Bài giảng Toán rời rạc 1: Chương 1 Cơ sở logic cung cấp cho người học những kiến thức như: Mệnh đề; Dạng mệnh đề; Qui tắc suy diễn; Vị từ, lượng từ. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng!
TOÁN RỜI RẠC GV: Ths Võ Văn Phúc Email: Vphucvo@gmail.com Cơ sở Logic Nội dung: gồm phần - Cơ sở logic - Tập hợp - Quan hệ - Bài toán đếm - Hàm Bool – Mạch logic - Phương phám tối thiểu hàm bool Cơ sở Logic Chương I: Cơ sở logic - Mệnh đề Dạng mệnh đề Qui tắc suy diễn Vị từ, lượng từ Cơ sở Logic I Mệnh đề Định nghĩa: Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định, sai Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… khơng mệnh đề Ví dụ: - mặt trời quay quanh trái đất - 1+1 =2 - Hôm trời đẹp quá! (ko mệnh đề) - Học đi! (ko mệnh đề) - số chẵn phải không? (ko mệnh đề) Cơ sở Logic I Mệnh đề Ký hiệu: người ta dùng ký hiệu P, Q, R… để mệnh đề Chân trị mệnh đề: Một mệnh đề sai, đồng thời vừa vừa sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai Chân trị chân trị sai ký hiệu 1(hay Đ,T) 0(hay S,F) Cơ sở Logic I Mệnh đề Kiểm tra khẳng định sau có phải mệnh đề khơng? - Paris thành phố Mỹ - n số tự nhiên - nhà mà xinh thế! - số ngun tố - Tốn rời rạc mơn bắt buộc ngành Tin học - Bạn có khỏe khơng? - x dương Cơ sở Logic I Mệnh đề Phân loại: gồm loại a Mệnh đề phức hợp: mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết liên từ (và, hay, khi,…) trạng từ “không” b Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác thơng qua liên từ trạng từ “khơng” Ví dụ: - không số nguyên tố - số nguyên tố (sơ cấp) - Nếu 3>4 trời mưa - An xem phim hay An học - Hôm trời đẹp +1 =3 Cơ sở Logic I Mệnh đề Các phép tốn: có phép tốn a Phép phủ định: phủ định mệnh đề P ký hiệu P hay P (đọc “không” P hay “phủ định của” P P P Bảng chân trị : 0 Ví dụ : - số nguyên tố Phủ định: không số nguyên tố - >2 Phủ định : 1≤ Cơ sở Logic I Mệnh đề b Phép hội (nối liền, giao): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P Q (đọc “P Q”), mệnh đề định : P Q P Q đồng thời Bảng chân trị p 0 1 q 1 pq 0 Ví dụ: - 3>4 Trần Hưng Đạo vị tướng (S) - số nguyên tố số chẵn (Đ) - An hát uống nước (S) Cơ sở Logic I Mệnh đề c Phép tuyển (nối rời , hợp): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P Q (đọc “P hay Q”), mệnh đề định : P Q sai P Q đồng thời sai Bảng chân trị P 0 1 Q 1 PQ 1 Ví dụ: - p >4 hay p >5 (S) - số nguyên tố số chẵn (Đ) 56 Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Định nghĩa Vị từ khẳng định p(x,y, ), x,y biến thuộc tập hợp A, B, Cho trước cho: - Bản thân p(x,y, ) mệnh đề - Nếu thay x,y, Thành giá trị cụ thể p(x,y, ) mệnh đề Ví dụ - p(n) = “n +1 số nguyên tố” - q(x,y) = “x2 + y = 1” - r(x,y,z) = “x2 + y2 >z” Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Các phép toán vị từ Cho trước vị từ p(x), q(x) theo biến x A Khi - Phủ định vị từ p(x) kí hiệu p(x) vị từ mà thay x phần tử cố định A ta mệnh đề (p(a)) - Phép hội (tương ứng tuyển, kéo theo…) p(x) q(x) ký hiệu p(x)q(x) (tương ứng p(x)q(x), p(x)q(x)) vị từ theo biến x mà thay x phần tử cố định a A ta mệnh đề p(a)q(a) (tương ứng p(a) q(a), p(a)q(a)) Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Khi xét mệnh đề p(x) với x A Ta có trường hợp sau - TH1 Khi thay x phần tử a tùy ý A, ta có p(a) - TH2 Với số giá trị a A, ta có p(a) - TH3 Khi thay x phần tử a tùy ý A, ta có p(a) sai Ví dụ Cho vị từ p(x) với xR - p(x) = “x2 +1 >0” - p(x) = “x2 -2x+1=0” - p(x) = “x2 -2x+3=0” Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Định nghĩa Cho p(x) vị từ theo biến xác định A Ta định nghĩa mệnh đề lượng từ hóa p(x) sau: - Mệnh đề “Với x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu “x A, p(x)”, mệnh đề p(a) với giá trị a A - Mệnh đề “Tồn (ít )hay có (ít nhất) x thuộc A, p(x))” kí hiệu :“x A, p(x)” , mệnh đề có giá trị x = a0 cho mệnh đề p(a0) : gọi lượng từ phổ dụng : gọi lượng từ tồn Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Ví dụ Các mệnh đề sau hay sai - “x R, x2 + 3x + 0” (S) - “x R, x2 + 3x + 0” (Đ) - “x R, x2 + 2x” (Đ) - “x R, x2 + < 0” (S) Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Định nghĩa Cho p(x, y) vị từ theo hai biến x, y xác định AB Ta định nghĩa mệnh đề lượng từ hóa p(x, y) sau: “x A,y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Ví dụ - Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề sai tồn x0 = 0, y0 = R mà x0 + 2y0 - Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề với x = a R, tồn ya R ya = –a/2, cho a + 2ya < Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Ví dụ - Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề sai tồn x0 = 0, y0 = R mà x0 + 2y0 - Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề với x = a R, tồn ya R ya = –a/2, cho a + 2ya < Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Ví dụ - Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” hay sai Mệnh đề sai khơng thể có x = a R để bất đẳng thức a + 2y < thỏa với y R (chẳng hạn, y = –a/2 + thỏa bất đẳng thức này) Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề tồn x0 = 0, y0 = R chẳng hạn thỏa x0 + 2y0 < Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Định lý Cho p(x, y) vị từ theo hai biến x, y xác định AB Khi đó: 1) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 2) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 3) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” Chiều đảo 3) nói chung khơng Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Phủ định mệnh đề lượng từ hóa vị từ p(x,y, ) có thay thành , thay thành vị từ p(x,y, ) thành p(x,y, ) Với vị từ theo biến ta có : x A, p ( x x A, p ( x x A, p ( x x A, p ( x Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Với vị từ theo biến x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y x A, y B, p ( x, y Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Ví dụ phủ định mệnh đề sau “x A, 2x + 0” “ > 0, > 0, x R, x – a < f(x) – f(a) < ” Trả lời : “x A, 2x + > 0” “ > 0, > 0, x R, x – a < (f(x) – f(a) )” Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng: Nếu mệnh đề có dạng lượng từ hóa biến x A bị buộc lượng từ phổ dụng , thay x a A ta mệnh đề Ví dụ: “Mọi người chết” “Socrate người” Vậy “Socrate chết” x A, p( x) a A p(a) ... chân trị P 0 1 Q PQ 1 0 1 Cơ sở Logic I Mệnh đề Ví dụ: - Nếu = Lenin người Việt Nam (Đ) - Nếu trái đất quay quanh mặt trời +3 =5 (S) - p >4 kéo theo 5>6 (Đ) - p < trời mưa (S) - Nếu 2 +1= 0 tơi chủ... Logic Nội dung: gồm phần - Cơ sở logic - Tập hợp - Quan hệ - Bài toán đếm - Hàm Bool – Mạch logic - Phương phám tối thiểu hàm bool Cơ sở Logic Chương I: Cơ sở logic - Mệnh đề Dạng mệnh đề Qui... từ “khơng” Ví dụ: - không số nguyên tố - số nguyên tố (sơ cấp) - Nếu 3>4 trời mưa - An xem phim hay An học - Hôm trời đẹp +1 =3 Cơ sở Logic I Mệnh đề Các phép tốn: có phép toán a Phép phủ định: