chơng - hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit A Kiến thức cần nhớ I luỹ thừa Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a 0, n = n số nguyên âm, luỹ thừa bậc n a số an xác định bởi: a0 = 1, an = với n nghuyên âm Định nghĩa 2: (Căn bậc n): Với n nguyên dơng bậc n sè thùc a lµ sè thùc b (nÕu cã) cho bn = a Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây: Đ Khi n số lẻ, số thực a có bậc n, kí hiệu Đ Khi n số chẵn, số thực dơng a có hai bậc n hai số đối Căn có giá trị dơng kí hiệu (còn gọi số học bậc n a), có giá trị âm kí hiệu Định nghĩa 3: (Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a số thực dơng r số hữu tỉ Giả sử r = , m số nguyên n số nguyên dơng Khi đó, luỹ thừa a với với sô mũ r số ar xác định bởi: ar = = Tõ ®ã = TÝnh chÊt cđa l thõa: Víi a > 0, b > 0, ta cã: an.am = an + m (ab)n = an.bn = an - m (a ) = am.n m n = Định lí 1: Cho m, n số nguyên Khi đó: Với a > am > an chØ m > n Víi < a < am > an m < n II lôgarit Định nghĩa1: Cho < a 1, b > 0, ta định nghĩa a = logab Û b = aa, a = lgb Û b = 10a, a = lnb Û b = ea, từ định nghĩa ta đợc: loga1 = 0, logaaa = a; logaab = b, víi mäi b; So s¸nh hai lôgarit số Định lí 1: Cho số dơng b c = b với b > (1) Khi a > th× logab > logac Û b > c HƯ qu¶: Khi a > th× logab > Û b > (2) Khi < a < th× logab > logac Û b < c HƯ qu¶: Khi < a < th× logab > Û b < (3) logab = logac b = c Các quy tắc tính lôgarit Định lí 2: Với a dơng khác số dơng b, c, ta có: (1) logab + logac = loga(bc), Trêng hỵp chØ cã bc > loga(xy) = logaẵbẵ + logaẵcẵ (2) (3) logab - logac = loga , trêng hỵp chØ cã bc > loga = logaẵbẵ - logaẵcẵ logaba = alogab, Trờng hợp b ẻ a = 2k, k ẻ Z logaba = alogaẵbẵ Hệ quả: Với n nguyên dơng loga = -logab; loga = logab Đổi số lôgarit Định lí 3: Với a, b dơng khác số dơng c, ta có: logbc = Hệ quả: Ta có: hay logab.logbc = logac Đ Với a, b dơng khác logab = Đ Với a dơng khác 1, c số dơng a 0, ta có = logac Trờng hợp a ẻ , a a = 2k, k ẻ = log|a|c III Hàm số mũ Định nghĩa: Hàm số mũ số a (0 < a 1) có dạng y = ax Đạo hàm hàm số mũ: Ta ghi nhận kết sau: a b c = Víi mäi x Ỵ , ta cã (ex)' = ex vµ (ax) = ax.lna NÕu u = u(x) hàm số có đạo hàm J với x ẻ J, ta có (eu)' = u'.eu vµ (au) = u'.au.lna XÐt hµm sè y = ax, < a 1, ta có tÝnh chÊt sau: Liªn tơc trªn Sù biến thiên: Hàm số đơn điệu với x § Víi a > th× > § Víi < a < th× Û x1 > x2, tøc hàm số đồng biến > x1 < x2, tức hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số có dạng và: Đ Luôn cắt trục Oy A(0; 1) Đ Nằm phía trục hoành Đ Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang IV Hàm số lôgarit Định nghĩa: Hàm số logarit số a (0 < a ¹ 1) cã d¹ng y = logax Đạo hàm hàm số mũ: Ta ghi nhận kết sau: a b c = Với x ẻ (0; +Ơ), ta có (lnx)' = (logax)' = NÕu u = u(x) lµ hµm