Giáo án hình học 11 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng vng góc + Nắm định lý ba đường vng góc + Phát biểu vận dụng cách tìm thiết diện quan hệ vng góc  Kĩ + Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Chứng minh hai mặt phẳng vng góc + Xác định thiết diện giải toán liên quan đến chu vi diện tích thiết diện I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng   d vng góc với đường thằng a thuộc mặt phẳng   Kí hiệu: d    hay    d d     d  a, a    Định lí Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng d  a d  b   a      a    , b    a  b  M  Hệ Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại tam giác Tính chất Tính chất 1: Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Tính chất 2: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước   Có đường thẳng d qua B vng góc với   Có mặt phẳng   qua A vng góc với d Trang   Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB Tính chất 3:  Một mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng song song đường thẳng  Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất 4:  Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất 5: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Phép chiếu vng góc Cho đường thẳng d    Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng   gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng   M  hình chiếu M lên   Định lí ba đường vng góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng   b đường thẳng không thuộc   đồng thời khơng vng góc với   Gọi b hình chiếu b   Khi a  b  a  b TOANMATH.com Trang   Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng    Nếu d vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng   90  Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng   góc d với hình chiếu d    gọi góc đường thẳng d vả mặt phẳng   Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng 90  P    Q     P  ,  Q    90 Tính chất  Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a   P    P   Q   a   Q   Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng  P    Q   a   P   a  Q   b   P    Q  a  b   Cho hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng  P  dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Q  đường thẳng nằm  P   A P   P    Q   a   P    A  a  Q  TOANMATH.com Trang    Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng  P    R       R   Q    R    P    Q    Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai mặt đáy - Các mặt bên hình chữ nhật - Các mặt bên vng góc với hai đáy Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ Hình hộp chữ nhật Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Tất mặt hình chữ nhật Đường chéo d  a  b  c với a, b, c kích thước Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vng Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy +) Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc +) Các mặt bên hình chóp tam giác cân +) Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc Hình chóp cụt Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng TOANMATH.com Trang   SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa d     d  a, a    Định lí ba đường a2 vng góc Hai đường thẳng vng góc  a     b     , b       b hình chiếu b   Định lí Hệ d  a; d  b   a    , b     d    a  b  M  ABC :  d  AB  d   ABC  d  AC  Có đường thẳng qua điểm cho a  b  a  b trước vng góc với mặt phẳng cho trước Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tốn 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải Cách Chứng minh đường thẳng d vuông Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam góc với hai đường thẳng cắt chứa giác vuông B, cạnh bên SA vng góc với dáy mặt phẳng  P  Chứng minh BC   SAB  Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABC vng B nên BC  AB Do SA   ABC  nên BC  SA  BC  AB  BC  SA  Ta có:   BC   SAB   AB  SA   A  AB, SA   SAB   Cách Chứng minh d song song với a mà a   P  Cách Chứng minh d   Q   Q  //  P  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng  ABC  Chứng minh a) BC   OAH  b) H trực tâm ABC Hướng dẫn giải OA  OB a) Ta có   OA   OBC   OA  BC OA  OC OH   ABC  Mà  nên OH  BC  BC   ABC  TOANMATH.com Trang   Vậy BC   OAH  b) Do OH   ABC  nên OH  AC 1 OB  OA Ta có  nên OB   OAC   OB  AC   OB  OC Từ 1   suy AC   OBH   AC  BH Mặt khác BC   OAH   AH  BC Vậy H trực tâm tam giác ABC Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SD a) Chứng minh AK   SCD  b) Chứng minh AH   SBC  c) Chứng minh SC   AHK  Hướng dẫn giải a) Ta có SA   ABCD   CD  SA ABCD hình chữ nhật nên CD  AD Suy CD   SAD   CD  AK Ta lại có AK  SD Suy AK   SCD  b) Ta có CB  SA (do SA vng góc với đáy) CB  AB (do ABCD hình chữ nhật) Suy CB   SAB  Mà AH   SAB  nên CB  AH Ta lại có AH  SB Suy AH   SBC  c) Ta có AK   SCD  suy AK  SC AH   SCB  suy AH  SC Suy SC   AHK  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, có SA vng góc  ABCD  Gọi H K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SD Chứng minh HK   SAC  Hướng dẫn giải Xét SAB vuông A, đường cao AH TOANMATH.com Trang   Ta có SA2  SH SB  SH SA2  1 SB SB Xét SAD vuông A, đường cao AK Ta có SA2  SK SD  SK SA2   2 SD SD  SB  SA2  AB  Mà  SD  SA2  AD  SB  SD  3  AB  AD  Từ 1 ,    3 suy SH SK   HK //BD SB SD Lại có BD  AC (tính chất hình thoi) mà SA   ABCD  , BD   ABCD   BD  SA Suy BD   SAC  mà HK //BD nên HK   SAC  Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D a) Chứng minh AC    ABD  b) Chứng minh AC    CBD  Hướng dẫn giải a) Gọi O, I tâm hình vng ABCD, AABB  BD  AC Ta có   BD   ACC A   BD  AC  1  BD  AA  BA  AB  BA   ABC D   BA  AC      BA  BC  Từ 1   , ta có AC    ABD   BD //BD  BD //  CBD  b) Ta có     ABD  //  CBD   AB //CD  AB //  CBD  TOANMATH.com Trang   Mà AC    ABD  nên AC    CBD  Bài toán 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Chọn mặt phẳng  P  chứa đường thẳng b, sau Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD chứng minh a   P  Từ suy a  b hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SC , SD Chứng minh HK  SC Hướng dẫn giải Ta có CD  AD, CD  SA Suy CD   SAD   CD  AK Mà AK  SD nên AK   SDC   AK  SC Mặt khác AH  SC nên SC   AHK  Suy HK  SC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, SA   ACBD  , AD  2a, AB  BC  a Chứng minh CD  SC Hướng dẫn giải Ta có: SA   ABCD     SA  CD 1 CD   ABCD   Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do  ACI  45 Mặt khác, CID tam giác vuông cân   45 I nên DCI ACD  90 hay AC  CD   Suy  Từ 1   suy CD   SAC   CD  SC TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC hình tam giác vng A có Chú ý: SA   ABC  Chứng minh AC  SB Cách khác để chứng minh Hướng dẫn giải Vì SA   ABC  nên AB hình chiếu vng góc SB  ABC  hai đường thẳng vng góc: Sử dụng định lý ba đường vng góc Mặt khác theo giả thiết AC  AB Suy AC  SB (theo định lý ba đường vng góc) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  AC , DB  DC Chứng minh AD  BC Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BC Vì ABC cân A DBC cân D nên ta có AH  BC ; DH  BC  BC   ADH   AD  BC Ví dụ Trong mặt phẳng  P  cho BCD Gọi M trung điểm CD, G điểm thuộc đoạn thẳng BM Lấy điểm A nằm  P  cho G hình chiếu vng góc A  P  Chứng AB  CD Hướng dẫn giải Vì AG   BCD  nên BG hình chiếu vng góc AB  BCD  Mặt khác theo giả thiết BG  CD suy AB  CD (theo định lý ba đường vng góc) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với TOANMATH.com Trang 10 ... song mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất 5: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng. .. Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng    Nếu d vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng   90  Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng   góc d với hình. .. góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng