Hình học sơ cấp: Phép nghịch đảo

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí MinhKhoa Toán – TinHÌNH HỌC SƠ CẤPCHỦ ĐỀ:PHÉP NGHỊCH ĐẢO.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Khoa Toán – Tin

DANH SÁCH NHÓM:

1 Đặng Minh Nhựt (Bài 1)

2 Lê Thị Hoài Thu (Bài 5)

3 Lê Hữu Phước (Bài 6)

4 Nguyễn Thị Tâm (Bài 8)

5 Trần Tâm (Bài 3)

6 Cao Thị như Thảo (Bài 2)

7 Nguyễn Thị Thảo (Bài 7)

8 Bùi Minh Nghĩa (Bài 4)

9 Nguyễn Thị Kim Ngân (Bài 10+Bài 4 LT)

10 Trịnh Thị Kim Ngân (Bài 13+Bài 3LT)

11 Nguyễn Thị Việt Nhân (Bài 14+Bài 5LT)

12 Huỳnh Thị Nhẫn (Bài 9 + Bài 7LT)

13 Đặng Nhi Thảo (Bài 12+Bài 6LT)

14 Nguyễn Thị Hoàng Yến(Bài 11+Bài 2LT)

15 Thạch Oanh Ni (Bài 15+Bài 1LT)

16 Nguyễn Hoàng Tuyết Nhung (Bài 16)

17 Lê Hoàng Thanh Trúc (Bài 17)

18 Huỳnh Thị Mỹ Hạnh (Bài 18)

19 Bùi Thị Hồng Cẩm (Bài 19)

20 Nguyễn Minh Tú (Bài 20)

21 Hồ Xuân Quân (Bài 21)

22 Mai Thị Xuyến (Bài 22)

23 Phan Lê Văn Thắng (Bài 23)

24 Mai Xuân Vinh (Bài 24)

25 Nguyễn Thanh Toàn (Bài 25)

Câu 1: Cho dây cung của đường tròn có là trung điểm là điểm thuộc

, tiếp tuyến tại cắt tại Các tiếp tuyến tại cắt nhau tại Xét phép nghịch đảo cực , phương tích

Qua :

 Ta có: vuông góc với tại (do tính chất đường kính, dây cung)

Xét vuông tại :

Từ đó qua :

BÀI 2: Cho (O) và điểm S nằm ngoài (O) Hai cát tuyến lưu động của S lần lượt cẳt

(O) tại A,A’ và B, B’ Gọi M giao điểm thứ hai của (SAB’) và (SBA’) Tìm quỹ tích

lh O

S M (cách dựng cát tuyến)

M M N S( ) (đường tròn) 

Câu 3: Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường kính thay đổi

a) Chứng minh rằng đường tròn (SAB) đi qua điểm cố định khác S

b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M, N Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài tại A M

là điểm nằn trên tiếp tuyến chung của (O) và (O') Chứng minh rằng có hai đường tròn qua M và tiếp xúc với (O) và (O’) Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường

tròn này

Giải:

Gọi d1, d2 là các tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (M

Giả sử đường tròn cần dựng là (C1), là đường tròn qua M và tiếp xúc với (O) và (O’)

(O)(O’) (O’)

D1 (C1)

Do (C1) tiếp xúc với (O) và (O’) nên d1 tiếp xúc với (O) và (O’) và M d1

Từ đó suy ra d1 là tiếp tuyến chung của (O) và (O’), M d1

Do (O) và (O’) có 3 tiếp tuyến chung mà tiếp tuyến chung qua A và M là bất biến qua

N(M,k) nên hai tiếp tuyến chung còn lại sẽ biến thành hai đường tròn qua M qua

Vậy hai đường tròn (C1), (C2) qua M và tiếp xúc với (O), (O’) là ảnh của hai tiếp

tuyến chung d1, d2 của (O),(O’)

Tìm quỹ tích giao điểm của (C 1 ), (C 2 )

Gọi I là giao điểm của d1, d2

Khi đó:

N(M,k)

d1 (C1)

I J (giao điểm của IM và (C1))

Ta có: M, I, J thẳng hàng và MI.MJ=k2=MA2

Suy ra J thuộc đường tròn (IA).