sè có đạo hàm J với x ẻ J, ta cã (lnu)' = vµ (logau)' = XÐt hàm số y = logax, với < a 1, ta có tính chất sau: Hàm số liên tục D = (0, + Ơ) tập giá trị I = Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với x Đ Với a > th× logax1 > logax2 Û x1 > x2, tøc hàm số đồng biến Đ Với < a < th× logax1 > logax2 Û x1 < x2, tức hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số có dạng và: Đ Luôn cắt trục Oy A(1; 0) Đ Nằm bên phải trục tung Đ Nhận trục tung làm tiệm cân đứng V Hàm số luỹ thừa Định nghĩa: Hàm số lũy thừa hàm số xác định công thức y = x a, víi a lµ h»ng sè tïy ý TËp xác định (0; +Ơ), trừ trờng hợp sau: Đ Nếu a nguyên dơng hàm số có tập xác định * Đ Nếu a nguyên âm a = hàm số có tập xác định Đạo hàm hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận kết sau: a Hàm số y = xa có có đạo hàm điểm x > vµ: (xa)' = a.xa - b Nếu u = u(x) hàm số có đạo hàm u(x) > J thì: (ua)' = a.u'.ua - 1, víi mäi x Ỵ J F Chó ý: Với n số nguyên tùy ý, ta có (x n)' = n.xn - víi mäi x ¹ 0; vµ nÕu u = u(x) lµ hµm sè cã đạo hàm u(x) J (un)' = n.u'.un - 1, víi mäi x Ỵ J Ta cã: ( )' = , víi mäi x > n chẵn, với x n lẻ Nếu u = u(x) hàm số có đạo hàm J thỏa mÃn điều kiện u(x) > víi mäi x thuéc J n chẵn, u(x) với x thuộc J n lẻ thì: ( )' = VI Các dạng phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit Phơng trình mũ có dạng ax = m, a > m số đà cho Khi đó: Đ Nếu m Ê phơng trình vô nghiệm Đ Nếu m > phơng trình có nghiệm x = logam Ta có kết quả: af(x) = ag(x) f(x) = g(x) Víi a > th× af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x) Víi < a < af(x) > ag(x) f(x) < g(x) Phơng trình lôgarit có dạng logax = m, m số đà cho Ta phải có điều kiện x > < a Với m phơng trình có nghiệm x = am Ta có kết quả: logaf(x) = logag(x) Û f(x) = g(x) > Víi a > th× logaf(x) > logag(x) Û f(x) > g(x) > Víi < a < th× logaf(x) > logag(x) Û < f(x) < g(x) mét sè ph¬ng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit a b c Phơng pháp đa số Phơng pháp đặt ẩn phụ Phơng pháp lôgarit hóa: Ta giải phơng trình có hai vế dơng cách lấy lôgarit hai vế theo số thích hợp d Phơng pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến hàm số B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 hàm số mũ hàm số lôgarit Dạng toán 1: Giới hạn hàm số mũ lôgarit Phơng pháp Chúng ta có dạng giới hạn đặc biệt sau: a = b c (1 + )x = e d = = e F Më réng:: Ta cã: , F Quy tắc Lôpitan: Nếu f(x), g(x) khả vi lân cận x0 trừ điểm x0, thì: f(x) = đồng thời: g(x) = Ơ g'(x) lân cận x0, = A = A Quy tắc với xđ Ơ Thí dụ Tìm giới hạn sau: a ? Giải a Ta biến đổi: b b = Ta biÕn ®ỉi: = -3e2 = = - = -1 = - F Nhận xét: Qua thí dụ trên: Đ câu a), để làm xuất dạng giới hạn thực nhóm nhân tử chung e Đ câu b), tách giới hạn ban đầu thành hai giới hạn việc thêm bớt