Các phương pháp giải toán đại số và giải tích pot

Hoàng Việt Quỳnh Toaën hoåc phöí thöng Các phương pháp giải nhanh ñề thi ñại học WWW.MATHVN.COM 1 Các phương pháp giải toán ñại số và giải tích Li nói ñu: Sau 12 năm học tập, giờ ñây chỉ còn một kì thi duy nhất ñang chờ ñợi các em ñó là kì thi ñại học. Đây sẽ là kì thi khó khăn nhất trong suốt 12 năm các em ngồi trên ghế nhà trường. Kì thi ñại học chính là một bước ngoặt lớn trong cuộc ñời của mỗi học sinh vì thế mỗi học sinh cần phải chuẩn bị kiến thức thật toàn diện vì nội dung của ñề thi mang tính liên tục. Có lẽ trong các môn, môn toán vẫn luôn chiếm vị trí quan trọng và là vật cản lớn nhất trên bước ñường tiến tới giảng ñường ñại học. Vì thế tôi xin mạo muội góp chút kiến thức ñã thu lượm ñược trong quá trình học tập ñể viết lên quyển sách này. Hy vọng ñây sẽ là tài liệu bổ ích cho các em học tập. Quyển sách ñược chia thành sáu ñơn vị bài học và hai phụ lục. Mỗi bài ñều là những phần quan trọng, xuất hiện thường xuyên trong ñề thi ñại học. Ở mỗi bài ñều có những ñặc ñiểm sau: • Phần tóm tắt kiến thức ñã học ñược trình bày ngắn gọn và tổng quát nhằm khơi lại phần kiến thức ñã quên của các em. • Hệ thống các bài làm ñược chọn lọc kĩ lưỡng, có tính ñiển hình và khai thác tối ña các góc cạnh của vấn ñề nêu ra, ñồng thời phương pháp giải ngắn gọn, trực quan cùng nhiều kinh nghệm giải ñề giúp các em có thể hiểu ñược nội dung bài giải và cách áp dụng cho các dạng ñề thi sẽ gặp sau này. Đồng thời, các ví dụ ñều ñược trình bày từ cơ bản ñến nâng cao. Đây là những ñề bài trích ra từ ñề thi dự trữ của các năm trước và tham khảo từ những tài liệu của các thầy cô có nhiều năm kinh nghiệm trong quá trình luyện thi nên ñảm bảo về mức ñộ và giới hạn kiến thức. Lời giải trong các ví dụ chỉ là tượng trưng nhằm mục ñích nêu lên phương pháp giải, các em và các thầy cô khi tham khảo cuốn tại liệu này có thể tìm ra và trình bày cách giải và cách trình bày hợp lí hơn. Các em nên tập giải các dạng bài trên một cách thuần thục và ñộc lập. sau khi giải xong mời xem phần lời giải. Đó là ñiều mà tác giả kì vọng nhiều nhất. • Lí giải các phương pháp, ñưa ra thuật toán giải chung, ñưa ra bản chất lời giải, ñó là phần lời bình, lưu ý ở cuối mỗi bài tập. Phần phụ lục là 12 ñề thi tiêu biểu theo cấu trúc ñề thi mới nhất do Bộ GD&ĐT công bố. Các ñề thi có mức ñộ khó rất cao, ñòi hỏi người làm phải tư duy rất nhiều. Với mức ñộ khó ñó, tôi mong rằng khi các em giải thuần thục các bài trong bộ ñề thi này các em sẽ có ñủ tự tin và kiến thức ñể ñạt ñiểm cao khi làm bài môn toán. Phụ lục 2 là một số mẹo ñể dùng máy tính ñoán nghiệm cố ñịnh, phục vụ cho quá trình giải các bài tập về phương trình tích như lượng giác, hệ phương trình, phương trình, cách giải nhanh bài toán hình học bằng máy tính… Đồng thời giới thiệu thêm phương pháp chia Horner ñể giúp các em làm nhanh bài toán có chia ña thức, phân tích thành tích… Với dự ñịnh là sẽ giới thiệu quyển sách cho các em trong tháng cuối cùng trước khi thi ñại học nên sách ñã giản lược một số phần không cần thiết và các kiến thức bên lề, chỉ giới thiệu những trọng tâm của ñề thi nên bài tập có thể còn ít. Tôi cũng có lời khuyên cho các thì sinh là hãy tìm thêm các ñề thi trên mạng internet vì ñây là kho kiến thức vô tận. Mặc dù rất cố gắng nhưng cuốn sách rất có thể còn nhiều thiếu sót do thời gain biên soạn ngắn ñồng thời kinh nghiệm và sự hiểu biết còn hạn chế. Rất mong ñược sự góp ý của bạn ñọc. Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả qua ñịa chỉ sau: Hoàng Việt Quỳnh Khu 6a – Thị trấn Lộc Thắng – Bảo Lâm – Lâm Đồng Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn Blog: http://vn.myblog.yahoo.com/vquynh-qflower Tel: 063-3960344 - 01676897717 WWW.MATHVN.COM 2 Bài I: Ứng dụng phương trình ñường thẳng ñể giải phương trình căn thức. VD1. Nhắc lại kiến thức về ñường thẳng. 1) Phương trình tổng quát: Đường thẳng ñi qua M(x 0 ;y 0 ) và có vetơ pháp tuyến n  (A;B) thì ñường thẳng ñó có phương trình: (d): A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 (d): Ax+By+C=0 VD1. Đường thẳng qua M(1;2) nhận n  (2;1) làm vectơ pháp tuyến. (d): 2(x-1)+1(y-2)=0  (d): 2x+y-4=0 2) Phương trình tham số: Đường thẳng ñi qua M(x 0 ;y 0 ) và có vectơ chỉ phương a  (a 1 ;a 2 ) (d):    += += tayy taxx 20 10 VD2. Đường thẳng qua M(3;4) nhận a  (2;3) làm vtcp có phương trình: (d):    += += ty tx 34 23 VD3. Cho (d): x+y=4. Viết phương trình tham số của (d). Giải: Vectơ pháp tuyến : n  (1,1) Vectơ chỉ phương : a  (1,-1) Điểm ñi qua M(2;2)  (d) :    −= += ty tx 2 2 VD2. Ứng dụng VD1. Giải phương trình : 101238 33 =−++ xx Giải: Đặt: 8 3 +x =1+3t và 3 12 x− =3-t Đk( -1/3 ≤t≤1/3)  x 3 +8=(1+3t) 2 (*) và 12-x 3 = (3-t) 2 (**) Lấy (*)+(**) ta có 20=10t 2 +10  t 2 =1  t=1 hoặc t=-1(loại)  x 3 =8  x=2 Tip: Có phải bạn ñang tự hỏi: thuật toán nào ñã giúp ta nhìn thấy ñược cách ñặt ẩn t ??? WWW.MATHVN.COM 3 Không phải ngẫu nhiên mà tôi lại trình bày lại vấn ñề ñường thẳng, một vấn ñề tưởng chừng như chẳng liên quan gì ñến ñại số. Nhưng giờ ñây ta mới nhận ra ñược “ñường thẳng” chính là “tuyệt chiêu” ñể giải phương trình dạng căn thức. Mấu chốt ñó là: B1: 101238 33 =−++  YX xx Từ ñó ta có phương trình ñường thẳng : X+3Y=10 B2: ta viết lại phương trình: X+3Y=10 theo tham số t    = = t-3Y 3t +1X Lúc này phương trình ñã quy về 1 ẩn t và việc giải phương trình trên là không khó. (Vì ñây là kiến thức “lớp nhí”) Để hiểu rõ hơn về phương pháp này các bạn hãy cùng tôi ñến với VD2. VD2. Giải phương trình :  X x 3+ +  Y x 3 2+ =1 Giải: Gọi (d): X=1+t và Y=0+t (1) Đặt      =+ −=+ tx tx 3 2 13 (t≤1)       =+ +−=+ 3 2 2 213 tx ttx Lấy phương trình 2 trừ pt1 ta có: -1=t 3 -t 2 +2t-1  t 3 -t 2 +2t=0 • T=0  x=-2 Lưu ý: Trong khi giải ñề thi, các bạn nên trình bày từ bước(1) trở ñi nhằm ñảm bảo tính ngắn gọn cho bài toán. Bước gọi phương trình ñường thẳng chỉ nên làm ngoài giấy nháp. • Trong bài trên ta có thể ñặt      =+ =+ vx ux 3 2 3 và quy về giải hệ phương trình. Các bạn có thể xem cách này như một bài tập. các bạn hãy làm và so sánh sự ưu việt giữa 2 phương pháp. • Trong bài trên ta hạn chế phương pháp lũy thừa vì nếu muốn khử 2 căn thức khác bậc trên, ta phải ^6 phương trình. Ta sẽ gặp khó khăn và sẽ ñối mặt với 1 phương trình “kinh khủng” và ta phải giải “xịt khói” mới có thể ra nghiệm. VD3. Giải hệ phương trình : ( ) ( )      =+++ =−+ 2411 13 yx xyyx (ñề thi ĐH năm 2005) Giải: Đặt:      −=+ +=+ ty tx 21 21 (-2≤t≤2)       +−=+ ++=+ 441 441 2 2 tty ttx       +−= ++= 34 34 2 2 tty ttx Phương trình(1) trở thành: 2t 2 +6- )43)(43( 22 tttt −+++ =3 WWW.MATHVN.COM 4  910 24 +− tt =2t 2 +3    hoặc  t=0  x=y=3 VD4. Định m ñể phương trình sau có nghiệm: Giải: Để phương trình có nghiệm: mxf = )( Min f(x)≤m ≤Max f(x) Đặt      −=− +=+ txm tmx 33 312 (-1/3≤t≤3)       +−=− ++=+ 2 2 693 9612 ttxm ttmx  cộng vế với vế => 5m=10+10t 2  2t 2 +2=m  f(t)=m Với f(t)= 2t 2 +2 miền xác ñịnh: D=[-1/3;3] F’(t)=4t =>f’(t)=0  t=0 t -∞ -1/3 0 3 +∞ F’(t) - 0 + F(t) 20/9 20 2 M có nghiệm  2≤m≤20 VD3. Bài tập tự luyện 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải hệ phương trình: 3) Giải hệ phương trình: 2 1 1 1 3 2 4 x y x x y  + + − + =   + =   (ñề thi dự bị1A – 2005) 4) Giải phương trình: 1 sin( ) 1 cos( ) 1 x x − + + = (ñề thi dự bị2A – 2004) WWW.MATHVN.COM 5 Bài II: Các cách giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. 1) Lũy Thừa Phương pháp lũy thừa là phương pháp tổng quát nhất ñể giải phương trình có căn. Khi gặp các phương trình có dạng căn phức tạp nhưng khi chúng ta biết “mẹo lũy thừa” thì có thể giải bài toán một cách dễ dàng. Đây là một phương pháp cơ bản, các bạn phải thực tập nhuần nhuyễn vì phương trình trong ñề thi ñại học có lúc rất dễ nhưng ta lại không ñể ý. các bạn hãy theo dõi các ví dụ sau. Nhưng trước hết hãy lưu ý vấn ñề sau: • Đặt ñiều kiện • Lũy thừa chẵn thì hai vế không âm • Các dạng cơ bản:  BA =     = ≥ 2 0 BA B  BA <     ≤≤ ≥ 2 0 0 BA B  BA >            > ≥    ≥ < 2 0 0 0 BA B A B VD1. Giải:         =−+−+ ≥− ≥− ≥ 10)5(25 010 05 0 xxxx x x x       −=− ≤≤ xxx x 552 50 2     +−=− ≤≤ 22 1025)5(4 50 xxxx x     =+− ≤≤ 056 50 2 xx x  x=1 ∨ x=5 VD2. 132 −<+− xxx Giải:  2 x = 3−x + 1−x       −++−++< ≥ )1)(3(2134 1 xxxxx x       −>−+ ≥ 132 1 2 xxx x     +−>−+ ≥ 1232 1 22 xxxx x     > ≥ 1 1 x x  x=1 WWW.MATHVN.COM 6 VD3. Giải: Đk: 2x+1>0  x>1/2 Bpt  (4x 2 -4x+1)(x 2 -x+2)≥36 Đặt t = (x 2 -x) bpt trở thành: (4t+1)(t+2)≥36 4t 2 +9t-34≥0 t≤-17/4 hoặc t≥2  x 2 -x≤-17/4 hoặc x 2 -x≥2  x≤1 hoặc x≥2 VD4. Giải bất phương trình : Giải:            ≥−− >− =+− 02 0 0 2 2 2 xx xx xx 10 = ∨ = ⇔ xx Lưu ý: Ở bất phương trình trên các bạn không nên lũy thừa ñể tính toán vì quá trình lũy thừa và nhân phân phối rất mất thời gian. Hơn nữa, khi quy về một phương trình hệ quả, chúng ta giải rất dễ sai vì khi giao các tập nghiệm sẽ không có giá trị nào thỏa mãn. Trong bài trên tôi sử dụng cách ñánh giá theo kiểu như sau: A B ≥0          ≥ > = 0 0 0 A B B Đó chính là mấu chốt của bài toán VD5. Giải phương trình : Giải:                   − =− ≥− ≥       − − 2 2 4 53 8 053 0 4 53 2 x x x x  x=3 WWW.MATHVN.COM 7 Lưu ý: Trong phương trình trên các bạn phải “ñể ý” và “nhanh” một chút vì nếu như ta ñể nguyên phương trình ñề cho ñể lũy thừa thì ñó là một ñiều “không còn gì dại bằng” ta sẽ ñối mặt với chuyện lũy thừa 2 lần => một phương trình bậc 4. Phương trình này ta không thể bấm máy tính. Nhưng nếu giải tay thì phải giải “xịt khói” mới ra trong khi thời gian không chờ ñợi ai. Đồng thời chúng ta không cần giải ñiều kiện vội vì giám khảo chỉ quan tâm ñến bài làm và kết quả. Chúng ta hãy chỉ viết “cái sườn” của ñiều kiện. sau khi giải ra nghiệm chỉ việc thế vào ñiều kiện là xong. 2) Phương pháp ñặt ẩn phụ:  CÁCH GIẢI: ( ) ( ) ( ) 0)();( 0)();( 0)();( = ≤ ≥ n n n xuxuf xuxuf xuxuf t= n xu )(  Phương trình hữu tỉ hoặc hệ phương trình  BÀI TẬP ÁP DỤNG: VD1. Giải:  Đặt t= => t>0 ; t 2 +2= x 2 + x  3t=2(t 2 -1)  t=-0.5 (loại) hoặc t=2 x 2 +x=6  x=2 hoặc x=3 VD2. Giải: T= 1−x     =+ ≥ xt t 1 0 2 Phương trình trở thành:   t 2 +1-(t+1)=2  t 2 -t-2=0  t=2 hoặc t=-1 x=5 VD3. Giải:  => WWW.MATHVN.COM 8 pt trở thành: t 2 +t+2=8  t=2 ∨ t=-3 TH1: t=2   TH2: t=-3    LOẠI II: ( ) nn xvxuf )()( + { ≥0; ≤0; =0 } Phương pháp chung:      = = vxv uxu m n )( )( => Đưa về hệ phương trình. VD1. 08563232 3 =−−+− xx (ñề tuyển sinh ñại học 2009) Giải:      ≥=− =− )0(56 23 3 vvx ux       =−+ =+ 0832 3 8 3 5 23 vu vu         − = =+ 3 28 3 8 3 5 23 u v vu         − = =       − + 3 28 3 8 3 28 3 5 2 3 u v u u       − = =+−+ 3 28 0)202615)(2( 2 u v uuu     = −= 4 2 v u  x=-2 LOẠI III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Những hệ phương trình này ta rất thường hay gặp trong ñề thi ñại học. Ở lớp 10, ta thường gặp những phương trình có tên là hệ ñối xứng, ñẳng cấp… Những hệ này ñã có cách giải “ăn liền”. nhưng trong ñề thi ñại học, ta không hề tìm thấy những dạng ñó. Nhưng tất cả các hệ trên ñều quy về một mối ñó là “Phân tích thành nhân tử”. WWW.MATHVN.COM 9 VD1. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 1 1 1 2 1 2 x y x y y x  − = −    = +  (ĐH A 2003) Giải: ĐK: xy≠0 Ta có ( ) ( ) 1 1 1 0 1 x y x y xy xy =    ⇔ − + = ⇔    = −    TH1: ( ) ( ) 2 3 3 1 1 5 1 1 0 2 2 1 2 1 1 5 2 x y x y x y x y x y x x x y x x x x y   = =  =  = =   − +   ⇔ ⇔ ⇔ = =     − + − = = + = +      − −  = =   TH2: 3 3 4 1 1 1 2 2 1 1 2 0 y xy y x x y x x x x x   = −  = − = −    ⇔ ⇔    = +    − = + + + =    Mà 2 2 4 2 1 1 3 2 0, 2 2 2 x x x x x VN     + + = − + + + > ∀ ⇒         Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ) 1 5 1 5 1 5 1 5 ; 1;1 , ; , ; 1 1 1 1 x y     − + − + − − − − =             VD2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 y(y x) 4y 1 x, y R . (x 1)(y x 2) y 2  + + + =  ∈  + + − =   (Dự bị A2006) Giải: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 4 0 * x y x y⇔ + + + − = Đặt: 2 1 0; 4 u x v x y = + > = + − Hệ ( ) ( ) ( ) 0 3 2 4 u yv u v y − =  ⇔  + =   Thay (4) vào (3) ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2 . 0 1 2 0 u u v v u v v ⇔ + + = ⇔ + + =     2 2 1 0 v v ⇔ + + = 2 ( 1) 0 1 3 v v x y ⇔ + = ⇔ = − ⇔ + = Vậy (*) ( ) 2 2 1 2 1 0 1 3 0 2 5 3 x y x y x x x y x y = ⇒ = −  + − =  ⇔ ⇔ + − − = ⇔   = ⇒ = = −   VD3. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 3 2 2 x 8x y 2y x, y R . x 3 3(y 1) *  − = +  ∈  − = +   (Dự bị 2A 2006) Giải: Hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 3 6 4 2 1 2 4 3 6 3 6 2 x y x y x y x y x y x y  − = +  − = +   ⇔ ⇔   − = − =     Lấy (2) thay vào (1) ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 2 3 3 4 12 0 x y x y x y x y x x y ⇔ − = − + ⇔ − + = ( ) 2 2 12 0 x x xy y ⇔ + − = Dễ thấy x=0 thì y=0. Thế vào (*) ta thấy không thỏa mãn. Vậy ñây không phải là nghiệm của phương trình: WWW.MATHVN.COM [...]... thi “Ba chung” các d ng toán tích phân và ng d ng luôn xu t hi n và là câu 1 ñi m Bài t p ph n này không quá khó nhưng v n ph i ñòi h i kĩ năng phán ñoán, phân tích ñ , và n m rõ ñư c các cách làm bài toán tích phân cơ b n như ñ i bi n s và tính theo tích phân t ng ph n… các em cùng theo dõi các ví d dư i ñây NGUYÊN T C CHUNG Đ GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN: G m có 2 phương pháp chính: A Đ I BI N: • Đ i... ph i (ho c có th ñưa c 2 phương trình v d ng có h ng s v ph i), Ta nhân c 2 v c a phương trình trên cho s v ph i c a phương trình dư i và nhân c 2 v c a phương trình dư i cho s phương trình trên Sau ñó tr v theo 10 WWW.MATHVN.COM v M c ñích c a phương pháp này là quy h v phương trình tích sau ñó ti n hành phân tích H u h t các lo i phương trình ña th c ñ u gi i ñư c theo cách này! Bài t p t Bài 1... ñ u quy v nh ng phương trình ñơn gi n Đ thi ñ i h c các năm ñ u xoay quanh bi n ñ i v d ng phương trình tích, ñ t n ph Năm 2009, ñ thi có bi n ñ i hơn ñó là phương trình cu i bi n ñ i v d ng công th c c ng Nhìn chung phương pháp gi i d ng toán này là các em h c thu c các công th c trên ñây và rèn luy n kĩ năng phân tích ña th c thành nhân t … GI I M T S Đ THI TIÊU BI U:   1 Gi i phương trình: 2... sau ph n kh o sát hàm s trong ñ thi ñ i h c Mu n gi i ñư c d ng toán này ta c n n m v ng các lí thuy t v s tăng, gi m hàm s , các v n ñ v c c tr , s tương giao gi a hai ñ th (ñi u ki n ti p xúc c a hai ñư ng cong)… Các ví d dư i ñây s trình bày m t cách có h th ng các v n ñ nêu trên và cách gi i ñơn gi n và d hi u nh t Các b n tham kh o các ví d sau ñây: I: S TĂNG GI M C A HÀM S : Nh c l i ki n th c:... sin x + sin 3 x cos 2 x 0 6 Tính tích phân: I=∫ Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol (P) : y = x2 − x + 3 và ñư ng th ng d : y = 2x + 1 x2 27 ; ( C 3) y = Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng: ( C1) y = x ; ( C 2 ) y = 27 x 2 14 WWW.MATHVN.COM Bài V :Các bài toán liên quan ñ n ng d ng c a ñ o hàm và ñ th hàm s Lưu ý trư c khi gi i ñ thi: Các bài toán d ng này là câu chi m 1 ñi... 10 WWW.MATHVN.COM B PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH N: Công th c: b ∫ udv = uv a b b − vdu a ∫ a (1) Cách l y ph n các tích phân: Kí hi u P(x) là ña th c Khi g p hai d ng nguyên hàm sau ñây, ta thư ng dùng phương pháp tích phân t ng ph n: D ng 1: ∫ P ( x ) ln xdx ta ñ t u= ln x (Do lnx không có nguyên hàm) eax +b    D ng 2: ∫ P ( x ) sin( ax + b) dx cos(ax + b)    V i cách y khi l y công... các thông s thích h p vào b ng t ñó m i hư ng gi i ñ u ñư c phơi bày! Tôi có tham kh o qua m t vài tài li u c a các th y cô giáo thì th y ph n l n các sách ñ u trình bày l i gi i m t cách máy móc, không tr c quan, nhi u lúc có th coi là lu n qu n Ví d : tìm m ñ hàm s y=f(x) tăng trên (1;+ ∞ ), các th y cô trình bày trong sách cũng như trên l p theo phương pháp MinMax, xét nhi u trư ng h p… Nh ng cách... I = ∫ x 2 ln xdx 0 π 4 Tính tích phân: I = ∫ (tgx + esin x cos x)dx 0 π Tính tích phân: I = ∫ cos x sin xdx 0 π 3 Tính tích phân: I = ∫ tan 2 x + cot 2 x − 2dx π 6 π 2 Tính tích phân: I= ∫ 2 (1 + cos 2 x ) dx −π 2 π 3 Tính tích phân: I=∫ π sin 4 x sin 3x dx tan x + cot 2 x 6 10 Tính tích phân: I= dx x −1 ∫ x−2 5 e Tính tích phân: I= ∫ 1 3 − 2 ln x dx x 1 + 2 ln x π Tính tích phân: x sin x 1 + sin 2... Cho phương trình: =a sin x − 2 cos x + 3 1 1 gi i phương trình khi a= 3 2 tìm a ñ phương trình (2) có nghi m x  tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan  2  tan 4 ( 2 − sin x +1 = 2 ) 2 x sin 3 x 4 cos x 7 WWW.MATHVN.COM Bài IV: Tích Phân Lưu ý trư c khi gi i ñ thi: Tích phân là bài toán r t thư ng xu t hi n trong ñ thi ñ i h c K t năm 2002, khi b t ñ u ti n hành thi “Ba chung” các d ng toán. .. b) ) 2 cos a cos b = 9 Công th c bi n ñ i tích thành t ng x+ y x− y cos 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 sin x + sin y = 2sin 10.Công th c bi n ñ i t ng thành tích 2 WWW.MATHVN.COM Cách gi i các phương trình lư ng giác trong ñ thi ñ i h c: Lưu ý trư c khi gi i ñ : Các phương trình lư ng giác trong ñ thi ñ i h c . lên phương pháp giải, các em và các thầy cô khi tham khảo cuốn tại liệu này có thể tìm ra và trình bày cách giải và cách trình bày hợp lí hơn. Các em nên tập giải các dạng bài trên một cách. WWW.MATHVN.COM 5 Bài II: Các cách giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. 1) Lũy Thừa Phương pháp lũy thừa là phương pháp tổng quát nhất ñể giải phương trình có căn. Khi gặp các phương trình. Hoàng Việt Quỳnh Toaën hoåc phöí thöng Các phương pháp giải nhanh ñề thi ñại học WWW.MATHVN.COM 1 Các phương pháp giải toán ñại số và giải tích Li nói ñu: Sau 12 năm học tập,