Bài 6: Cho (O) và hai đường thẳng Ox,Oy vuông góc với nhau tiếp tuyến tại M thay

đổi trên (O) cắt Ox,Oy tại A ,B Trục đẳng phương của (O) và (OAB) cắt Ox,Oy lần

lượt tại C,D Tìm quỹ tích trung điểm I của CD

Giải:

Vì tam giác ABC vuông nên (ABC) nhận AB làm đường kính ,khi đó N là trung điểm

của AB là tâm của (OAB)

B D OA.OC=OM2 OB.OD=OM2

MC OA

MD OB Suy ra: tứ giác MDOC là hình chữ nhật

Gọi I là trung điểm của CD khi đó I cũng là trung điểm của MO

2

R

Bài 7: Dựng đường tròn qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với đường tròn cho trước

Ý tưởng: Thay vì dựng đường tròn đi qua hai điểm A,B cho trước và tiếp xúc với

đường tròn O cho trước Ta dùng phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường

thẳng d tiếp xúc với O ,việc dựng hình sẽ dễ hơn Do đó, ta chọn phép nghịch đảo

sao cho giữ lại O , còn biến thành d ; A,B nên chọn một trong hai điểm

này làm tâm , vậy ta chọn phép nghịch đảo N A,P A/O

Phân tích:

Xét phép nghịch đảo: N A,P A/O

O O

'

B B

Vậy ABM' là đường tròn cần dựng

Chứng minh:

Xét phép nghịch đảo: N A,P A/O

O O

M

M' ( AM'.AM A/O )

d ( AB.AB' AM'.AM' AC.AC' A/O ) '

B B

Do tính bảo toàn góc nên:

d tiếp xúc với O tại M tiếp xúc với O tại M '

Biện luận:

Khi A,B O : Đường tròn chính là đường tròn O Bài toán có một nghiệm

hình

Khi A O , B O hoặc A O , B O Bài toán có vô số nghiệm hình

Khi A,B O : Có 2 đường tròn đó là đường tròn tiếp xúc trong O và đường

tròn tiếp xúc ngoài O Bài toán có 2 nghiệm hình

Bài 8: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A gọi ( ) là đường

tròn thay đổi tiếp xúc với (O) và d tại các điểm khác A.chứng minh ( ) trực giao với

đường tròn cố định

Giải:

Chọn , trong đó k=AD2 khi đó

O D (O) d1

d d

D tiếp xúc (O) d//d1(tính chất bảo toàn góc)

( ) ( ) ( ) tiếp xúc với d và (O) ( ) tiếp xúc với d,d1

Vẽ vuông góc với AD,ta có:

M N M thì M' (O)(*)

O'M.O'M'=R' và O M' R'

Suy ra: O’M’<R’ tức là M’ nằm trong (O’) hay M’ nằm ngoài (O) (vì (O) và (O’) ngoài nhau)

Suy ra M' ( )O : mâu thuẫn với (*) Vậy ( ) luôn tiếp xúc đường tròn cố định thứ hai khác

Bài 9 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau ( ) là đường tròn thay đổi tiếp xúc (O)

và trực giao (O’) Chứng minh rằng: ( ) tiếp xúc đường tròn cố định thứ hai khác (O)

Thay vào đẳng thức (*) ta thu được:

AB.CD + AD.BC = AC.BD (đpcm)

Bài 11: Cho (O) là đường tròn nội tiếp một tam giác ABC không cân và tiếp xúc với ba cạnh BC, CA,AB

lần lượt tại a, b, a (O) cắt aA, bB, cC lần lượt tại , , Gọi m,n,p lần lượt là trung điểm bc, ca,ab Chứng minh rằng:

1 Các đường tròn ( a m ),( b n ),( c p ) đi qua O

2 Ba đường tròn trên còn có một điểm chung thứ hai

1 Chứng minh các đường tròn (aαm), (bβn), (cγp) đi qua O:

Ta có : AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của (O) tại A

m là trung điểm bc nên OA bc tại m

Suy ra 2 2

.