Đ Với quy tắc Lôpitan, ta có: = = -3e2 = ThÝ dô = - = -1 Tìm giới hạn sau: a ? Giải a Ta cã: b = b = Ta cã: = = Thí dụ Tìm giới hạn ? Giải Ta biến đổi: =- ln Tìm giới hạn sau: a ? Giải a Ta biến đổi: = Ta biÕn ®ỉi: = ThÝ dơ = = ThÝ dô = = b b = 2.1 = = 0.1 = Tìm giới hạn sau: a ? Giải a Ta biến đổi: b , víi x > -1 = - = b - = Ta biến đổi: = = = Dạng to¸n 2: ThÝ dơ = = -1 TËp x¸c định hàm số mũ lôgarit Tìm tập xác định hàm số: ? Giải a Điều kiện: -1 < x Vậy, ta đợc tập xác định D = (-1; +)\{0} b Điều kiện: x > Vậy, ta đợc tập xác định D = (1; +) Thí dụ Tìm tập xác định hàm số y = lg ? Giải Hàm sè g(x) = 21 - x - 2x + nghịch biến, có g(1) = 0, nên: Đ g(x) > Û g(x) > g(1) Û x < § g(x) < Û g(x) < g(1) Û x > Hµm sè cã nghÜa khi: >0Û Û Û < x < Vậy, ta đợc tập xác định D = (0; 1) Dạng toán 3: Xét tính liên tục hàm số mũ lôgarit Phơng pháp Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Khẳng định hàm số xác định điểm x0, tính f(x0) Bớc 2: Xác định Bớc 3: Bớc 4: Kiểm nghiƯm f(x0) = KÕt ln ThÝ dơ Xác định a để hàm số sau liên tục f(x) = ? Giải Điều kiện cần đủ liên tục f(0) = Ta có: f(0) = a - : liên tục ®iÓm x0 = 0, tøc: (*) = = = Khi đó, điều kiện (*) trở thành: a = = Û a = VËy, víi a = thỏa mÃn điều kiện đầu = Dạng toán 4: Tính đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit hàm số hợp chúng Phơng pháp Sử dụng kết phần kiến thức cần nhớ Thí dụ Chứng minh hàm số y = ln e y ? Giải Trớc tiên, ta có: y = ln Khi đó: = - ln(1 + x) Þ y' = - xy' + = ThÝ dơ +1= = tho¶ m·n hƯ thøc xy' + = = ey, đpcm Tính đạo hàm hàm số sau: a ? Giải a Ta cã: b b Ta cã: = D¹ng toán 5: ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ lôgarit Các toán liên quan Thí dụ Cho hàm số (Cm): y = xemx Víi m = -2: a T×m khoảng tăng, giảm cực trị hàm số (C) b BiƯn ln theo a sè nghiƯm cđa ph¬ng trình xe-2x = a c Tìm b để phơng trình sinx.e-2sinx = b có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0; p] d Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hòanh độ x = Tìm m để: a Hàm số đồng biến b Hàm số có cực trị c Hàm sè cã cùc tiĨu ? Gi¶i Víi m = -2 hàm số có dạng (C): y = xe-2x a Ta lần lợt có: (1) Hàm số xác định D = (2) Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực Đ Bảng biến thiên: y = -Ơ, y = y' = e-2x - 2xe-2x = e-2x(1 - 2x), y' = Û e-2x(1 - 2x) = Û x = x -¥ 1/2 +¥ y' + 0 CĐ 1/e2 y 1/2 -Ơ e Kết luận: Đ Hàm số đồng khoảng biến khoảng nghịch biến Đ Đồ thị hàm số đạt cực đại điểm b Số nghiệm phơng trình xe-2x = a số giao điểm đồ thị (C) với đờng thẳng y = a Ta có: Đ Với a 0, phơng trình có nghiệm § Víi < a < § Víi a = , phơng trình có hai nghiệm phân biệt , phơng trình có nghiệm x = Đ Với a > , phơng trình vô nghiệm c Đặt t = sinx, Ê t Ê 1, phơng trình có d¹ng te -2t = b (1) NhËn xÐt r»ng víi t0ẻ[0; 1) thì: sinx = t0 phơng trình có nghiệm thuộc khoảng [0; p] Vậy, điều kiện đờng thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] điểm: d a b c từ 0Êm< Phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hòanh độ x = lµ: (d): y - y(1) = y’(1)(x - 1) Û (d): y = x+ Tríc tiªn, ta cã: (1) Hàm số xác định D = (2) Đạo hàm: y' = emx + mxemx = emx(1 + mx), y' = Û emx(1 + mx) = mx + = (2) Hàm số đồng biến khi: y' với xẻ mx + ≥ víi mäi xỴ Û m = Hàm số có cực trị khi: Phơng trình (1) có nghiệm m Hàm sè cã cùc tiĨu (1) cã nghiƯm nhÊt qua y' đổi dấu - sang +, tức m > Đ2 Phơng trình mũ lôgarit Dạng toán 1: Phơng pháp đa số giải phơng trình mũ lôgarit Phơng pháp Dạng 1: Phơng trình: 7+4 = (2 + )2 (2 + Do ®ã, nÕu ®Ỉt t = (2 + ).(2 - ) = )x, điều kiện t > 0, thì: (2 )x = vµ (7 + )x = t2 Khi đó, phơng trình tơng đơng với: t2 - + = Û t3 + 2t - = Û (t - 1)(t2 + t + 3) = Û t = Û (2 + )x = x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = F NhËn xÐt: Nh vËy, c©u a) việc đánh giá: 7+4 = (2 + )2 (2 + ).(2 - ) =1 ta ®· lùa chän đợc ẩn phụ t = (2 + )x cho phơng trình câu b) miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng a.b = 1, là: a.b = c2 = 1, tức với phơng trình có dạng A.ax + B.bx + C.cx = Khi ®ã ta thực phép chia hai vế phơng trình cho cxạ0, để nhận đợc: A b + B + C = 0, tõ ®ã thiÕt lËp Èn phơ t = , t > vµ suy x Chia hai vế phơng trình cho > 0, ta ®ỵc: + = NhËn xÐt r»ng = = 1, Û t2 - 3t + = Û (*) đó, đặt t = , điều kiện t > 0, Khi đó, phơng trình (*) tơng đơng với: = x = = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 12: Giải phơng trình sau: a + = b + - 11 = ? Giải a Biến đổi phơng trình dạng: + = Chia hai vế phơng trình cho 2+ = 0, ta đợc: (1) Đặt t = , điều kiện t x2 + t = Khi đó, phơng trình (1) tơng đơng với: f(t) = t2 - t - = Û Ûx=± Û x2 + = b t=2 = =2 Vậy, phơng trình cã hai nghiƯm x = ± §iỊu kiƯn x > Đặt u = log2x ị x = 2u, phơng trình (1) có dạng: + - 11 = Û + - 11 = Đặt t = , điều kiện t Khi đó, phơng trình (2) có dạng: 4t2 - 11t + = Û Û Û Û Û Û Vậy, phơng trình có ba nghiệm x = 1, x = Ví dụ 13: (Đề thi đại học khối D - 2003): Giải phơng trình: - = ? Giải Biến đổi phơng trình dạng: - = (2) Đặt t = , với t > ta chuyển phơng trình dạng: t= t2 - 3t - = Û Û = = 22 2 Û x - x = Û x - x - = Û x = - x = Vậy, phơng trình cã hai nghiƯm x = - vµ x = F Chó ý: TiÕp theo chóng ta sÏ quan tâm tới việc sử dụng phép biến đổi đại số để làm xuất ẩn phụ sử dụng ẩn phụ cho tổ hợp đối xứng Ví dụ 14: ? Giải Giải phơng trình - + Chia hai vế phơng trình cho - +1=0 - = 0, ta đợc: - +1=0 + = Đặt t = , điều kiện t > Khi đó, phơng trình tơng đơng với: 2t2 - 9t + = Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = -1, x = VÝ dô 15: Û Giải phơng trình: log2(x ? Giải Điều kiện: Nhận xét r»ng: ) log3(x + ) = log6|x - Û x ³ (x )(x + ) = Þ (x Khi phơng trình đợc viết lại dới dạng: log2(x + ) - log3(x + Û log2(x + ) log3(x + Sử dụng phép đổi số: log2(x + | ) = (x + ) = log6(x + ) = log6(x + ) = log26.log6(x + vµ log3(x + ) = log36.log6(x + Khi phơng trình đợc viết l¹i díi d¹ng: ); ) )-1 )-1 ) log26.log6(x + ) log36.log6(x + Đặt t = log6(x + ) = log6(x + ) Khi (1) có dạng: t(log26.log36.t - 1) = Û § Víi t = log6(x + )=0Ûx+ § Víi log26.log36.t - = log26.log36 log6(x + Û log3(x + =1Û Û x = ) - = Û log26.log3(x + ) = log62 Û x + Û Ûx= ( + ) ( + Ví dụ 16: (ĐHY Hà Nội - 2000): Giải phơng trình 23x - 6.2x ? Giải Viết lại phơng trình dới dạng: ) - 6(2x - Đặt t = 2x - )=1 = Vậy, phơng trình có nghiƯm x = vµ x = (23x - ) (1) ) + ) = (1) , suy ra: 23x = (2x )3 + 3.2x (2x Khi đó, phơng trình (1) có dạng: ) = t3 + 6t t3 + 6t - 6t = Û t = 2x = Đặt u = 2x, u > 0, phơng trình (2) có dạng: u= Û u2 - u - = Û VËy, phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 17: = (2) Û u = Û 2x = x = (Đề thi đại học khối A - 2002): Cho phơng trình: a + - 2m - = Giải phơng trình với m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc [1; ] ? Giải Điều kiện x > , với t 1, ta đợc: f(t) = t2 + t - 2m - = Với m = phơng trình (2) có d¹ng: t2 + t - = Û t = -3 (loại) t = Với t = 2, ta đợc: Đặt t = =2 =3x= (1) Vậy, với m = 2, phơng trình có nghiệm phân biệt x = Từ điều kiện: 1ÊxÊ £ log3x £ Û1£ +1£4 Û1£ £ Ê t Ê Tới ta lựa chọn ba cách trình bày nh sau: Cách 1: Phơng trình ban đầu có nghiệm thuộc đoạn [1; ] phơng tr×nh (3) cã Ýt nhÊt nghiƯm thc [1; 2] đờng thẳng y = 2m + cắt phần đồ thị hàm số y = t + t lấy đoạn [1; 2] điểm Ta xét hàm số: y = t2 + t Đ Miền xác định D = [1; 2] Đ Đạo hàm: y' = 2t + 1, y' = Û 2t + = t = Đ Bảng biến thiên: t -Ơ - 2+ / Ơ y ' + +¥ y VËy ®iỊu kiƯn lµ: £ 2m + £ Û £ m £ C¸ch 2: (Tèi u hoá cách 1): Phơng trình ban đầu có nghiệm thuộc đoạn [1; ] phơng trình (3) cã Ýt nhÊt nghiƯm thc [1, 2] Û ®êng thẳng y = 2m + cắt phần đồ thị hàm số y = t + t lấy ®o¹n [1, 2] t¹i Ýt nhÊt mét ®iĨm Ta xÐt hàm số: y = t2 + t Đ Miền xác định D = [1; 2] Đ Đạo hàm: y' = 2t + > 0, "tẻD ị hàm số đồng biến D Vậy điều kiện là: y(1) Ê 2m + £ y(2) Û £ 2m + £ Û £ m £ C¸ch 3: Phơng trình ban đầu có nghiệm thuộc đoạn [1, phơng trình (3) có nghiệm thuộc [1, 2] phơng trình (3) có nghiệm tho¶ m·n: ] Û f(1).f(2) £ Û - 2m(4 - 2m) £ Û £ m £ Ví dụ 18: a b (ĐHKT - 1998): Cho phơng trình: = 9(x - 2)m Giải phơng trình với m = Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả m·n: 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = (1) ? Giải Điều kiện x - > Û x > LÊy logarit c¬ sè hai vế, ta đợc: log3[ ] = log3[9(x - 2)m] [log3[9(x - 2)].log3(x - 2) = + log3(x - 1)m Û [2 + log3(x - 2)].log3(x - 2) = + mlog3(x - 1) Đặt t = log3(x - 2) Khi (1) có dạng: (2 + t)t = + mt Û t2 - (m - 2)t - = a Với m = 3, ta đợc: t2 - t - = Û Û Û Vậy, với m = phơng trình có hai nghiệm x = b Xét điều kiện: (1) (2) x = 11 3(x1 - 2)(x2 - 2) - = Û (x1 - 2)(x2 - 2) = Û log3[(x1 - 2)(x2 - 2)] = log3 Û log3(x1 - 2) + log3(x2 - 2) = - Û t1 + t2 = -1 Vậy, để phơng trình có nghiệm tho¶ m·n 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = Û (2) cã nghiƯm t1, t2 tho¶ m·n t1 + t2 = - Û Û Û m = Vậy, với m = thoả mÃn điều kiện đầu F Chú ý: Phơng pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình với ẩn phụ nhng hệ số chứa x Phơng pháp thờng đợc sử dụng phơng trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ biểu diễn đợc công thức biểu diễn lại phức tạp Khi đó, thờng ta đợc phơng trình bËc hai theo Èn phơ (hc vÉn theo Èn x) có biệt số D số phơng Ví dụ 19: Giải phơng trình 9x + (x - 3).3x - 2x + = (1) ? Giải Đặt t = 3x, ®iỊu kiƯn t > Khi ®ã, phơng trình tơng đơng với: t2 + (x - 3).t - 2x + = ta cã D = (x - 3)2 - 4(-2x + 2) = (x + 1)2 nên phơng trình có nghiệm: Khi đó: Đ Víi t = Û 3x = Û x = log32 § Víi t = - x Û 3x = - x, ta cã nhËn xÐt: Þ Phơng trình có nghiệm nghiệm nhÊt NhËn xÐt r»ng x = lµ nghiƯm cđa phơng trình Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = log32, x = Ví dụ 20: Giải phơng trình ? Giải Điểu kiện x > Biến đổi phơng trình dạng Nhận xét rằng: Đ Vế trái phơng trình hàm đồng biến Đ Vế phải phơng trình hàm nghịch biến Do vậy, phơng trình có nghiệm nghiệm nhÊt NhËn xÐt r»ng x = lµ nghiƯm phơng trình vì: = 2, Vậy, phơng trình có nghiệm x = F NhËn xÐt: Nh vËy, vÝ dơ trªn b»ng viƯc chuyển vế thấy tính đồng biến nghịch biến hàm số hai vế phơng trình, để từ kết luận tính nghiệm (nếu có) phơng trình Tuy nhiên, hầu hết phơng trình đợc giải phơng pháp dạng ban đầu không đa đợc nhận xét "VT đồng biến VP hàm nghịch biến" Khi đó, cần thực vài phép biến đổi đại số, thí dụ với phơng trình: Ví dụ 21: ? Gi¶i A.af(x) + B.bg(x) = C.ch(x) Û A Giải phơng trình + 3x/2 = 2x + B = C Chia hai vế phơng trình cho 2x 0, ta đợc Nhận xét rằng: Đ Vế trái phơng trình hàm nghịch biến Đ Vế phải phơng trình hàm Do vậy, phơng trình có nghiệm nghiệm nhÊt NhËn xÐt r»ng x = lµ nghiƯm phơng trình vì: (1) , Vậy, phơng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = F Chó ý: Nhiều toán cần sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để chuyển chúng dạng f(u) = k Từ đó, áp dụng đợc phơng pháp hàm số để giải Ví dụ 22: Giải phơng trình = x ? Giải Điều kiện x + > Û x > -1 a NÕu -1 < x Ê 0, phơng trình vô nghiệm VT > cßn VP ≤ b XÐt x > 0, đặt y = log3(x + 1) Ta đợc hệ phơng trình: + = (1) Nhận xét rằng: Đ Vế trái phơng trình hàm nghịch biến Đ Vế phải phơng trình hàm Do vậy, phơng trình có nghiệm nghiệm lµ nhÊt NhËn xÐt r»ng y = lµ nghiệm phơng trình, suy ra: y = log3(x + 1) = Û x + = x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = VÝ dơ 23: Þ 2y + = 3y (Đề thi đại học khối B - 2005): Giải hệ phơng trình: ? Giải Điều kiện: Biến đổi phơng trình thứ hai hệ: (*) 3(1 + log3x) - 3log3y = Û log3x = log3y Û x = y Khi ®ã, hƯ cã dạng: Vậy, hệ phơng trình có hai cặp nghiệm (1, 1) (2, 2) Ví dụ 24: (Đề thi đại học khối A - 2004): Giải hệ phơng trình: ? Giải Điều kiện: Biến đổi phơng trình thứ hệ dạng: - log4(y - x) + log4y = Û log4y = log44(y - x) (*) Û y = 4(y - x) x = Thay (**) vào phơng trình thứ hai cđa hƯ: (**) + y2 = 25 Û y2 = 16 VËy, hƯ cã nghiƯm (3; 4) VÝ dơ 25: y = ị x = (ĐHMĐC - 2000): Giải biện luận hệ phơng trình: ? Giải Biến đổi hệ dạng: Thế (1) vào (2), ta đợc: 4x + (1 - a - x) - x(1 - a - x) = Û Û 2x2 + 2(a - 1)x + (a - 1)2 = 0, ta cã D' = -(a - 1)2 £ = (3) Khi đó: Đ Với a D' < phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm Đ Với a = D' = phơng trình (3) có nghiệm x = 0, suy y = VËy, a = hÖ cã nghiÖm x = y = VÝ dụ 26: Giải hệ phơng trình: Giải Lấy logarit có số hai vế hai phơng trình, ta đợc: Ta có D=1- 0, hệ phơng trình có nghiện Dx = - , Suy hÖ cã nghiÖm Dy = - Vậy, hệ phơng trình có nghiệm (2; 1) Ví dụ 27: Giải hệ phơng trình: ? Giải Viết lại hệ phơng trình dới dạng: (I) Đặt: , điều kiện u v > Khi đó, hệ (I) đợc biến đổi dạng: Để giải hệ (II) ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Khử số hạng tự từ hệ ta đợc: 4u2 - 13uv + 3v2 = Đặt u = tv, đó: (3) Û v2(4t2 - 13t + 3) = Û § Với t = ta đợc u = 3v đó: (2) - 8v2 = vô nghiệm Đ Với t = ta đợc u = v v = 4u ®ã: (2) Û 4u2 = Û u = (II) (3) Þ Û Û Û Vậy, hệ phơng trình có hai cặp nghiệm (1, 2) ( - 1, 2) Cách 2: Nhận xét (u, v) nghiệm hệ u Từ (2) ta đợc u = Thay (4) vào (1), ta đợc 2v4 - 31v2 - 16 = Đặt t = v2, t > 0, ta ®ỵc: (5) Û 2t2 - 31t - 16 = Û (4) (5) Û v2 = 16 Û v = ị Vậy, hệ phơng trình có hai cặp nghiệm (1; 2) (-1; 2) Ví dụ 28: Giải bất phơng trình sau: a < b 32x - c 2.2x + 3.3x > 6x - - d 4x - 2x + + > £ ? Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: ( + 3)( - 3) = Þ -3=( Khi đó, bất phơng trình đợc viết lại dới d¹ng: < Û + Û 0, ta đợc: - > (1) , t > 0, bất phơng trình (1) có dạng: t2 - 8t - > Û (t - 9)(t + 1) > Û t - > Û t > Û Ûx>2Û 9 x > c Chia hai vÕ bÊt ph¬ng trình cho 6x > 0, ta đợc (2) + + > XÐt hµm sè y = + + , lµ hàm nghịch biến Ta có: Đ Với x 2, f(x) Ê f(2) = bất phơng trình (2) vô nghiệm Đ Với x < 2, f(x) > f(2) = bất phơng trình (2) nghiệm Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (-Ơ; 2) d Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt t = 2x, điều kiện t > Khi đó, bất phơng trình có dạng: t2 - 2t + £0 ta cã D' = - (3) £ 0, ®ã: (3) Û Û Û Û x = Vậy, bất phơng trình có nghiệm x = Cách 2: Biến đổi bất phơng trình có dạng: Nhận xét