CHUYÊN ĐỀ 1 CHỦ ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Điều kiện xác định có nghĩa Công thức Khai phương một tích Nếu thì Khai phương một thương Nếu thì Đưa thừa số ra ngoài dấu[.]
CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Điều kiện xác định A có nghĩa Û A ³ Cơng thức ïì A A ³ A2 = A = ïí ïïỵ - A A < Khai phương tích Nếu A1 ; A2 ; A3 ; ; An ³ A1 A2 A3 An = A1 A2 A3 An Khai phương thương A A = B B Nếu A ³ 0; B > Đưa thừa số ngồi dấu A2 B = A B ( B ³ 0) Khử mẫu biểu thức lấy A = B B AB với A ³ 0; B ¹ B Đưa thừa số vào dấu A B = A2 B với A ³ 0; B ³ A B =- A2 B với A < 0; B ³ Trục thức mẫu A A B = ( B > 0) B B A B C A = B ³ 0; B ¹ C ) ( B- C B ±C A B C A = ( B ³ 0;C ³ 0; B ¹ C ) B- C B± C ( ) ( ) Khi biến đổi biểu thức đại số ta thường sử dụng đẳng thức đáng nhớ: ( A + B) = A2 + AB + B 2 ( A - B ) = A2 - AB + B 2 A - B = ( A - B ) ( A + B ) ( A + B ) = A2 + A2 B + AB + B 3 ( A - B ) = A3 - A2 B + AB - B 3 2 A + B = ( A + B ) ( A - AB + B ) 3 2 A - B = ( A - B ) ( A + AB + B ) CÁC DẠNG BÀI TOÁN Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số Phương pháp giải Đối với biểu thức số: Ta cần nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: Vận dụng phép biến đổi cách hợp lí thành thạo Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai đưa đẳng thức Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + Sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân, chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu ,… Đối với biểu thức chứa chữ: Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không, … tóan chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lí để làm xuất nhân tử chung Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bài tập mẫu Ví dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Nguyên năm học 2018 - 2019) Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức: A = 3+ 5 + +2 - 3+ Lời giải Ta có: A = = 3+ 5 + +2 - 3+ ( + 5)( ( + 2)( = - 1+ = 4- )+ 2) ( 5- 5- ( ) +1 )( 5- - ) ( 3- +1 ( 3- )( ) 3+ ) 20 - 5 Vậy A = - Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định năm học 2018 - 2019) Rút gọn biểu thức: P = x2 y2 x2 y2 ( x + y ) ( - y ) ( x + y ) ( + x ) ( + x ) ( 1- y ) Lời giải Điều kiện xác định: x ¹ - 1; y ¹ 1; x ¹ - y Ta có: P = = x ( + x ) - y ( 1- y ) - x y ( x + y ) ( x + y ) ( 1- y ) ( + x ) x + x3 - y + y - x y ( x + y ) ( x + y ) ( 1- y ) ( + x ) ( x + y ) ( x - y + x - xy + y - x y ) = ( x + y ) ( 1- y ) ( + x ) ( + x ) ( x - y + y ( 1- x ) ) = ( 1- y ) ( + x ) = x - y2 x - y + y2 = x ( + y ) - y = xy + x - y 1- y Vậy P = xy + x - y Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2018 - 2019) æa + a - b a - a - b a - a 2b ữ ỗ ữ ỗ P = : Rỳt gn biu thc: vi a > b > ữ ỗ 2 2 ữ b ữ ỗ a a b a + a b è ø Lời giải Với a > b > ta có: ỉa + a - b a - a - b ö a - a 2b ữ ỗ ữ P =ỗ : ữ ỗ ữ 2 b2 ữ ç a + a - b2 ø èa - a - b = ( a + a - b2 = - a- a2 - b2 a2 - ( a - b2 ) a+ ( = = ) ( ) b2 a ( a2 - b2 ) )( a - b2 - a + a - b2 a + a - b + a b2 a - b2 ) b2 a ( a - b2 ) a - b 2a a a - b2 a a Do P = a > P = - a < Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương năm học 2018 - 2019) Rút gọn biểu thức: + ax 1- bx 2a - b với x = < a < b < 2a 1- ax + bx a b Lời giải Ta có: + ax = Suy ra: b + 2a - b b,1- ax = b 2a - b b + ax b + 2a - b = 1- ax b - 2a - b Tương tự ta được: Từ đó, Q = a - b ( 2a - b) 1- bx = + bx a + b ( 2a - b ) b + 2a - b a - b ( 2a - b ) b - 2a - b a + b ( a - b) Do < a < b < 2a nên b + 2a - b >0 b - 2a - b æ b + 2a - b ö a - b ( 2a - b ) ữ ữ ỗ Do vy Q = ỗ ữ ỗ ữ a + b ( 2a - b ) ỗ ố b - 2a - b ø Thu gọn ta Q = Vậy Q = Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức biết điều kiện cho trước Phương pháp giải Sử dụng điều kiện cho trước để biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái biến đổi hai vế biểu thức trung gian Bài tập mẫu Ví dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019) Các số thực không âm x, y thỏa mãn ( x +1) ( y +1) = Tính giá trị biểu thức: P = x + y - ( x +1) ( y +1) + + xy Lời giải Đặt S = x + y T = xy Từ giả thuyết ta có S + T = Suy x + y - ( x +1) ( y +1) + = S - 2T + - 2é ( 1- T ) + S ù ê ú ë û = S - ( 1- S ) + = S2 Từ ta có P = S + T = 2( S + S ) Vậy P = Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán TP.Hà Nội năm học 2018 - 2019) Với x, y, z số thực thỏa mãn xyz = 1 1 + + =1 xy + x +1 yz + y +1 zx + z +1 Chứng minh: Lời giải Do xyz = nên ta có: 1 1 x xy + + = + + xy + x +1 yz + y +1 zx + z +1 xy + x +1 xyz + xy + x x yz + xyz + xy = x xy + + xy + x +1 + xy + x x +1 + xy =1 Vậy 1 + + =1 xy + x +1 yz + y +1 zx + z +1 Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2018 - 2019) 1 Cho a, b, c ba số thực đôi khác thỏa mãn a + = b + = c + = x ( x Ỵ ) b c a Tính P = xabc Lời giải 1 b- c Ta có: a + = b + Û a - b = b c bc Tương tự b - c = c- a a- b ;c- a = ca ab Nhân vế với vế ba hệ thức trên, với ý a, b, c đôi khác ta thu a 2b 2c = Û abc = abc =- Nếu abc = giả thuyết tương đương với a + ac = b + ba = c + cb = x Suy ra: x = abc ( a +1) ( b +1) ( c +1) = abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 = ab + bc + ca + a + b + c + Mặt khác a + ac = b + ba = c + cb = x Þ x = a + b + c + ab + bc + ca Suy x3 = x + nên x = x =- Từ P nhận hai giá trị - Tương tự với trường hợp abc =- ta có hai giá trị P - Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương năm học 2017 - 2018) Cho ba số x, y, z đôi khác thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tính giá trị biểu thức: P = 2018( x - y ) ( y - z ) ( z - x ) xy + yz + zx + xyz Lời giải 2 Ta có: x + y + z = Þ ( x + y + z ) ( x + y + z - xy - yz - xz) + xyz = xyz Þ x + y + z = xyz P = 2018 ( x - y ) ( y - z ) ( z - x) xy + yz + zx + 3xyz xy + yz + zx - x y - y z - z x P = 2018 xy + yz + zx + x + y + z + xy + yz + zx = 2018 xy + yz + zx - x y - y z - z x xy + yz + zx + y ( x + y ) + x ( x + z ) + z ( z + y ) = 2018 xy + yz + zx - x y - y z - z x xy + yz + zx - x y - y z - z x = 2018 (do x + y =- z , y + z =- x, z + x =- y ) Vậy P = 2018 Dạng 3: Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số Phương pháp giải Phương pháp 1: Áp dụng đẳng thức: A2 ± AB + B = ( A ± B ) để biến đổi biểu thức đưa dạng: ù suy A = m f ( x ) = A =m+é ëf ( x ) û ³ m ù suy max B = n f ( x ) = B = n- é ëf ( x) û ³ n Phương pháp 2: Áp dụng tính chất: x + y ³ x+y x - y £ x- y Để tìm GTNN hay GTLN dấu “=” xảy x, y ³ Chú ý: Khi sử dụng phương pháp cần lưu ý trường hợp sau: Nếu y = x - a + x - b với a < b y = b - a a £ x £ b Nếu y = ax - b + ax - c với b < c y = c - b b c £ x£ a a Nếu y = ax + b + ax + c với b < c y = c - b c b £ x£ a a Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức: a- b £ a- b "a ³ b ³ a+ b³ a + b " a, b ³ Để tìm GTLN dấu “=” xảy b ( a - b) = Û b = hay a = b éa = Để tìm GTNN dấu “=” xảy ab = Û ê ê ëb = Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức Cô si: Với a ³ 0, b ³ ta có: a + b ³ ab Dấu xảy a = b Từ bất đẳng thức ta có: Nếu ab = k (khơng đổi) ( a + b) = k Û a = b Nếu a + b = k (khơng đổi) max ( a.b ) = k2 Û a =b Mở rộng: Bất đẳng thức Cô si cho n số không âm: a1 + a2 + a3 + + an ³ n n a1a2 a3 an Dấu xảy a1 = a2 = a3 = = an Từ bất đẳng thức Cơ si mở rộng ta có: Nếu a1a2 a3 a4 an = k (không đổi) ( a1 + a2 + a3 + + an ) = n n k Û a1 = a2 = a3 = = an Nếu a1 + a2 + a3 + + an = k (không đổi) n ỉk ÷ max ( a1a2 a3a4 an ) = ỗ a1 = a2 = a3 = = an ữ ỗ ỗ ốn ữ ứ Phng pháp 5: Áp dụng bất đẳng thức Bu –nhi- a- cốp- xki 2 2 Với a, b, x, y Ỵ ; ( a + b ) ( x + y ) ³ ( ax + by ) Dấu xảy ay = bx Bài tập mẫu Ví dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019) Các số không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2 + y + z + x2 y + y z + z x2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Q=x+y+z Lời giải Gía trị lớn Q Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x y +1 ³ xy; y z +1 ³ yz; z x +1 ³ zx Cộng bất đẳng thức lại theo vế, sau cộng hai vế bất đẳng thức thu với x + y + z ta ( x + y + z) £ x2 + y + z + x2 y + y z + z x2 +3 = Từ suy Q £ Mặt khác dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy x = y = z = nên ta có kết luận maxQ = Gía trị nhỏ Q Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: xy + x y £ x + y + x y £ x + y + z + x y + y z + z x = Từ suy xy £ - < Chứng minh tương tự ta có: yz < 2, zx < Do đó, ta có: Q = x + y + z + xy + yz + zx ³ x + y + z + x y + y z + z x = hay Q ³ Vậy Q = x = 6, y = z = Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chun Tốn TP Hà Nội năm học 2018 - 2019) Với x, y, z thực dương thay đổi thỏa mãn: 1 + + =3 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 2 2x + y +3 + 2 y + z +3 + 2 z + x2 + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 2 2x + y +3 = = ( x +1) +( y +1) £ 3( x + y ) £ 2( x + y) 1ổ 1ử ữ ỗ + ữ ỗ ữ ữ ỗ 2 ố2 x + y ø Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: + ³ Þ £ 2x y 2x + y 2x + y Suy ra: 2x2 + y2 +3 £ 1ỉ 1÷ ç + ÷ ç ÷ 9ç èx y ÷ ø 6ổ ỗ + + 3ữ ữ ỗ ữ ữ 36 ỗ ốx y ứ Tng t ta có: y + z +3 £ ư 6ỉ 1 6ỉ ữ ỗ ỗ + + 3ữ , Ê + + 3ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗz x ữ ứ 36 ỗ ốy z ứ z + x + 36 è Cộng bất đẳng thức lại theo vế với vế với ý 1 + + = ta P £ x y z Mặt khác dễ thấy dấu đẳng thức xảy x = y = z = nên ta có kết luận: max P = Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Khoa học tự nhiên năm học 2017 - 2018 vòng 1) Cho a, b > Tìm giá trị lớn biểu thức: ỉ 1 ÷ M = ( a + b) ỗ + ữ ỗ 3 ữ ab ỗ ốa + b a + b ø Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta có: ỉ ỉ ³ a + b ( ) ( a3 + b) ỗỗỗốa + bữ ữ ; ữ ứ ( a +b) ( b3 + a) ỗỗỗốb + a÷ ÷ ÷ ø Suy + £ a + b b3 + a 1 1 a +b + + a +b + + a b hay a b - =1 M£ ( a + b) a +b ab Dấu đẳng thức xảy a = b = Vậy giá trị lớn M M = xảy a = b = Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2018 - 2019) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện £ a, b, c £ a + b + c = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= a + b2 + c ab + bc + ca Lời giải 2 Do ( a - b) + ( b- c ) + ( c - a) ³ với a, b, c suy a + b + c ³ ab + bc + ca Từ ta có: P= a + b + c ab + bc + ca ³ =1 ab + bc + ca ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Vậy minP = Do £ a, b, c £ nên ( a - 2) ( b - 2) ( c - 2) £ Û abc - ( ab + bc + ca) + ( a + b + c) - £ Û ( ab + bc + ca) ³ + abc ³ ab bc ca 2 Từ đó, P = a2 +b2 + c 9 = - 2£ - 2= ab + bc + ca ab + bc + ca 2 Dấu đẳng thức xảy a = 2, b = 1, c = Vậy max P = 2 BÀI TẬP TỰ UYỆN Câu 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Giang năm học 2018 - 2019) æx + x + x + x ữ ửổ ỗ ữ + :ỗ Cho biu thc A = ỗ ỗ ữ ỗ ỗ x +1 ỗ x+ x - 1- x ÷ è øè x- ữ x > 0; x ) ÷ ÷(với 1ø a) Rút gọn biểu thức A b) Có giá trị nguyên x để A ³ + 2018 ? 2018 Câu 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm học 2017 - 2018 vòng 1) Cho biểu thức P = ổ ỗ 1ỗ ỗ ỗ ố a - a - 2b - b2 a b÷ + 2÷ a + a +b ÷ a a ÷ ø ( ) æa + a + ab + a 2b b ữ ữ :ỗ + ỗ 2 ữ ỗ a - b a - bữ ố ứ với a > 0, b > 0, a ¹ b, a + b ¹ a a) Chứng minh P = a - b b) Tìm a, b biết P = a - b3 = Câu 3: (Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 2017 - 2018 ) Cho biểu thức P = 2x - x - x3 - x + x - Q = với x ³ 0, x ¹ x- x +2 a) Rút gọn biểu thức P Q b) Tìm tất giá trị x để P = Q Câu 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018) Cho P = a a +1 a + + + ( a ³ 0, a ¹ 4) 4- a a +2 a- a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P a = + 84 + 19 84 Câu 5: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019 vòng 1) Cho biểu thức: P = ( x +1) x +1 +( x - 1) x - 2x x- 1 x- x +1 với x > 1 x +1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P = x - Câu 6: (Đề thi vào lớp 10 Chun Lê Qúy Đơn Bình Định năm học 2018 - 2019 vòng 1) Cho biểu thức với T = a - 3æ a +6 a ç + ç ç ç a- a- è a- ÷ ÷ , với a ³ 0; a ¹ 4; a ¹ ÷ 2÷ ø a) Rút gọn T b) Xác định giá trị a để T > Câu 7: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2017 - 2018) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tính giá trị biểu thức: P = a b c = = b c a 4a + 6b + 2017c 4a - 6b + 2017c Câu 8: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz ¹ Tính giá trị biểu thức: P = x2 y2 z2 + + y + z - x2 z + x2 - y x + y - z Câu 9: (Đề thi vào lớp Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2017 - 2018) Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn a + b = b + c = c + a Tính gái trị biểu thức: T = ( a + b - 1) ( b + c - 1) ( c + a - 1) Câu 10: (Đề thi vào lớp Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2018 - 2019) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 + + =1 x y z Tính giát trị nhỏ biểu thức: T = x + y + z + 3xyz Câu 11: (Đề thi vào lớp Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2018 - 2019) ( Cho x, y,z thỏa mãn điều kiện x + + x )( y + ) + y = 2018 Tính giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y Câu 12: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Bình năm học 2018- 2019) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c £ Tính giá trị nhỏ biểu thức: M = a + 6a + b + 6b + c + 6c + + + a2 +a b2 + b c2 +c Câu 13: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2018 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a b c + + a + 2018a + bc b + 2018b + ca c + 2018c + ab Gợi ý giải Câu 1: a) Với x > 0, x ¹ ta có ỉx + x + x + x ỉ ÷ ÷ ÷ A =ỗ + :ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ç x +1 1- x ø ÷è ç 1- x ứ ố x+ x- 2 ổ ỗ x + x x +1 ÷ ÷ - x ç ÷ =ç + : ÷ ç ÷ ç 1- x x - x +2 1- x + x ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ( ( )( ) ổ x +2 ỗ =ỗ ỗ ỗ ố x- ( ) ( x x- )( ) ) ö 1- x ÷ ÷ ÷ ÷- x 1ø x +1 x = x +1 x Vậy A = b) A ³ + 2018 Û 2018 x +1 + 2018 1 ³ Û ³ Û < x £ 2018 x 2018 x 2018 Kết hợp với điều kiện x ¹ , ta có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn Câu 2: a) Với a > 0, b > 0, a ¹ b, a + b ¹ a ta có: P= = = a - a - 2b ổ ỗ 1ỗ ç ç è b÷ + 2÷ a + a +b ÷ a a ÷ ø ( a - a - 2b - ) æa + a + ab + a 2b b ÷ ÷ :ỗ + ỗ 2 ữ ữ ỗ a - b a - bứ ố b2 a ổ (ỗ a + a) +( a +b) b ữ ỗ ữ :ỗ + ữ ỗ a2 - b2 a - bữ ữ ỗ a +b ữ ố ứ ữa + a + b ÷ a ÷ ø ỉ ç 1ç ç ç è ( a- b2 a ( ) ỉa + a + b ÷ ÷ :ỗ ỗ ữ ố a- b ữ ứ a +b a + a +b ỗ a - a - 2ab - b )( ) a - ( a + b) a- b = a - ( a + b) a + a + b = ( a + a + b) a- b a + a +b =a- b Vậy ta có điều phải chứng minh b) Khi P = a - b3 = ta có hệ phương trình: ïìï a - b = Û í ïỵï a - b = ïìï a - b = Û í ïỵï a + ab + b = ïìï a = b +1 Û í ïï ( b +1) +( b +1) b + b = ỵ ïìï a = b +1 ï íï éb = ïï ê ïïỵ ê ëb =- Do a, b > nên ta chọn nghiệm ( a; b) = ( 2;1) Câu 3: ( ) 2x - x + x - a) Với x ³ 0, x ¹ ta có: P = x - x - = = x +1 x- x- Q= ( x x + x) - x - = x- x +2 b) Ta có P = Q Û x - x - = Û ( ) x - =3 é x =1+ Û ê Û x = 4+2 ê x = vô nghiêm ( ) ê ë Câu 4: a) Với a ³ 0, x ¹ ta có: P= = = = a a +1 a + + + 4- a a +2 a- ( a ( ) ( a +1)( a + 2) - ( ( a + 2)( a - 2) a- + 4a - a )( a +2 ) a +2 ) a- a a +2 b) Ta có: a = + 84 + 19 æ 84 ổ ữ ỗ ữ ị a3 = + 3 ỗ + 1ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ứố ố 84 84 ÷ ÷ a ÷ ÷ ø hay a = - a Phương trình cho ta nghiệm a = Thay a = (thỏa mãn điều kiện) vào P ta P = Câu 5: a) Với x > ta có: ( x +1) ( x - 1) 2x P= = = = ( ( ) ( ) x +1 + x- x- x +1 - x - ( x +1) ( x - 1) )( x +1 + x - x +1 + x - 1- ( )( x +1 + x - ( x +1) ( x - 1) ) ( 2x - ( x +1) ( x - 1) ) x +1 x +1 - x- ( x +1) ( x - 1) ) x +1 2x - ( )( x +1 - ( x +1) ( x - 1) ) x - 2x - x +1 ( x +1) - ( x - 1) = x +1 Vậy P = x +1 b) Để P = x - x +1 = x - Û x +1 = x - x +1( x > 1) éx = Û x - 3x = Û ê ê ëx = Vậy x = thỏa mãn Cõu 6: a - 3ổ a +6 a ỗ + ỗ ỗ a- ỗ aố a- a) Ta có: T = = ( = b) T > Û ( ) )( ) é a +2 a ê + ê aa +3 ê ê a - a +2 ë a- a- ( ö ÷ ÷ ÷ 2÷ ø )( )( a +3 = a +3 a - a- >0 Û a- a - 2>0 Û a >4 Kết hợp với điều kiện suy a > a ¹ T > Câu 7: Ta có: a b c a +b + c = = = =1 b c a b +c +a Þ a =b =c Þ P = Câu 8: 2027 2015 ) ù ú ú 2ú ú û x2 x2 x2 x2 x2 = = = = Ta có: y + z - x ( y - x) ( y + z ) + z ( y - x) ( - z ) + z z ( x + y + z ) - zy - zy y2 y2 z2 z2 = , = Tương tự, ta có: z + x - y - xz x + y - z - xy Do đó: P = - 1ỉ x3 + y + z - 1ỉ x + y + z - 3xyz ữ ỗ ỗ ữ ữ = + 3ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ữ ç ç xyz xyz è ø ø ( x + y + z ) ( x + y + z - xy - yz - zx) ù - 1é - ê = + 3ú = ê ú ê xyz ú ë û Câu 9: 2 2 Ta có: a + b = b + c Û a - b = c - b Þ ( a - b) ( a + b - 1) = c - a Þ a + b - = c- a a- b Tương tự ta có: b +c - 1= a- b b- c ;c +a - 1= b- c c- a Do đó: T = c- a a- b b- c =1 a- b b- c c- a Câu 10 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 1 + + ³ =1 x y z x + y +z Dấu xảy x = y = z = Khi T = 162 Vậy giá trị nhỏ T T = 162 Câu 11: ( Từ giả thuyết x + + x x + 1+ x2 = 2018 y + 1+ y Tương tự y + + y = )( y + ) + y = 2018 suy = 2018 ( 1+ y - y 2018 x + 1+ x = 2018 ) ( 1+ x - x ( 1+ x + 1+ y Cộng vế theo vế ta 2019 ( x + y ) = 2017 ) ) Xét: ( 1+ x2 + + y ) = + x + y + ( + x ) ( + y ) ³ + x + y + ( + xy ) = +( x + y ) Từ suy ra: 2019 ( x + y ) ³ 2017 +( x + y ) 2 Þ 2019 P ³ 2017 + P Þ P³ 2017 2018 Dấu xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ P P = 2017 2018 2017 2017 x = y = 2018 2018 Câu 12: ỉ 1 1ư ÷³ xyz + + ÷ Ta có với x, y, z > : ( x + y + z ) ỗ ỗ ữ ữ ỗ xyz ốx y z ø Þ 1 + + ³ x y z x+ y+z Dấu xảy x=y=z a + 6a + ( a + a) +( 3a + 3) + 2a Ta có = =1+ + 2 a +a a +a a a +1 æ1 1 ỉ1 1 ÷ + + ÷ + 2ỗ + + ữ ữ Do ú: M = + 3ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗa b c ứ ố ỗa +1 b +1 c +1ứ ố 3+ 27 18 + ³ 15 a +b +c a +b + c +3 Dấu xảy a = b = c = Vậy Mmin = 15 đạt giá a = b = c = Câu 13: Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta có: a a a a a = = £ = a + 2018a + bc a + a + ab + ac + bc a + ( a + b) ( a + c ) a + ab + ac a+ b+ c Chứng minh tương tự ta có: b £ b + 2018b + ca b c ; £ a + b + c c + 2018c + ab Cộng vế với vế bất dẳng thức ta P £ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị lớn P 2018 c a+ b+ c ... lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018) Cho P = a a +1 a + + + ( a ³ 0, a ¹ 4) 4- a a +2 a- a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P a = + 84 + 19 84 Câu 5: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên. .. (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2017 - 2018) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tính giá trị biểu thức: P = a b c = = b c a 4a + 6b + 2017c 4a - 6b + 2017c Câu 8: (Đề thi vào lớp 10. .. S ù ê ú ë û = S - ( 1- S ) + = S2 Từ ta có P = S + T = 2( S + S ) Vậy P = Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán TP.Hà Nội năm học 2018 - 2019) Với x, y, z số thực thỏa mãn xyz = 1 1 + + =1 xy