Om OA Oc R (R là bán kính (O)) Tương tự: 2

N

Do A, α, a thẳng hàng nên (αma) đi qua O

Tương tự: (bβn) đi qua O

(cγp) đi qua O Suy ra (aαm), (bβn), (cγp) đi qua O,

2 Chứng minh (aαm), (bβn), (cγp) còn có điểm chung thứ hai

R O

R O

R O

Chứng minh:

Cách 1:( theo phép nghịch đảo)

Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của (I, r) với AB, AC, BC

A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của IA, IB, IC với MN, MP, PN

N

Ta có

' ' '

S S ( do A’, B’, C’ là trung điểm 3 cạnh tam giác)

Bài 12: Gọi (O, R) và (I, r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC với OI = d

Chứng minh rằng: d2 R2 2 Rr

( do I là tâm đường tròn nội tiếp và E thuộc (O,R) )

IECcân tại E

Tương tự EI EB

Xét (O, R) và (E, EB)

Ta thấy B C , ( ) O ( , E EB )

Vậy BC là trục đẳng phương của 2 đường tròn

Gọi I’ là hình chiếu của I lên cạnh BC, I’ (O, R)

Theo công thức hiệu hai phương tích ta có:

k P

N

một khoảng 2R Các đường tròn (PAD) và (PBC) cắt nhau tại điểm thứ hai M, các đường tròn (PAC) và (PBD) cắt nhau tại điểm thứ hai N

a) Tìm quỹ tích M,N

b) Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định

Theo cách dựng cực và đối cực bằng cát tuyến ta có:

b) Ch ứng minh rằng MN đi qua điểm cố định:

Trước tiên ta chứng minh tính chất sau:

là điểm đối xứng của H qua 1 cạnh bất kì của ABC Khi đó H’ (O,R)

Chứng minh:

Giả sử H’ là đối xứng của H qua cạnh BC

Ta có

(HB,HC)=(H’C,H’B) ( Do H’ là đối xứng của H qua BC)

(HB,HC)=(AC,AB) ( Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Do đó (H’C,H’B)=( AC,AB) Vậy H’CAB nội tiếp đường tròn (O,R) nên H’ (O,R)

Trở lại bài toán:

Suy ra O là trực tâm của PM N ' '

Lấy O’ là đối xứng của O qua M’N’ Khi đó theo tính chất trên ta có O’ (PM’N’)

Mà O và M’N’= P cố định nên O’ cố định

Vậy (PM’N’) đi qua O’ cố định nên MN đi qua N OP k( ') cố định

Chứng minh:

Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, BC, CA

A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của MN, MP, PN

R , R’ lần lượt là bán kính của (O), (A’B’C’)

B B

C C

Suy ra: (ABC) ( ' 'A B C ')

Khi đó : là đường tròn Euler của MNP

hai tiếp tuyến của (O) vẽ từ A tại B, C

Chứng minh rằng đường tròn (ABC) tiếp xúc với đường tròn cố định

R R

A cố định suy ra A’ cố định

Do đó: ( ' 'A B C') tiếp xúc với đường tròn ( ',2 ')A R cố định

Vậy (ABC) tiếp xúc với đường tròn R2

O

Chứng minh:

khác O H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến AB

1 Chứng minh rằng PH đi qua trung điểm I của A’B’ và PH.PI là một hằng số

2 Đường tròn ( ) qua A, P và tiếp xúc (O) cắt đường tròn ( ') qua A’, P và tiếp xúc (O) tại điểm thứ hai M Tìm quỹ tích M

1 Ch ứng minh PH đi qua trung điểm I của A’B’ và PH.PI là hằng số:

Xét phép nghịch đảo NP k (với k P O/( ))

' ' ( ' ') '

Suy ra: PH đi qua tâm (PA’B’)

Nên PH đi qua trung điểm I của A’B’ (do PA B vuông tại P) ' '

Do ( ) tiếp xúc (O) nên Ax tiếp xúc (O)

Do ( ') tiếp xúc (O) nên A’y tiếp xúc (O)

Gọi M’=Ax A’y

Câu 16:Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

( ABC ) ( ABD ) AB CD2. 2 AC BD2. 2 AD BC 2. 2

Giải:

Lí luận: Theo đề, ta có hai đường tròn (ABC) và (ABD) trực giao nhau, nên ta nghĩ