rằng: Do ®ã: (*) Þ VT(*) ³ (*) Û Û x = Vậy, bất phơng trình có nghiÖm nhÊt x = F NhËn xÐt: Nh vậy, thông qua ví dụ em học sinh đà đợc ôn tập lại phơng pháp để giải bất phơng trình mũ Và đó: Đ Với câu a) việc đa bất phơng trình dạng có số Đ Với câu b) có tổng hợp cao, bắt đầu việc sử dụng vài phép biến đổi đại số để làm xuất ẩn phụ, tiếp tới công việc đơn giản phải giải bất phơng trình bậc hai Tuy nhiên, cuối gặp dạng bất phơng trình chứa Đ Với câu c) d) chúng toán khó cần phải sử dụng tới kiến thức hàm số biết cách đánh giá mét biĨu thøc chøa hµm sè mị VÝ dơ 29: Giải bất phơng trình: - + 9log2 Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: Û + 9log2 ? Gi¶i Điều kiện x > Coi (1) bất phơng trình bâc theo ẩn x, ta có: D = (log2x - 2)2 - 4(log2x - 3) = Do ®ã, bất phơng trình (1) có dạng: (*) - 8log2x + 16 = (log2x - 4)2 (x + 1)(x + log2x - 3) > x + log2x - > Û log2x > - x NhËn xÐt rằng: Đ Hàm số y = log2x hàm đồng biến Đ Hàm số y = - x hàm nghịch biến Đ Với x > 2, ta có: VT > VP < ị x > nghiệm (2) Đ Với < x £ 2, ta cã: VT < vµ VP > ị < x Ê không nghiệm (2) Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (2; +Ơ) Ví dụ 31: (1) (Đề thi đại học khối B - 2002): Giải bất phơng trình: (2) logx(log3(9x - 72)) Ê ? Giải Trớc hết ta xác định điều kiện: 9x > 73 x > log973 Û x > log3 (*) Víi ®iỊu kiện trên, bất phơng trình đợc biến đổi dạng: log3(9x - 72) £ x Û 9x - 72 £ 3x (2) x Đặt t = > 0, ta ®ỵc: (2) Û t2 - t - 72 £ Û - £ t £ Û 3x £ Û x £ KÕt hỵp víi (*), suy bất phơng trình có nghiệm log3 < x Ê Ví dụ 32: (Đề thi đại học khối D - 2003): Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y= , [1; e3] ? Giải Xét hàm số y = y' = , [1, e3], ta cã: , y' = Û 2lnx - ln2x = Do đó, giá trị lớn nhỏ hàm số [1, e3] đợc cho bởi: a ymax = Max{y(1), y(e2), y(e3)} = Max{0, , }= , đạt đợc x = e b ymin = 0, đạt đợc x = Ví dụ 33: (Đề thi đại học khối B - 2005): Chøng minh r»ng víi mäi x Ỵ R, ta cã: ³ 3x + 4x + 5x + + Khi đẳng thức xảy ? ? Giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta lần lợt có: + ³2 = 2.3x (1) + ³2 = 2.4x (2) + ³2 = 2.5x Céng theo vÕ (1), (2) vµ (3) ta đợc: + + Dấu "=" xảy khi: = = ³ 3x + 4x + 5x, ®pcm Û x = (3) ... > ®iỊu kiƯn hĐp, bëi thùc chÊt ®iỊu kiƯn cho t phải t Điều đặc biệt quan cho lớp toán có chứa tham số Các phép đặt ẩn phụ thờng gặp sau phơng trình lôgarit: Dạng 1: Nếu đặt t = logax với x >... hai nghiƯm x = 100 vµ x = F Chú ý: Một mở rộng tự nhiên phơng pháp đặt ẩn phụ kiểu sử dụng số tham số phơng trình để làm ẩn phụ, phơng pháp có tên gọi "Phơng pháp số biến thiên" Dạng toán 3:... gian đà biết phần phơng trình mũ Bất phơng trình đợc biến đổi dạng: x2 - < log32 x2 < + log32 tham sè x2 < log36 Vậy, tập nghiệm bất phơng trình Dạng toán 2: Phơng pháp biến đổi tơng đơng cho