệ ℛ = ∆ 13 Ta viết = { , , …, } Đặt , = / < Ta có | | = trên, quan hệ phản xứng ℛ tương ứng với tập ( ) ( ) = ∆ ∪ = , nghĩa | ℛ| = + = Hơn số quan hệ ( , , ( ) Tương tự ℛ tối đại ) 14 a) Trực tiếp từ định nghĩa b) [ ] = { 1,2 } = [ ] , [ ] = { } c) [ ] = { 4,5 } = [ ] [ ] = { } Do ta có phân hoạch = { 1,2 } ∪ { } ∪ { 4,5 } ∪ { } thành lớp tương đương: 15 Ngoài đường chéo ∆ , cịn chứa cặp {1,2},{2,1},{3,4},{4,3} 16 Ta có (1,2) (2,3) (1,3) ∉ ℛ nên ℛ quan hệ tương đương 17 a) Hiển nhiên GS Nguyễn Hữu Anh 122 b) [( , ) ] = {( , ) / ∈ ℛ} Đấy đường thẳng song song với trục tung qua điểm ( , ) 19 a) Đó quan hệ tương đương b) [ ∅] = ∅, { } , [{ }] = { } , { 1,3} , [{ }] = { } , { 2,3} , [{ 1,2 }] = { 1,2 } , { 1,2,3} c) [{1,3,5}] = {{1,3,4},{1,3,5}} Mỗi lớp tương đương chứa tập hợp nên số lớp tương đương | | = = 21 a) c) = 10 b) × = 30 1+ = 80 d) 10 + 80 + 30 + 22 a) Suy trực tiếp từ định nghĩa b) { 23 ℛ = ( × × ) ∪( × ) ∪( = 126 ∈ ( )} ( )/ ) = ( { 1,2,3 }) = { ⊂ / ∈ } Khi biểu đồ Hasse hình 25 Xét lập phương chiều Nối đỉnh ∈ đến đỉnh ∪ { } ∈ cung có hướng xuất phát từ Tập hợp đỉnh và cung với cung ( ) thêm vào biểu đồ Hasse 26 a) Kiểm tra trực tiếp định nghĩa b) ≺ khơng thiết tồn phần ví dụ = 27 a) Trực tiếp từ định nghĩa b) Với , ∈ ℎ = sup { , } tùy ý Định nghĩa ánh xạ ℎ: Tương tự ta thấy inf( , ) ánh xạ = { 0,1 } ≺ , ≺ thứ tự thông thường → ℎ( ) = → : inf ( , ) ( ) = ( )∧ ( )∨ ( ) ,∀ ∈ ( ),∀ ∈ = , = , …, 29 Tính phản xạ hiển nhiên Gọi số cho < Gọi số tương tự xác định từ ≺ = , …,  Nếu ≥ ta có  Nếu < < nên ta có = = = , …, = ≺ ≺ = Khi < = Trong hai trường hợp ta có ≺ ≺ có tính bắc cầu Chú ý trường hợp = trường hợp khơng xảy = , nghĩa ≺ phản xứng với ≤ ≤ min( , ) ta có ≺ Xét hai chuỗi khác rỗng , Nếu = hay ≺ theo Định nghĩa ≺ Trong trường hợp ngược lại có số bé để ≠ , nghĩa = , …, = Do thứ tự tịan phần ta có hay Nói cách khác ≺ hay ≺ Tóm lại thứ tự toàn phần 30 Trong biểu đồ đầu, định nghĩa trội trực tiếp bị vi phạm Ngoài biểu đồ thứ tính phản xứng bị vi phạm Chỉ có biểu đồ cuối biểu đồ Hasse 34 a) Chỉ có chặn gồm phần tử {1,2,3} = 4 Số chặn gồm phần tử: = Số chặn gồm phần tử: GS Nguyễn Hữu Anh 123 4 + = 16 b) 11 + d) Một chặn nhất:∅ c) {1,2,3} e) ∅ 35 a) ( ( { 1,2}) , ⊂) dàn thứ tự ⊂ khơng tồn phần b) Nếu ≺ tồn phần với , ∈ Do tùy ý ta có: sup { , } = max ( , ) inf { , } = mi n( , ) dàn 37 a) b) 38 a) c) d) phần tử lớn e) f) g) phần tử bé b) ( , ≺) dàn 39 Sử dụng qui luật logic 40 a) ∀ , , mi n { , } tồn Vậy thứ tự tốt toàn phần Tuy nhiên ≤ thứ tự tồn phần khơng phải thứ tự tốt b) Do định nghĩa thứ tự tốt c) ≤ thứ tự tốt phần tử lớn khơng có phần tử lớn {1,2} tập hợp tốt có 41 a), e), f) tập hợp tốt b) Không phải tập tốt Mặt khác tập hợp {1, , …, , …} khơng có phần tử bé nên ( , ≤) ( , ≤) tập tốt g) Giả sử mẫu tự gồm chữ ≺ Khi { , khơng có phần tử bé nên tập tốt 42 a) ( ) = { ∈ , …} tập ≺ } trội trực tiếp đơn ánh Tuy nhiên phần tử bé b) Giả sử Khi ( ) ≺ ( ) nên không thuộc ( ) c) Định nghĩa ánh xạ : qui nạp: ( ) = ( , ≤) ( , ≺) 43 a) , ( ) = , ( ) = ( ) , ( ) định nghĩa ( ) Khi đẳng cấu hai tập hợp thứ tự → b) 22 c) d) 11 e) a) 11 3.5 11 = 3.5 11 = 3300 b) 47 a) ,0 ≤ ≤ 3,0 ≤ c) Nếu ≤ 2,0 ≤ = 11 = 320.166.000 ≤4 b) Các ước số dương có dạng theo Nguyên lý nhân, số ước số dương ( = d) Suy có ( + = , nghĩa + 1) ( = với ≤ + 1) ( + ) …( − 1, ∈ ≤ + 1) ( ,0 ≤ + 1) ≤ + ) ước số dương ,1 ≤ ≤ 49 a) Sinh viên thứ lật đ62ng xu thứ 100 số lần mà dồng xu thứ 200 dược lật 4.3 = 12 ,0 ≤ ≤ Do ước số 200 = Do = … < 200 lật ngược ( + )( + ) ( + ) …= 12 b) Giả sử đồng xu thứ lần Khi lấy giá trị sau: = 96 = 160 GS Nguyễn Hữu Anh = 72 = 108 3.5 = 60 3.7 = 84 124 3.11 = 132, 3.13 = 156, 5.7 = 140 , 2.7 = 126, 2.11 = 198 ước 52 a) Giả sử ( , ) lời giả Ngược lại ( ∈ ), , = ( , ) Ta có = c) Gọi = ( , ) = , Theo b), Nghĩa − = Khi = = lời giả b) Gọi Do , thỏa Mệnh đề 3.6.3: + = = , + = = ( − ) ) ∈ , với = − ), ∈ , (Định lý 3.6.2) ∈ , ( − + − nên a) lời giải có dạng ( 53 Dùng thuật chia Euclide để tìm , , : a) = 2, b) = 4, c) = 1, = −1, = −1, = 2; = −26, 54 a) Giả sử Do = 3; = −1 + , = −1 + 16 , = 271; = − 23 , = − 31 , = −26 + 331 , ) ta có ≡ ( ∈ ≡ ∈ = 271 − 3450 , = ( ∈ ) phương trình đồng dư cho ′ nghiệm ( , ) > Nếu khơng chia hết cho , phương trình dồng dư vơ b) Gọi = nghiệm Mặt khác giả sử | ta đưa việc giải phương trình đồng dư = : ≡ ′) ( Theo a) phương trình có nghiệm ≡ ) ′ ( : ≡ 1( ) Đó nghiệm phương trình đồng dư ban đầu 55 a) (3,16)=1 Ta có × 11 ≡ 33 ≡ 1( 16) nên b) (5,23)=1 Ta có × 14 ≡ 70 ≡ 1( c) Phương trình có dạng ≡ −12 ≡ 10( Mà × ≡ 1( 11) nên 23) nên ≡ × 10 ≡ d) Phương trình có dạng ≡ −52 ≡ 12( Mà × 13 ≡ 65 ≡ 1( 64) nên 11) ≡ 11 × ≡ 13( ≡ 14( − 7) ≡ 9( 16) 23) ( 11) 64) ≡ 13 × 12 ≡ 28( 64) CHƯƠNG a) Giả sử ̅ ′ hai phần bù Mà ( ̅ ∧ ) ∨ Suy ̅ ≺ ̅ ∨ = ( ̅∨ = ′ ) ∧( ∨ Tương tự xét ( ̅ ∧ ) ∨ Ta có: ( ̅ ∧ ) ∨ ) = ( ̅∨ ta có ) ∧1 = ̅∨ = 0∨ = ′ ≺ ̅ Nghĩa ̅ = ′ b) Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa phần bù sử dụng a) GS Nguyễn Hữu Anh 125 a) Do ≺ nên trội chung Như = sup { , } = ∨ ≺ b) Do a) c) d) ∧ ≺ a) ≺ ≺ ∧ b) ( ∧ ̅) ∨ ≺ ⟹ ∨ ∨ ∧ ≺ ≺ ≺ ∨( ∧ ) = ∧ ⟹ ̅∧ = = ≺ Suy ∨ Hơn : ≺ ̅ ∧ ≺ ∨ Suy ∧ nên ∨ ( ∧ ) = ( ∧ ̅) ∨ ≺ ∧ ∨ ≺ ∨ ∨ ∧ ∧ trội chung , ∨ ∨( ∧ ) = ∨ ̅= ∧ ̅ ∨ ̅ = ( ∧ ̅ ) ∨ ( ∧ ̅ ) ∧ ( ∧ ̅ ) ∨ Do phần bù là: ∨ = ( ∧ ̅ ) ∨ ∧ ∈ ℬ Khi ̅ ∈ ℬ = a) Xét phần tử b) Có đại số ∅, { }, { , } { , , } ∧ ̅ ∈ ℬ, = ∨ ̅∈ℬ , ℬ = ∅, { } , { , } , { , , } , ℬ = ∅, { } , { , } , { , , } , ℬ = ∨ c) Với , ∈ ℬ tùy ý ta có ̅ , ∈ ℬ nên ∈ ℬ Suy ∧ ̅∨ = ∈ ℬ Đó đại số Bool với phần tử trung hòa ∧ Hơn với ≺ ̅ ∧ phần bù Tuy nhiên khơng phải đại số ≠ khơng chứa a) Giả sử = hay = ≺ ( ) , tồn cho , nghĩa = hay = Ta có ( ) = b) Trực tiếp từ định nghĩa đại số a) Do 35 = ( 5,7 ) ,70 = { , } , ( 70 ) = { , , } , ( 42 ) = { , , } ( ) ≺ ( 35,2) à 42 = ≺ suy ( 2,3,7 ) ta phải có ( 35 ) = ( ) nên b) Mỗi đẳng cấu phải biến nguyên tử thành nguyên tử nên xác định hoàn toàn song ánh {2,3,5,7} { , , , } Có tất 4! = 24 đẳng cấu khác 11 a) ( ⨁ ) ⨁ = = = = ∧ ∧ ∨( ∧ ) ∧ ̅ ∨ ( ∨ ) ∧ ∧ ̅ ∨( ∧ ∧ ( ∧ )∨ ∧ ⨁ ∧ ∧ ̅ ∨ ∨( ∧ ⨁ ) = ∧ ⨁ = ( ∧ ∧ )̅ ∨ = ∧ )̅ ∨ ( ∧ ∧ ) ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ( ∧ ̅) ∨ ⨁( ⨁ ) ∧ ( ∨ ̅) ∨ ( ∧ ) ∧ = ( ∧ ) ⨁( ∧ ) ∧ ∧ ∧ ∧ ∨ Các tính chất khác hiển nhiên b) Đặt = Suy Tương tự ∧ ∨( ∧ ) ∧ ∧ ( ⨁ )∧ ≺ ⨁ ≺ ⨁ GS Nguyễn Hữu Anh ∧ = ∧ ∧ ⨁ ∧ ∧ = ∧ 126 ⨁′ ≺ ⨁ Vậy Do ( ⨁ ) ∨ ⨁′ = ( ⨁ ) ∧ ⨁′ Mặt khác Như ⨁ = ∨ 13 a) = Mặt khác giả sử b) ∧ ⨁′ = ⟹ ≺ ∧ Suy ∧ ∨( ∧ ) = ∨ = ∨ ∨ = ∨ ∧( ∨ ) ∧ ∨ = ∨ ∨( ∧ ) ≺ = ∨ ≻ ≺ = ∨ ∨ ≺ = ∧ ∨ ≺ ≺ Khi có dạng ∧ với = ∨ ≺ Ngược lại = ∧ Như ∧ ≺ ≺ nên nghiệm c) nghiệm = ∨ ≺ Ngược lại giả sử ≺ d) Nếu nghiệm, b) ≻ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧ Ta có: = nghiệm (1) e) Nghiệm ⨁ ⨁′ ≺ Đặt = ∨ = ( ∧ ) ⨁( ∧ ) = = ( ∧ ) ∨( ∧ ) = c) Ta có ∧( ∨ ) ∧ = ∧ ̅= nên ta đưa (1) ∧ với không đại