Hình học sơ cấp - Phương tích pot

Đ nh lý tr c đ ng ph ịnh lý phương tích: ục đẳng phương ẳng phương ương tích: : ng  Tr c đ ng ph ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.. Thì ta có: ếu MP là tiếp tuyến tạ

R A

O M

B R A

O M

B

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN - LỚP TOÁN 4B

HÌNH H C S ỌC S Ơ C P ẤP PHƯƠNG TÍCH

GVHD: Lê Ngô Hữu Lạc Thiện

b M t tam giác ội tiếp ABC có M thu c BC tho mãn ội tiếp ả mãn MA2 MB MC. thì

MA là ti p tuy n c a đ ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là: ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là: ủa đường tròn (O,R) là: ường tròn (O,R) là: ng tròn (ABC).

3 Đ nh lý tr c đ ng ph ịnh lý phương tích: ục đẳng phương ẳng phương ương tích: : ng

 Tr c đ ng ph ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ng thì vuông góc v i đ ới đường thẳng nối tâm ường tròn (O,R) là: ng th ng n i tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ối tâm.

B

 Cho hai đ ường tròn (O,R) là: ng tròn (O;R) và (O’;R’) có tr c đ ng ph ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ng ∆ M là m t ội tiếp.

đi m có hình chi u lên tr c ∆ là N Thì ta có: ểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có: ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là: ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.

I K

II BÀI T P PH ẬP PHƯƠNG TÍCH ƯƠNG TÍCH NG TÍCH

Bài 1: Cho đ ường tròn trực giao: ng tròn ( ; )O R có đ ường tròn trực giao: ng kính BC thay đ i A là đi m ổi A là điểm ở ểm ở ở ngoài đ ường tròn trực giao: ng tròn.

a) Ch ng minh ứng minh (ABC) đi qua m t đi m c đ nh khác A Suy ra tâm ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ểm ở ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích:

đ ường tròn trực giao: ng tròn (ABC) thu c m t đ ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ường tròn trực giao: ng th ng c đ nh ẳng phương ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích:

b) Ti p tuy n t i A c a ếp tuyến tại A của ếp tuyến tại A của ại A của ủa (ABC) c t ắt BC t i T Ch ng minh T thu c m t ại A của ứng minh ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ột điểm cố định khác A Suy ra tâm

đ ường tròn trực giao: ng th ng c đñ nh ẳng phương ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích:

M H

D

T I

C O





Do R const và O, A c đ nh nên D c đ nh.ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà. ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà.

 Suy ra, IA=ID do đó I thu c trung tr c AD c đ nh.ội tiếp ực giao ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà.

V y tâm đậy tâm đường tròn ường tròn (O,R) là:ng tròn (ABC) n m trên đằm trên đường thẳng cố định là ường tròn (O,R) là:ng th ng c đ nh là ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà.trung tr c c aực giao ủa đường tròn (O,R) là: AD

b)

G i ọi M trung đi m c a AO, nên M c đ nh.ểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có: ủa đường tròn (O,R) là: ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà

H là chân đường tròn (O,R) là:ng cao TH trong tam giác AOT

Suy ra H là đi m c đ nh, nên TH là c đ nh.ểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có: ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà

V y T n m trên đậy tâm đường tròn ằm trên đường thẳng cố định là ường tròn (O,R) là:ng th ng c đ nh vuông góc v i AD t i H.ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà ới đường thẳng nối tâm ại P của đường tròn (O,R) là:

Bài 2: Cho tam giác ABC có tr c tâm ực giao: H Ch ng minh r ng các đ ứng minh ằng các đường ường tròn trực giao: ng

G i M,N l n lọi ần và đủ để hai đường tròn trực giao ượng trong tam giác ta có:t là chân đường tròn (O,R) là:ng cao h t B, A xu ng c nh AC, BC c aại P của đường tròn (O,R) là: ừ B, A xuống cạnh AC, BC của ối tâm ại P của đường tròn (O,R) là: ủa đường tròn (O,R) là:

ABC



G i E,F l n lọi ần và đủ để hai đường tròn trực giao ượng trong tam giác ta có:t là giao đi m c a (BC) và đểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có: ủa đường tròn (O,R) là: ường tròn (O,R) là:ng cao AH

Ta có: EF BC  NE=NF(đường tròn (O,R) là:ng kính vuông góc v i dây cung) ới đường thẳng nối tâm

B

Bài 3: M t cát tuy n thay đ i song song đáy ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ếp tuyến tại A của ổi A là điểm ở BC c a tam giác ủa ABC c t ắt

AB và AC l n l ần lượt tại ượt tại ại A của t t i D và E Ch ng minh tr c đ ng ph ứng minh ục đẳng phương ẳng phương ương tích: ng c a ủa

đ ường tròn trực giao: ng tròn đ ường tròn trực giao: ng kính BE và CD là đ ường tròn trực giao: ng cao t ừ A c a tam giác ủa ABC

H

C' B'

J I

Vì v y H thu c tr c đ ng phậy tâm đường tròn ội tiếp ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (BE) và (CD)ủa đường tròn (O,R) là:

L i có:ại P của đường tròn (O,R) là:

/( )

/( )

' '

 thu c tr c đ ng phội tiếp ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c aủa đường tròn (O,R) là: (BE) và (CD)

V y ậy tâm đường tròn AH là tr c đ ng phục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (BE) và (CD) (đpcm)ủa đường tròn (O,R) là:

Mà : AB AC AC AB'.  '. ( do BC’B’C n i ti p)ội tiếp ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là:

T (1), (2) suy ra A, H thu c tr c đ ng phừ B, A xuống cạnh AC, BC của ội tiếp ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (BE) và (C D)ủa đường tròn (O,R) là:

Mà AH cũng là đường tròn (O,R) là:ng cao (Hlà tr c tâm c a ư ủa đường tròn (O,R) là: ABC)

Nên ta có đpcm

Bài 4: Cho t giác ứng minh ABCD AC c t ắt BD t i ại A của O G i ọi I J, l n l ần lượt tại ượt tại t là trung

đi m c a ểm ở ủa AB CD, G i ọi H K, l n l ần lượt tại ượt tại t là tr c tâm c a tam giác ực giao: ủa OAD và

 Ch ng minh các tr c đ ng ph ứng minh ục đẳng phương ẳng phương ương tích: ng c a c a các đ ủa ủa ường tròn trực giao: ng tròn

đ ường tròn trực giao: ng kính AM, BN, CP l y t ng đôi m t đ ng quy t i m t đi m c ấy từng đôi một đồng quy tại một điểm cố ừ ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ồng quy tại một điểm cố ại A của ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ểm ở ố định khác A Suy ra tâm

đ nh ịnh lý phương tích:

G i O là tr c tâm c a tam giác ABCọi ực giao ủa đường tròn (O,R) là:

D ng ực giao ADBC BE; AC CF; AB

Suy ra các tr c đ ng phục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (AM), (BN), (CD) t ng đôi m t đ ng quy ủa đường tròn (O,R) là: ừ B, A xuống cạnh AC, BC của ội tiếp ồng quy

t i đi m O c đ nh.ại P của đường tròn (O,R) là: ểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có: ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà

Bài 6: Cho b n đi m A, B, C, D theo th t n m trên m t đ ố định khác A Suy ra tâm ểm ở ứng minh ực giao: ằng các đường ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ường tròn trực giao: ng th ng ẳng phương

G i E, F là giao đi m c a (O) và (O’) có đ ọi ểm ở ủa ường tròn trực giao: ng kính l n l ần lượt tại ượt tại t là AC và

BD L y P là m t đi m trên EF và không thu c AB CP c t (O) t i đi m ấy từng đôi một đồng quy tại một điểm cố ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ểm ở ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ắt ại A của ểm ở

th hai M; BP c t (O’) t i đi m th hai N Ch ng minh r ng AM, DN và ứng minh ắt ại A của ểm ở ứng minh ứng minh ằng các đường

EF đ ng quy ồng quy tại một điểm cố

G i ọi  H AM DN (1)Theo đ ta có EF là tr c đ ng phều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (O) và (O’).ủa đường tròn (O,R) là:

Bài 7: Cho tam giác ABC Hai đi m thay đ i M, N là l n l ểm ở ổi A là điểm ở ần lượt tại ượt tại t thu c hai ột điểm cố định khác A Suy ra tâm

c nh AB, AC BN c t CM t i P sao cho t giác BCNM n i ti p G i H, K ại A của ắt ại A của ứng minh ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ếp tuyến tại A của ọi

l n l ần lượt tại ượt tại t là tr c tâm c a tam giác ABC, AMN Ch ng minh r ng P, H, K ực giao: ủa ứng minh ằng các đường

