Bài giảng Toán rời rạc 1: Chương 3 Phép đếm cung cấp cho người học những kiến thức như: Những cơ sở của phép đếm; Nguyên lý Dirichlet; Chỉnh hợp và tổ hợp suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng!
GV: Ths Võ Văn Phúc Email: Vphucvo@gmail.com CHƯƠNG III – PHÉP ĐẾM Những sở phép đếm Nguyên lý Dirichlet Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng 1.1 Những sở phép đếm 1.1.1 Các nguyên lý đếm a Nguyên lý cộng Giả sử công việc a phân thành trường hợp riêng biệt T1 T2 Công việc thứ T1 thực n1 cách, công việc thứ hai T2 thực n2 cách Trong trường hợp hai việc không thực đồng thời, có n1+n2 cách thực cơng việc a Ví dụ: Một lớp học có 30 sinh viên nam 20 sinh viên nữ Khi ta có 30+20 = 50 cách chọn sinh viên 1.1 Những sở phép đếm a Nguyên lý cộng (tt) Tổng quát, Giả sử công việc a phân thành k trường hợp riêng biệt T1, T2…, Tk Công việc Ti ( i 1, k ) thực tương ứng ni ( i 1, k ) cách giả sử khơng có cơng việc làm đồng thời Khi số cách thực cơng việc a n1+n2 + + nK cách Ví dụ: Một ngân hàng đề thi có 410 đề loại A, 220 đề loại B 100 đề loại C Khi đó, sinh viên chọn đề thi từ ngân hàng đề thi số cách chọn đề thi là: 410 + 220 + 100=730 cách 1.1 Những sở phép đếm Nhận xét: Nguyên lý cộng phát biểu ngôn ngữ tập hợp sau: Giả sử A B hai tập hợp rời Khi đó, | A B || A | | B | Tổng quát: A1, A2, ,AK K tập hợp đôi rời Khi đó, | A1 A2 AK || A1 | | A2 | | AK | * Ký hiệu |A| số phần tử tập hợp hữu hạn A 1.1 Những sở phép đếm Ví dụ: Tính giá trị m theo nguyên lý cộng cho đoạn mã: Kết quả: m=n1+n2+…nk 1.1 Những sở phép đếm 1.1.1 Các nguyên lý đếm (tt) b Nguyên Lý nhân Giả sử công việc a có k bước thực liên tiếp T1,T2,…,Tk Trong cách thực bước Ti-1, có ni cách thực bước Ti (i=2,3, k) Khi đó, số cách thực công việc a n1.n2…nk cách 1.1 Những sở phép đếm b Nguyên Lý nhân (tt) Ví dụ 1: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, lập từ chữ số 0,1,2,3? Giải: - Ta thấy số hàng trăm có cách chọn số từ số (vì khơng chọn số 0) - Số hàng chục có cách chọn số - Số hàng đơn vị có cách chọn số Vậy, số số có chữ số khác nhau, lập từ chữ số là: 3.3.2 = 18 (số) 1.1 Những sở phép đếm Ví dụ 2: Có xâu nhị phân có độ dài n? - Ta có n bit ký tự xâu nhị phân có độ dài n - Mỗi bit ký tự Số cách chọn cho bit ký tự - Theo nguyên lý nhân, ta có tổng cộng 2n xâu nhị phân khác có độ dài n 1.1 Những sở phép đếm Nhận xét: Nguyên lý nhân phát biểu ngôn ngữ tập hợp sau: Nếu A1, A2, …,Ak tập hợp hữu hạn, ta có: | A1 A2 Ak || A1 | | A2 | | Ak | 1.3 Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng 1.3.1 Chỉnh hợp có lặp a Định nghĩa: Một cách xếp có thứ tự k phần tử lặp lại tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập k từ tập n phần tử b Định lý: Số chỉnh hợp lặp chập k từ tập n phần tử k là: k An n 1.3 Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng 1.3.2 Tổ hợp có lặp Bài Toán: Một người vào cửa hàng ăn uống muốn chọn mua phần ăn, phần ăn chọn loại khác nhau: A, B, C, D Hỏi có cách chọn phần ăn Trong ví dụ trên, phần ăn chọn A, B, A, C, C, D, C gồm phần loại A, loại B, loại C loại D Bài toán ví dụ phát biểu dạng tập hợp sau: Cho tập hợp X = { A, B, C, D} có phần tử Giải sử ta cần chọn phần tử thuộc tập X, phép chọn lặp lại khơng phân biệt trình tự trước sau việc chọn Mỗi cách chọn phần tử gọi tổ hợp lặp chập Một cách tổng quát, ta gọi tổ hợp lặp n chập k cách chọn k phần tử phép lặp lại n phần tử cho trước không phân biệt thứ tự k phần tử chọn (k lớn n) 1.3 Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng 1.3.2 Tổ hợp có lặp (tt) a Định nghĩa: Một tổ hợp lặp chập k tập hợp n phần tử gồm k phần tử lặp lại n phần tử cho b Định lý: Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là: k n C C k n k 1 N! với N=n+k-1 C k !( N k )! k N 1.3 Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng Ví dụ 1: Có cách chọn tờ giấy bạc từ két đựng tiền gồm tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà tờ tiền chọn không quan trọng, tờ tiền loại không phân biệt loại có tờ Giải: Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền, ta chọn lần, lần lấy từ loại tiền Nên cách chọn tờ giấy bạc tổ hợp lặp chập từ phần tử Do số cần tìm là: C C7551 462 1.3 Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng Ví dụ 2: Phương trình x1 + x2 + x3 = 15 có nghiệm khơng âm? Giải: Chúng ta nhận thấy nghiệm phương trình ứng với cách chọn 15 phần tử từ tập có loại, cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại x3 phần tử loại chọn Vì số nghiệm số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có phần tử bằng: 15 C C315151 136 BÀI TẬP Bài tập 1: Chúng ta cần chọn sinh viên toán năm thứ hay năm thứ dự hội nghị Hỏi có cách chọn lựa sinh viên biết có 100 sinh viên tốn học năm thứ 85 sinh viên toán học năm thứ tư? Bài tập 2: Một sinh viên chọn đề tài từ danh sách đề tài Số đề tài danh sách đề tài 23, 15, 19 Hỏi sinh viên có cách chọn đề tài BÀI TẬP (tt) Bài tập 3: Hỏi có chuỗi bit khác có độ dài (tức gồm bits)? Bài tập 4: Giả sử ta phải từ địa điểm A đến địa điểm C, ngang qua địa điểm B Để từ A đến B ta có cách khác nhau, có cách từ B đến C Hỏi có cách để từ A đến C? BÀI TẬP (tt) Bài tập 5: Một mã bao gồm ký tự, gồm mẫu tự đến ký số thập phân Hỏi có mã khác nhau? Bài tập 6: Phương án đánh số điện thoại Giả sử số điện thoại gồm 10 ký số chia thành nhóm: nhóm gồm ký số nhóm ký số Do số lý đó, có số hạn chế ký số số điện thoại Để xác định dạng hợp lệ số điện thoại ta dùng ký hiệu X để ký số lấy giá trị từ đến 9, N để ký số từ đến 9, Y ký số Chúng ta có phương án để đánh số điện thoại: phương án cũ phương án Theo phương án cũ, số điện thoại có dạng NYX NNX XXXX; theo phương án số điện thoại có dạng NXX NXX XXXX Hỏi số lượng số điện thoại khác phương án bao nhiêu? BÀI TẬP (tt) Bài tập 7: Các ghế ngồi hội trường ghi nhãn gồm mẫu tự số nguyên dương không lớn 100 Hỏi số ghế tối đa ghi nhãn khác bao nhiêu? Bài tập 8: Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính có "password" dài từ đến ký tự, ký tự chữ in hoa ký số thập phân Mỗi "password" phải có ký số Hỏi có password khác nhau? BÀI TẬP (tt) Bài tập 9: Trong tổng số 2504 sinh viên khoa cơng nghệ thơng tin, có 1876 theo học mơn ngơn ngữ lập trình Pascal, 999 học mơn ngơn ngữ Fortran 345 học ngơn ngữ C Ngồi biết 876 sinh viên học Pascal Fortran, 232 học Fortran C, 290 học Pascal C Nếu 189 sinh viên học mơn Pascal, Fortran C trường hợp có sinh viên khơng học mơn mơn ngơn ngữ lập trình kể BÀI TẬP (tt) Bài tập 10: Một họp gồm 12 người tham dự để bàn vấn đề Có người phát biểu vấn đề I, người phát biểu vấn đề II người phát biểu vấn đề III, người phát biểu hai vấn đề I II, người phát biểu hai vấn đề II III, người phát biểu vấn đề I Ngoài ra, có người khơng phát biểu vấn đề Hỏi nhiều có người phát biểu vấn đề BÀI TẬP (tt) Bài tập 11: Chỉ có người số 25 triệu người có tên họ viết tắt chữ sinh ngày năm (không thiết năm) Bài tập 12: Một tay đô vật tham gia thi đấu giành chức vô địch 75 Mỗi có trận đấu, tồn có khơng q 125 trận Chứng tỏ có liên tiếp đấu 24 trận Bài 11 Giải: (bảng chữ có 26 chữ > có 17576 tên viết tắt người > có 25 triệu/17576=1422 người tên > có 1422/365=4 người tên sinh ngày) BÀI TẬP (tt) Bài Tập 13: Trong lấy ý kiến vấn đề, người hỏi ghi vào phiếu trả lời sẵn cách để nguyên phủ định câu trả lời tương ứng với vấn đề nêu Chứng minh với 1153 người hỏi ln tìm 10 người trả lời giống hệt Giải: trạng thái trả lời cho câu hỏi, tổng số 27=128 [1153/128]=10, theo nguyên lý Dirichlet BÀI TẬP (tt) Bài tập 14: Trong kỳ thi kết thúc học phần toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có cách gán điểm cho câu hỏi tổng số điểm 100 câu điểm Bài tập 15: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có nghiệm ngun khơng âm? Bài tập 16: Có xâu khác lập từ chữ từ MISSISSIPI, yêu cầu phải dùng tất chữ? ... 1, x2 phần tử loại x3 phần tử loại chọn Vì số nghiệm số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có phần tử bằng: 15 C C315151 136 BÀI TẬP Bài tập 1: Chúng ta cần chọn sinh viên toán năm thứ hay năm... thúc học phần toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có cách gán điểm cho câu hỏi tổng số điểm 100 câu điểm Bài tập 15: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có nghiệm ngun khơng âm? Bài tập 16:... 0,1,2 ,3? Giải: - Ta thấy số hàng trăm có cách chọn số từ số (vì khơng chọn số 0) - Số hàng chục có cách chọn số - Số hàng đơn vị có cách chọn số Vậy, số số có chữ số khác nhau, lập từ chữ số là: 3. 3.2