số Bool Hơn số 14 Do 1728 = chia hết cho phương nên mũ khơng có dạng − 1, ∈ nên khơng có thứ tự trở thành dàn bù phân bố, nghĩa đại số Bool 16 a) ( ) = nguyên tử b) Nhận xét nguyên tử khơng trội ∨ trội trực tiếp Do ta chứng minh qui nạp ( ) = có nguyên tử trội Suy ( ∨ ) = 17 a) b) 18 a), b) 19 a) ̅ 20 a) Có ( )+ ̅ = ℎ b) c) ( )− ( ∧ ) = d) e) c), d) = 1, ù ý ̅ ̅ c) ̅ d) ̅ ̅ ̅ = 15 điểm có thành phần Cịn lại ( − 15 ) = 49 điểm, nên có hàm Bool thỏa điều kiện 6 + = điểm số thành phần có giá trị béhoơn 2, nên tổng số hàm Bool thỏa điều kiện = 128 b) Có c) = = = 256 21 Ta có ( 1,0 ) = ( 0,1) nên hàm Bool có dạng , , số thuộc {0,1} 22 Ta có ( 1,0,0 ) = ( 0,0,1 ) = ( 0,1,0) ( 1,1,0 ) = ( 1,0,1 ) = ( 0,1,1) Do hàm Bool có dạng: ( , , ) = ∨ ( ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ) số tùy ý thuộc {0,1} GS Nguyễn Hữu Anh ̅ ∨ ̅ ∨ ( ̅∨ ( ̅∨ ∨ ̅ ) , với ∨ ̅ )∨ 127 23 Hàm Bool biến khơng thay đổi giá trị ta hốn vị biến hà m Bool 22 Tương tự hàm Bool biến thay đổi giá trị ta hoán vị biến có dạng: ∨ ( , , , ) = ̅∨ ∨ thuộc {0,1} ̅ )∨ ( ̅∨ ̅ ̅∨ ( ̅∨ ̅∨ ∨ ̅∨ ∨ )∨ ( , , , , ) với ̅∨ ̅∨ ∨ số tùy ý 24 Xét , , ∈ { 0,1 } Khi số số Giả sử = Ta có: ( , , ) ⟹ ( , , )= ( , , )= Tương tự trường hợp khác ta có = Nếu > không tồn hàm Bool biến ≠ thỏa điều kiện Tuy nhiên = hàm Bool có dạng ( , ) = ∨ ̅ với số tùy ý thuộc {0,1} 25.Lập bảng chân trị Khi hàm chẵn xác định hoàn toàn = tiên Do hàm chẵn = 2, ta hàm chẵn: Với 26 Tương tự 25, số hàm lẻ 27 a) Hai vế Với biến = hay ℱ × ℱ b) Xét ánh xạ ( , ) ⟶ ℱ ⟼ c) Bằng qui nạp tính phân bố = ∨ ̅ , dòng đầu ∨ ̅ , 0,1 = , ta hàm lẻ: , ̅, , )∨ ̅ ( , …, ) Khi ta kiểm dễ dàng | = | ℱ | × | ℱ | Bằng qui nạp ta suy | ℱ | = ) = ( , …, với ( , , …, ánh xạ song ánh Suy | ℱ 28 a) Viết hàm theo − biến lại tổng Bool từ tối tiểu sử dụng tính phân bố, ta viết tổng Bool từ tối tiểu theo biến ℎ Do b) ≺ ⟺ ∃ℎ: = hàm Bool trội 29 a) b) = 31 a) b) 32 34 = ∨ ̅ ∨ ∨ ∨ ∨ ̅∨ ̅∨ ∨ ̅∨ ̅∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ∨ ̅∨ ̅ ̅∨ ̅ ̅∨ tích số từ đơn xuất Suy có ̅∨ ∨ ̅ ∨ ̅∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅∨ ̅∨ ̅ ̅ ∨ ∨ ̅∨ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ 35 Cổng NOT tổng hợp sau: ̅ GS Nguyễn Hữu Anh 128 Do cổng AND cổng OR tổng hợp nhờ công thức: = ( ∨ 36 )∨ ∨ = ̅∨( ∨ ̅ = ∨ )̅ ̅∨ ∨ = ∨ ̅∨ ̅∨ ̅ ̅ ∨ ̅ = ̅ ∨ ∨ ̅∨ ̅ 37 = ∨ ̅ ̅∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅ Ta viết để sử dụng cổng NOR vào tổng hợp từ tối tiểu Tương tự cho từ tối tiểu khác Mặt khác ta viết ̅ ̅ … để thiết kệ mạng dùng cổng NAND = ̅, ̅ , ̅ , 38 a) Các tế bào lớn: ,̅ ̅∨ ̅ ∨ ̅ , = hai công thức: = Là tối tiểu ̅ Dùng phương pháp biểu đồ Karnaugh ta đuộc ̅∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ , cố công thức dầu ̅, , , ̅ , ̅ , ̅ Có cơng thức đa tối tiểu: ∨ ̅ , = ̅∨ ∨ ̅ ∨ ̅ b) Các tế bào lớn: , = ̅∨ ∨ ̅ ̅∨ = c) Dạng nối rời tắc cơng thức đa thức tối tiểu ̅, ̅ , ̅ d) Các tế bào lớn: , Công thức công thức đa thức tối tiểu nhất: ̅, ̅, e) Các tế bào lớn: ̅, f) Các tế bào lớn: , ̅ ̅, ,̅ , = = = b) = ̅∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ = c) = d) = ̅∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ∨ ̅ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅∨ ̅ ̅ ̅ ̅∨ ̅ = = = = ∨ ̅∨ Có cơng thức đa thức tối tiểu: Có cơng thức đa thức tối tiểu: 39 a) = , ̅ ̅∨ ̅ ̅∨ ̅ ̅∨ ̅ ∨ ̅ ̅∨ ∨ ̅∨ ∨ ̅∨ ̅∨ ∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅∨ ̅̅ ∨ e) Dùng phương pháp biểu đồ Karnaugh cơng thức trog có cơng thức tối ̅∨ ̅ ̅∨ ̅ ∨ tiểu: = ̅ ̅ ∨ f) = g) = h) = i) = ∨ ̅∨ ∨ ̅ ̅ ̅∨ ̅∨ ̅∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅ 40 a) = ̅∨ ∨ ̅ Đây công thức đa thức tối tiểu mạng tối ưu sử dụng cổng AND cổng OR b) = ∨ ∨ Đây công thức đa thức tối tiểu Mạng tối ưu sử dụng cổng AND cổng OR ̅∨ ̅ ∨ ̅ ̅ Đây công thức đa thức c) = ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅∨ ̅ ̅ ̅∨ ̅ tối tiểu Mạng tối ưu sử dụng 24 cổng AND cổng OR GS Nguyễn Hữu Anh 129 ... giỏi Toán yếu Anh văn b) Minh yếu Toán lẫn Anh văn c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn vừa yếu Toán d) Nếu Minh giỏi Tốn Minh giỏi Anh văn e) Minh giỏi Toán Anh văn hay Minh giỏi Toán. .. số hữu tỉ Số thực số hữu tỉ ∴ b) Mọi sinh viên Tin học học Toán Rời rạc c) ∴ Minh học Toán Rời rạc Bình Giám đốc điều hành ∴ Bình biết cách ủy quyền cho cấp GS Nguyễn Hữu. .. dụng hai quy tắc Bình chơi Bình khơng học Tốn rời rạc Bình khơng học Tốn rời rạc Bình trượt Tốn rời rạc Mà Bình thích chơi Vậy Bình trượt Tốn rời rạc Nếu trừu tượng hóa med nguyên thủy thành biến