Tương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng t , ta ch ng minh đực giao ứ giác ABCD có ượng trong tam giác ta có:c K thu c tr c đ ng phội tiếp ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (BN) và ủa đường tròn (O,R) là:(CM) (b)

Ta có: PP/(BN) =PB PN. =PC PM. =PP/(CM)

 P thu c tr c đ ng phội tiếp ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a (BN) và (CM) ủa đường tròn (O,R) là: (c)

T (1), (2) vừ B, A xuống cạnh AC, BC của à (3) suy ra P, H, K th ng hàng.ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm

Bài 8: G i R,r,O,I l n l ọi ần lượt tại ượt tại t là bán kính & tâm c a đ ủa ường tròn trực giao: ng tròn ngo i ại A của

ti p và n i ti p c a m t tam giác Ch ng minh r ng : ếp tuyến tại A của ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ếp tuyến tại A của ủa ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ứng minh ằng các đường

  cân tại J  JI=JC (1)

Tương tự ta chứng minh được JI JB (2)

T (1), (2) ta có: JI=JB=JC ừ B, A xuống cạnh AC, BC của  CJ JB; 

V y ậy tâm đường tròn B C;     O  J JB; 

Kéo dài BI c t (O) t i M K đại P của đường tròn (O,R) là: ẻ ường tròn (O,R) là:ng kính MK c a (O) đ ủa đường tròn (O,R) là: ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ờng tròn (O,R) là:ng tròn (I) tiêp xúc v i BC t i D.ới đường thẳng nối tâm ại P của đường tròn (O,R) là:

Bài 9: Trên các c nh c a tam giác nh n ABC d ng các hình vuông ại A của ủa ọi ực giao:

đ ường tròn trực giao: ng cao t A c a tam giác ABC ừ ủa

Ta có: AD AB,   HD HB,   1 ( vì BHAD n i ti p )ội tiếp ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là:

AC AF,   KC KF,   2 ( vì AFCK n i ti p )ội tiếp ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là:

L i có: ại P của đường tròn (O,R) là: PA AB/    PA AC/    0

Suy ra AM là tr c đ ng phục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a hai đủa đường tròn (O,R) là: ường tròn (O,R) là:ng tròn AB , AC

G i I, J l n lọi ần và đủ để hai đường tròn trực giao ượng trong tam giác ta có:t là trung đi m c a AB và AC ểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có: ủa đường tròn (O,R) là:

Bài 10: Cho tam giác ABC Cho D và E là hai đi m l n l ểm ở ần lượt tại ượt tại t thu c hai ột điểm cố định khác A Suy ra tâm

ABC PB và PC l n l ần lượt tại ượt tại ắt t c t DE t i F và G G i I, J l n l ại A của ọi ần lượt tại ượt tại t là tâm c a ủa

Kéo dài AP c t DE và BC l n lần và đủ để hai đường tròn trực giao ượng trong tam giác ta có: ại P của đường tròn (O,R) là:t t i H và K

suy ra, BMPC nội tiếp.

Chứng minh tương tự, PNCB nội tiếp

Suy ra BMNC nội tiếp

suy ra P A BMNC/( ) AM AB AN AC 

Mà

AC AE

AB AD (Do DE//BC)Suy ra AM AD AN AE.

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ ⊥ OI

III BÀI T P B SUNG ẬP PHƯƠNG TÍCH Ổ SUNG

Bài 1: Cho đ ường tròn trực giao: ng tròn (O) và hai đi m A, B c đ nh M t đ ểm ở ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích: ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ường tròn trực giao: ng th ng ẳng phương quay quanh A, c t (O) t i M và N Ch ng minh r ng tâm đ ắt ại A của ứng minh ằng các đường ường tròn trực giao: ng tròn ngo i ti p tam giác BMN thu c m t đ ại A của ếp tuyến tại A của ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ường tròn trực giao: ng th ng c đ nh ẳng phương ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích:

A O AC

AB

 P

Vì A, B c đ nh và C thu c AB nên t h ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà ội tiếp ừ B, A xuống cạnh AC, BC của ện cần và đủ để hai đường tròn trực giao

th cứ giác ABCD có trên ta có C c đ nh.ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà

Suy ra I thu c đội tiếp ường tròn (O,R) là:ng trung tr c c a BC ực giao ủa đường tròn (O,R) là:

c đ nh.ối tâm ị đường tròn kia chia điều hoà

Bài 2: Cho đ ường tròn trực giao: ng tròn tâm O đ ường tròn trực giao: ng kính AB, và đi m H c đ nh thu c ểm ở ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích: ột điểm cố định khác A Suy ra tâm

AB T đi m K thay đ i trên ti p tuy n t i B c a (O), vẽ đ ừ ểm ở ổi A là điểm ở ếp tuyến tại A của ếp tuyến tại A của ại A của ủa ường tròn trực giao: ng tròn (K; KH) c t (O) t i C và D Ch ng minh r ng CD luôn đi qua m t đi m ắt ại A của ứng minh ằng các đường ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ểm ở

c đ nh ố định khác A Suy ra tâm ịnh lý phương tích:

C

I N

O

A

M B

Gi i ảo:

G i I là đi m đ i x ng c a H qua B, suy ra I cọi ểm cĩ hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta cĩ: ối tâm ứ giác ABCD cĩ ủa đường trịn (O,R) là: ối tâm

đ nh và thu c (K).ị đường trịn kia chia điều hồ ội tiếp

G i M là giao đi m c a CD và AB.ọi ểm cĩ hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta cĩ: ủa đường trịn (O,R) là:

Vì CD là tr c đ ng phục đẳng phương thì vuơng gĩc với đường thẳng nối tâm ẳng phương thì vuơng gĩc với đường thẳng nối tâm ương thì vuơng gĩc với đường thẳng nối tâm.ng c a (O) và (K) nên taủa đường trịn (O,R) là:cĩ:

vì B là trung điểm của HI

Vì A, B, H c đ nh suy ra M c đ nh.ối tâm ị đường trịn kia chia điều hồ ối tâm ị đường trịn kia chia điều hồ V y CD luơn đi qua đi m M c đ nh.ậy tâm đường trịn ểm cĩ hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta cĩ: ối tâm ị đường trịn kia chia điều hồ

Bài 3: Cho t giác ABCD v a n i ti p (O;R) v a ngo i ti p (I;r), đ t ứng minh ừ ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ếp tuyến tại A của ừ ại A của ếp tuyến tại A của ặt

Suy ra

    1   0

0 2

MNC NMC IBC IDC     ADC ABC   9

Suy ra O là trung đi m MN.ểm có hình chiếu lên trục ∆ là N Thì ta có:

Áp d ng công th c tính đục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ứ giác ABCD có ường tròn (O,R) là:ng trung tuy n trong tam giác IMN ta có:ếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là:

c nh đ i di n t i A ại A của ố định khác A Suy ra tâm ện trực giao ại A của 1 ,B 1 ,C 1 CMR A 1 ,B 1 ,C 1 th ng hàng và n m trên ẳng phương ằng các đường

đ ường tròn trực giao: ng vuông góc v i đ ới đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và ường tròn trực giao: ng th ng n i tâm đ ẳng phương ố định khác A Suy ra tâm ường tròn trực giao: ng tròn n i ti p và ột điểm cố định khác A Suy ra tâm ếp tuyến tại A của tâm đ ưồng quy tại một điểm cố ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ại A của ếp tuyến tại A của

Gi i ảo:

G i Aọi 2B2C2 là tam giác t o b i 3 phânại P của đường tròn (O,R) là: ởi 3 phân

giác ngoài góc A,B,C

Suy ra A1,B1,C1 cùng n m trên tr cằm trên đường thẳng cố định là ục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm

đ ng phẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm ương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm.ng c a 2 đủa đường tròn (O,R) là: ường tròn (O,R) là:ng tròn

(ABC) và (A2B2C2)

Mà (O) là đường tròn (O,R) là:ng tròn -le c a tamƠ-le của tam ủa đường tròn (O,R) là:

giác A2B2C2

AA2,BB2,CC2 giao nhau t i tr c tâm Iại P của đường tròn (O,R) là: ực giao

c a tam giác Aủa đường tròn (O,R) là: 2B2C2 (cũng đông th i là tâm đờng tròn (O,R) là: ường tròn (O,R) là:ng tròn n i tiêp tam giáội tiếp c ABC)

suy ra I,O,J thẳng hàng

Vậy đường thẳng qua A1,B1,C1 vuông góc với OI (đpcm)