đến việc biến hai đường tròn trên thành hai đường thẳng vuông góc bằng phép nghịch đảo có cực là A hoặc B Khi đó, ta có thể áp dụng định lí Pythagore để có được một đẳng thức bình phương nào đó Từ đó, áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm ảnh qua phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh

Vì A, B có vai trò như nhau, nên ta có thể chọn một trong hai điểm này để làm cực trong phép nghịch đảo

Bài 17: Cho 2 đường thẳnh Ox, Oy vuông góc nhau Đường tròn (ω) tiếp xúc

Oy tai O, cắt Ox tại A Đường tròn (ω’) tiếp xúc Oy tai B, tiếp xúc (ω) tại C và cắt Ox tại D, D’ Chứng minh rằng tiếp tuyến của (ω) tại A, BD, đường tròn đường kính OD, hai đường tròn (OBC) và (ACD) có một điểm chung

Khi đó thay vì việc chứng minh tiếp tuyến của (ω) tại A, BD, đường tròn đường kính

OD, hai đường tròn (OBC) và (ACD) có một điểm chung là J, ta sẽ chứng minh các ảnh của nó qua N(O,k) có một điểm chung I

Gọi I BC' d khi đó ta sẽ chứng minh I cũng thuộc (A’C’D’), đường tròn đường kính OA’ và (OB’D’)

Vì Ox Oy nên qua N(O,k) thì d, d’, d’’ cũng vuông góc với Ox và BC’ vuông góc với Oy

Khi đó OBID’ và D’IC’A’ là các hình chữ nhật

I OBD và I ( 'A C D' ')

Mặt khác BC’ cũng là đường kính của (ω’)(vì (ω’) tiếp xúc với Oy tại B và BC’ lại

vuông góc với Oy ) BD C' ' 90o

mà BD C' ' OIA' OIA' 90o I đường tròn đường kính OA’

Gọi J=N(O,k)(I) J là điểm cần tìm

Bài 18: Cho ba điểm A, B, C thẳng hang theo thứ tự đó và ba nửa đường tròn đường kính AB, AC, BC nằm về một phía của đường thẳng AB Dựng đường tròn tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn trên

Giải:

AC Bm (Bm tiếp xúc với BC tại B do AC tiếp xúc với BC tại C)

AB Cn (Cn tiếp xúc với BC tại C do AB tiếp xúc với BC tại B)

' ( không qua A)

Do tiếp xúc với AB , AC , BC

Suy ra ' tiếp xúc với Cn,Bm, BC

Suy ra tâm O’ của ' nằm trên đường trung trực BC và gọi I là trung điểm BC thì ta

có IO' BC

+ Cách dựng:

- Dựng Cn,Bm là các tia tiếp tuyến cùng phía với nửa đường tròn BC lần lượt tại C,

B (từ C, B kẻ tia vuông góc với BC, cùng phía với nửa đường tròn BC )

- Dựng đường trung trực d của BC Lấy I là trung điểm của BC và

- Dựng đường tròn qua J, H, K Đường tròn qua J, H, K chính là đường tròn cần dựng

Bài 19: Cho đường tròn O và đường thẳng cố định d cắt O tại A B, M là

điểm cố định chạy trên d và ' là hai đường tròn thay đổi qua M và lần

lượt tiếp xúc với O tại A B, Hai đường tròn này cắt nhau tại một điểm thứ hai

là P Tìm quỹ tích điểm P

Giải:

Kẻ tiếp tuyến Ax By, của O tại A B,

Trường hợp 1: O d suy ra Ax//By, suy ra hai đường tròn và ' tiếp xúc nhau

tại M, nên ta có P Mdo đó quỹ tích P chính là đường thẳng d

Trường hợp 2: O dthì Ax By C , khi đó C chính là tâm đẳng phương của ba

Do đó khi M chạy trên d thì P sẽ chạy trên đường tròn qua C ( doC d) là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo N C P, C O/ Vậy quỹ tích điểm P chính là đường tròn ABC

Câu 20: (Nguyễn Minh Tú) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm

M chạy trên đường thẳng d vuông góc với AB tại H ở ngoài đoạn AB MA và

MB lần lượt cắt đường tròn tại P và Q

a/ Chứng minh rằng PQ đi qua điểm cố định

b/ Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn (MAB) và (MPQ)

Suy ra tứ giác MAIB , MPIQ nội tiếp

Suy ra giao điểm thứ hai của (MAB) và (MPQ) là I

Tương tự ta có: B' nhìn OH dưới một góc vuông

Vậy 4 điểm O H A B, , ', ' cùng nằm trên một đường tròn

Gọi I là trung điểm OH Suy ra: I là điểm cố định

Suy ra: r d I A B, ' ' IM const ( với IM A B' ' tại M)

Do đó: đường tròn I r, tiếp xúc với A B' ' ( với I r, là đường tròn cố định)

Nên đường tròn N O k I r, tiếp xúc với đường tròn OAB

(vì phép nghịch đảo bảo toàn góc)

Vậy OAB tiếp xúc với đường tròn N O k I r, cố định (đpcm)

Bài 22:(Mai Thị Xuyến) Cho phép nghịch đảo cực I , phương tích k biến đường tròn (O) thành đường tròn (O’) CMR: O biến thành chân đường đối cực của I đối với (O’)

Bài giải:

Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm (O) qua I

Xét phép nghịch đảo cực I, phương tích k:

),(I k N

d d

) ' ( )

'

A A

Suy ra d tiếp xúc với (O’) (Do tính bảo toàn góc qua phép nghịch đảo )

Hay d là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Gọi H là chân đường đối cực của I đối với đường tròn (O’) Tức là ta có

' ' H IO

Suy ra tứ giác OAA’H nội tiếp

k IA IA IH

O

H N(I,k)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 23: Cho hai điểm A, B trên đường thẳng d Hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tiếp xúc d tại A, B và trực giao nhau tại M, N Tìm quỹ tích M và N

Ý tưởng:

M, N thuộc 2 đường tròn cùng tiếp xúc với d cố định hay góc của (O), (O’) và d là 00

nên ta nghĩ đến phép nghịch đảo vì phép nghịch đảo bảo toàn góc của 2 đường cong

Bài giải:

Xét phép nghịch đảo N(A,AB2):

Ta có: (O’) (O’) (vì PA/(O’) = AB2)

M M’ (với M’ là giao điểm thứ hai của AM và (O’) ) (1)

N N’ (với N’ là giao điểm thứ hai của AN và (O’) ) (2)

AB AB (vì cực A AB)

M’N’ là đường kính của (O’) (4) Mặt khác, AB là tiếp tuyến của (O’) (5)

(3), (4), (5) tam giác BM’N’ vuông cân tại B

Gọi M’, N’ là giao điểm thứ hai của AM, AN với (BMN)

(BM’, d) = (d, BN’) = 450 góc M’BN’ = 900

M’N’ là đường kính hay O’ M’N’

M’N’ trực giao (BMN) (AMN) trực giao (BMN) Quỹ tích M, N lần lượt là đường tròn cố định (ABM) \ {A,B}, (ABN) \ {A,B}

Bài 24: Cho hai đường tròn ( ')O và ( '')O cùng tiếp xúc đường tròn ( )O và cắt

nhau tại A B, ( ) là đường tròn thay đổi tiếp xúc ( '), ( '')O O và cắt ( )O tạiM N,

Chứng minh rằng tâm của đường tròn (AMN)chạy trên đường thẳng cố định

Giải:

Xét phép nghịch đảo N A k với k A O/( )

( ')O d' với d' là đường thẳng tiếp xúc ( )O tại C

Suy ra: B O ', , ' thẳng hàng (Vì B' ',B O' cùng là phân giác củaB )

Lại có: M N' ' thuộc trục đẳng phương của ( ), ( ')O

' ' ' ' ' ' (2)

' '' ' ' ' '

'

A I là đường kính (D’M’A’) ID’ D’A’

'

ID //OB

Mà D’ cố định I chạy trên đường thẳng d qua D’ và song song với OB

giao điểm của (MBC) và (DAM) là J với J=N(B,k)(I) quỹ tích J là đường tròn qua B, D, tiếp xúc với OB tại B